1、專題35等比數列問題探究【熱點聚焦與擴展】等比數列的性質、通項公式和前n項和公式構成等比數列的重要內容，在歷屆高考中必考，既有獨立考查的情況，也有與等差數列等其它知識內容綜合考查的情況.選擇題、填空題、解答題多種題型加以考查.1、定義：數列 an從第二項開始，后項與前一項的比值為同一個常數q q 0 ,則稱an為等比數歹U,這個常數q稱為數列的公比注：非零常數列既可視為等差數列，也可視為q 1的等比數列，而常數列 0,0,0,L只是等差數列2、等比數列通項公式：an ai qn 1,也可以為：an am qn m3、等比中項：若a,b,c成等比數列，則b稱為a,c的等比中項(1)若b為a,c的

2、等比中項，則有 a b b2 ac b c(2)若an為等比數列，則n N , an 1均為an,an 2的等比中項(3)若an為等比數列，則有mp qamanapaq4、等比數列前n項和公式：設數列an的前n項和為Sn當q 1時，則an為常數列，所以Sn na1,a1 1 qn當q 1時，則Sn 可變形為：Sna1 1 qn1 q1 q-aqn 二，設 k 且，可得：Sn k qn kq 1 q 1q 1 5、由等比數列生成的新等比數列 (1)在等比數列 an中，等間距的抽取一些項組成的新數列仍為等比數列(2)已知等比數列an , bn ,則有數列kan ( k為常數)為等比數列數列an (

3、為常數)為等比數列，特別的，當,r 一 11時，即 an為等比數列數列an bn為等比數列數列 an為等比數列6、相鄰k項和的比值與公比 q相關:設 S am 1 am 2 L am k,T an1 an 2 L an k ,則有:Sam1am2LamkTan1an2Lankam qan q2 q2 qaman特別的：若a1a2 L akSk, ak 1ak 2 La2kS2 kSk,a2k 1 a2k 2 L a3kS3kS2J ,則 Sk,S2kSk,S3kS2k,L成等比數列7、等比數列的判定：(假設an不是常數列)(1)定義法(遞推公式)an 1q n N an(2)通項公式：anqn

4、 (指數類函數)(3)前n項和公式:Snkq nk x-k/w注：若 Sn kqn mk ,則an是從第二項開始成等比關系(4)等比中項：對于2n N ,均有 an 1 anan 28、非常數等比數列an.1的前n項和Sn與 一 刖n項和Tn的關系anSnna11 q因為1-、，一， 1, , 1 一 ,， ,- 是首項為,公比為的等比數列，所以有anaiTnn111aq1 1 qqn 1nqq 1 aqnaqSnTnn a1 1 qaqn q2 naq9、等差數列性質與等比數列性質:等差數列an等比數列bn遞推公式an 1 an d n N旦1q n Nbn通項公式ana1 n 1 dbn

5、b qn等差(比)中項2an 1 an an 2bn 1bn bn 2m n p qam an a p aqbmbnbpbq等間隔抽項仍構成等差數列仍構成等比數列相鄰k項和S,S2nSn,S3nS2n成等差數列Sn,S2n &,S3n S2n成等比數列10、等差數列與等比數列的互化:(1)若an為等差數列,c 0,c 1,則can成等比數列證明：設can1cancan1 ancd為一個常數所以can成等比數列(2)若an為正項等比數列,c 0,c 1 ,則logcan成等差數列證明：設 an的公比為q ,則logcan 1log canlog can2logcq 為常數an所以logc

6、 an成等差數列【經典例題】例1.12017課標II ,理3我國古代數學名著算法統宗中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的 2倍，則塔的頂層共有燈()A. 1盞B, 3盞 C .5盞D.9盞【答案】B【解析】試題分析：設塔的頂層共有燈M慈，則臺層的燈邠成一個苜項為X，公匕泌2的等比頹列,結合等比額列的求和公式有二1-27)1-2=非1解得工=3,即塔的頂層共有燈3盞j故選也【名師點睛】用數列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數學模型一一數列模型，判斷是等差數列

7、還是等比數列模型；求解時，要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題， 所求結論對應的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經過數學推理與計算得出的結果，放 回到實際問題中進行檢驗，最終得出結論.例2.【2018屆河北省衡水金卷一模】已知等比數列瓦中，匠叵三/否HHI,則|工5=| ()A.至 B. -2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分折：利用等比數列下標和性質求等比數列的特殊項.詳解:由我45招日64,可得5口尸=L (Q丁尸64.1/ & = 4.又如 即死同3T.= J%也7 = 2故選：C點睛：等比數列回中，若|x + 怙 = p + % (m. H，

8、 p. q EAT )1則區三通I；等差數列中，若4+，】=+也(閉，凡P，9。人：則管 + % = % +% .例3.12018屆2018屆江西省景德鎮市第一中學等盟校第二次聯考】已知等比數列瓦D的前臼項和是匐，則下列說法一定成立的是()A.若網CI,則甌蕓可 B. 若匠則反應亙C.若田衛，則施亙D. 若近可，則施i紅【答案】C【解析】分析：由 =心心刊 可得口衛I,分當區E時，當叵區D時，當一 11時和三T時,由不等式的性質均可得到.IC r：JZ0173又當心工時,LrA.:當q<。時，l-q>0A-7>0?，吟廣即/口”二%當口 <q<l 時,1-9>

9、; 0,1-?Ml7> 0?；，二"號。即 5加15>5當q>!L時n l-q<9A-l7<0?吟亭>必即$如加> J當 q =1時,5皿7 = 2017 > 0 ,綜上可得當% >。時15如心 好 /故選二點睛：本題考查等比數列的通項公式與求和公式以及不等式的性質，意在考查分類討論思想與計算能力， 屬于中檔題.例4.12017課標3,理9】等差數列an的首項為1,公差不為0.若a?,a3,a6成等比數列，則an前6項的和為A. 24B. 3C. 3D. 8【答案】A【解析】試題分析；設等差數列的公差為d ,由0，值成等比數列可得

10、；靖二% ,即:(1+2J)3=(1 + J)U + 5J),整理可得：* 公差不為0 ，則H=2 ,射列的前 6項和為邑=6q F(：T)h = 6x1+ 6*1)-2) = -24 .故選a例5.【2018年4月2018屆高三第二次全國大聯考】中國古代數學著作算法統宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還. ”其意思為：有一個人走 畫里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半， 走了后天后到達目的地，請問第 國天比第百天多走A. 12 里 B. 24 里 C. 36 里 D. 48 里【答案】C

11、26國1 +口2 + 口3 +04 + 口 + 口6 =r =1 【解析】設第口天走了口里，其中K 1234E值由題意可知 叵巫ia叵成等比數列，公比 OJ,且,解得匠三畫，所以所以-町=佃-12 =叫,故第B天比第目天多走回M.故選c.例6.12018屆河南省名校壓軸第二次考試】在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數列，這 樣的操作叫做該數列的一次“擴展”.將數列盤進行“擴展”，第一次得到數列 匿；第二次得到數列三 2"一 LnEN.122/M：.設第回反“擴展”后得到的數列為 "日司,并記卜L。取口巧,一不到,其中 ,則數列 叵的前回項和為.1 1 + 2n-

12、：答案匚二J【解析】分析：先求出 卜",再找到關系底正西三H構造數列求出困，最后求數列的前n項和得解.詳解：% = tofla（l Xt-jCj 修2）/所以小+I=叫口（I r J（巧*口覆,（陽 2）,24叫式1?工/ * 2工）=3% - L所以“+i ；=虱嗎t - ；） ,所以數列%一號是一個以:為苜項以3為公比的等匕窗列j3昨$ 1 + 2n-3故答案為:,同時考查了等比數列的點睛：（1）本題屬于定義題，考查學生理解新定義及利用定義解決數學問題的能力通項和前n項和，考查了數列分組求和.（2）解答本題的關鍵是想到找 甚±1四的關系，并能找到關系例7.12017江蘇

13、，9等比數列an的各項均為實數，其前n項的和為&,已知與 ，& 9，則% = 44【答案】32【解析】當q 1時，顯然不符合題意;當q 1時,ai(1q3)1 qa1(1q6)1 q74 “日,解得637-27 32.4【名師點睛】在解決等差、等比數列的運算問題時，有兩個處理思路，一是利用基本量，將多元問題簡化為一元問題，雖有一定量的運算，但思路簡潔，目標明確；二是利用等差、等比數列的性質 ，性質是兩種數列基本規律的深刻體現，是解決等差、等比數列問題既快捷又方便的工具，應有意識地去應用.但在應用性質時要注意性質的前提條件，有時需要進行適當變形.在解決等差、等比數列的運算問題時，

14、經常采用“巧用性質、整體考慮、減少運算量”的方法 .a2例8.12017北東，理10】若等差數列 an和等比數列 bn滿足a1=b1= - 1, a4=b4=8,則 =b2【答案】1【解析】試題分析:設等差數列的公差和等I；儆列的公比為,和q ,-1+34 = -/二8J求得W二一Nd二3 ,勺1 +3那么二二二=1 -42【名師點睛】我們知道，等差、等比數列各有五個基本量 ，兩組基本公式，而這兩組公式可看作多元方程 ，利用這些方程可將等差、等比數列中的運算問題轉化解關于基本量的方程（L組），因此可以說數列中的絕大部分運算題可看作方程應用題，所以用方程思想解決數列問題是一種行之有效的方法例9.

15、12018屆北京市海淀區二模】已知等差數列 EI滿足.口“ 二打+ 3.（I ）求數列回I的通項公式；(n)若數列 叵是首項為1,公比為2的等比數列，求數列 瓦3的前臼項和.【答案(I) 1aH = 2、-"； (n) -1-【解析】分析：(I )設等差數列 國的公差為現 由P%+1一冊=2二山,令 仁1.2 可得帆+3d = 7 解得d =z,從而可得結果；(n)由數列叵王且是首項為1,公比為2的等比數列, 可得區迅三口，結合(i)可得%E2ZZH1E三U,利用等差數列與等比數列的求和公式，根據分組求和法可得數列園的前臼項和.詳解：設等差數列國的公差為艮因為2口上一 口n=2?i+

16、3,所此:豫爹所騎量所以 = 4 + (n - l)d = 2n - 1 ( n = L23 ).< II )因為數列% * %是苜項為b公比為2的等比數列所以口EKHHU因為叵三*習，所以%=2” 一1 (2門-).設數列回的前日項和為匐，則"(l + 2+4i + 2 )-U+3 + "T("l)J所以數列園的前口項和為忱-1 -3點睛：本題主要考查等差數列及等比數列的通項公式與求和公式和利用“分組求和法”求數列前臼項和，屬于中檔題.利用“分組求和法”求數列前 臼項和常見類型有兩種： 一是通項為兩個公比不相等的等比數列的和或差，可以分別用等比數列求和后再

17、相加減；二是通項為一個等差數列和一個等比數列的和或差，可以分別用等差數列求和、等比數列求和后再相加減例10.12018屆福建省龍巖市4月檢測】已知正項等比數列 網|的前W項和為聞，且小AT ).(1)求數列 畫的通項公式；(2)若卜"=,求數列+兒：|的前園項和口他行 - 1),*. _V % = + 2rt-l【答案(1)M=2 (n)2【解析】分析：Cl)由兀=兄-1，可得£ =221,解得&島=2% 1,可得5 4% =加工1,解得%,利用等比數列的通項公式可得出5(2由(1)知f，=% =6 1)021可得耳+ = (n-0S2+2f 再利用等差數列與等匕徵

18、列 的求和公式即可得出結果.洋解；( I )由治=2% 1(足邑N)】可得力=2%工曾尊。12 ,ti-g 1_ 尸 H. 1B又 5工2日？ 一 X j 一口立十 Q* = 2丑口 1, * 1 j =工數歹U叵1的通項公式為% =(n)由()知， h尸3T)二 |g2 + + (n - 1)1姬+ (1 + 2 + + 2"7)【精選精練】1 .【2018屆福建省三明市5月檢測】若日數列叵I的前日項和，且3 = 2%-二,則陽等于（）A.垣B. 函C. 畫D. 回【答案】C【解析】分析:由題意苜先求得數列的通項公式，然后結合通項公式求解前0項和即可.詳解：當n=l時由=2al -

19、 2據此可得:%=2當n 之 2時：% = 2。一 2511T = 2311T 2,兩式作差可得：% = 21ao 21ali-1 ；則：/ = 2aor ； = -2 = 510-2 = 510 1-2據此可得數列1$是首項為2,公比為2的等比數列，其前8項和為：本題選擇C選項.點睛：給出 同與同 的遞推關系，求an,常用思路是：一是利用 區三三I轉化為an的遞推關系，再求 其通項公式；二是轉化為 3的遞推關系，先求出 $與n之間的關系，再求 an.2 .12018屆東北三省三校（哈爾濱師范大學附屬中學） 三模】已知等比數列 國 的前瓦項和為£0，樞三工A. _ B. C. LI

20、D. ,【答案】A【解析】分析：設出等比數列的公比，利用甌三亙!求出公比，利用等比數列通項公式求解即可”/。= 3（1一泊詳解：設公比為4則|17 - 1-q解得丘2- = %/ = 134,故選a.3. 2018屆安徽省合肥市三模】若正項等比數列滿足1%+1=e £吟,則衿一四的值是A.園 B. I - Ig'M C. 2 D.途【答案】D十$十解析分析：設正項等比數列 忸1的公比為叵g,由回 = 2%：EN可得1/冊+ 1 -一 2”I 2n - II解得叵回/乂 z = * %q解得鼠三二j,代入即可得結果.詳解：設正項等卜第列也的公比口 >必=4/+1 =22n

21、(nE M。/所以既產=若=4=q二解得q = 2-7J1-1» 西/ 乂 2 = 22nJan > 0;解得3n =I n ?則 y 5=2 " - =,故選 D.4. 2018屆安徽省合肥市三模】若正項等比數列口!滿足應I三qm包,則其公比為D2C或2 CBi 一 2 一 江木答A I即左七心小,【解析】分析：設等比數列 國的公比為0,由等比數列的通項公式可得 曠=口君+ 24可解得U的值，根據正項數列，排除不合題意的公比即可詳解：根據題意，設等比數列 回的公比為口，若麻+產% ” +且,則有叵由數列叵為正項等比數列，可得 匠國，故選C.點睛：本題主要考查等比數列

22、的通項公式，屬于中檔題.等比數列基本量的運算是等比數列的一類基本題型，數列中的五個基本量1glM儕一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數列的有關性質和公式，并靈活應用，在運算過程中，還應善于運用整體 代換思想簡化運算過程.5.【2018屆湖南省長郡中學一模】 已知等比數列口*的各項都是正數,且回,El,四成等差數列，b， （）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】D【解析】分析：根據等比數列的定義需 二q,只要計算出公比g即可.洋解：T3qU與2%成等差數列一，口 L 3al+ %艮加詞工，+ 2a.強解得一舍去二山二相二久故選D.點

23、睛：正整數 應囚滿足國正衛王!，若數列 叵3是等差數列，則 國三正豆豆若數列國是等比數列，則叵三四，國時也成立，此性質是等差數列（等比數列）的重要性質，解題時要注意應用.6.12018屆湖南省株洲I市檢測二】已知等差數列畫的公差為2,若狂圓成等比數列，匐是瓦的前臼項和，則陽等于（）A. -8 B. -6 C. 0 D. 10【答案】C【解析】分析：由 匣函成等比數列，可得 ）二。卅平再利用等差數列的通項公式及其前目項和公式即可得出.詳解：; 叵國4成等比數列，帕=，必",卜% + 23 =%.+3 2)化為笆三叵解r9V8得區三匹I則I2故選D.7.【2018屆華大新高考聯盟高三 4

24、月檢測】設等比數列 閑I的前兄項和為匐.若也正三U,且紜E&三亟, 則問.n【答案】E【解析】分析：利用等比數列的有關性質可得4;二再利用前網頁和公式即可得出.。口 Q 2-ctgj ag 2q3； q " 2 t 弋 _ ” , qUY3) _ 必口中).耳十12 一心叱 r十ir _1 - +1 -嚴=Mi - q將q J 雎入計算可得4泉即答案為今8.【2018屆吉林省梅河口市第五中學二模】設正項等比數列 園的前百項和為國，若近三三叵三切，則【解析】分析：由三軍5畫得到等比數列的公比臼，然后再根據基本不等式求解.詳解：設等比數列國的公比為".I曰1的最小值為4

25、.點睛：利用基本不等式求最值時要注意不等式成立的條件，即“一正二定三相等”，且三個條件缺一不可，解題時要說明等號成立的條件.9.【2018屆安徽省“皖南八校”第三次(4月)聯考】已知數列的前 口3的前W項和為% = 24=，。取層一數列的園的前他頁和為口，則滿足ZE友引的最小臼的值為. 【答案】9【解析】由數列%的前加頁和為國=即+3則當他生的寸，%=5” 羽T =2” = 2%所以風=歷品回- 2%)=心心碌+ 孫*二2力+ 2、所以數列仍陞1的前畸口為，=速普+哼乎=n(« + l) + 2"-2,當日=即寸=9 X 10 + 21<J-2 = 1112>

26、1024,當a =用寸7i=8xS + 2-2=592< 1024,所以;商足Q > 1024的最小門的值為n = 9.點睛：本題主要考查了等差數列與等比數列的綜合應用問題， 其中解答中涉及到數列的通項 0與£3的關系， 推導數列的通項公式，以及等差、等比數列的前日項和公式的應用，熟記等差、等比數列的通項公式和前日項 和公式是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力i10.12018屆寧夏石嘴山市4月一模)】在正項等比數列 an中，若a1,a3,2a2成等差數列，則2生.a3【答案】3 2.2.1 2【斛析】由于 4，一a3,2a2成等差數列，所以a3 a1 2a2,即a1q a 2a1q , q 2q 1 0,解得2q 拒1.故生q2 3 2五.a311.12018屆山東省名校聯盟第一次模擬】已知數列.Ill21（1）證明：數列 步匚可成等比數列， 之二司成（2）記數列回的前目項和為目求困.【答案】（1）見解析；（2）"廠一力厘 _£=1L_【解析】分析：（1）由題意，求得.顯一' =4,.7 - 數列的定義，證得結論.（2）由（1）得忖二£（町，1 L舁輔詳解：C1） % =