1、第十七章第十七章彎曲應力及強度剛度計算彎曲應力及強度剛度計算第一節第一節 梁彎曲時的正應力梁彎曲時的正應力# 純彎曲與剪切彎曲純彎曲與剪切彎曲# 中性層和中性軸中性層和中性軸# 彎曲正應力分布規律彎曲正應力分布規律# 彎曲正應力的計算、抗彎截面模量彎曲正應力的計算、抗彎截面模量各橫截面上同時有彎矩各橫截面上同時有彎矩M和剪力和剪力Q，稱為，稱為。各橫截面只有彎矩各橫截面只有彎矩M，而無剪力，而無剪力Q，稱為，稱為。 純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞純彎曲梁變形后各橫截面仍保持為一平面，仍然垂直于軸線，只是繞轉過一個角度，稱為彎轉過一個角度，稱為彎曲問題的平面假設。曲

2、問題的平面假設。中中性性層層中中性性軸軸# 中性層和中性軸中性層和中性軸xyz 中性層中性層 梁彎曲變形時，既不伸長又不縮短梁彎曲變形時，既不伸長又不縮短的縱向纖維層稱為中性層。的縱向纖維層稱為中性層。 對矩形截面梁來講，就是位于上下中間這一層。對矩形截面梁來講，就是位于上下中間這一層。 中性軸中性軸梁彎曲時，實際上各個截面繞著中性軸轉動。梁彎曲時，實際上各個截面繞著中性軸轉動。如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長、上部將縮短如果外力偶矩如圖作用在梁上，該梁下部將伸長、上部將縮短彎曲正應力分布規律彎曲正應力分布規律M 與中性軸距離相等的點，正應力相等；與中性軸距離相等的點，正應力相等；M

3、yEE 2、靜力學關系分析、靜力學關系分析0AdA0AAydAEydAE0AydA000 cczcAyAAySAyydA沒有軸向力沒有軸向力yEE 中性軸必然通過橫截面的形心中性軸必然通過橫截面的形心質心坐標質心坐標靜矩，面積矩靜矩，面積矩MdAyAMdAyEdA)yE(yAA2zzAzEIMMEIdAyI12或或令令yEE 抗彎剛度抗彎剛度zIMyzIMy橫截面上橫截面上某點正應力某點正應力該點到中性軸該點到中性軸距離距離該截面彎矩該截面彎矩該截面慣性矩該截面慣性矩 mNqlMmax3000216000222 一受均布載荷的懸臂梁，其長一受均布載荷的懸臂梁，其長l=1m，均布載荷集度，均布載

4、荷集度q=6kN/m；梁由；梁由10號槽鋼制成，由型鋼表查號槽鋼制成，由型鋼表查得橫截面的慣性矩得橫截面的慣性矩Iz=25.6cm4。試求此梁的最大拉應力和最大壓應力。試求此梁的最大拉應力和最大壓應力。（1）作彎矩圖，）作彎矩圖， 求最大彎矩求最大彎矩 因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣因危險截面上的彎矩為負，故截面上緣受最大拉應力，其值為受最大拉應力，其值為在截面的下端受最大壓應力，其值為在截面的下端受最大壓應力，其值為MPa385Pa103850328. 0106 .253000682maxmax yIMzC （2）求最大應力）求最大應力MPa178Pa101780152. 0106 .2

5、53000681maxmax yIMzT 第二節第二節 慣性矩的計算慣性矩的計算1、簡單截面的慣性矩、簡單截面的慣性矩12332232222bhybbdyydAyIhhAzhh 123bhIz 123hbIy矩形截面矩形截面100200200100zzyyP(a)(b)483310128200100121121: )(mmbhIaZ483310122100200121121: )(mmbhIbZzIMy圓形與圓環截面圓形與圓環截面3242DdAIAp yzPyAzAAAPIIIIIdAzdAydA)zy(dAI2222222實心圓實心圓6424dIIIPyz空心圓空心圓44642dDIIIPy

6、z441642DIIIPyzDdzIIzAAzIIdAydAyI1222平行移軸公式平行移軸公式 AAAAzAzdAaydAadAydAayIdAyI222212)(11AbIIAaIIyyzz2211 AAcczydAyAySydA00且且 求求T字形截面的中性軸字形截面的中性軸 z，并求，并求截面對中性軸的慣性矩截面對中性軸的慣性矩.將截面劃分為將截面劃分為 、兩矩形，取與截面底邊相重合的兩矩形，取與截面底邊相重合的z 軸為參考軸，則兩矩形的面積及其形心至軸為參考軸，則兩矩形的面積及其形心至z 軸的距軸的距離分別為：離分別為：cm122cm1226cm5262cm126222 IIIIII

7、yAyA整個截面的形心整個截面的形心C 在對稱軸在對稱軸 y上的位置則為：上的位置則為：cm31212112512IIIIIIIIIiiCAAyAyAAyAy即中性軸即中性軸 z 與軸與軸 z 的距離為的距離為3cm。（2）求各組合部分對中性軸）求各組合部分對中性軸z的慣性矩的慣性矩 設兩矩形的形心設兩矩形的形心C和和C；其形心軸為；其形心軸為z1和和z2，它們距，它們距z軸的距離分別為：軸的距離分別為：cm2,cm2 IIIIIICCaCCa由平行移軸公式，兩矩形對中性軸由平行移軸公式，兩矩形對中性軸z的慣性矩為：的慣性矩為：4232242321cm521221226cm841221262

8、IIIIIIzzIIIIIzzIAaIIAaII將兩矩形對將兩矩形對z軸的慣性矩相加，得軸的慣性矩相加，得4cm1365284 zIIzIzIII（3）求整個截面對中性軸的慣性矩）求整個截面對中性軸的慣性矩3、彎曲正應力的計算、抗彎截面模量、彎曲正應力的計算、抗彎截面模量 某截面上最大彎曲正應力發生在截某截面上最大彎曲正應力發生在截面的上下邊界上：面的上下邊界上：ZmaxWMWZ 稱為抗彎截面模量，稱為抗彎截面模量，Z 為中性軸為中性軸.矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z實心圓截面實心圓截面Zd32dW3ZmaxZZyIW 例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵

9、梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應力和壓應力。最大拉應力和壓應力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy5288解解1、計算、計算C截面彎矩截面彎矩RARBKNRKNRBA5 .105 . 205 . 2KNmMCMCC截面Xy例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應力和壓應力。最大拉應力和壓應力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析、分析C截面

10、應力分布情況截面應力分布情況MPaIyMZClc8 .28107 .76388105 . 246max下MPaIyMZCyc17107 .76352105 . 246max上例：例：T型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為型截面鑄鐵梁的受力如圖所示，截面對中性軸的慣性矩為IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的截面和全梁的最大拉應力和壓應力。最大拉應力和壓應力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、壓應力。、求全梁的最大拉、壓應力。 MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXyMPaIyMZByBy1 .46107 .76388

11、10446maxmax下MPalB2 .27107 .7635210446max4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzh/2h/2ZZylWMIhMmaxmaxmaxmax22242yhIFZQAFQ5 . 1max第四節第四節 梁的強度計算梁的強度計算# 梁的最大正應力梁的最大正應力# 梁的強度條件梁的強度條件# 舉例舉例一、梁的最大正應力一、梁的最大正應力 梁的危險截面梁的危險截面 即最大正應力所在截面即最大正應力所在截面對于對稱形截面：梁的危險截面在該梁內彎矩最大的截面上對于對稱形截面：梁的危險截面在該梁內彎矩最大的截面上危險截面位于梁中部危險截面位于梁中

12、部危險截面位于梁根部危險截面位于梁根部 梁的最大正應力梁的最大正應力梁的最大正應力發生在危險截面上離中性梁的最大正應力發生在危險截面上離中性軸最遠處軸最遠處ZmaxmaxWM對于非對稱形截面：當梁的彎矩有正負變化時，最大的拉應力可能不等于最大的壓應力，且可能對于非對稱形截面：當梁的彎矩有正負變化時，最大的拉應力可能不等于最大的壓應力，且可能不在同一截面上。不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ5288危險截面：在最大的正彎矩截面和最大危險截面：在最大的正彎矩截面和最大的負彎矩截面。的負彎矩截面。二、梁的正應力強度條件二、

13、梁的正應力強度條件 ZmaxmaxWMMmax梁內最大彎矩梁內最大彎矩WZ危險截面抗彎截面模量危險截面抗彎截面模量材料的許用應力材料的許用應力利用強度條件可以校核強度、設計截面尺寸、確定許可載荷利用強度條件可以校核強度、設計截面尺寸、確定許可載荷例例 圖示圓截面輥軸，中段圖示圓截面輥軸，中段BC受均部載荷作用，試確定輥軸受均部載荷作用，試確定輥軸BC段截面的直徑。已知段截面的直徑。已知q = 1KN/mm，許用，許用應力應力 = 140MPa。q3003001400ABCD危險截面在軸的中部危險截面在軸的中部利用截面法求該截面彎矩利用截面法求該截面彎矩qRAyM3007003000M 0700

14、300R2700700qMAy由對稱性可求得：由對稱性可求得：N700000214001000ql21RAyKNm45527001000100070000M2 ZmaxWM maxZMW 1401000100045532d3mm320d 例：一圓形截面木梁，受力如圖所示=10MPa,試選擇截面直徑d.3KNq=3kN/m1m3m解：解：1、確定危險截面、確定危險截面ABFAFBFQMKNFKNFBA5 . 35 . 8-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危險截面危險截面：A截面截面 Mmax=3kNm例：一圓形截面木梁，受力如圖所示=10MPa,試選擇截面直徑d.3KN

15、q=3kN/m1m3mABFAFB危險截面危險截面：A截面截面 Mmax=3kNm2、據正應力強度條件確定截面直徑。、據正應力強度條件確定截面直徑。 ZmaxmaxWM323dWZ 366max31005. 3101033232mmMdmmd145例：圖示支撐陽臺的懸臂梁為一根例：圖示支撐陽臺的懸臂梁為一根16號工字鋼，其上受均布載荷號工字鋼，其上受均布載荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁長，梁長L=2.5m,工字鋼的許用應力工字鋼的許用應力=100MPa,試求試求q的許可值。的許可值。PqLABZ解：解：1、確定危險截面、確定危險截面PP+qLPL+qL2/2危險截面：固定

16、端危險截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)例：圖示支撐陽臺的懸臂梁為一根例：圖示支撐陽臺的懸臂梁為一根16號工字鋼，其上受均布載荷號工字鋼，其上受均布載荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁長，梁長L=2.5m,工字鋼的許用應力工字鋼的許用應力=100MPa,試求試求q的許可值。的許可值。PqLABZ危險截面：固定端危險截面：固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)2、據強度條件確定、據強度條件確定q ZmaxmaxWM3141cmWZ100101411025 . 25 . 22362qmkNq/3例例 圖示懸臂梁承受均布載荷圖示懸臂梁承受均布載荷q，假設梁

17、截面為，假設梁截面為b h的矩形，的矩形， h = 2b，討論梁立置與倒置兩種情況哪一討論梁立置與倒置兩種情況哪一種更好？種更好？bhhbq根據彎曲強度條件根據彎曲強度條件 ZWM同樣載荷條件下，工作應力越小越好同樣載荷條件下，工作應力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置時：梁立置時：3322Zb326b46b2b6bhW梁倒置時：梁倒置時：3322Zb316b26bb26hbW立置立置比倒置強度倒置強度大一倍。大一倍。注意：注意：Z Z 軸為中性軸軸為中性軸三、梁的彎曲剪應力強度校核三、梁的彎曲剪應力強度校核 通常滿足了正應力強度，剪應力強度也能滿足。但在梁的跨度較小或支座附近有

18、較大的載荷時，通常滿足了正應力強度，剪應力強度也能滿足。但在梁的跨度較小或支座附近有較大的載荷時，因梁的彎矩較小而剪應力相對較大，需要對梁進行剪應力強度校核。因梁的彎矩較小而剪應力相對較大，需要對梁進行剪應力強度校核。 強度條件為：強度條件為： max 例：圖示簡支梁，材料的許用應力例：圖示簡支梁，材料的許用應力=140MPa， =80MPa，試選擇工字鋼的型號。，試選擇工字鋼的型號。60kN2mAB0.2mc解：解：1、確定危險截面、確定危險截面kNFkNFBA6,54FAFB54KN-6KNFQM10.8KNmkNFkNmMQ548 .10max 例：圖示簡支梁，材料的許用應力例：圖示簡支梁，材料的許用應力=140MPa， =80MPa，試選擇工字鋼的型號。，試選擇工字鋼的型號。60kN2mAB0.2mcFAFBkNF