1、第一章 基礎數學實驗基礎實驗一 數列極限與函數極限一、實驗目的從劉徽的割圓術、裴波那奇數列研究數列的收斂性并抽象出極限的定義；理解數列收斂的準則；理解函數極限與數列極限的關系。二、實驗材料1.1割圓術中國古代數學家劉徽在九章算術注方田章圓田術中創造了割圓術計算圓周率。劉徽先注意到圓內接正多邊形的面積小于圓面積；其次，當將邊數屢次加倍時，正多邊形的面積增大，邊數愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積。“割之彌細，所失彌少。割之又割以至不可割，則與圓合體而無所失矣。”這幾句話明確地表明了劉徽的極限思想。以表示單位圓的圓內接正多邊形面積，則其極限為圓周率。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個角

2、度考察數列的收斂情況： m=2;n=15;k=10; Fori=2,i<=n,i+, li_:=N2*SinPi/(3*2i),k; (圓內接正多邊形邊長) si_:=N3*2(i-1)*li*Sqrt1-(li)2/4,k; (圓內接正多邊形面積) ri_:=Pi-si; di_:=si-si-1; Printi," ",ri," ",li," ",si," ",di t=Tablei,si,i,m,n (數組) ListPlott (散點圖)1.2裴波那奇數列和黃金分割 由有著名的裴波那奇數列。如果令，由

3、遞推公式可得出 ，；1 / 105。用下列Mathematica程序可以從量和形兩個角度考察數列的收斂情況： n=14,k=10; Fori=3,i<=n,i+, t1=(Sqrt5+1)/2; t2=(1-Sqrt5)/2; fi_:=N(t1(i+1)-t2(i+1)/Sqrt5,k; (定義裴波那奇數列通項) rn=(5(1/2)-1)/2-fi-1/fi;Rn=fi-1/fi;dn=fi-1/fi-fi-2/fi-1; Printi," ",rn," ",Rn," ",dn; t=Tablei,fi-1/fi,i,3,n

4、 ListPlott1.3收斂與發散的數列數列當時收斂，時發散；數列發散。1.4函數極限與數列極限的關系用Mathematica程序 m=0;r=10m;x0=0; fx_=x*Sin1/x Plotfx,x,-r,r Limitfx,x->x0觀察的圖象可以發現，函數在點處不連續，且函數值不存在，但在點處有極限。 令，作函數的取值表，畫散點圖看其子列的趨向情況 k=10;p=25; an_=1/n; tf=Tablen,Nfan,k,n,1,p ListPlottf Limitfan,nInfinity,Direction1分別取不同的數列(要求)，重做上述過程，并將各次所得圖形的分析

5、結果比較，可知各子列的極限值均為上述函數的極限值。對于，類似地考察在點處的極限。三、實驗準備 認真閱讀實驗目的與實驗材料后要正確地解讀實驗，在此基礎上制定實驗計劃（修改、補充或編寫程序，提出實驗思路，明確實驗步驟），為上機實驗做好準備。四、實驗思路提示3.1考察數列斂散性 改變或增大，觀察更多的項（量、形），例如，分別取50，100，200，；擴展有效數字，觀察隨增大數列的變化趨勢，例如，分別取20，30，50；或固定50；或隨增大而適當增加。對實驗要思考，例如，定義中的指標與柯西準則中的指標間的差異；數列收斂方式；又例如，如何估計極限近似值的誤差。3.2考察函數極限與數列極限的關系改變函數及

6、極限類型，例如，考慮六種函數極限，既選取極限存在也選取極限不存在的例子；改變數列，改變參數觀察更多的量，考察形的變化趨勢；擴展有效數字，提高計算精度。要對實驗思考，歸納數列斂散與函數斂散的關系。基礎實驗二 定積分數值計算一、實驗目的學習定積分的數值計算方法，理解定積分的定義，掌握牛頓-萊布尼茲公式。二、實驗材料2.1定積分的數值計算計算定積分的近似值，可將積分區間等分而得矩形公式 或 也可用梯形公式近似計算 如果要準確些，可用辛普森公式 對于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序為 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b

7、,k;（計算精確值） s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小區間左端點的矩形公式） s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; （取小區間中點的矩形公式） s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; （取小區間右端點的矩形公式） s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; （梯形公式） s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1

8、,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式） r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m;（誤差） t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100 利用以上程序計算、，并對幾個公式比較。2.2可積條件如果函數在區間上連續，則在區間上可積。反之不然。2.3牛頓-萊布尼茲公式設函數在上連續，而且是的一個原函數，則有牛頓-萊布尼茲公式。函數在不連續、不存在原函數，但在上可積；函數在不連續，但在上可積、

9、存在原函數。此外函數處處不連續、不存在原函數，在任意區間(長度大于0)上不可積。求原函數并驗證牛頓-萊布尼茲公式的Mathematica程序 fx_:=Sinx; Integratef(x),x（求不定積分） Fx_:=%（定義原函數） d=NIntegratef(x),x,a,b（求定積分） df=Fb-Fa （計算原函數的增量） r=d-df三、實驗準備 認真閱讀實驗目的與實驗材料后要正確地解讀實驗，在此基礎上制定實驗計劃（修改、補充或編寫程序，提出實驗思路，明確實驗步驟），為上機實驗做好準備。四、實驗思路提示3.1定積分的定義 先對一個函數，例如在區間0,1，在程序中改變（例如、）并適當

10、擴展有效數字（例如、），運行程序計算定積分的近似值，分析誤差。再考慮其它函數。最后對幾個公式比較。3.2牛頓-萊布尼茲公式 先對一個函數，例如在區間0,1, 運行程序計算。再考慮其它函數，例如指數函數、分段連續函數、。分析可積條件及牛頓-萊布尼茲公式成立的條件。基礎實驗三 盈虧轉折與投入產出一、實驗目的理解微觀經濟學的基本理論與方法，利用線性代數的有關理論和方法解決經濟管理中的盈虧轉折及投入產出問題。二、實驗材料2.1盈虧轉折分析 已知某企業的產品數量與成本的若干數據如下：產品數量（百件）61020成本數量（千元）104160370 設每件產品的出廠價=20（千元百件），判斷企業盈虧轉折時的產

11、品數量的變化范圍及企業獲取最大利潤額時的產品數量。設成本函數，其中為待定系數；產值函數 ，于是利潤函數 成本函數的導函數稱為邊際成本，利潤函數的導函數稱為邊際利潤。設與為方程的兩個實根與稱為盈虧轉折點。當并且時，即使企業獲得利潤的產品數量的范圍為；而在這個范圍之外企業不能獲得利潤。利潤函數的唯一極大值點即的最大值點，就是使企業獲得最大利潤的產品數量。 Mathematica程序 data=6，104，10，160，20，370；（原始數據） InterpolatingPolynomialdata，x（求內插多項式，即成本函數） Lx_：=2 0*x-（0.5*x2 6*x+50）（利潤函數）

12、RootsLx=0，x（利潤函數的零點） FindMaximumLx，x，0（求利潤函數的極大值） MATLAB程序 >>x=6，10，20； %產品數量 y=104，160，370； %成本數量 c=polyfit（x，y，2） %擬合二次多項式 >>c=0，20，0-c； rroots(c) %求盈虧轉折點 >>r1=roots（polyder（c）%求微分多項式的根 >>L=polyval（c，rl）%求最大利潤2.2投人產出分析 某地區有三個重要產業，一個煤礦，一個發電廠和一條地方鐵路。開采一元錢的煤，煤礦要支付0.25元的電費及0.25

13、元的運輸費；生產一元錢的電力，發電廠要支付0.65元的煤費，0.05元的電費及0.05元的運輸費；創收一元錢的運輸費，鐵路要支付 0.55元的煤費及0.10元的電費。在某一周內，煤礦接到外地金額為50000元的定貨，發電廠接到外地金額為 25000元的定貨，外界對地方鐵路沒有需求，問三個企業在這一周內總產值多少才能滿足自身及外界的需求？ 設為煤礦本周內的總產值，為電廠本周內的總產值，為鐵路本周內的總產值，則 （3.1）記 矩陣稱為直接消耗矩陣，稱為產出向量，稱為最后需求向量，則方程組（3.1）表示為 或 （3.2）其中矩陣為單位矩陣，稱為列昂杰夫矩陣，列昂杰夫矩陣為非奇異矩陣。 設， 矩陣稱為

14、完全消耗矩陣，它與矩陣一起在各個部門之間的投入產出中起平衡作用。矩陣可以稱為投入產出矩陣，它的元素表示煤礦，電廠，鐵路之間的投入產出關系。向量稱為總投入向量，它的元素是矩陣的對應列元素之和，分別表示煤礦，電廠，鐵路得到的總投入。由矩陣，向量，和，可得投入產出分析表如下：表3.1 投入產出分析表（單位：元） 煤礦電廠鐵路外界需求總產出煤礦錯誤！鏈接無效。電廠鐵路總投入 Mathematica程序 A2=1,-0.65,- 0.55,- 0.25,0.95,- 0.10,-0.25,-0.05,1（列昂杰夫矩陣） A2.x1，x2，x3=50000，25000，0（方程組） Solve,xl,x2

15、,x3（解方程組，求出總產出） X2=102087.48,0,0,0,56163.02,0,0,0,28330.02 C2=（IdentityMatrix3-A2）.X2（求投入產出矩陣） D2=1,1,l。C2（求總投入） MATLAB程序 >>A= 0，0.65，0.55；0.25，0.05，0.10；0.25，0.05，0； %輸入系數矩陣 Y=50000，25000，0； %輸入外界需求 X（eye（size（A）-A）Y %求總產出 >>C=A*diag（X）%求投入產出矩陣 >>D=ones（size（X）*C %求總投入量 >>Y=

16、80000，8000，800；%輸入最終需求 >>X=（eye（size（A）-A）；Y %求未來產出向量2.3練習題 1、解線性方程組 （1） （2） 2、某機床廠的產品數量與成本的數據如下： 產品數量（臺）51015成本（千元）100155220求其成本函數，盈虧轉折點及最大利潤值。 3、在某經濟年度內，各經濟部門的投入產出表如下： 單位：（10億元）工業農業第三產業最后需求（）總產值（）工業6211625農業2.2510.21.555第三產業30.21.81520假設經濟年度工業，農業及第三產業的最后需求均為17（10億元），預測經濟年度工業，農業及第三產業的產出。基礎實驗四

17、 矩陣與幾何變換一、實驗目的理解矩陣的一些性質和特征、矩陣與幾何變換的關系，了解代數與幾何的聯系。二、實驗材料2.1齊次坐標和齊次變換矩陣幾何變換是計算機輔助圖形設計中的基本技術，有著廣泛的應用。為了在形式上將幾何變換統一表示，引入了齊次坐標和齊次變換矩陣。二維直角坐標系中，直角坐標為的點的齊次坐標表示為，其中是不為零的常數，一個點的齊次坐標不是唯一的。齊次坐標和代表同一個點。二維直角坐標系中的齊次變換矩陣形式為，通常將其分塊為，其中，。2.2幾何變換和矩陣的對應關系一個幾何變換對應一個形為 的齊次變換矩陣；反之，一個這種形狀的可逆矩陣對應一個幾何變換。矩陣的逆與它對應的幾何變換的逆變換相對應

18、，如旋轉角度為的變換對應的齊次變換矩陣為 其逆變換對應的齊次變換矩陣恰為此變換矩陣的逆矩陣 平移量為的平移變換、比例系數與的比例變換、比例系數的整體比例變換、錯切系數為的向的錯切變換、錯切系數為的向的錯切變換、關于軸對稱的變換、關于直線對稱的變換的齊次變換矩陣分別為、。2.3可逆矩陣的初等分解和幾何變換的初等分解 一個形為的可逆矩陣可以表示為一系列初等矩陣的乘積；一個幾何變換可以表示為一系列簡單幾何變換的乘積。 常見的簡單幾何變換有：平移量為的平移變換，平移量為的平移變換，向比例系數為的比例變換，向比例系數為的比例變換，錯切系數為的向的錯切變換，錯切系數為的向的錯切變換，關于軸對稱的變換，關于

19、直線對稱的變換。 練習1 幾何變換能改變圖形的形狀、大小和方位，象比例放縮、平移、對稱（亦稱鏡象）等，是計算機輔助圖形設開的基本方法和工具。在二維直角坐標系中，試用一個矩陣實現關于直線對稱的齊次變換。該變換等于以下五個變換的乘積：平移量為的平移變換，旋轉角度為的旋轉變換，關于軸對稱的變換，的逆變換，的逆變換。從而所求的矩陣為。Mathematica程序如下： a=- ArcTan3； T1=1，0，0，0，1，0，0，- 5，l； T2=Cosa，Sina，0，- Sina，Cosa，0，0，0，l； T3=1，0，0，0，- 1，0，0，0，1； T=NT1。T2。T3。InverseT2。

20、InverseT1 練習2 幾何變換也是生成計算機動畫的基本手段和方法。在二維直角坐標系中，中心坐標為( 0 , 0 ) ,半徑為1的圓繞點旋轉一周，要求每隔畫一個圓，并給出動畫演示。繞點旋轉角的齊次變換矩陣為 Mathematica程序如下： x0=0；y0= 0； r=1；n= 30； xp=2；yp=2； a=2Pin； g3= ； g1= ParametricPlot xp+2*Sqrt2Cost，yp+2Sqrt2Sint,t，0，2Pi, AspectRatio->1，PlotRange->-3，6，-3，6，Plotstyle->RGBColor1，0，0， D

21、isplayFunctity> Identity； T11，0，0，0，1，0，-xp，-yp，l； Fori=0，in,i+， T2=Cosa*i，Sina*i，0，-Sina*i，Cosa*i，0，0，0，1； TT= T1.T 2.InverseT； xc= Partx0，y0，1.TT，1； yc=Partx0，y0，l。TT，2； xt_=xc+r*Cost; yt_= yc+ r*Sint； g2=ParametricPlotxt，y t，t，0，2*Pi，AspectRatio->1， PlotRange->-3，6，-3，6，DisplayFunction-&

22、gt; Identity； g3=Appendg3，GraphicsDiskxc，yc，0.1； Showg1，g 2，g 3，DisplayFunction->DisplayFunction 用Mathematica的動畫播放功能，播放這一系列圖形，以理解旋轉變換在此的作用，并注意它的用法。 練習 3 證明矩陣能代表一個幾何變換，并將其進行初等分解。能否代表一個幾何變換，取決于這一矩陣是否可逆。求矩陣的行列式值的Mathematica程序 T=1，2，0，3，4，0,5，6，1； DetT 結果為。可見，矩陣是可逆的，能代表一個幾何變換。又利用矩陣的初等分解方法可知，可以進行如下把變換

23、為單位矩陣的過程，Mathematica程序為： T1=1，0，0，-3，1，0，0，0，1；（矩陣的第一行乘以-3加到第二行） T2=l，0，0，0，1，0，-5，0，1； T3=l，0，0，0，-12，0，0，0，1； T4=1，- 2，0，0，l，0，0，0，1； T5=1，0，0，0，1，0，0，4，l； T5* T4* T3* T2* T1*T （矩陣變換為單位矩陣） 初等行變換矩陣 、分別左乘矩陣得單位矩陣。所以有 矩陣代表的幾何變換可分解出五個簡單變換的乘積。練習4 幾何變換還是產生新圖形的重要方法。令正方形圍繞其中心旋轉且放大，得到一組正方形。使得每個后繼的正方形恰包含前一個，

24、這樣畫出過程中的每個正方形，便形成了正方形的螺旋線。設初始正方形的四個頂點坐標分別為,每次旋轉的角度為。很明顯，此問題包含旋轉和比例兩個變換，每次旋轉的角度為，比例系數經過簡單推導可得為，又相應于這兩個變換的齊次變換矩陣為 ,而且后一個正方形的各端點等于前一個正方形相應的端點依次經過上述的旋轉和比例變換后的結果。根據以上分析，可編出求解Mathematica程序如下： x10=-1；y10=-1； x20=1；y20 = -1； x30=l；y30=1； x40=-1；y40=1； a=Pi30； s Sina+Cosa； T1=Cosa，Sina，0，-Sina，Cosa，0，0，0，l；

25、T2=s，0，0，0，s，0，0，0，1； TT=NT1。T 2 G1= ； Fori=1，i < 2 0,i+， v1=Nx10，y1 0，1。TT； v2=N x20，y20，1。TT； v3=Nx30，y30，l。TT； v4=N Fx40，y40，1。TT； xl= Partv1，l； y1=Partvl，2； x2=Partv2，1； y2=Partv2，2； x3=Partv3，1； y3=Partv3，2； x4=Partv4，1； y4=Partv4，2； g1= Appendg1，GraphicsLinexl，y1，x2，y2，x3，y3，x4，y4，x1，y1，Asp

26、ectRatio->1，PlotRange->-10，10，-10，10； x10=x1；y10=y1； x20=x2；y20=y2； x30=x3；y30=y3； x40=x4；y40=y4； Show g1輸入并運行此程序，以理解這里的實現方法。2.4思考題 1、求二維直角坐標系中，繞點旋轉的齊次變換矩陣，其中點的齊次坐標為。 2、求二維直角坐標系的中，關于直線對稱的齊次變換矩陣。 3、在二維直角坐標系中，中心坐標為，長短半軸長分別為2，1的橢圓，繞點旋轉一周，要求每隔畫一個橢圓，并給出動畫演示。 4、證明矩陣 能代表一個幾何變換，并將其進行初等分解。5、做出正六邊形的螺旋線。

27、提示：比例系數為，其中為每次旋轉的角度，為正六邊形的內角。基礎實驗五 數據擬合與曲線擬合一、實驗目的 對于某個變化過程中的相互依賴的變量，可建立適當的數學模型，用于分析、預報、決策或控制該過程。對于兩個變量可通過用一個一元函數去模擬這兩個變量的取值，但用不同的方法可得到不同的模擬函數。 使用最小二乘法來進行數據擬合，用基本函數曲線及其變化模擬給定的曲線，理解擬合方法。二、實驗材料2.1 曲線擬合 （1）初等函數包括基本初等函數與它們經過加減乘除復合等運算后所得到的函數的圖形及其變換。擬合函數為多項式情形理論上已經解決，稱為拉格朗日插值多項式。（2）光滑曲線的有關內容，包括分段函數的連續性、一階

28、可導性與高階可導性。（3）方程或方程組的求解，包括超越方程或方程組的近似解法，線性方程組的精確解。2.2最小二乘法給定平面上一組點(,)()作曲線擬合有多種方法，其中最小二乘法是常用的一種。最小二乘法的原理是：求,使達到最小。擬合時，選取一定的擬合函數形式，設擬合函數的基底函數為 擬合函數為 確定使方差達到極小，此時得到的即為所求。為使取到極值，將的表達式代入，對求的偏導數，令其等于零，得到方程組成的方程組，從中求解。當=1時，取擬合函數，此做法稱為線性擬合，統計學上叫做線性回歸。此時，臨界方程組為 從中解出與，有，其中 ， , 。Mathematica提供了最基本的數據擬合函數Fit，這個函

29、數使用最小二乘法產生基函數的線性組合以構造出擬合函數。函數的參數表中包括三項：第一個參數是被擬合的數據；第二個參數是一個表，用于說明擬合用的基函數；第三個參數是擬合變量。2.3 線性擬合練習1 為研究某一化學反應過程中溫度對產品得率(%)的影響,測得數據如下：10011012013014015016017018019045515461667074788589試求其線性擬合曲線。 Mathematica程序: b1=100,45,110,51,120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78, 180,85,190,89 （將數據以表的形式輸入） ft1=Fit

30、b1,1,x,x （用Fit擬合，這里是線性擬合） gp=Plotft1,x,100,190,PlotStyle->RGBColor1,0,0 （作擬合曲線的圖形） fp=ListPlotb1,PlotStyle->PointSize0.05,RGBColor0,0,1 （作散點圖） Showfp,gp （顯示點組與擬合曲線，作圖。下面為計算殘差的程序） a= ;b= ; （a，b的值由上面的結果確定） fx_=a*x+b; （擬合函數） darata=Sum(b1i,2-fb1i,1)2,i,1,10(計算殘差)改變b1去掉b1中的一組數據100，45，求改變后的線性擬合曲線去掉

31、b1中的一組數據110，51，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據120，54，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據130，61，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據140，66，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據150，70，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據160，74，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據170，78，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據180，85，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的一組數據190，89，求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，45，110，51求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，

32、45，120，54求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，45，130，61求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，45，140，66求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，45，150，70求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的兩組組數據100，45，160，74求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的三組組數據100，45，110，51，190，89求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的三組組數據100，45，160，74，180，85求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的四組組數據110，51，160，74，170，78求改變后的線性擬合曲線去掉b1中的四組組數據120

33、，54，150，70，190，89求改變后的線性擬合曲線增加b1中的一組數據125，58，求改變后的線性擬合曲線2.4 非線性擬合練習2 在某一化學反應里，由實驗得到生物的濃度與時間（分）的關系如下123456789101112131415164.06.48.08.49.289.59.79.910.010.210.3210.4210.510.5510.5810.6求濃度與時間關系的擬合曲線。 提示：先用ListPlot語句描點，觀察點的分布情況，以確定擬合函數。 (1)用多項式函數擬合的Mathematica程序: Cleargp,fp; b2=1,4,2,6.4,3,8.0,4,8.4,5,

34、9.28,6,9.5,7,9.7,8,9.86,9,10.0,10,10.2, 11,10.32,12,10.42,13,10.5,14,10.55,15,10.58,16,10.6 gp=ListPlotb3,PlotStyle->RGBColor0,1,0,PointSize0.04 ft2=Fitb3,Tablexi,i,0,4,x （用四次曲線擬合） fp=Plotft2,x,0,17,PlotStyle->RGBColor1,0,0 Showgp,fp fx_=expr; （用擬合的多項式函數來定義f(x)） darata=Sum(b2i,2-fb2i,1)2,i,1,1

35、6(計算殘差) (2)用函數作擬合，求擬合曲線。作變換,，擬合函數變形為。Mathematica程序為: fxx_:=1/x fyy_:=Logy nb=Tablefxb2i,1,fyb2i,2,i,1,16 ft3=Fitnb,1,x,x （擬合） f4=a*Expb/x （a，b的值由上面的結果確定） t1=Plotf4,x,1,18,PlotStyle->RGBColor1,0,0 t2=ListPlotb2,PlotStyle->RGBColor0,1,0,PointSize0.05 Show%,% (3)用作擬合。Mathematica程序為: gy_:=1/y sb=T

36、ableb2i,1,gb2i,2,i,1,16 ft5=Fitsb,1,1/x,x f5=1/ft5 t3=Plotf5,x,1,16,PlotStyle->RGBColor0,0,1 Showt1,t2,t3（在一張圖上比較一下用兩種方法得到的函數曲線） （4）用分段函數作擬合。2.4 思考題 1、在鋼線碳含量（）對于電阻（）的效應的研究中，得到以下數據：0.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.826求其線性擬合曲線.2、一種合金在某種添加劑的不同濃度（）之下作抗壓強度（）實驗，得數據如下：10.015.020.025.030.025.22

37、9.831.231.729.4以模型作曲線擬合。3、下表是某年美國轎車價格的調查資料, 以模型作曲線擬合:使用年數12345678910平均價格2615194314941087765538484290226204 4、待擬合數據如下23456789101112131415166.248.29.589.69.6109.939.9910.4710.5910.610.810.610.910.75 試作非線性擬合。第二章 探索數學實驗探索實驗一 素數一、實驗背景與實驗目的 德國數學家高斯說過，數學是科學的女王，而數論則是數學的女王。在數論這一充滿了趣味而布滿荊棘的領域中，有關素數的問題(如著名的Gol

38、dbach猜想)始終是最富有魅力最吸引人的研究問題。本實驗將探索素數的規律及其相關的某些有趣問題。具體地，請同學們研究下列素數問題：（1）素數表的構造；（2）素數的判別；（3）最大的素數；（4）構造生成素數的公式；（5）素數的分布。我們希望通過本節的學習激發同學們對數論的好奇心，讓同學們被自然數的神奇規律而折服，同時讓同學們認識到探索自然數規律的艱難性。二、實驗材料2.1素數的判別與求解如果一個大于1的自然數只能被l及它本身整除，則該數稱為素數，否則稱為合數。從數學史的黎明時期開始，數學家們就一直在探索自然數的奧秘。遠在古希臘時代，歐幾里得就證明了每一個合數都可以分解為若干個素數的乘積，并且在

39、不計較素數排列順序時這種分解是唯一的，這就是所謂的算術基本定理。算術基本定理表明，素數是構造自然數的基石，正如物質的基本粒子一樣。正是由于素數如此重要的地位才使得一代又一代數學家努力地探詢素數的規律。首先，一個最基本的問題是素數到底有多少個?會不會在某一充分大的自然數以后就沒有素數呢?建議同學們先做以下實驗：假設已知前個素數，它們按從小到大的順序排列為。對，計算。問：1)是否都是素數? 2)如果不是素數，是否含有不同于，的素因子?Mathematica 程序： NumPn_Integer:= Modulei,Num, Num=ProductPrimei,i,1,n+1; PrintNum; P

40、rintPrimeQ Num; PrintFactorIntegerNum DoNumPn,n,1,20根據實驗結果，猜測素數是否有無窮多個?試給出證明。關于素數的下一個基本問題是:如何求出小于某一給定整數的所有素數?古希臘另一位學者Eratosthenes給出了解決這一問題的方法，這一方法被后人稱為Eratosthenes篩法。Eratosthenes篩法的基本思想是，將自然數列從2開始按順序排列至某一整數。首先，從上述數列中劃除所有2的倍數(不包括2)。在剩下的數中，除2外最小的是3。接著，從數列中劃掉所有3的倍數(不包括3)。然后在剩下的數中，再劃去5的倍數。這個過程一直進行下去，則最后

41、剩下的數就是不超過的所有素數。借用Eratosthenes篩法，經過眾多學者的艱辛努力，D.N.Iehmer于1914年編織出了10 000 000以內的素數表。利用Eratosthenes篩法，請同學們手工編寫100以內的素數表。據此，思考如何估計利用篩法編寫10000000以內的素數表的工作量?利用Eratosthenes篩法，通過計算機編程求10000以內的所有素數。Mathematica 程序：Sieven_Integer:= Module t=,i,temp, Fori=2,i<=n,i+,AppendTot,i; Fori=1,Primei<=Sqrtn,i+,temp

42、=Primei; t=Selectt,(#1=temp|Mod#1,temp!=0)& tSieve1000篩法是用乘法尋找素數。實際上，也可以用除法判別一個數是否是素數。而且，用除法的效率可能會更高。假設我們已經找到了前個素數，為了尋找下一個素數我們從開始依次檢驗每一個整數，看是否能被某個，整除。如果能被前面的某個素數整除，則為合數。否則即為下一個素數，實際上，為了提高算法的效率，人們不需用前面的每一個素數去試除，而只需用不超過的素數去除就可以了。利用試除方法，通過計算機編程求10000以內的所有素數。Mathematica 程序：DivPrimen_Integer:= Module

43、 t=,i,j,temp,divided, Fori=2,i<=n,i+, j=1;divided=False; WhilePrimej<=Sqrti&&(!divided), temp=Primej; divided=(Modi,temp=0);j=j+1; If!divided,AppendTot,i ; tDivPrime10000 試將試除法與篩法進行比較，哪一個更有效?在以上Mathematica 程序后分別加上程序TimingSieve10000，TimingDivPrime10000。雖然從理論上來說，Eratosthenes篩法和試除方法可以求出所有

44、的素數，但是通過上面的實驗可能會發現，利用這些方法構造大的素數表是不切實際的。例如，要構造以內的素數表，利用當今最快的計算機也得需要近大約一億年。實際上，數學工作者一直在致力擴大素數表的范圍。尋找更大的素數不僅是數學愛好者的樂趣，更是實際應用工作者(如密碼編碼者)努力追尋的事。數十年前，象l l1(23個1)以及的素性判別問題難倒了許多睿智的數學家。當今，數學家研究出了一套非常復雜而高深的技巧來對數的素性進行檢驗。尋找到的最大素數的高峰一股勁地向上無限攀升。截止到2008年，所找到的最大素數是，這是第 46個 梅森(Mersenne)素數，其十進制形式有1300萬位！為了領略一下隱藏在這些高深

45、技巧下面的數學思想，請同學們做以下實驗。對，觀察被整除所得的余數。從觀察結果你能得出什么結論?再取其它的整數 (如3，4，5)，觀察被整除的情況。特別注意觀察當為素數時的結果。能否因此確信你的結論?進一步，你所得出的結論的逆命題是否成立?由此，用你的結論能否給出判別一個數是否是素數的判別方法? 對互質的整數及，求使得除的余數為1的最小整數。當視為素數時，觀察與之間的關系，你能得到什么結論?類似地，對做進一步的觀察，你能否確信你的結論?你所得出的結論的逆命題是否成立?Mathematica 程序： Mn_Integer:=Moduley,k,m=2; k=m(n-1);x=Modk,n; Pri

46、ntn," ",PrimeQn," ",x," ",GCDm,n DoMn,n,2,200上述實驗表明，給出一個簡明的素數判別準則并不容易，通常需要將更多高深的技巧與之結合才能給出判別素數的更有效方法。對于具有特殊結構的數的素性判別，有更加快捷的方法。這方面最引人注目的例子是Mersenne數，即形如的數。利用Mersenne數可以構造出非常大的素數，如前面指出的最大素數。對，判斷哪些Mersenne數是素數?如果為合數，Mersenne數是素數還是合數?如果為素數，Mersenne數是否一定是素數?Mersenne數素性判別的Mathematica 程序：Mersennen_Integer:= Module M,i,u=4, If!Prime Qn, False, M=2n-1; Fori=1,i<n-1,i+,u=Modu2-2,M;, Ifu=0,True,False 從實驗中可以看到，Mersenne素數是極其稀少的。借助大型計算機的威力，截止2008年，數學家僅發現了46個Mersenne素數。可以看出，Mersenne素數的分布是極不規則的！如何通過判斷是否是素數?數學家Lucas與Lehme