1、高等數學（下）主講楊益民高等數學（下）主講楊益民高等數學曲面及其方程高等數學曲面及其方程.化工廠或熱電廠的冷卻塔化工廠或熱電廠的冷卻塔 ( (旋轉雙曲面旋轉雙曲面) ) 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念 二、旋轉曲面二、旋轉曲面 三、柱面三、柱面 四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念平面解析幾何中平面解析幾何中 如果某曲線如果某曲線c c上的點與一個二元方程上的點與一個二元方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解建立了如下的關系：的解建立了如下的關系：(1) (1) 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2) (2) 以這個方程的解為

2、坐標的點都在曲線上，以這個方程的解為坐標的點都在曲線上， 那么，這個方程叫做曲線的方程，那么，這個方程叫做曲線的方程， 這條曲線叫做方程的曲線。這條曲線叫做方程的曲線。任何曲面都可以看作是點的幾何軌跡任何曲面都可以看作是點的幾何軌跡.曲面曲面 S 與三元方程與三元方程 (1) 0 z , y, xF則方程則方程(1)就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程, 而曲面而曲面S就叫做方程就叫做方程(1)的圖形的圖形.有下述關系：有下述關系： 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程上任一點的坐標都滿足方程(1); 不在曲面不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程上的點的坐標都不滿足方程(1),xyzS 0 z ,y

3、,xFo空間解析幾何中空間解析幾何中R解解 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 2222Rzyx xyz 0000z ,y,xM o(2)RMM 0若球心在原點，則若球心在原點，則,zyx0000 球面的方程為球面的方程為半徑為半徑為 R 的球面方程的球面方程.就是以就是以 0000z ,y,xM為球心為球心 , z ,y,xM (3)例例1 1 求到點求到點M0 (x0, y0, z0) 的距離等于的距離等于R的點的軌跡方程的點的軌跡方程.設設軌跡上的動點為軌跡上的動點為M(x,y,z)即即則則以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.解：解：MBMA 07262

4、 zyx 222321 zyx 222412 zyx例例2 2 求到求到A (1,2,3),B(2,- -1,4)兩點距離相等的點的軌跡方程兩點距離相等的點的軌跡方程. .設設軌跡上的軌跡上的動點為動點為M(x,y,z)即即整理得整理得即為所求點的軌跡方程即為所求點的軌跡方程. .線段線段 的垂直平分面的垂直平分面. .ABM ABM 有有配方得配方得 . 521222 zyx半徑為半徑為 的球面的球面.5 R解解 ,M0210 原方程表示球心在點原方程表示球心在點一般地，三元二次方程一般地，三元二次方程0222 GFzEyDxAzAyAx例例3 3 方程方程042222 yxzyx表示怎樣的

5、曲面表示怎樣的曲面?(1) x2, y2, z2項系數相同項系數相同; (2) 缺缺 xy , yz , zx 項項.其圖形可能是一個其圖形可能是一個球面球面，或或點點，或或虛軌跡虛軌跡.GAFEDAFzAEyADx 4222222222特點：特點：以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀（討論旋轉曲面）（討論旋轉曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一

6、條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線分這條曲線和定直線分別稱為旋轉曲面的別稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋

7、轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線

8、一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉

9、曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線

10、旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直

11、線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義：定義：以一條平面曲以一條平面曲線繞其平面上的一條線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的直線旋轉一周所成的曲面稱為曲面稱為旋轉曲面旋轉曲面。這條曲線和定直線一這條曲線和定直線一次稱為旋轉曲面的次稱為旋轉曲面的母母線線和和旋轉軸旋轉軸。ozyxC1、yOz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸軸旋轉所成曲面旋轉所成曲面的的方程方程: :), 0(111zyM ),(zyxM (4) 0,11 zyf.1zz 0, zyfCyOz：面面的的曲曲線線設設 ,SzyxM 1110z ,y,M22yxd

12、M點到點到z軸的距離軸的距離 022 z ,yxf2211yxy, zz 將將代入（代入（4）得）得就是所求就是所求旋轉曲面旋轉曲面的方程的方程.(5)，點，點M1(0,y1,z1)在曲線在曲線C,則則1y 0),(: zyfCoyxz0),(22 zxyf當曲線當曲線 C 繞繞 y 軸旋轉時，方程如何？軸旋轉時，方程如何？思考：思考： 1MM o22( ,)0f yxz 2、注意：繞哪個軸旋轉，哪個變量不變注意：繞哪個軸旋轉，哪個變量不變( , )0C:0f y zx 1. yoz平面上的母線平面上的母線 繞繞oz軸旋轉得旋轉曲面軸旋轉得旋轉曲面22(, )0fxyz( , )0C:0f y

13、 zx 2. yoz平面上的母線平面上的母線 繞繞oy軸旋轉得旋轉曲面軸旋轉得旋轉曲面( , )0C:0f x yz 3. xoy平面上的母線平面上的母線 繞繞ox軸旋轉得旋轉曲面軸旋轉得旋轉曲面22( ,)0f xyz解解1 22222 czyax1 22222 czayx這兩種曲面都叫做這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面旋轉雙曲面.一周一周,求所形成的旋轉曲面的方程求所形成的旋轉曲面的方程.將將zOx平面上的雙曲線平面上的雙曲線 12222 czax例例4 4 繞繞 x 軸旋轉得軸旋轉得繞繞 z 軸旋轉得軸旋轉得xyz分別繞分別繞 x 軸和軸和 z 軸旋轉軸旋轉旋轉單葉雙曲面旋轉單葉雙曲面旋轉雙葉

14、雙曲面旋轉雙葉雙曲面旋轉面旋轉面-圓錐面圓錐面高等數學（下）主講楊益民高等數學（下）主講楊益民 cotyz cot22yxz )(2222yxaz cot a令令xyz 兩邊平方兩邊平方L), 0(zyM例例5 5 建立頂點在原點建立頂點在原點, 旋轉軸為旋轉軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為 的的圓錐面圓錐面方程方程.解解在在yOz面上的直線面上的直線 L的方程為的方程為:L繞繞z 軸旋轉時軸旋轉時,圓錐面的方程為圓錐面的方程為 的大小與圓錐面的張口大小有何關系？的大小與圓錐面的張口大小有何關系？思考：思考：繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸旋轉軸旋轉122222 czxay122222 czayx旋

15、轉橢球面旋轉橢球面pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面特點：特點：曲面方程曲面方程 中若除一個變量外，另外兩個變中若除一個變量外，另外兩個變量能寫成平方和的形式，則該曲面是旋轉曲面量能寫成平方和的形式，則該曲面是旋轉曲面( , , )0F x y z 例：例： 2221499xyz222214901490 xyxzxzxy 由由橢橢圓圓曲曲線線繞繞軸軸旋旋轉轉所所得得的的橢橢球球面面或或由由橢橢圓圓曲曲線線繞繞軸軸旋旋轉轉所所得得的的橢橢球球面面2221xyz呢呢？例例6 試判斷方程試判斷方程122 zyx表示何種曲面表示何種曲面?并作圖并作圖. yOz 面上的拋物線面上的拋物線12 zy繞繞

16、 z 軸旋轉所得旋轉曲面軸旋轉所得旋轉曲面.或或 zOx 面上的拋物線面上的拋物線12 zx繞繞 z 軸旋轉所得旋轉曲面軸旋轉所得旋轉曲面.xyzo1解解播放播放定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面

17、的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的

18、動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動

19、直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C

20、 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:定義定義三、柱面三、柱面沿定曲線沿定曲線C 移動的動直線移動的動直線L 所形成的曲面稱為所形成的曲面稱為柱面柱面。這條定曲線這條定曲線C 叫柱面的叫柱面的

21、準線準線，動直線，動直線L叫柱面的叫柱面的母線母線。觀察柱面的觀察柱面的形成過程形成過程:柱面舉例柱面舉例xozyxozy220yxz 拋物柱面拋物柱面0yxz 平面平面( , )0C:0f x yz 母線平行于母線平行于 z 軸的軸的柱面方程為：柱面方程為：( , )0f x y 一般地，已知準線方程一般地，已知準線方程( , )0f x y 注意注意：方程中缺方程中缺z，表示，表示z可以任意取值，所以方程可以任意取值，所以方程 表示母線平行于表示母線平行于z軸的柱面。軸的柱面。( ,)0f x y 一般地，在空間直角坐標下一般地，在空間直角坐標下( , )0f x y （缺（缺z），），

22、表示母線表示母線？，準線為？的柱面。？，準線為？的柱面。( , )0f x z （缺（缺y），）， 表示母線表示母線？，準線為？的柱面。？，準線為？的柱面。( , )0f y z （缺（缺x），）， 表示母線表示母線？，準線為？的柱面。？，準線為？的柱面。Zxy二元二元方程的幾何圖形為柱面方程的幾何圖形為柱面問：問：12222 czby（1） 表示什么曲面？表示什么曲面？22221xzac（2） 表示什么曲面？表示什么曲面？回顧回顧1. 三元方程三元方程 F(x,y,z)=0表示空間的一張曲面表示空間的一張曲面S。2. 表示一張球面。表示一張球面。2220AxAyAzBxCyDzE AxByC

23、zD0 3. 表示空間的一張平面。表示空間的一張平面。( , )0C:0f y zx 4. yoz平面上的母線平面上的母線 繞繞oz軸旋轉得旋轉曲面軸旋轉得旋轉曲面四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面二次曲面。目的：目的：利用利用截痕法截痕法討論二次曲面的形狀。討論二次曲面的形狀。即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線即：用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。22(, )0fxyz5. xoy平面上的準線方程平面

24、上的準線方程 母線平行于母線平行于 z 軸的軸的( , )0C:0f x yz 柱面方程為：柱面方程為：( , )0f x y 其基本類型有其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面橢球面、拋物面、雙曲面、錐面（一）橢球面（一）橢球面1222222 czbyax橢球面與三個橢球面與三個坐標面的交線：坐標面的交線：22221,0 xyabz 橢球面與平面橢球面與平面 的交線為橢圓的交線為橢圓1zz 12122222122221)()(zzzccbyzccax同理與平面同理與平面x=x1和和y=y1 的交線也的交線也是橢圓是橢圓22221,0 xzacy 22221,0yzbcx 1 222222

25、 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo 橢球面橢球面橢球面的幾種特殊情況：橢球面的幾種特殊情況：,)1(ba 222221xyzac 旋轉橢球面旋轉橢球面222210 xzacy 由橢圓由橢圓 或或 繞繞z軸旋轉而成。軸旋轉而成。222210yzbcx ,)2(cba 1222222 azayax球面球面2222xyza 方程可寫為方程可寫為xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面1. 橢圓拋物面橢圓拋物面zqypx22222 （二）拋物面（二）拋物面hbyax222222axz 0y22byz 0 x畫出畫出2222byaxz的圖形只需做出的圖形只需做出三個坐標面上三個坐標面上的截痕：的截痕：（1） 用用0z截截得點（得點（0，0，0）hz 用用截截hz （2）用）用 截截0y（3）用）用截截0 xxyzO實際上，實際上，用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲