1、generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.i. 用集合的形式寫出卜列隨機試驗的樣本空m與隨機r件4:(1) 拋一枚她ifiw次，觀察出現(xiàn)的面，卞件次出現(xiàn)的而相(2) 圮錄某電話總機一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，節(jié)件4 = 一分鐘內(nèi)呼叫次數(shù)+超過3次(3) 從一批燈泡中隨機抽収一只，測試壽命.iht a = 壽命在2000到2500小時之間。解(1) ft = (+，+)，(+，-)，(-，+)，(-，-)，4 =(+,+),(-,-)(2) 記;f為一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則n = x=|a=0j

2、,2x l ， a=x =kk=ox.(3) 記;c為抽到的燈泡的壽命(單位：小時)，則q = x e (0,+oo). a=xe (2000, 2500).2. 袋中冇10個球，分別編冇v碼1免10,從中任取1球.沒4=収w球的偶數(shù). = 収w球的4碼是奇數(shù)，c = 収?y球的汐碼小于5，問下列運算農(nóng)承什么爭件：(1) 4ub： (2) ab : (3) ac; (4) ac: (5)xc ； (6)buc： (7)a-c.解(1)=必然唞件：(2) ab = 0&不可能事件;(3) j£ = 取得球的0碼是2, 4：(4) 1? = 取得球的弓碼是 1，3, 5, 6,

3、7. 8, 9. 10；(5) ac =取得球的號碼為奇數(shù)，且不小于5=取得球的號碼為5, 7, 9：(6) ffuc = bl r = 収份球的3碼是+小p5的偶數(shù) = 取份球的:碼為6，8，10；(7) a-c = ac=取得球的弓碼是不小于5的偶數(shù)=取得球的弓碼為6, 8, 103.在區(qū)fhj0,2上任収一數(shù)，求k列if件的農(nóng)達式:(l)aufi； (2) ab : (3)ab : (4)4ub 解(1) au叫書!;(3) w 為 acb,所以 4 = 0；4u=4u|.v|o<a<i«jcy < x < 2 = |.v|o <x< y &

4、lt; x < ll'ky <x<24.用事件a,bfc的運烊關(guān)系式表示下列事件：(1) a出現(xiàn)，艮c都4、出現(xiàn)(記為a):(2) a，b都出現(xiàn)，c小出現(xiàn)(記為£2):(3) 所冇三個卞件都出現(xiàn)(記為£3);(4) 三個亨件中至少有一個出現(xiàn)(記為£4):(5) 三個亨件都不出現(xiàn)(記為e5：(6) 不多于一個事件出現(xiàn)(記為e6):(7) 不多于兩個寧件出現(xiàn)(記為£7;(8) 三個#件中至少打叫個出現(xiàn)(記為£s)。解(1)=4；(2)e2 = abc :(3)e3 = afic；(4)e4 = au5uc；(5)e5 =a

5、?c ：e6 = abc u abc u abc u abc(7)e1 = abc = avbuc ； (3) e3 = a8v ac u bc.5. 批產(chǎn)品中有合格品和廢品，從中有放m地抽収三次，每次収一件，件“第/次仙到唆品”，/二1上3, iaitm農(nóng)小卜_列如件：(1) 笫一次、笫二次中至少有一次抽到汝品：(2) 只笫一次抽到坺品：(3) 三次都抽到成品：(4) 至少有一次抽到介格品：(2) 只有w次抽到唆品。解 <1)4,11 久： (2) a2a3 :(4)ua7u47：(5)4. u4t4743 ua2a3.6.接連進行三次射擊，沒人=第/次射擊命屮，/=1，23，b =

6、三次射擊恰好命屮二次， c = <三次射擊至少命中二次h試用a,表示和c。解 b =vaa.a3c=ala2uala3ja2ai習題二解答1. 從一批由45件正品、5件次品組成的產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品,求其中恰有1件次品的槪率。解這是不放回抽取，樣木點總數(shù)=501. id求槪書的節(jié)件為a，則冇利pa的樣木點數(shù)45x44x5x3!9950x49x48x2! _ 3922. -口袋中有5個紅球及2個內(nèi)球，從這袋中任取 球，肴過它的顏色后放|"1袋中，然后, 內(nèi)從這袋屮任取一球，設(shè)每次取球時袋十各個球被取到的"j能件相m。求笫一次、第二次都収到紅球的槪率：第一次収到紅球，弟二次

7、取到白球的槪率：二次取得的球為紅、白各一的概申；第二次収到紅球的槪率。本題是有放m抽取模式，樣本點總數(shù)n = 72. id(l)(2)(3)(4)題求概率的事件分別為(3)(4)解a，b，c，d.(i)有利丁m的樣本點數(shù)ka=5故p(a)(")(iii)49有利t必的樣木點數(shù)=5x2,故 w =苻利tc的樣木點數(shù)i =2x5x2,故p(c)= 49有利于d的忭本點數(shù)kd=7x5.故p(d)=4973.個li袋屮裝有6只球，分別編上卯41至6,隨機地從這個口袋屮取2只球，試求：(1)敁 小號碼是3的槪率；(2) ai大號碼是3的概率。解 本題是無放回模式，樣本點總數(shù)n=6x5.(i)

8、域小號碼為3,只能從編號為3. 4. 5, 6這叫個球中取2只，且有一次抽到3, w而打利 樣本點數(shù)為2x3.所求概率為 6x55(li)最大弓碼為3,只能從1，2, 3號球中取，且有一次取到3，丁是有利忭本點數(shù)為2x2,所求概豐為6x5154. 一個盒子中裝有6只晶體管，其中有2只是不合格品，現(xiàn)在作不放回抽樣，技連取2次. 每次取1只，試求下列事件的槪率:(1) 2只都合格；(2) 1只介格.1只不介格：(3) 至少有1只介格。解 分別記題(1)、(2)、(3)涉及的事件為則4x2x26x5注意到c = avb. &a與s互斥，因而由概率的可加性知p(c) = p(>i)+p(

9、5) =- + = 5. 擲兩顆骰子，求下列事件的概卒：(1) 點數(shù)之和為7: (2)點數(shù)之和不超過5: (3)點數(shù)之和為偶數(shù)。解 分別記題(1)、(2)、的率件為aw，樣本點總數(shù)n=62(i m 含樣本點(2j)，(5,2)，(1，6)，(6，1)，p，4)，(4j).(ii)fi iv樣本點(l，l)，(lt2)，(2，l)，(13)，(3，l)，(l,4)，(4j)，(2>2)，(2,3)，(3t2) (iii ) c 含樣本點 <1，1),(1.3)，(x1)，(l5)，(5，1);(22)，(2,4),(4,2)，(2,6)，(6«2)，0，3). (3,5),

10、(53)；(4,4),(4,6)x6,4)；(5,5)；(6,6), 一共 18 個樣本點，. p(c) = = l3616. 把甲、乙、丙三名學生隨機地分配到5問空置的宿舍中去，假設(shè)每間宿舍最多可住8人， 試求這三名學生住不冋宿舍的概率。解 記求概率的平件為a，忭本點總數(shù)為53，而有利的枰本點數(shù)為5x4x3 ,所以7. 總經(jīng)理的五位秘書中有兩位精通英i;i.今偶遇其中的i位，求下列事件的(1) 'm14: “其中價冇一位粘通英語”:(2) 亊件沒:“其中恰有二位精通英®”:件本點總數(shù)為2x3x3!5x4x3(3) 唞件c: “其中有人精通英語”6311053x3! _ 35

11、x4x3 10(3) 因c = ajb. r4與b互斥，岡而339p(c) = p(a) + p(fi)=- + =.51010yf及a.mpy =i所鬧成的三角形內(nèi)，而落/h這三8. 沒一質(zhì)點一定落在於7>，平面內(nèi)由x軸、角形內(nèi)備點處的4能性相等.計這質(zhì)點落的左邊的概申。解記求槪率的事件為a ,則人'為閣中陰影部分，而|il|=l/2,j|5j=l-lf4=-x- = -:2213 j 2 9181/3is后由兒m槪型的慨率計w公式可得 |h|1/299. (見前而問答題2.3)10. 己知acb9 p(4) = 0.4 , p(b) = 0.6 ,求(5)尸(帥.(1) p(

12、a),w： (2)p(a ub):尸(4)p(ba).p(ab)；解 (1)p(a) = 1 -p(a) =1-0.4= 0.6 , p(h) =1-p(b) =1-0.6 = 0.4 ；(2) p(a ub) = p(a) + p(b)- p(ab) = p(a) + p(s) - p(a) = p(s) = 0.6 :(3) p(ab) = p(a) = 0.4 :(4) p(ba) = p(a-b) = p() = 0，p(ab) = p(a u b) =1-ufi) =1-0.6 = 0.4 ;(5) p(ab) = p(b-4)= 0.6-0.4 = 0.2.11. 沒足兩個半件，l

13、t.知尸04) = 0 5, p(b) = 0.7 , p(4ub)=0.8,試求尸g4 5)及尸(尨一a). 解注怠 到p(a u z/) = p(a) + p(b) - p(ab)， 閃 而 p(ab) = p(a) + p(b)-p(4 u af) =0.5+0.7-0.8=04 . t 足，pa - b) = p(a - ab) = p(a) -=0.5-0.4 =0.1 :p(b-a) = p(b-ab) =尸(方)一p(ab) = 0.7 一 0.4 = 0.3.習題三解答1. 己知隨機事件4的概率p(a) = 0.5,隨機事件fl的槪率尸(fl)=0.6,條件概率尸(fl|4&g

14、t; = 0.8, 試求 pc4b)及 p(ab).解 p(ab) = p(a)p(b | a) = 0 5x0.8 = 0.4 p(ab) = p(a u b) = 1 一尸(4 u召)=1 一 p(a)- p(b) + p(ab) = 1-0.5-0.6+0.4=032. 一批零件共100個，次品率為10%，從中不放回取三次(每次取一個，求第三次才取得正 品的概率。幼10x9x90819100x99x9899x9810783. 果人打一筆資金，他投入味金的槪中為0.58.購矢股以的概中為0.28. w項投資郤做的槪 *為0.19(1) 已知他己投入基金，冉購買股票的槪率足多少？(2) 已知

15、他已購尖股票，再投入基金的槪率坫多少？解 記/» = 基金，b = 股票，則p(4) = 0.58, p(b) =0.28, p(ab) =0.19p(ali) 0.19 p(4)= 0.327.(2)4.尸剛=雙=:=湖給定p(a)=0.5, p(b) = 0.3. p(4s) = 0.15,驗證下面四個等式:p(a | b) = p(a)9 p(ab) = p(a), p(b i a) = p(b), p(b i) = p(b).p(4|b)= = h1 = 1 = p(a)p(b) 0.32酬互)=避=-扔戶-0.15 = =。5 = p(b) l-p(b)0.7 0.7pa)

16、 = = = 03 = p(b) k ' p(a) 0.5、p) = -=- p(4g) = 0 3-0.15 = 0j5 =p(a) 1 - p(a)0.50.5ft朋ih遠方來，他少火介:、船、汽個:和t機的槪率分別為0.3, 0.2, 0,1. 0.4,打飧火午:，遲到的槪率是0.25,若坐船，遲到的概率是0.3, &坐汽乍，遲到的概率是0.1，若坐飛機則不會遲 到。求他圮后可能遲到的概率。解 8 = 遲到)，al=火車，42=坐船，a3=坐汽寧，44=乘 機，則 b = jbat , 且腿意"p(b|a)= 025, p(b|4:)=0.3, p(ba3)=q

17、.l, p(baj=0.由全概率公式有：4p(b) = f 尸(4,)戶(打 | a) =0.3x0.25+ 0 2x0.3 + 0.1x0.1 = 0.145 /=16.己知甲袋中有6只紅球，4只白球：乙袋中有8只紅球，6只白球*求下列事件的概矜:(1) 隨機取一只袋，朽從該袋屮隨機収一球，該球是紅球：(2) 介并兩只袋，從中隨機取一球，該球是紅球。解(1)記s = 該球是紅球b a=<取t'l甲袋，'=取自乙袋，己知p(z?ia)=<5/io, p(b|a2) = 8/14,所以p(b) = ptaptb | aj + p(a2)p(b i a2) = ixa1

18、 841+ x= 一2 147014(2) p(b)=7.菜工廠冇叩、乙、內(nèi)三個車間，生產(chǎn)同一產(chǎn)品，毎個車間的產(chǎn)鼠分別ih全廠的25%. 35%. 40%,托乍間產(chǎn)品的次品率分別為5%. 4%. 2%.求該廠產(chǎn)品的次品半。解 0.25 x0.05 x 40.35 x0.04 + 0.4x0.02= 0.0125+0 0140 十0.008 =0.0345 =3.45%8.發(fā)報臺分別以概半0.6, 0.4發(fā)出"”和由于通信受到干擾，當發(fā)!i!""時，分別以槪率0.8和0.2收到""和m樣，3發(fā):1!倌'；"-"吋，分別

19、以0.9和0.1的概率收到和 求(1)收到倌號"”的槪率:(2)當收到”*”時_發(fā)出""的槪率。解 記b = 收到位號-"b a=出倌號”(1) pb) = p(a)p(b | a) + p(a)p(b | a)=0.6x0.8 + 0.4x0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52(2) = = =p(b)0.52139.沒某丄廠有a.b.c三個車閬，生產(chǎn)同一螺釘，各個車m的產(chǎn)鋱分別占總產(chǎn)缺的25%. 35%， 40%,各個車間成品中次品的百分比分別為5%, 4%. 2%,如從該廠產(chǎn)品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是車生產(chǎn)的槪糸。解 為力便計

20、，記卞件a.b.c為人艮c :乍間生產(chǎn)的產(chǎn)品，叩件d = 次品，因此 pd) = p(a)p(d | a) +| b) + 尸(c)尸(d | c)p_) = 邕兇戶 _=0.362=0.25 x 0.05 + 0.35 x0.04 + 0.4x0.02 =0 0125 +0 014+0.008=0.0345尸(d)0.0345p(_)=p(dh。.35_4 =0.406 p(d)0.0345p(d)0.034510. 沒 a 與 5 獨立，h. p(a) = ik p(b) = q.求卜列4m 的概中：p(a u b), p(aub), p(a u b). 解 p(a ub) = p(a)

21、+ pb) -p(a)p(b) =pmp(a ub) = p(a) + 尸(互)一 p(a)p(b) = p + l-6/-p(l-(/)=l- + w p(a u) = p(ab)二 1-=l-pq11. 己知 獨立，u p(4) =1/9, p(ab) = p(ab),求 p(a)，p(b). 解 up(4f) = p(4«),由獨立性有p(a)p(b) = p(a)p(b)從而 p(a) - p(a)p(b) = p(ff) - p(a)p(b)導致 p(a) = p(b) 再由 p(ab)=1i9,有 1/9 = p(a)p(b) = (1 -p(a)(1 -p(b»

22、; = (i-p(a)2 所以 l-p(a)=l/3。最后得到 p(b) = p(4)=2/3.12. ml乙、內(nèi)三人冋時獨立地向同一目標各射擊一次，命中牟分別為1/3，1/2, 2/3,求目標 被命中的槪率。記b=命屮目標，4=(甲命屮，a2=乙命中，a3=丙命中，則 fi=ua，因j _ _ 一 2 1 1 18尸(忍)=1-尸 i a, =l-p(a)/,(2)尸g43)=l-xx_ = l- =3 2 399.設(shè)六個相同的元件，如下圖所示那樣安置在線路中，設(shè)每個元件不通達的槪率為p，求這r=lifu13.個裝咒通達的槪韋.定托個允件通達勺否足相獨立的。 解記a = 通達hi元件i通達，

23、/ =1,23,45,6則 4 = a14:ua3a4ua5a6,所以p(a) = p(a) + (a3a4) + 尸(從)-p(aa5) -+ p(a2a.a)= 3(l-p)2-3(l-p)4+(l-p)613. 假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的槪率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周五 個工作ii里毎天是否發(fā)生故障相互獨立，試求-周五個工作ii里發(fā)生3次故障的槪率。解p =14. 燈時問/i: 1000小時以i:的慨半為0.2,求三個燈泡作使用1000小時以后圮多只冇0.8x (0.2)- = 0.008 + 0 096 =0.104.15. 設(shè)在三次獨立試驗中，事件a出現(xiàn)的槪率相

24、等，若已知a至少出現(xiàn)一次的概率等f 19/27, 求事件a在每次試驗中出現(xiàn)的概韋尸(4).generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.依假沒id a =a在笫，次試驗中出現(xiàn)，=1，2j. p = p(a)=尸 ua =1 - p(ai a3)= i -(i - p)327所以，(l-p)3=去此即尸=1/3.16. 加t一零件k需經(jīng)過3道t序，設(shè)第一、二、三道e序的次品書分別為2%、3%、5%.假 設(shè)各道工序是互不影響的，求加工出宋的；件的次品韋。解 注怠到，加工；件為次品，當且儀當1-3道工

25、序中至少有一道出現(xiàn)次品。記a,=i道工 序為次品，/=u3.則次品率一0.98x0.97x0.95 =1-0.90307 » 0.097p = p|ua./|=1-p()p(a；)p(a；) = 117. 三個人獨立破譯一密碼，他們能獨立譯出的槪串分別為0.25, 0.35, 0.4.求此密碼被譯出 的概率，解 記a = vf出密媽,a=<第'人譯出h < =u4.則1-p(a)p()p(4；)尸= 1-0.75x0.65x0.6 =1-0.2925 =0.707519.將一枚均勻硬幣連續(xù)獨、5:拋擲10次，恰有5次出現(xiàn)ie面的概半.是多少？有4次辛6次出 現(xiàn)正面

26、的槪率是多少？63256 '迮此時刻至少打1臺電梯江運行的槪率: 在此時刻恰好有一半電梯在運行的概率:在此時刻所有電梯都在運行的概牛。(1) 1-(1-0.75)4 =1-(0.25)4 = 256ho.75)2(o.25)2=6x(3)81256習題解答解o-or20. 某賓館大樓有4部電梯，通過調(diào)査，知道在某時刻7各電梯正在運行的槪率均為0.75, 求：(2)(3)解1. f列給出的數(shù)列，哪艦隨機變s的分布律,并說明理由，(1) p, =jy,i = 04,2,3,4：h->)(2) p, =!-ij = 0j,23;6(3) pt =j = 233 :4(4) pt =l-

27、y.j =1,23,4。generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only. 解 要說明題中給出的數(shù)列，是否是隨機變量的分布律，只®驗證p,是否滿足下列二個條件: 其一條件為p, >oj=1,2,l ,其二條件為=1»依擬上而的說叫可彳y （1）屮的數(shù)列為i機變!t!:的分布律；（2）屮的數(shù)列+足隨機變m的分布體， w為/k=£ = -1<0： （3）«|«的數(shù)列為隨機變氘的分布作：（4）屮的數(shù)列不是隨機變氘的分布櫛， 3 6 6這是因為t

28、p.=。2. 試確定常數(shù)c.使p（x=/） = -4i=0j,23,4）成為某個隨機變黽x的分布作，外求：p（x<2）；解 恕使丄成為玷個隨機變w的分布律，必須有£-=1,由此解fqc= ： 2*2j31（2）p（x<2）=p（x =0）+p（x =l）+p（x =2）31 （24 j 31（3）p全< % <去）=l）+=2）=蕓全 + 去）=蕓。3. 一口袋中有6個球，在這6個球上分別標有，3, -3, 1, 1, 1, 2這忭的數(shù)字.從這袋中任取，球，沒各個球被取到的砑能性相1介 求取w的球上標明的數(shù)字x的分布律與分介函數(shù)。解x可能取的值為-3, 1,

29、2, llx =-3)= 1 p(x =1)=1 p(x =2) = 1,即x的分布律為 326x31 2概率11 132 6x的分布函數(shù)0x<-3f（x）=p（x <x）= j-3<x<ll<x<261x>24. 袋中有5個乒乓球，編號分別為1, 2. 3. 4, 5,從中隨機地取3個，以x表示取出的3 個球中最大號碼，寫出x的分布律和分布函數(shù)。解 依題mx可能収到的位為3, 4, 5, wx=3i<示隨機取出的3個球的敁大u碼為3, 則另兩個球的只能為1號，2號，h|j p（x=j） = -l = -l：事件x=4農(nóng)小陸機取出的3個球的最大汐

30、碼為4.因此w外2個球可在1、2, 3汐球屮任選，此時p（x=4） =n_可扣和5）專丄。x的分布律為generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.x345槪率136101010x的分布函數(shù)為0x<313<x<41044<x<5101x>55. 在扣m條件下獨、y地進行5次射擊.毎次射擊時擊屮h標的槪率為0.6.求擊屮h標的次數(shù)x 的分布律。解 依題總x服從參數(shù)/i = 5,p = o.6的二項分布，岡此，其分布汴p(x=) = ( j).6i0.45-*,i

31、t = 0xl，5，x012345概率3248144216162243312562562562562531256. 從一批含有10件正品及3件次品的產(chǎn)品屮一件-件的抽取。沒每次抽取時，各件產(chǎn)品被抽 到的可能性相等。在下列三種怙形下.分別求出ft到取得正品為止所®次數(shù)x的分布律。(1) 毎次取出的產(chǎn)品立即放m這批產(chǎn)品中冉取下一件產(chǎn)品；(2) 毎次取出的產(chǎn)品都小放回這批產(chǎn)品屮：(3) 每次取出一件產(chǎn)品后總是放回一件正品。解 (1)沒肀件a,，/ = u，l表示第，次抽到的產(chǎn)品為正品，依題息，apl，'，l相互獨立，且 p(aj = |jj = 1.2.l 而 即x服從參數(shù)p =

32、的兒m分介。(2) 由于每次取出的產(chǎn)品不再放回，因此，x可能取到的值為1，2, 3, 4, p(x=i)=12./>(x=2)=-il=±,1313x12 26丄灘:小二1二1 286x1 234概率105132651431286)=3x2x10 13x12x11 x的分布律為（3）x可能取到的值為1，2, 3, 4, p（x =l） = ,p（x=2）= - = >1313x13 169p（x=3> 3x2x123x2x1、丄13x13x13219713x13x132197123lo3tu16921972197所求x的分布律為概率rtir三種抽樣方式不冋，導致x的

33、分布怍也+樣.請仔細體會它們的不同處。7.設(shè)隨機變sxb(6,p),己知p(x=1)=p(x=5),求尸與p(x = 2)的值。解由丁因此山此吋燈得 p（x=l）=6p（l-）5.p（x=5）= 6p5（l-p）,即6/，（l-p）5 =6/>5（1-/?）,解f!| p = y ：j6-2 6x 5 15i 2!648.擲一枚均勻的硬幣4次，s隨機變kx農(nóng)示出現(xiàn)國徽的次數(shù)，求x的分布函數(shù)。 解一枚均勻硬幣仵毎次拋擲屮出現(xiàn)m徽的慨辛.為1，w此x服從n = 4,p = l的二項分布，即山此可得x的分扣函數(shù)此時，/>(x = 2)=r h4-*彳=0上23,4o 1116511611

34、116151161.<v<2x<33<x<4x>49. 某商店出愾«種物品，根椐以往的經(jīng)驗，毎門消仍wx服從參數(shù)a = 4的泊松分布，問在門 初進貨時，耍進多少才能以99%的概申.充分滿足顧客的蘇耍？解設(shè)至少耍進件物品，山題s/:應滿足 p（xn-l）<0 99.p（x «）0.99,即 p（x<n-l）=eeu<0.99 k0 人！ n 4炎 p（x/»）=£e0.99 14） «!奮泊松分布表4求得w=9。10. 燈一汽乍站打大w汽乍通過，毎輛汽乍在一天笊段時問出；故的概率為0.0001

35、.在苽天該 段吋間內(nèi)有1000輛汽車通過，求事故次數(shù)不少于2的概率。解設(shè)x為1000輛汽乍中出平故的次數(shù)，依題意，x服從h =1000.77 = 0.0001的二項分布，即 x - （1000.0.0001）,由fn較大，p較小，因此也可以近似地認為x服從1 = = 1000x0.0001 = 0.1的 泊松分布.即x-p（o.l）.所求概率為p（x>2）= 1- p（x =0）-p（x =1）0! 1!=1 - 0.90483 7 - 0.090484 = 0 004679.11. 策試驗的成功概率為0.75,失敗概率為0.25,杓以x衣示試驗荇獲桁|7次成功所進行的w 驗次數(shù)，寫出x

36、的分布汴。解 設(shè)事件'表示第f次試驗成功,則）=0 75.且'，l，人，l相互獨立。隨機變量x取灸意 味宥前次試驗未成功，_但$（次試驗成功，此有p（x=k）=pl akaak）= p）l p（a；_1）pk）= o.25*-,o.75所求的分布律為x12k 概申.0.750.25x0.75 025“x075 鬱generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.12. 設(shè)隨機變墩x的密度函數(shù)為/u)= ro<a<ao,其他，試求：(1) i數(shù)i (2) x的分布函數(shù)。解(

37、i)成為果個隨機變的密垃函數(shù)必須滿足二個條件，其一為其二為= 1，因此有 lxdx=l,解j a = ±1» 其屮 a = -l 舍去，即取 4=1。(2)分布函數(shù)又<0 0x<l>1f(x) = p(x<x) = f(x)d.x=odx + jlxdxx<00<x<l<x<+«,求：(1 )系數(shù) a; (2) p(o<x<1)； (3)0dx + 2xdx + 0dxl13. 沒隨機變wx的髓哦數(shù)為/(x)=l+l，一 x的分布確數(shù)。解(1)系數(shù)a必須滿足仁>+u=1，山re+i為偶函數(shù)，所

38、以= aedx = 2° aeadx=l(2)0<%<1)=£|3=£(3> fw=j/u)ja=.4為 什+|必+冷+|辦 f evdx=么+以-t<0x>0dxx>0證 由 丁./m>0.且 e/(x)dr = -e'd - i-0為某個隨機變wx的密度函數(shù)。x<02h“')x<0 x>014.證明:函數(shù)/w =(c為le的常數(shù))generated by foxit pdf creator © foxit software http7z for evaluation only

39、. 岡此/（.r）滿足密沒函數(shù)的二個條件，山此為某個隨機變w的密_ 數(shù)。a<00<x215. 求出與密度函數(shù)/w =0.5e' 025 0對應的分布確數(shù)尸的表達式。解 當時.廠（戈）=匚/（咖=匕0.5/厶=0.50.5，0.5+0.25.v,當 0 <.2 時.f（x） = £* /（咖=f 0.5，dv + £0.25辦= 0.5 + 0.25x 當文>2 時，f（x）=已q.5exdx + £0.25dv + fojv = 0.5 + 0.5=1 綜合有廠w=x<>00<j<2；x>2.16. 設(shè)

40、隨機變上服從均勻分布，求方程r2 + xi+i«o有實根的概率。 解x的密度函數(shù)為/w=f 70,其他.方稈f2 + x/+l = 0有實根的充分必要條件為x2-4>0, upx2>4, w此所求份槪申為 p(x - >4)=p(x< -2x >2)=p(x< -2)+/>(x>2)= 0 += y。x>0；17. 沒茉藥品的有效期x以天計，其概申密度為 h v20000/w=f其他.r 20000,（.r 十 100尸,v<u;x0.0，a<0；， 10000（義十100），x>0.10000求：(1)x的分布

41、函數(shù):(2)至少奮200夭有效期的概率。=1。（200 + 100）29f解 f(x)=p r(x)dr= - rgenerated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.解:迆使fu）成為隨機變:i： x的分布函數(shù)，必須滿足lim f（x）=o.liin f（x）=l ,即 lim（4 + fl arctail x） = 0 liin（a +arctaiix） = l一 « = （）汁燈后得a + -b=l外,吋驗證當a =丄時.fu） = i + larctiuia也滿足分布函數(shù)jt余的兒條件

42、質(zhì)。2k1 冗1 + arctan（-1）2 np（|x|<l）=p（-l<x <l）=f&）-f（-l）= i + arctanl - 2 n it i （ ft n /r 4 jt 4） 1（3） x的密度函數(shù)fix） = f'（x） = “ 1o < .r < 400 o20. 設(shè)顧薺在茉銀行的f 口等待服務(wù)的時叫（單位：min）服從a = 1的指數(shù)分布.其密度函數(shù)1 4x>0為/='i菜顧客在窗口等待服務(wù)，«超過lomin，他就離開。0jt他<1）沒城客果天去銀行.求他未等到服務(wù)就離開的槪中：（2）設(shè)某顧客一個

43、月嬰去銀行五次，求他h次屮至多有一次未等到服務(wù)的槪率。（1）沒隨機變sx衣示5e顧興在銀行的窗口等待服務(wù)的吋問，依怠x服從a = 的桁數(shù)分布，*jl顧各等待時叫超過lonun就離丌，m此，奔凇匁到服務(wù)就離幵的概率為p（x>10）=i7l/r = <,-2;（2）沒y表示某顧客五次i銀行未等到服務(wù)的次數(shù).則y服從n = 5yp = e2的二項分布.所求 概率為p（ri）=p（y = o）+p（r=i）價仆-小;卜_7=“4<xi-，r21. 設(shè)x服從崛，借助于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表計算:（1）p（x<2.2）； （2） p（x > 176 ）： （3） p（x&l

44、t;-0.78）： （4> p（|x|<1.55）： （5）喇>2.5）。解 ale態(tài)分布衣可得（1）p（x <2.2） = （2 2） = 0 9861；（2）p（x >1.76）= 1-p（x <1.76）= 1-<（1 76） = 1-0.9608 = 0.0392：（3）p（x<-0.78）=<!>（-0.78）=1 一0（0.78）=1 -0.7823 = 0.2177 ；（4）p（|x|<1.55）= p（-1.55 <x <1.55） = 0（1.55卜制-1.55）=<（1.55）-（1 - 0

45、（1.55）= 20>（1.55）-1 = 2x0.9394-1 =0.8788（ 5）generated by foxit pdf creator © foxit software for evaluation only.p(|x|>2.5)=1-p(|x|<2.5)=1-2<i>(2.5)-l=2 - 2(2.5)= 2(1 - 0.9938)= 0.0124。22. 服從n(-u6)，仍助標準正態(tài)分布的分布函數(shù)農(nóng)計ft:(l)p(x<2.44)：(2)p(x>-1.5)： (3) p(x <-2.8)： (4)中|<4):

46、(5) p(-5<x<2)； (6) p(|x-l|>l)。解 當x時，=，借助于該性質(zhì)，再杏標準le態(tài)分布函<7數(shù)表可求得= <i>(0.86)= 0.8051:(1) p(x<2.44)=a>f2 44 + 1(.3)(4)p(x>-1.5)=l-<=1 - (i-<t>(0.125)=<1>(0.125)= 0.5498 :p(x< -2.8)=<!>(- 0.45)=1-巾(0.45)=1 - 0.6736 = 0.3264 :*卜4叫 卜了= 1-0(-0.125)= 0(1.25)

47、-0(- 0.75)=4>(1.25)-1 + <1>(0.75)= 0.8944-1 + 0.7734 = 0.6678 ；=4>(0.75)-<1,(-1)p+1、-4一5+1141 4p(-5<x<2)= 4>6)=0(0.75)-0(1)+1 = 0.7734 - 0.8413 + 1 = 0.9321; p(|x-l|>l)=l-p(|x-l|<l)=l-p(o<x 2)=1-=1 - 0(0.75)+0(0.25)=1- 0.7724 + 0.5987 = 0.8253。23.某廠生產(chǎn)的滾珠細k從正態(tài)分布n(2.05

48、,0.01),合格品的規(guī)格規(guī)定為2±0.2,求該廠滾珠 的合格半。解所求得槪申為 p(2-0.2x2 + 0.2)= <i>=<t>(1.5)- 0(- 2.5)= <t>(1.5)-l + 0(2.5)= 0.9332-1 + 0.9938 = 0.92724.萊人上班所喬的時f»ij x - n(30j00)(單位:mill)己知上班時間為8： 30,他每天7: 50出 門，求：(1)某天遲到的概率；(2) 一周(以5天計最多遲到一次的槪率。解<1)由題意知菜人路上所花時間超過40分鐘，他就遲到f，w此所求概中為p|x>4

49、0|=l-叫(2) fiy為5天屮某人遲到的次數(shù)，則y服從h = 5,p = 0.1587的二項分布，5天屮敁多遲到一 次的概率為=1 一 中(1) = 1 一 0.8413 = 0.1587 -p(fl)= 11587x(0,8413)4 =0.8192。5 kl587)°x(0.8413習題五解答1.二維隨機變hl:(x，r)只能取下列數(shù)組屮的tf:且取這些組仉的概率依次為h去去求這二_較_分_。解由題總可fu(x,r)的聯(lián)介分布汴為xy0131401u17016002512002. 一口袋中有四個球，它們依次標有數(shù)字l2上3。從這袋中任取一球后，不放回袋中，w從袋 中任取一球。

50、s每次取球時，袋中每個球被取到的可能性相同。以x、y分別記第一、二次取到的 球上標有的數(shù)字，求(x，y)的分布律及p(x=y)。解 x吋能的取值為1.2j，y呵能的収值為l2j，相應的，«概韋為 p(x=i,r=i)=o,p(x=i,r = 2)= =-,p(x =i,r=3)=,4x36'4x312p(x=2,r=l)= = l,p(x=2,r = 2)= = 1 p(x=2,k=3)= = 1,4x3 64x3 64x3 6xy1231016112111z66631121604x36p(x=3.y=i)=,p(x =3.r = 2)= =i,p(x =3,r=3)=o.p

51、(x=y)=p(x =i,r=i)+p(x =2,r = 2)+p(x =3,r=3)=|o3.箱子中裝有10件產(chǎn)品,其中2件為次品，每次從箱子中任取一件產(chǎn)品，共取2次，定義隨 機變量x、y如下：x=0, 若笫一次取出正品： y= 1， 打笫一次取:h次品：124x3 60,1.若第二次取出正品:打笫二次取出次品。分別就下面兩種情況求出二維隨機變量(x，rj的聯(lián)合分布律:(1)放回抽樣:(2)不放回抽樣，解(1在放卜i抽樣時，x可能取的值為oj, y可能取的位也為0j.且p(x = o,r = o)=-=,p(x = o,y=i)=-=-i,10x10 2510x10 25p(x=i.r=o)

52、=-=a,p(x=i,y=i)=2l£=±,10x10 2510x10 25xy01016412542?12525<2)在無放回惜形下，x、y可能取的值也為0或1，但取相應值的槪率與有放回情形下不- 樣，具體為$="=。)=巖=昏郵=。，_=:=去，p(x=tr = o)=2=±,p(x=i,r=i)=2rl=±.或?qū)懗蓌y01n288u4545181*4545寫ii;關(guān)于x及關(guān)于y的邊緣分布th。4. 對于第1題中的二維隨機變（x,r）的分布，x概半按列相加得y的邊緣分布律為解 把第1題中的聯(lián)介分布汴按行相加得x的邊緣分布汴為 10 2

53、 515126125.對丁第3題屮的二維隨機變v:（x，r）的分布怍，分別在打放hl和無放種怙況f. w出關(guān) fx及關(guān)ty的邊緣分布伴。解作有放回怙況e x的邊緣分y的邊緣分布律為在無放回情況下x的邊緣分布律為y的邊緣分布仆力x0 1槪率417 ty0 1let*41t 5x0 1慨半4177y0 1io.4175y0131槪率71211216. 求/ed i.服從均勻分布的隨機變m（x.f）的密度函數(shù)及分介函數(shù).其中d為x軸、y軸及代 線y = 2x + l鬧成的三角形區(qū)域。解區(qū)域d見圖5.2。ixlxl = l，所以（x，y）的密度函數(shù) 22 4（x，） dy其他易側(cè)d的面積為5 =/（,

54、，），）=-；:（x.y）的分希函數(shù)h（,y）=ll/u 枷、當 a<-1 或）<0 時，f（x,y） = 0： 當-i<_r<0,0<y<2.r + l 時-1廠 u，y）=tjvc-iadx=4-o*+2y - / :-y < x< 0,y >2x +1 時，f（x,y）=j d.x' 14dy = 4x2 + 4x +1:j.r>0.0< ><!時，f(x,y)= 4dv = 2y-v2：當 0, y 之 1 時，f(x，y) =1 “ 4dy蹤介冇-y<x<0h.0<y<2x+lax2 +4.r + l，-一x<0h.v>2x + l 2x>ollo<v<la>0ilv12y-y l題中的二維隨機變s(x,r)的分布，寫出關(guān)于x及關(guān)于y的邊緣密度函數(shù)*7.對于第解x的邊緣密咖數(shù)為f f “l(fā) 仙，<丨< 02jt他4(2.v + l-i<j<02it他y的邊緣密度函數(shù)為0< j<