1、雞兔同籠問題“雞兔同籠”是一類有名的古算題.最早出現在孫子算經中.許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法-“假設法”來求解. 因此很有必要學會它的解法和思路.例 1 有若干只雞和兔子，它們共有 88 個頭，244 只腳，雞和兔各有多少只？解：我們設想，每只雞都是“金雞”，一只腳站著；而每只兔子兩條后腿，像人一樣用兩只腳站著.現在，地面上出現腳的總數的一半，也就是2442=122（只）.在 122 這個數里，雞的頭數算了一次，兔子的頭數相當于算了兩次.因此從122 減去總頭數 88，剩下的就是兔子頭數 122-88=34，有 34 只兔子.當然雞就有 54 只.答：有兔子

2、34 只，雞 54 只.上面的計算，可以歸結為下面算式： 總腳數2-總頭數=兔子數.上面的解法是孫子算經中記載的.做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數分別是 4 和 2，4 又是 2 的2 倍. 計算，當其他問題轉化成這類問題時，“腳數”就不一定是 4 和 2，上面的就行不通.因此，我們對這類問題給出一種解法.還說例 1.如果設想 88 只都是兔子，那么就有 488 只腳，比 244 只腳多了 884-244=108（只）.每只雞比兔子少（4-2）只腳，所以共有雞（884-244）（4-2）= 54（只）.說明我們設想的 88 只“兔子”中，有 5

3、4 只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式：雞數=（兔腳數總頭數-總腳數）（兔腳數-雞腳數）當然，我們也可以設想 88 只”，那么共有腳 288=176（只），比 244只腳少了 244-176=68（只）.每只雞比每只兔子少（4-2）只腳，682=34（只）.說明設想中的“雞”，有 34 只是兔子，也可以列出公式：兔數=（總腳數-雞腳數總頭數）（兔腳數-雞腳數）.上面兩個公式不必另一個數.，用其中一個算出兔數或雞數，再用總頭數去減，就知道假設，或者，通常用這樣的思路求解，有人稱為“假設法”.現在，拿一個具體問題來試試上面的公式.例 2 紅鉛筆每支 0.19 元，藍鉛筆每支 0.11 元，兩種鉛

4、筆共買了 16 支，花了 2.80元.問紅、藍鉛筆各買幾支？解：以“分”作為錢的.我們設想，一種“雞”有 11 只腳，一種“兔子”有19 只腳，它們共有 16 個頭，280 只腳.現在已經把買鉛筆問題，轉化成“雞兔同籠”問題了.利用上面算兔數公式，就有：藍筆數=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.紅筆數=16-3=13（支）.答：買了 13 支紅鉛筆和 3 支藍鉛筆.對于這類問題的計算，常常可以利用已知腳數的特殊性.例 2 中的“腳數”19 與11 之和是 30.我們也可以設想 16 只中，8 只是“兔子”，8 只是“雞”，根據這一設想，腳數是 8（11+19）=240.比

5、280 少 40.40（19-11）=5.就知道設想中的 8 只“雞”5 只，也就是“雞”（藍鉛筆）數是 3.308 比 1916 或 1116 要容易計算些.利用已知數的特殊性，靠心算來完成計算.實際上，可以任意設想一個方便的兔數或雞數.例如，設想 16 只中，“兔數”為 10，“雞數”為 6，就有腳數 1910+116=256.比 280 少 24. 24（19-11）=3，就知道設想 6 只“雞”，要少 3 只.要使設想的數，能給計算帶來方便，常常取決于你的心算本領. 下面再舉四個稍有難度的例子.例 3 一份稿件，甲單字需 6 小時完成.乙單字需 10 小時完成，現在甲單若干小，因有事由

6、乙接著打完，共用了 7 小打字用了多少小時？解：我們把這份稿件平均分成 30 份（30 是 6 和 10 的最小公倍數），甲每小時打甲每小時打 306=5（份），乙每小時打 3010=3（份）.現在把甲打字的時間看成“兔”頭數，乙打字的時間看成“雞”頭數，總頭數是7.“兔”的腳數是 5，“雞”的腳數是 3，總腳數是 30，就把問題轉化成“雞兔同籠”問題了.根據前面的公式“兔”數=（30-37）（5-3）=4.5， “雞”數=7-4.5=2.5，也就是甲打字用了 4.5 小時，乙打字用了 2.5 小時.答：甲打字用了 4 小時 30 分.例 4 今年是 1998 年，父母（整數）和是 78 歲，

7、兄弟的和是 17 歲.四的 3 倍.那么年后（2002 年）父的是弟的的 3 倍的 4 倍，母的公元哪一年？是兄的當父的是兄的解：4 年后，兩人和都要加 8.此之和是 17+8=25，父母之和是 78+8=86.我們可以把兄的看作“雞”頭數，弟的看作“兔”頭數.25是“總頭數”.86 是“總腳數”.根據公式，兄的是：（254-86）（4-3）=14（歲）.1998 年，兄14-4=10（歲）.是父是（25-14）4-4=40（歲）.因此，當父的是兄的的 3 倍時，兄的是（40-10）（3-1）=15（歲）. 這是 2003 年.答：公元 2003 年時，父是兄的 3 倍.例 5 蜘蛛有 8 條

8、腿，蜻蜓有 6 條腿和 2 對翅膀，蟬有 6 條腿和 1 對翅膀.現在這三種小蟲共 18 只，有 118 條腿和 20 對翅膀.每種小蟲各幾只？解：因為蜻蜓和蟬6 條腿，所以從腿的數目來考慮，可以把小蟲分成“8 條腿”與“6 條腿”兩種.利用公式就可以算出 8 條腿的蜘蛛數=（118-618）（8-6）=5（只）.因此就知道 6 條腿的小蟲共18-5=13（只）.也就是蜻蜓和蟬共有 13 只，它們共有 20 對翅膀.再利用一次公式蟬數=（132-20）（2-1）=6（只）.因此蜻蜓數是 13-6=7（只）.答：有 5 只蜘蛛，7 只蜻蜓，6 只蟬.例 6 某次數學考試考五道題，全班 52 人參

9、加，共做對 181 道題，已知每人至少做對 1 道題，做對 1 道的有 7 人，5 道樣多，那么做對 4 道的人數有多少人？的有 6 人，做對 2 道和 3 道的人數一解：對 2 道、3 道、4 道題的人共有52-7-6=39（人）.他們共做對181-17-56=144（道）.由于對 2 道和 3 道題的人數一樣多，我們就可以把他們看作是對 2.5 道題的人（2+3）2=2.5）.這樣兔腳數=4，雞腳數=2.5，總腳數=144，總頭數=39.對 4 道題的有（144-2.539）（4-1.5）=31（人）.答：做對 4 道題的有 31 人.習題一1.共有 100 個頭，350 只腳.各多少只？

10、2.學校有象棋、跳棋共 26 副，恰好可供 120 個學生同時進行活動.象棋 2 人下一副棋，跳棋 6 人下一副.象棋和跳棋各有幾副？3.一些 2 分和 5 分的硬幣，共值 2.99 元，其中 2 分硬幣個數是 5 分硬幣個數的4 倍，問 5 分硬幣有多少個？4.領得工資 240 元，有 2 元、5 元、10 元三種，共 50 張，其中 2 元與 5 元的一樣多.那么 2 元、5 元、10有多少張？5. 一件工程，甲單獨做 12 天完成，乙單獨做 18 天完成，現在甲做了若干天后，再由乙接著單獨做完余下的部分，這樣前后共用了 16 天.甲先做了多少天？6. 摩托車賽全程長 281 千米，全程被

11、劃分成若干個階段，每一階段中，有的是由一段上坡路（3 千米）、一段平路（4 千米）、一段下坡路（2 千米）和一段平路（4 千米）組成的；有的是由一段上坡路（3 千米）、一段下坡路（2 千米） 和一段平路（4 千米）組成的.已知摩托車跑完全程后，共跑了 25 段上坡路. 全程中包含這兩種階段各幾段？7. 用 1 元錢買 4 分、8 分、1 角的郵票共 15 張，問最多可以買 1 角的郵票多少張？二、“兩數之差”的問題雞兔同籠中的總頭數是“兩數之和”，如果把條件換成“兩數之差”，又應該怎樣去解呢？例 7 買一些 4 分和 8 分的郵票，共花 6 元 8 角.已知 8 分的郵票比 4 分的郵票多40

12、 張，那么兩種郵票各買了多少張？解一：如果拿出 40 張 8 分的郵票，余下的郵票中 8 分與 4 分的就一樣多.（680-840）（8+4）=30（張），這就知道，余下的郵票中，8 分和 4分的各有 30 張.因此 8 分郵票有 40+30=70（張）.答：買了 8 分的郵票 70 張，4 分的郵票 30 張.也可以用任意假設一個數的辦法.解二：譬如，假設有 20 張 4 分，根據條件“8 分比 4 分多 40 張”，那么應有 60張 8 分.以“分”作為計算，此時郵票總值是 420+860=560.比 680 少，因此還要增加郵票.為了保持“差”是 40，每增加 1 張 4 分，就要增加

13、1 張 8 分，每種要增加的是：（680-420-860）（4+8）=10（張）.因此 4 分有 20+10=30（張），8 分有 60+10=70（張）.例 8 一項工程，如果全是晴天，15 天可以完成.倘若下雨，雨天一天工程要多少天才能完成？解：類似于例 3，我們設工程的全部工作量是 150 份，晴天每天完成 10 份，雨天每天完成 8 份.用上一例題解一的（150-83）（10+8）= 7（天）.，晴天有雨天是 7+3=10 天，總共 7+10=17（天）.答：這項工程 17 天完成.請注意，如果把“雨天比晴天多 3 天”去掉，而換成已知工程是 17 天完成，由此又回到的問題.差是 3，

14、與和是 17，知道其一，就能推算出另一個.這說明了例 7、例 8 與基本問題之間的.總腳數是“兩數之和”，如果把條件換成“兩數之差”，又應該怎樣去解呢？例 9 雞與兔共 100 只，雞的腳數比兔的腳28.問雞與兔各幾只？解一：假如再補上 28 只雞腳，也就是再有雞 282=14（只），雞與兔腳數就相等，兔的腳是雞的腳 42=2（倍），的只數是兔的只數的 2 倍.兔的只數是：（100+282）（2+1）=38（只）.雞是：100-38=62（只）.答：雞 62 只，兔 38 只.當然也可以去掉兔 284=7（只）.兔的只數是（100-284）（2+1）+7=38（只）.也可以用任意假設一個數的辦

15、法.解二：假設有 50 只雞，就有兔 100-50=50（只）.此時腳數之差是： 450-250=100，比 28 多了 72.就說明假設的兔數多了（雞了）.為了保持總數是 100，一只兔換成一只雞，少了 4 只兔腳，多了 2 只雞腳，相差為 6 只（千萬注意，不是 2）.因此要減少的兔數是：（100-28）（4+2）=12（只）. 兔只數是：50-12=38（只）.另外，還下面這樣的問題：總頭數換成“兩數之差”，總腳數也換成“兩數之差”.例 10 古詩中，五言絕句是四句詩，每句都是五個字；七言絕句是四句詩，每句都是七個字.選集，其中五言絕句比七言絕句多 13 首，總字數卻反而少了20 個字.

16、問兩種詩各多少首.解一：如果去掉 13 首五言絕句，兩種詩首數就相等，此時字數相差1354+20=280（字）.每首字數相差：74-54=8（字）.因此，七言絕句有：28（28-20）=35（首）. 五言絕句有：35+13=48（首）.答：五言絕句 48 首，七言絕句 35 首.解二：假設五言絕句是 23 首，那么根據相差 13 首，七言絕句是 10 首.字數分別是 2023=460（字），2810=280（字），五言絕句的字數，反而多了： 460-280=180（字）.與題目中“少 20 字”相差：180+20=200（字）.說明假設詩的首了.為了保持相差 13 首，增加一首五言絕句，也要增

17、一首七言絕句，而字數相差增加 8.因此五言絕句的首數要比假設增加2008=25（首）.五言絕句有23+25=48（首）.七言絕句有10+25=35（首）.在寫出“雞兔同籠”公式的時候，我們假設都是兔，或者，對于例 7、例9 和例 10 三個問題，當然也可以這樣假設.現在來具體做一下，把列出的計算式子與“雞兔同籠”公式對照一下，就會發現非常有趣的事.例 7，假設都是 8 分郵票，4 分郵票是（680-840）（8+4）=30（張）.例 9，假設都是兔，雞的只數是（1004-28）（4+2）=62（只）.例 10，假設都是五言絕句，七言絕句的首數是（2013+20）（28-20）=35（首）.首先

18、，請讀者先弄明白上面三個算式的由來，然后與“雞兔同籠”公式比較，這三個算式只是有一處“-”成了“+”.其奧妙何在呢？當你進入初中，有了負數的概念，并會列二元一次方程組，就會明白，從數學上說，這一講前兩節列舉的所有例子都是同一件事.例 11有一輛貨車2000 只瓶，運費按到達時完瓶子數目計算，每只 2 角，破損，破損瓶子不給運費，還要每只賠償 1 元.結果得到運費 379.6 元，問這次搬運中瓶破損了幾只？解：如果沒有破損，運費應是 400 元.但破損一只要減少 1+0.2=1.2（元）.因此破損只數是（400-379.6）（1+0.2）=17（只）.答：這次搬運中破損了 17 只瓶.請你想，這

19、是“雞兔同籠”同一類型的問題嗎？例 12 有兩次自然測驗，第一次 24 道題，答對 1 題得 5 分，答錯（包含不答）1題倒扣 1 分；第二次 15 道題，答對 1 題 8 分，答錯或不答 1 題倒扣 2 分，小明兩次測驗共答對 30 道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多 10 分，問小明兩次測驗各得多少分？解一：如果小明第一次測驗 24 題，得 524=120（分）.那么第二次只做對30-24=6（題）得分是：86-2（15-6）=30（分）. 兩次相差：120-30=90（分）.比題目中條件相差 10 分，多了 80 分.說明假設的第一次答對題數多了，要減少.第一次答對減少一題，5+1

20、=6（分），而第二次答對增加一題不但不倒扣 2 分，還可得 8 分，因此增加 8+2=10 分.兩者兩差數就可減少6+10=16（分）.（90-10）（6+10）=5（題）.因此，第一次答對題數要比假設（19 題，第二次答對：30-19=11（題）.）減少 5 題，也就是第一次答對第一次得分：519-1（24- 9）=90.第二次得分：811-2（15-11）=80. 答：第一次得 90 分，第二次得 80 分.解二：答對 30 題，也就是兩次共答錯24+15-30=9（題）.第一次答錯一題，要從滿分中扣去 5+1=6（分），第二次答錯一題，要從滿分中扣去 8+2=10（分）.答錯題互換一下，

21、兩次得分要相差 6+10=16（分）.如果答錯 9 題都是第一次，要從滿分中扣去 69.但兩次滿分都是 120 分. 比題目中條件“第一次得分多 10 分”，要少了 69+10.因此，第二次答錯題數是：（69+10）（6+10）=4（題）第一次答錯第一次得分第二次得分9-4=5（題）.5（24-5）-15=90（分）.8（15-4）-24=80（分）.習題二1.買語文書 30 本， 元.每本語文書和24 本共花 83.4 元.每本語文書比每本的價格各是多少？貴 0.442.甲茶葉每千克 132 元，乙茶葉每千克 96 元，共買這兩種茶葉 12 千克.甲茶葉所花的茶葉所花錢少 354 元.問每種

22、茶葉各買多少千克？3. 一輛卡車運礦石，晴天每天可運 16 次，雨天每天只能運 11 次.一連運了若干天，有晴天，也有雨天.其中雨天比晴天多 3 天，但運的次數卻比晴天運的次27 次.問一連運了多少天？4. 某次數學測驗共 20 道題，做對一題得 5 分，做錯一題倒扣 1 分，不做得 0 分.得了 76 分.問做對了幾道題？5.甲、射擊，若命中，甲得 4 分，5 分；若不中，甲失 2 分，3分.每人各射 10 發，共命中 14 發.結算分數幾發？比10 分.問甲、6.甲、地相距 12 千米.小張從甲地到乙地，在停留后，又從乙地返回甲地，小乙地到甲地，在甲地停留 40 分鐘后，又從甲地返回乙地.

23、已知兩人同時分別從甲、地出發，經過 4 小，他們在返回的途中相遇.如果小張速度比小王速度每小時多走 1.5 千米，求兩人的速度.巧算和與差一天，小明對一些小朋友說：“請你們隨意說出 2 個數來，我會一下子算出它們的和減去它們的差的結果來！”“真的嗎？”驚奇地問。“那當然，請出題吧！”小明自信地說。于是，寫出了兩道題：（348256）（348256）（75643125）（75643125）剛寫完第 2 題，小明就立刻說出兩題的得數分別是 512、6250。得的結果跟小明的一樣。起算，小蘭想弄明白小明計算的奧秘，又說出下面 4 組數：47 和 23，400 和 278，120與 80，16840

24、與 3020。結果小明總是很快就說出了這時，小明問小蘭：“你找出規律了嗎？”。“還沒找到。不過，我覺得關鍵在兩數中的較上。”小蘭回答。“對！你再研究一下得數跟較的就會明白！”興奮地說。“我知道了，得數是較的 2 倍！”小明給大家解釋：當我們從兩個數的和中減去這兩個數的差時，就是從兩個數的和中減去了較大數比較多的一部分，得到的結果是兩個較的和，也就是較的 2 倍。”三只船運貨西方傳入我國學校里的第一本算術教科書是本書中有這樣一道題：人編的筆算數學，這甲三艘船共運貨 9400 箱，甲船比運 300 箱，丙船比0 箱。求三艘船各運多少箱貨？這道題如果思路不對的話，就很難抓住解題的關鍵。事實上，它代表

25、著一類廣泛的問題，其共同特點就是有兩個或兩個以上的未知量。思考時先假設幾個未知量相等，或要求的一未知量是題里的某一已知量；然后按照題里的已知條件推算。所得結果常與題里對應的已知量不符，再加以調整，即可得到正確的。因此，這道題就可以這樣來思考：根據已知甲船比運30O 箱，假設甲船同運的一樣多，那么甲船就要比原來少運 300 箱，結果三船運的總箱數就要減少 300 箱，變成（9400300）箱。又根據丙船比0 箱，假設丙船也同運的一樣多，那么丙船就要比原來多箱。0 箱，結果三船總箱數就要增加 200 箱，變成（9400300200）經過這樣調整，三船運的總箱數為（9400300200）。根據假設可

26、知，這所運箱數的 3 倍，從而可求出動船運的箱數。正好是運的箱，甲、丙兩船運的箱數馬上就可得到。微軟招聘員工試題1. 有 7 克、2 克砝碼各一個，天平一架，如何只用這些物品三次將 140 克的鹽分成 50 克、90 克各一份？砝碼稱重是常見的數學問題。要使稱的次數最少需要講究考按下述步驟操作：（1） 把 2 克重的砝 放在天平左端，分鹽技巧。經過思兩端直到平衡，此時，左端有鹽 69 克，右端有鹽 71 克。（2） 取下天平左端的 2 克砝碼換上 7 克重的砝碼， 端重（69+7）76 克，右端仍重 71 克，從左端取出 5 克鹽后， 天平兩端平衡，這時左端 余 64 克鹽。 在取下天平兩端物

27、品。（3） 用剛才稱出的 5 克鹽當作砝碼，與 2 克、7 克砝碼14 克砝碼。從 64 克鹽 取出 14 克，恰好剩下 50 克鹽。則其余鹽的重量就是 90 克。2. 有兩個房間，其中一間房里有三盞燈，另一間房里有這三盞燈的開；三盞燈與三個關。這兩間房是相對開關也沒有順序上的必然、相對封閉的，沒有空 上的直接。現在只的你分別進入這兩個房間一次，然后判斷三盞燈分別是由哪個開關對于這個問題，我們慮的可能是燈與線之間怎樣連結及如何開關等，這樣就步入了解題的歧途。利用燈亮的發熱特性操作如下：（1） 先走進有開關的房間，將三個開關編號為 A、B、C。（2） 將開關 A 打開數分鐘后關閉，再打開 B。（

28、3） 立即進入有燈的房間，此時亮著的燈則由開關 B。用手摸另外兩盞燈：發熱的由開關 A，不熱的由開關 C。3. U2 合唱團趕往演唱會場，途中必需經過一座橋，天色很暗，而他們只有一只手電筒。一次 時最多 以有兩人一起過橋，而過橋的時候必須持有手電筒，所以就得有人把手電筒帶來帶去，來回的兩端。手電筒是不能用丟的方式來傳遞的。四個人的步行速度各不同，若兩人則以較慢者的速度為準。Bono需花 1 分鐘過橋，Edge 需花 2 分鐘過橋，Adam 需花 5 分鐘過橋，Larry 需花 10分鐘過橋，他們如何在 17過橋？此題屬于策略優化問題。從題中我們知道，兩人的過橋時間應該盡量接近，且來回傳遞電筒者

29、應盡量選用速度快的人。根據以上分析，作如下安排：（1）Bono 和 Edge 兩人先行過橋后，Bono 帶手電 回，共用時 3 分鐘。 2） Adam 和Larry 兩人同時過橋，Edge 帶手電返回。共用時 12 分鐘。（3） Bono 和 Edge 兩人再次過橋，用時 2 分鐘。至此，四人全部過橋，一共用時 3+12+2=17（分鐘）。4. 有一列火車以每小時 140 千米的速度離開洛杉磯直奔紐約，同時，另一列火車以每小時 160 千米的速度從紐約開往洛杉磯。如果有一只鳥以每小時 30 千米的速度和兩列 車同時啟動，從洛杉磯出發，碰到另一列車后返回，往返在兩列火車間，直到兩列火車相遇為止。

30、已知洛杉磯到紐約的鐵請問，這只小鳥飛行了多遠路程？4500 千米，小鳥在兩列火車之間往返飛行，思維也很容易隨著跑起來。如果我們試圖算出那些越來越短的路程，問題就會十分復雜。其實大可不必，因為這只直在兩列火車間一刻不停地飛，所以，火車的相遇時間就是小鳥的飛行時間。這樣，小鳥的飛行路程為：304500（140+160）=450（千米）。5. 對一批編號為 1-100，全部開關朝上（開）的燈進行以下操作：凡是 1 的倍數反方向撥一次開關；2 的倍數 方向又撥一次開關；3 的倍數反方向又撥一次開關問：最后為關熄狀態的燈的編 是哪些？若實際操作求解會相當繁瑣。我們知道，就某個亮著的燈而言，如果撥其開關的

31、次數是奇數次，那么，結果它一定是關著的。根據題意可知，號碼為 N 的燈， 撥開關的次數等于 N 的約數的個數，約數個數是奇數，則 N 一定是平方數。因為10=100，可知 100 以內共有 10 個平方數，即，最后關熄狀態的燈共有 10 盞，編號為 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。6. 一個大院子里住了 50 戶人家，每家都養了一條狗。有一天他們接到通知說院子里有狗生病了，并要求 所有主人在知道自家狗生病的當天應立即把殺掉。所有主人和他們的狗都不得離開自家的房子，主人與主人之間也進行任何，他們能看到其他 49 條狗，且能準確是否生病，但看不到自家的狗。院中第一天、第二天

32、都沒有槍聲，第三天傳出了一陣槍聲，問有多少條病狗被槍殺。這是一道邏輯推理趣題。分析如下：（1） 如果 50 條狗中只有 1 條病狗。比如說張家的狗有病，那么，張看到的另 49 條狗 是正常的，從而自家的狗一定病了，把自家的殺掉，但第 1 天沒有槍聲，說明病狗多于 1 條。（2如李果 50 條狗中只有 2 條病狗，比如說以外，其余的人都看到了 2 條病狗，而狗，已經知道病狗數量多于 1，所以李家的狗是病狗，那么，除了李只能看到 1 條病狗和 48 條正常的李可以出自家的狗一定是病狗，按照規定應該槍殺，但第 2 天沒有槍聲，說明病狗又多于 2 條。（3） 如果有 4 條或 4 條以上病狗，那么每個

33、病狗的主人至少看到了 3 條病狗，由于病狗數量是不是 3 條無法確定，故每個人也就不能自家的狗是否有病，第 3 天也就有槍聲，這與已知綜上可以判定，病狗的數量是 3 條“和倍問題”怎樣思考？【典型問題】1. 四年級有 4 個班，不算余三個班的總人數是 134 人；人，問這四個班共有多少人？其余三個班的總人數是 131 人；不算其1兩班的總人數比兩班的總人解答：用 131+134=265，這是 1 個和 2 個的總和，因為兩班的總人數比兩班的總人1 人，所以用 265-1=264 就剛好是 3 個乙、丙的和，2643=88，就是說班的和是 88+89=177 人.的和是 88，那么和是 88+1

34、=89，所以四個2. 有四個數，其中每三個數的和分別是 45，46，49，52，那么這四個數中最小的一個數是多少？解答：大家想想，我如果把 4 個數全加起來是什么？實際上是每個數都加了3 遍！定要記住這種思想！（45+46+49+52）3=64 就是這四個數的和，題目要求最小的數，我就用 64 減去 52（某三個數和最大的）就是最小的數，等于 12.3. 在一個兩位數之間一個數字，就變成一個三位數。例如：在 72 中間數字 6，就變成了 762。有些兩位數中間兩位數的 9 倍，求出所有這樣的兩位數。數字后所得到的三位數是原來解答：對于這個題來說，首先要個位是多少，這個數的個位乘以 9 以后的個

35、位還等于原來的個位，說明個位只能是 0 或 5！先看 0，很快發現不行，因為 209=180，309=270，409=360 等等，不管是幾十乘以 9，結果百位總比十位小，所以各位只能是 5。略作計算，不難發現：15，25，35，45 是滿足要求的數你會解答下面的題目嗎？1. 某班買來單價為 0.5 元的練習本若干，如果將這些練習本只給女生，平均每人可得 15 本；如果將這些練習本只給男生，平均每人可得 10 本。那么，將這些練習本平均分給全班同學，每人應付多少錢?2. 動物園的飼養員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12 粒；如只分給第二群，則每只猴子可得 15 粒；如只分給第

36、三群，則每只猴子可得 20 粒，那么平均分給三群猴子，每只可得多少粒？“還原問題”怎樣思考？【典型問題】1. 某數加上 6，乘以 6，減去 6，除以 6，其結果等于 6，則這個數是多少？解答：（66+6）6-6=1，這個數是 1.2.有磚 26 塊，兄弟二人爭著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了。哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半。弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半。哥哥不服，弟弟只好給哥哥 5 塊，這時哥哥比弟弟多挑 2 塊。問最初弟弟準備挑多少塊？解答：先算出最后各挑幾塊：（和差問題）哥哥是（26+2）2=14，弟弟是26-14=12，然后來還原：1. 哥哥還給弟弟 5 塊：哥哥是 14-5

37、=9，弟弟是 12+5=17；2. 弟弟把搶走的一半還給哥哥：搶走了一半，那么剩下的就是另一半，所以哥哥就應該是 9+9=18，弟弟是 17-9=8；3. 哥哥把搶走的一半還給弟弟：那么弟弟原來就是 8+8=16 塊.3. 甲、三人各不相同，甲最多，他拿出一些錢給，使乙和丙的都比原來增加了兩倍，結果乙的錢最多；接著乙拿出一些錢給甲和丙，使甲和丙的都比原來增加了兩倍，結果丙的錢最多；最后丙拿出一些錢給甲和乙，使甲和乙的都比原來增加了兩倍，結果三人一樣多了。如果他們三人共有 81 元，那么三人原來的錢分別是多少元？解答：三人最后一樣多，所以都是 813=27 元，然后我們開始還原：1. 甲和乙把錢

38、還給丙：每人增加 2 倍，就應該是原來的 3 倍，所以甲和是 273=9， 丙是 81-9-9=63；2. 甲和丙把錢還給乙：甲 93=3，丙 633=21，乙 81-3-21=57；3. 最后是把錢還給甲：乙 573=19，丙 213=7，甲 81-19-7=55 元.你會解答下面的題目嗎？1. 甲、加了一倍；接著來一些，也使51 粒糖豆，那么三人各有糖豆若干粒，甲從取來一些，使的糖豆增處取來一些，使的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取的糖豆增加了一倍。現在三人的糖豆一樣多。如果開始開始有多少粒糖豆？有2. 有一筐，把它們三等分后還剩 2 個；取出其中兩份，將它們三等分后還剩兩個；然后再取出其中

39、兩份，又將這兩份三等分后還剩 2 個。問：這筐至少有幾個？巧用工程法解題有一輛自行車，前輪和后輪都是新的，并且可以互換，輪胎在前輪位置可以行駛5000 千米，在后輪位置可以行駛 3000 千米，問使用兩個新輪胎，這輛自行車最多可以行多遠？如果我們考慮在中途某個時刻將車輪調換，則非常麻煩。如果將這個問題轉化成工程問題：把一個車輪的使用看作“1”，則每行 1 千米，前輪被使用了 1/5000 ， 后輪被使用了 1/3000 ， 這樣用兩個(1/5000+1/3000)=3750(千米)，很容易就求出使用這兩個的2 最多可以行 3750千米，就不用考慮何時調換這個惱人的問題。時間問題轉化為行程問題，

40、某同學離家外出時看了看鐘，2 個多小回到家又看了看鐘，發現時針和分針恰好互換位置。請計算，該同學離家外出多少小時？這看上去是個時間問題，但如果我們僅僅局限于鐘面上的時間問題去思考， 很難找到解題思路。可以將這個問題轉化成行程問題，這樣想：在這兩個多小時中，分鐘轉兩圈多(紅線表示)，時針走了兩個多大格(綠線表示)，兩針交換了位置，如下圖，兩針這段時間里正好走了三圈，相當于這段時間內時針和分針合走了三圈，這樣就將鐘面的時間問題轉化成了行程中的相遇問題。用總路程 3(3 圈)除以速度和(1+1/12)【想：分針 1 小時走 1 圈，時間 1 小時走 1 大格，即 1/12】，列式為 3(1+1/12

41、)=2 又 13 分之 10(小時)。一筆糊涂帳一個男子到一家手杖店去買了一根 30 元的手杖，付出一張 50 元的鈔票。店主找不出零錢，就到隔壁小店去競零票。零票兌來，付給顧客 20 元的找頭，顧客就離去了。隔了一會，隔壁店主慌張地過來說，那張 50 元的鈔票是偽鈔，手杖店的店主不得不賠了 50 元。事后，店主覺得很傷心。他算了一下找給顧客 20 元，又賠給隔壁的店主 50 元，一共損失了 70 元。但又，顧客只占了 50 元的便宜，隔壁店主沒有損失，也沒有占便宜。這相差的 20 元咋回事呢？其實，當手杖店主與隔壁小店沒有發生往來。手杖店主與顧客的往來是，顧客給小店 50 元偽鈔，而小店給顧

42、客一根手杖（30 元）和 20 元找頭，計 50 元。所以，手杖店主損失 50 元，而不是 70 元。巧用假設法同學們，我們在學習過分數乘、除法和倒數的知識后，會遇到這樣的問題：甲的2/5 和乙的 3/4 相等與乙的比是什么？這樣的問題不少同學覺得很難下手，實際上只要用假設法，首先列出等式：甲2/5=乙3/4，然后假設等式的結果都是 1，利用倒數的知識，可知甲是 5/2， 8。4/3，則可求出甲與乙的比是 15又如，“有兩根同樣長的繩子(長于 1 米)，第一根剪去 1/2 米，第二根剪去1/2，剩下的相比較，哪一根長？”這樣的問題用假設法解決起來也很容易，設這兩根分別長 10 米，第一根還剩

43、9.5 米，第二根還剩 5 米，很容第一根剩下的長。同學們，你還能假設其他數來解決這個問題嗎？如果兩根繩子的長度都等于1都小于1 米，結果又會如何呢？請你們用假設法來解決這兩個問題。換個角度、整體思考題目：一次考試共有五道試題，做對第（原題沒有“第”字）1、2、3、4、5 題的分別占考試人數的 84%、88%、72%、80%、56%，如果做對三道或三道以上為及格，那么這次考試的及格率至少是多少？解法：假設這次考試有 100 人參加，那么五題分別做對的人數為 84、88、72、80、56 人。全班共做對 84+88+72+80+56=380（題）。要求及格率最少，也就是讓不及格人盡量的多，即僅做

44、對兩題的人盡量的多；要讓及格的人盡量的少， 也就是說共做對 5 題和共做對 4 題的人要盡量的多。我們可以先假設所有人都只做對兩題，那么共做對 1002=200（題）。由于共做對 5 題的最多有 56 人，他們一共多做了 563=168（題），這時還剩下 380（200+168）=12（題）。因為做對 4 題的人要盡量的多，所以每 2 題分給一個人，可以分給 122=6（人），即最多 6 個人做對 4 題。加上做對 5 題的 56 人，那么及格的人最少有 56+6=62（人），也就是及格率至少為 62%。騎驢找驢一次師生座談會，看學生，人數一樣多，學生看，的人數是學生的3 倍，問分析：和學生各

45、有多少人？（一）設:= X ,學生=Y;看學生，人數一樣多(在看的不在內)即可以列為方程:X1=Y；學生看方程:，的人數是學生的 3 倍（在看的學生不在內）即可列為3（Y1）X；所以: 分析：Y2，X3（3 個二），當其中一位看學生的時候，把忽略了，2 個學生。2 個老師一樣多；2 學生中的一個看的時候也是把給忽略了，所以就剩一個學生了，還是 3 個。“湊比法”解題例談在小學數學競賽中，常常遇到這樣一類題目：已知兩個量的和（差），以及它們的某種，而這種又無法轉化成其中一個量是另一個量的幾分之幾（統一“1”），也無法求出這兩個量的比。因此，常規解法極為繁雜。若將其中的一個量增加（減少）一個特定數

46、量后，則常很容易“湊”出它們的比，從而使問題化繁為簡，化難為易。生1999 年第十五屆迎春杯決賽題）還多 10 個”得：從而知，師傅零件個數是 3 份，（徒弟零件個數+40 個）是 4 份，也就是（師徒二人共零件個數+40 個）（3+4=）7 份，即（170+40）弟零件個數為（170-90=）80（個）。11 人參加數學競賽。這個、女生各多少人？從而知，男生人數是 3 份，（44 人-女生）是 2 份，也就是（男生-女生+44人 ）（ 3+2= ） 5 份。又因“男生比女生多 6 人 ”， 故（ 6+44 ）人是 5例 3 甲桶油比乙桶油多 3.6 千克， 如果從兩桶中各取出 1 千克后，

47、甲（1999 年小奧預賽 B 卷）從而知，（甲桶油-1 千克）是 3 份，（乙桶油-1 千克）是 2 份，即（甲桶油-1 千克）比（乙桶油-1 千克）多（3-2）份，也就是甲桶油比乙桶油多（3-2） 份，而甲桶油比乙桶油多 3.6 千克，因此，每份重為 3.6（3-2）=3.6（千克），（甲桶油-1 千克）為 3.63=10.8（千克），甲桶原有油 10.8+1=11.8（千克）。例 4 大小球共 100 個，取出大球的 75，取出小球的 50，則大小球共剩 30 個。問原有大小球各多少個？（見貴刊 1998 年第 1、2 期第 22 頁注意求異思維訓練中的例 1，這里用“湊比法”解較容易）分

48、析與解 依題意“取出大球的 75，取出小球的 50，則大小球共剩 30 個” 得：大球個數（1-75）+小球個數（1-50）=30 大球個數25=30-小球個數50大球個數25=（60-小球個數）50即，大球個數（60-小球個數）=5025=21從而知，大球個數是 2 份，（60-小球個數）是 1 份，大球個數比（60-小球個數）多（2-1）份，即大球個數-（60-小球個數）為（2-1）份，也就是（大球個數+小球個數-60）為（2-1）份，又知大小球共 100 個，故（100-60）個為（2-1）份，又知大小球共 100 個，故（100-60）個為（2-1）份，即 40 個是 1份。因此，大球

49、個數有（402=）80（個），小球個數有（100-80=）20（個）。巧分數字和題目 將 1 至 9 九個數字寫在一條紙帶上，如下圖：將它剪成三段，每段上數字聯在一起算一個數，把這三個數相加，使和能被段的數是。77 整除，那么這是 1997 年小學數學決賽中的一道整除的問題。將紙帶剪成三段，要剪兩刀，共有 28 種不同的剪法，逐一去試，分別計算出結果，再去試除，這樣做太繁瑣，不可取。可以結合整除的有關知識，從這九個數字的數字和去考慮。分析與解答 由于 77=711，（7、11）=1，所以能被 77 整除的數，必能分別被 7 和 11 整除。先考慮能被 11 整除。一個數若能被 11 整除，其奇

50、位數字之和與偶位數字之和的差必能被 11 整除。對于這一性質，可以得到這樣的推論：如果幾個加數的和能被 11 整除，那么這幾個加數所有奇位數字之和與偶位數字之和的差必能被11 整除。對于這條紙帶上的九個數字，不管怎樣剪，奇位數字和總大于偶位數字和。由于 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，45=39+6=28+17，39-6=113，28-17=11，所以奇數、偶數的所有數字和分別是 39 和 6 或 28 和 17。（一）當奇位數字之和是 39，偶位數字之和是 6 時，因為 6=1+2+3=5+1=4+2，只剪兩刀，使另外的 6 個或 7 個數字位上，這顯然是辦不到的。（二）當奇位數字

51、之和是 28，偶位數字之和是 17 時，因為? （?）?（?）（?）（?）（?）（?）（?）（1） 如果 9、8、7、3、1 在奇位上，無法使相鄰的三個數字 4、5、6 都在偶位上。（2） 如果 9、8、6、3、2 在奇位上，無法使相鄰的兩個數字 4、5 都在偶位上。（3） 如果 9、8、6、4、1 在奇位上，無法使相鄰的兩個（4） 如果 9、8、5、4、2 在奇位上，無法使相鄰的兩個數字 6、7 都在偶位上。（5） 如果 9、7、6、5、1 在奇位上，無法使相鄰的三個數字 2、3、4 都在偶位上。（6）如果 9、7、6、4、2 在奇位上，相鄰的兩個數字 6、7此必在 6、7 之間剪一刀，另一

52、刀的剪法有三種：位上，因第一種剪法得到的三個數的和：12+789=4257，42577=6081第二種剪法得到的三個數的和：1234+56+789=2079，20797=297，由此可知，剪后段的數是 56。第三種剪法得到的三個數的和：123456+7+89=123552，1235527=176502。（7）如果 9、7、5、4、3 在奇位上，無法使相鄰的兩個數字 1、2 都在偶位上。讓靜止的圖形動起來以靜變動，讓靜止的圖形動起來，這是一種動態的思想，這種思想在求解幾何圖形面積一、旋轉的思想常常用到的。現舉例如下：將所給圖形中的某一部分繞一個固定點旋轉一定（或適當）的角度，變為較明顯的簡單而又

53、直觀的圖形。例 1 如圖 1 中的兩個三角形都是正三角形，大三角形的面積是積的多少倍？角形面分析與解 觀察圖 1 可見，只需將角形繞圓心旋轉 60，得到如圖 2 所示的圖形。角形將大三角形分別割成面積相等的四塊。因此大三角形的面積是角形面積的 4 倍。例 2 求圖 3 中陰影部分的面積。（取 3）（：厘米）分析與解 觀察圖 3 發現，只要將圖中右邊的陰影部分繞圓心逆時針方向旋轉 90就得到圖 4 所示的形狀。所求的陰影部分的面積就是大扇形的面積與空白部分（三角形）面積的差。即二、移動的思想1.點的移動：將圖中的某一點看作一個“動點”沿直線移動，使原來分著的空白部分合并在一起變成一個簡單明了的圖

54、形。例 3 如圖 5，已知長方形的長是 8 厘米，寬是 4 厘米，圖中陰影部分面積是10 平方厘米，求 OD 長多少厘米？分析與解 觀察圖 5，把圖中的陰影部分看作兩個三角形（即ABO 和CBO），將這兩個三角形中的 A 點和 C 點分別看作“動點”平移到如圖 6 所示的 A點和C點（等底等高，面積相等），等積變形為一個簡單的三角形 ACO。因為陰影部分面積是 10 平方厘米，AC的長為 4 厘米，所以 OB 的長度為（1024=）5（厘米），因此 OD 的長度是（8-5=）3（厘米）。2.面的移動：將所給圖形中的某個圖形沿直線上下左右移動，把復雜的圖形轉化成簡單的圖形，使原來面積不等變。例 4 有紅、黃、綠三塊大小一樣的正方形紙片，放在一個正方形盒內，它們之間互相疊合（如圖 7），已知露在外面的部分中，紅色面積是 20，黃色