1、必修2-第二章-點、直線、平面之間的位置關系知識點第二章 點、直線、平面之間的位置關系知識點 一、空間點、線、面間的位置關系【課標要求】借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上，抽象出空間線、面位置關系的定義，并了解公理14和空間等角定理。【例題1】如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E，F分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CG=BC，CH=DC，求證：（1）E，F，G，H四點共面；（2）三直線FH，EG，AC共點.【解析】本題考查空間點、線、面間的位置關系，需要用公理1-3來解決；【答案】如圖（1）連接EF，GH，由E，F分別為AB，AD中點，EF

2、 BD，由CG= BC，CH= DC，HGBD，EFHG且EFHG，EF，HG可確定平面，E,F,G,H四點共面；（2）由（1）知EFHG為平面圖形，且EFHG，EFHG.，四邊形EFHG為梯形，設直線FH直線EG=O，點O直線FH，直線FH面ACD，點O平面ACD，同理點O平面ABC，又面ACD面ABC=AC，點O直線AC（公理2），三直線FH，EG，AC共點.【歸納拓展】1、證明點線共面的常用方法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；或者先證明有關的點、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面,重合；2、線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點，證明三線共點的依據是公

3、理3，證明三線共點的方法是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點；把問題轉化為證明點在直線上的問題，實際上，點共線、線共點的問題都可以轉化為點在直線上的問題來處理。【變式訓練1】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由；（1）直線AC1平面CC1B1B；（2）設正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O，O1，平面AA1C1C 平面BB1D1D=OO1；（3）點A，O，C可以確定一個平面；（4）由點A，C1，B1確定的平面是ADC1B1；（5）由A，C1，B1確定的平面和由A，C1，D確定的平面是同一平面；【變式訓練2】如圖所示，空間四邊形ABCD

4、中，E，F，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE:EB=CF:FB=2:1，CG: GD=3:1，過E，F，G的平面交AD于H，連接EH.（1）求AH:HD；（2）求證：EH，FG，BD三線共點. 二、直線、平面平行的判定與性質【課標要求】以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行的判定與性質。【例題2】如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2,點E、F分別是棱CC1、BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.(1)當點M在何位置時，MB平面AEF;(2)若MB平面AEF，判斷MB與EF的位置關系，說明理由，并求

5、MB與EF所成角的余弦值.【解析】對于第(1)題，可采用分析法得到，即假設MB平面AEF，則平面MBF與AEF的交線與MB平行，由平面幾何的知識不難探求M應為AC的中點;第(2)題MB與EF異面可由判定定理推證，求夾角用平移法.【答案】(1)如圖，當M是線段AC中點時，MB平面AEF.取AE中點N，連接NF,MN，則MNCEBF,，MN=BF，MNBF，MNFB是平行四邊形，MBBF，又平面AEF，平面AEF，MB平面AEF；(2)MB與EF是兩條異面直線.EF平面BB1CC1 ,B平面BB1CC1,B直線EF,M平面BB1CC1，MB與EF是異面直線由(1)知MBNF,EFN就是異面直線MB

6、與EF所成的角，由平面ABC平面AA1CC1，BMAC,知MB平面AA1CC1，又NFMB,FN平面AA1CC1FNAE，而N是AE的中點,EF=AF=，NF=BM=，在RtEFN中,cosEFN=.即所求角的余弦值為.【歸納拓展】判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質定理(,aa);【變式訓練3】如圖所示，在棱長為的正方體中，分別是，的中點(1)求證：平面(2)求的長(3)求證：平面【變式訓練4】如圖，四邊形ABCD為矩形，M，N分別是EC與AB的中點，求證：MN平面ADE.MDNBCEA

7、【例題3】如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，截面與棱AB，CD都平行.(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍。DBCEGFAH【解析】第(1)題，由條件的線面平行到所求的線線平行，考查線面平行的性質，第(2)題需要把周長用一個適當的參數表示，利用函數思想來解決。【答案】(1)AB面EFGH，AB面ABC，面ABC面EFGH=EF，ABEF，同理ABGH，EFGH，又CD面EFGH，同理EHFG，四邊形EFGH為平行四邊形；(2)設，由(1)知EFAB，即，EF=4x，又GHCD，即，EH=6(1-x)，四邊形EFGH的周

8、長為l=2(4x+6-6x)=4(3-x)，0x1，8l12.【歸納拓展】平行關系可以相互轉化，下面是它們之間轉化關系：【變式訓練5】如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，截面為平行四邊形.(1) 求證：截面EFGH與棱AB，CD都平行；(2)當對棱AB，CD滿足什么位置關系時，平行四邊形EFGH為矩形？說明理由；(3)若AB=4，CD=6，當平行四邊形EFGH為矩形時，求它面積的最大值，并求此時點E、F、G、H的位置。DBCEGFAH三、直線、平面垂直的判定與性質【課標要求】以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的判定與

9、性質。【例題4】如圖，ABCD為矩形，PA平面ABCD ,M、N分別為AB、PC的中點，(1) 證明：ABMN; (2)若平面PDC與平面ABCD成角，證明：平面MND平面PDC.ABCDPMN【解析】第(1)題證明線線垂直，可以用等腰三角形性質，也可用線面垂直的性質，第(2)題需要作出(或找出)二面角的平面角，再證線面垂直，進而得到面面垂直。【答案】證法一：(1)如圖，連接AN與BN，PA平面ABCD，PAAC，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCPB，BN=PC，又PAAC，AN= PC，BN=AN，ABN為等腰直角，又M為AB中點，MNABABCDPMN(2)PA平面ABCD，PA

10、CD，又CDAD，CD平面PAD，PDA為平面PDC與平面ABCD所成的角，PDA=45，PA=AD=BC，又AM=MB，PAM=CBM=90，PAMCBM，PM=CM，又N為PC中點，MNPC，由(1)知MNAB，又ABCD，MNCD，PC與CD相交，MN平面PCD。證法二：(1)取PD中點Q連接AQ、NQ，AMCD，NQCD，AMNQ，四邊形AMNQ為平行四邊形，易證AMPA，又AMAD，AM平面PAD，AMAQ，又MNAQ，MNAM，即MNAB；ABCDPMNQ(2) PA平面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，PDA為平面PDC與平面ABCD所成的角，PDA=45，PAAD

11、，AQPD，又MNAQ，MNPD，由(1)MNAB，又由ABCD，MNCD，CD與PD相交，MN平面PCD，平面MND平面PCD。【歸納拓展】空間的線線垂直，一般由線面垂直來證明，而線面垂直又可以由線線垂直或面面垂直證明，所以靈活運用垂直關系的轉化是證明的關鍵；垂直的轉化關系如下：線線垂直線面垂直面面垂直【變式訓練6】如圖所示，已知三棱錐P-ABC中，PC底面ABC，AB=BC，D、F分別是AC、PC的中點，DEAP于E，(1)求證：AP平面BDE；(2)求證：平面BDE平面BDF；DAEPFCB【例題5】如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，

12、且BF平面ACE. （1）求證：AE平面BCE； （2）求二面角BACE的余弦值； （3）求點D到平面ACE的距離.DFECBA【解析】第(1)題，要證AE平面BCE，只需證AEBC，與AEBF，第(2)題，要求二面角的平面角，需要作出(或找出)平面角來，從棱出發作出兩條射線都與AC垂直，這實際上也是一個線面垂直問題，連接BD與棱AC相交來找思路，第(3)題，D到平面ACE的距離需要過D作平面ACE的垂線段，不易直接作，可利用對稱性，轉到B到平面ACE的距離。【答案】(1)證明：BF平面ACE，BFAE，二面角DABE為直二面角，且CBAB，CB平面ABE，CBAE，AE平面BCE.DFECB

13、AG(2) 連接BD交AC于G點，ACGB，又BF平面ACE，BFAC，AC平面BGF，ACGF，BGF為二面角B-AC-E的平面角，由(1)知AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，EB=，FB=，BF平面ACE，BFGF，在RTBGF中，BG=，GF=，cosBGF=；(3)BD的中點G在平面ACE上，D點到平面ACE與B到平面ACE的距離相等，又BF平面ACE，BF長為B到平面ACE的距離，所求距離為【歸納拓展】1、求二面角的步驟：（1）作出二面角的平面角；（2）證明該角兩邊都與棱垂直；（3）指出該角就是二面角的平面角；（4）計算該角大小；簡記為作、證、指、算；2、求點到面的距

14、離的方法分為：（1）直接法，作出點到面的垂線段來，再求其長；（2）間接法，把所求的距離看作是一幾何體的高（通常是椎體），再用等體積法把高求出，或者轉化成其它點到平面的距離；【變式訓練7】如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中點。求證：（1）PA平面BDE （2）平面PAC平面BDE（3）求二面角E-BD-A的大小。 四、空間位置關系的簡單證明【課標要求】能運用已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題。【例題6】如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EFAB,EF平面BFC,BFC為等腰直角三角形，BF=FC,H為BC的中點，

15、(1)求證：FH平面EAC；(2)求證：面EAC面ABCD；(3)求證：BD平面EAC； (4)求四面體BDEF的體積；CBAEFDHG(1)證明：設AC與BD交于點G，則G為AC的中點. 連EG，GH，由于H為BC的中點， GHAB 又EFAB，EFGH 四邊形EFHG為平行四邊形，EGFH，而EG 平面EDB，FH平面EDB.(2)證明： EF平面BFC， EFFH，EFAB， ABFH，又BF=FC， H為BC的中點，FHBC， FH平面ABCD，FHEG，EG平面ABCD，又EG平面EAC，面EAC面ABCD；(3)由(2)知EG平面ABCD,EGBD, 又四邊形ABCD為正方形，BDAC，EGAC=G， BD平面EAC.(4) EF平面BFC，EFBF，又BFC為等腰直角三角形，BF=FC，BFFC， BF平面CDEF，