1、第 23 講幾何定值知識(shí)縱橫幾何定值， 是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些集合性質(zhì)或位置關(guān)系不變。解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題的定量和變量，運(yùn)用極端位置、特殊位置、直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出一般情形下的證明。例題求解【例1 】 （1 ）如圖 1，圓內(nèi)接ABC 中， AB BCCA， OD,OE 為圓 O的半徑，ODBC 于點(diǎn) F ，OEAC 于點(diǎn) G ，求證：陰影部分四邊形OFCG 的面積是ABC 的1面積的 .3（2 ）如圖 2 ，若 DOE 保持 120角度不變，求證：DOE 繞著 O 點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和ABC 的兩條邊圍成的圖形（圖中陰

2、影部分）面積始終是1ABC 的面積的3（廣東省中考題）思路點(diǎn)撥對(duì) 于 （1），連OA、 OC，則要證明SOAC1 S3ABC，只需證明OAGOCF ；對(duì)于（2 ），類(lèi)比（1）的證明方法證明?！纠?2 】如圖， O1 和 O2 外切于點(diǎn)A ， BC 是 O1 和 O2 的公切線， B,C 為切點(diǎn)（1）求證： ABAC ；（2）過(guò)點(diǎn) A 的直線分別交 O1 和 O2于點(diǎn) D, E ，且 DE 是連心線時(shí)， 直線 DB 與直線 EC交于點(diǎn) F 請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出圖形，并判斷DF 與 EF 是否互相垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（ 2 ）的其他條件不變的情況下，將直線 DE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)（

3、DE 不與點(diǎn) A, B,C 重合），請(qǐng)另畫(huà)出圖形， 并判斷 DF 與 EF 是否互相垂直？若垂直，請(qǐng)證明； 若不垂直， 請(qǐng)說(shuō)明理由（沈陽(yáng)市中考題）思路點(diǎn)撥按題意畫(huà)出圖形，充分運(yùn)用角的知識(shí)證明若DFE90 ，則 DFEF 這一位置關(guān)系不變?！纠?3 】如圖，定長(zhǎng)的弦ST 在一個(gè)以 AB 為直徑的半圓上滑動(dòng)，M 是 ST 的中點(diǎn)， P 是 S對(duì) AB 作垂線的垂足，求證：不管ST 滑到什么位置，SPM 是一定角（第18 屆加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥不管 ST 滑到什么位置，弧ST 及SOT 的度數(shù)都是定制，從探尋SPM 與SOT 的關(guān)系入手。【例4 】如圖，扇形 OAB 的半徑OA3，圓心角AOB

4、90 ，點(diǎn)C是弧AB 上異于A, B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CDOA 于點(diǎn)D，作CEOB 于點(diǎn)E ，連接DE ，點(diǎn)G, H在線段DE上，且DGGHHE .（ 1 ）求證：四邊形 OGCH 是平行四邊形；（ 2 ）當(dāng)點(diǎn) C 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 CD , CG, DG 中，是否存在長(zhǎng)度不變的線段？若存在，請(qǐng)求出該線段的長(zhǎng)度；（3 ）求證： CD 23CH 2 是定值（廣州市中考題）思路點(diǎn)撥 對(duì)于（ 3 ），設(shè)法把 CH 用 CD 的代數(shù)式表示，通過(guò)計(jì)算的方式確定定值。而隨著輔助線添加的不同， 為探索不同的解題思路提供了可能， 而解題的關(guān)鍵是對(duì)等分點(diǎn)條件的運(yùn)用。【例 5 】 如圖，已知等邊ABC 內(nèi)接

5、于圓，在劣弧AB 上取異于 A、B 的點(diǎn) M ，設(shè)直線AC 與 BM 相交于 K ，直線 CB 與AM 相交于點(diǎn) N ，證明：線段AK 和 BN 的乘積與 M 點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)（湖北省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥即要證AKBN 是一個(gè)定值，在圖形中ABC 的邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，說(shuō)明AK BN 與 AB 有關(guān)，從圖知AB 為ABM 與ANB 的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想，AKBNAB2 ，從而我們的證明目標(biāo)更加明確以退為進(jìn)【例 6 】如圖 1 ，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，點(diǎn) M 在 x 軸的正半軸上， M 交 x 軸于 A, B兩點(diǎn)，交 y 軸于 C, D 兩點(diǎn)，且 C 為弧 AE 的中點(diǎn)， AE 交 y 軸于 G

6、 點(diǎn)，若點(diǎn)A 的坐標(biāo)為2,0 ,AE8（ 1 ）求點(diǎn) C 的坐標(biāo)；（ 2）連接 MG,BC ，求證： MG BC ；OF（3 ）如圖 2 ，過(guò)點(diǎn) D 作 M 的切線，交 x 軸于點(diǎn) P 動(dòng)點(diǎn) F 在 M 的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PF的比值是否發(fā)生變化？若不變，求出比值；若變化，說(shuō)明變化規(guī)律（深圳市中考題）學(xué)力訓(xùn)練基礎(chǔ)夯實(shí)1. 閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題經(jīng)過(guò)正四邊形（即正方形）各頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對(duì)稱(chēng)中心，這個(gè)正四邊形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接正四邊形如圖， 已知正四邊形ABCD的外接圓O ， O 的面積為S1 ，正四邊形ABCD 的面積為 S2，以圓心O 為頂點(diǎn)作MON，使MON

7、90，將MON繞點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)，OM , ON 分別與O 相交于點(diǎn)E, F，分別與正四邊形ABCD 的邊相交于點(diǎn)G, H設(shè)由 OE, OF ,弧EF 及正四邊形ABCD 的邊圍成的圖形（圖中的陰影部分）的面積為S .（1 ）當(dāng) OM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A 時(shí)（如圖），則S, S1 , S2 之間的關(guān)系為：S（用含S1 、 S2 的代數(shù)式表示）；（2 ）當(dāng) OMAB 時(shí)（如圖），點(diǎn)G 為垂足，則（ 1）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（ 3 ）當(dāng)MON 旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)（如圖），則（1 ）中的結(jié)論仍然成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由（邵陽(yáng)市中考題）2.如圖，在等腰三角形ABC 中， O 為底邊BC 的中點(diǎn)， 以 O 為圓心作半

8、圓與AB, AC相切，切點(diǎn)分別為D , E過(guò)半圓上一點(diǎn)F作半圓的切線，分別交AB, AC于M,N求證： BMCN 為定值。3 如圖，已知等邊三角形ABC 的周長(zhǎng)為a ，P 為其內(nèi)任一點(diǎn)，PDAB 于D ，PEBC 于E ，PFAC于 F。求證：（ 1 ） PDPEPF 為定值；（ 2 ）ADBECF為定值。（三明市中考題）4. 已知半徑為 R 的 O' 經(jīng)過(guò)半徑為 r 的 O 的圓心， O 與 O' 交于 E, F 兩點(diǎn)（1 ）如圖 1，連接 OO' 交 O 于點(diǎn) C ，并延長(zhǎng)交O'于點(diǎn) D ，過(guò)點(diǎn) C 作 O 的切線交O 于A, B 兩點(diǎn)，求 OA OB 的值

9、；（2 ）若點(diǎn) C 為 O 上一動(dòng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到 O'內(nèi)時(shí)，如圖 2 ，過(guò)點(diǎn) C 作 O 的切線交 O 于， A, B 兩點(diǎn)，則 OA OB的值與（ 1 ）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)到 O'外時(shí)，過(guò)點(diǎn)C 作 O 的切線，若能交O 于 A, B 兩點(diǎn)，如圖3，則OA OB 的值與（ 1）中的結(jié)論相比較有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由（濟(jì)南市中考題）能力拓展5. 如圖，內(nèi)接于圓O 的四邊形ABCD 的對(duì)角線AC 與 BD 垂直相交于點(diǎn)K，設(shè)圓O 的半徑為R ，求證：（1 ）AK2BK2CK2DK2 是定值；（2 ）AB 2BC 2CD 2DA 2 是定值。DOKAC

10、BPAPC6. 如圖，已知P 為正方形 ABCD 的外接圓的劣弧AD 上任意一點(diǎn)，求證：為定PB值。7. 如圖，已知ABC 為直角三角形， ACB90 , AC BC ，點(diǎn) A,C 在 x 軸上，點(diǎn) B 坐標(biāo)為 3,m m0 ，線段 AB 與 y 軸相交于點(diǎn)D ，以 P 1,0 為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn) B, D （ 1 ）求點(diǎn) A 的坐標(biāo)（用 m 表示）；（ 2 ）求拋物線的解析式；（3 ）設(shè)點(diǎn) Q 為拋物線上點(diǎn)P 至點(diǎn) B 之間的一動(dòng)點(diǎn)， 連接 PQ 并延長(zhǎng)交 BC 于點(diǎn) E ，連接 BQ并延長(zhǎng)交 AC 于點(diǎn) F ，試證明： FC ACEC 為定值（湘潭市中考題）8. 如圖所示， 四邊形 OAB

11、C 是矩形， 點(diǎn) A, C 的坐標(biāo)分別為6,0 , 0,2 ，點(diǎn) D 是線段 BC 上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn) B, C 不重合），過(guò)點(diǎn) D 作直線 y1b 交折線 OAB 于點(diǎn) E x2（1）記 ODE 的面積為 S ，求 S 與 b 的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn) E 在線段 OA 上時(shí)，若矩形 OABC 關(guān)于直線 DE 的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形O1 A1 B1C1 ，試探究四邊形 O1 A1 B1C1 與矩形 OABC 的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由（廣州市中考題）綜合創(chuàng)新9. 如圖1 所示，以點(diǎn)M1,0為圓心的圓與y 軸，x 軸分別交于點(diǎn)A,B,C, D，直線

12、y3x5 3與M相切于點(diǎn)H ，交y 軸于點(diǎn)E ，交y 軸于點(diǎn)F3 3（ 1 ）請(qǐng)直接寫(xiě)出 OE ， M 的半徑 r ， CH 的長(zhǎng)；（2）如圖 2所示，弦 HQ 交 x 軸于點(diǎn) P ，且 DP : PH3 : 2 ，求 cos QHC 的值；（3）如圖 3所示，點(diǎn) K 為線段 EC 上一動(dòng)點(diǎn) （不與 E,C 重合），連接 BK 交 M 于點(diǎn) T ，弦 AT 交 x 軸于點(diǎn) N 是否存在一個(gè)常數(shù) a ，始終滿(mǎn)足 MN MKa ？如果存在，請(qǐng)求出a 的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（深圳市中考題）10.小明是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線yax2 a0 的性質(zhì)時(shí)，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O ，兩直角邊與該拋物線交于 A, B 兩點(diǎn)，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（