1、論源于生活、服務(wù)于生活的數(shù)學(xué)思想建陽二中 李建忠 .學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，可能是因?yàn)榻處煹娜烁聍攘Γ部赡苁且驗(yàn)閿?shù)學(xué)本身的魅力。但穩(wěn)固的興趣更多來自數(shù)學(xué)本身。伊恩斯圖爾特說：數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在”，“直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺思維；直覺思維來源于生活，也可以培養(yǎng)；而每一個(gè)學(xué)生的生活經(jīng)歷一般是不同的，因而對(duì)數(shù)學(xué)的感悟也不同，這就是為什么同一個(gè)教師所教的學(xué)生中，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣程度往往不同的原因。知識(shí)是人們?cè)诟脑焓澜绲膶?shí)踐中所獲得的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的總和，它是人類文化的核心內(nèi)容。數(shù)學(xué)中的概念、法則、

2、性質(zhì)、公式、公理、定理等顯然屬于知識(shí)的范圍。這些知識(shí)要素也都有其本身的內(nèi)容。問題是，這豐富多彩的內(nèi)容反映了哪些共同的、帶有本質(zhì)性的東西?-這就是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法；數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來源于生活，是對(duì)生活的提煉；它是數(shù)學(xué)文化的核心內(nèi)容；因此，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法也應(yīng)歸屬于知識(shí)的范圍，是教師教學(xué)的目標(biāo)所在。但是，教學(xué)生解題容易，教思想方法難；事實(shí)上，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法是學(xué)生將生活與數(shù)學(xué)逐一結(jié)合，點(diǎn)滴積累而成，是每個(gè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)立感知。可以說，我們?cè)谝酝臄?shù)學(xué)教學(xué)中，過分強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的邏輯性，而忽視了數(shù)學(xué)的直覺性、生活性，這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把學(xué)習(xí)主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生學(xué)于課堂之內(nèi)，感于課堂之外

3、；讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的生活性，一方面要培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維，另一方面要把數(shù)學(xué)問題生活化，避免為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)（如“一個(gè)水池，只開進(jìn)水口，m小時(shí)注滿；只開出水口，n小時(shí)放空；現(xiàn)在，同時(shí)開啟進(jìn)水口和出水口，問：多少小時(shí)放空或注滿”。這樣的問題看似現(xiàn)實(shí)，實(shí)際無生活性）。因此，無論課堂內(nèi)外，教師對(duì)于學(xué)生源于生活的大膽設(shè)想都要給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)、扶植學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的自發(fā)性感知，以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。同時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺和對(duì)數(shù)學(xué)的感悟產(chǎn)生成功的喜悅感。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力是與他們的知識(shí)基礎(chǔ)和心理特征有關(guān)的；但是，數(shù)

4、學(xué)直覺思維好的學(xué)生，學(xué)習(xí)興趣濃厚，也學(xué)得輕松。教師應(yīng)該把數(shù)學(xué)的直覺思維在課堂教學(xué)中明確的提出來，并制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，將數(shù)學(xué)思維直覺化、將數(shù)學(xué)方法生活化；只有這樣,才能教給學(xué)生有用的數(shù)學(xué),才能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維。正是由于思維的無意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。這與陶行知的教育理念“生活教育”是一致的。 一“生活世界”的教育和“科學(xué)世界”的教育生活是每一個(gè)人必須接受的最基本的教育，是其他一切教育的根源和基礎(chǔ)。它是一種自然的教育，直觀性的教育；“科學(xué)世界”的教育是一種體系化的教育，是一種技術(shù)化的教育；因此，“科學(xué)世界”的教育只是一個(gè)營地，“

5、生活世界”的教育才是我們真正的家園。由國家教育部制訂出版的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：“數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用。-，數(shù)學(xué)教育使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識(shí)世界。”從中不難看出，比教以往的數(shù)學(xué)大綱，它更加突出了數(shù)學(xué)的生活性和實(shí)用性。今天，數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會(huì)生活的方方面面，可以說，我們的生活正在數(shù)字化、數(shù)學(xué)化；而教育肩負(fù)著傳播人類文

6、化、提高公民素質(zhì)的使命；這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過程中，更多地思考如何使“生活世界”的教育和“科學(xué)世界”的教育有機(jī)地結(jié)合起來；在數(shù)學(xué)教學(xué)中也就是如何使數(shù)學(xué)生活化！二數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法來源于生活思想是客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。它是從大量的思維活動(dòng)中獲得的產(chǎn)物，經(jīng)過反復(fù)提煉和實(shí)踐，如果一再被證明為正確，就可以反復(fù)被應(yīng)用到新的思維活動(dòng)中，并產(chǎn)生出新的結(jié)果。思想的客觀存在性決定了它來源于生活。所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。首先，數(shù)學(xué)思想比一般說的數(shù)學(xué)概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前

7、者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。其次，如果人們站在某個(gè)位置、從某個(gè)角度并運(yùn)用數(shù)學(xué)去觀察和思考問題，那么數(shù)學(xué)思想也就成了一種觀點(diǎn)。在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想可以稱之為基本數(shù)學(xué)思想。基本數(shù)學(xué)思想含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且也是歷史地形成和發(fā)展著的。基本數(shù)學(xué)思想包括：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷耄纤枷耄瑢?duì)應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸的思想，對(duì)立統(tǒng)一的思想，整體思想，函數(shù)與方程的思想，抽樣統(tǒng)計(jì)思想，極限思想等。它有兩大“基石”即符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷耄钟袃纱蟆爸е奔磳?duì)應(yīng)思

8、想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。我們知道，“對(duì)應(yīng)思想”是客觀事物普遍聯(lián)系思想，而“公理”則是人們的直接經(jīng)驗(yàn)，是生活化的數(shù)學(xué)；另外，有些基本數(shù)學(xué)思想是從“基石”和“支柱”衍生出來的，例如“函數(shù)與方程的思想”衍生于符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷?函數(shù)式或方程式)、集合思想(函數(shù)的定義域或方程中字母的取值范圍)和對(duì)應(yīng)思想(函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則或方程中已知數(shù)、未知數(shù)的值的對(duì)應(yīng)關(guān)系)。所以我們說基本數(shù)學(xué)思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果；事實(shí)上，中學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，都是基本數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然，基本數(shù)學(xué)思想也是生活化的數(shù)學(xué)。從上面的論述中不難看出，數(shù)學(xué)思想是客觀事物或規(guī)律經(jīng)過人們頭腦的加工形成

9、有條理的、網(wǎng)狀的印記它來源于生活。所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_(dá)到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式。人們通過長(zhǎng)期的實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)了許多運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的手段、門路或程序。同一手段、門路或程序被重復(fù)運(yùn)用了多次，并且都達(dá)到了預(yù)期的目的，便成為數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)方法是以數(shù)學(xué)為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法，即用數(shù)學(xué)語言表達(dá)事物的狀態(tài)、關(guān)系和過程，經(jīng)過推導(dǎo)、運(yùn)算和分析，以形成解釋、判斷和預(yù)言的方法。宏觀的數(shù)學(xué)方法包括：模型方法，變換方法，對(duì)稱方法，無窮小方法，公理化方法，結(jié)構(gòu)方法，實(shí)驗(yàn)方法。微觀的數(shù)學(xué)方法大致可以分為三類：1、邏輯學(xué)中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉

10、法(要求分類討論)等；2、數(shù)學(xué)中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標(biāo)法。代數(shù)中常用圖象法，解析幾何中常用坐標(biāo)法)、向量法、比較法(數(shù)學(xué)中主要是指比較大小)、放縮法、同一法、數(shù)學(xué)歸納法；3、數(shù)學(xué)中的特殊方法。例如配方法、待定系數(shù)法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法(含有添加輔助元素實(shí)現(xiàn)化歸的數(shù)學(xué)思想)、因式分解諸方法，以及平行移動(dòng)法、翻折法等。數(shù)學(xué)方法是人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的社會(huì)實(shí)踐中形成的固定模式，它當(dāng)然來源于生活。甚至在很多時(shí)候，數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生在相關(guān)理論之前；例如“童年高斯巧算和”的故事：123100=?，老師剛讀完題目，高斯就在他的小黑板上寫

11、出了答案：5050，其他同學(xué)還在一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)的挨個(gè)相加呢。這里，高斯巧用的是等差數(shù)列的求和方法：倒序相加法，而童年的高斯當(dāng)然不知等差數(shù)列的求和理論。總之，無論是數(shù)學(xué)思想，還是數(shù)學(xué)方法，它們都是社會(huì)發(fā)展到一定階段，人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題積累了足夠經(jīng)驗(yàn)時(shí)，才產(chǎn)生的；一句話，它們?cè)从谏钣指哂谏睢Ｈ龜?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法服務(wù)于生活數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想是科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就單單是數(shù)學(xué)思想。例如，分類思想是一種實(shí)用性思想，是各門科學(xué)都要運(yùn)用的思想(比方語文分為文學(xué)、語言和寫作，外語分為聽、說、讀、寫和譯，物理學(xué)分為力學(xué)、熱學(xué)、聲學(xué)、電學(xué)、光學(xué)和原子

12、核物理學(xué)，化學(xué)分為無機(jī)化學(xué)和有機(jī)化學(xué)，生物學(xué)分為植物學(xué)、動(dòng)物學(xué)和人類學(xué)等；中學(xué)生見到的最漂亮的分類應(yīng)該是在學(xué)習(xí)哺乳綱動(dòng)物時(shí)所出現(xiàn)的門、綱、目、屬、科、種的分類表，它不是單由數(shù)學(xué)給予的。只有當(dāng)分類思想體現(xiàn)出空間形式和數(shù)量關(guān)系時(shí)，才能成為數(shù)學(xué)思想。同樣地，當(dāng)且僅當(dāng)哲學(xué)思想(例如一分為二的思想、量質(zhì)互變的思想和肯定否定的思想)在數(shù)學(xué)中予以大量運(yùn)用并且被“數(shù)學(xué)化”了時(shí)，它們也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想應(yīng)需要而生，服務(wù)于生活。數(shù)學(xué)方法是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的策略，這些策略與人們的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)以及數(shù)學(xué)思想掌握情況密切相關(guān)，數(shù)學(xué)方法具有三個(gè)基本特征：一是高度的抽象性和概括性；二是精確性，即邏輯的嚴(yán)密

13、性及結(jié)論的確定性；三是應(yīng)用的普遍性和可操作性。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中著重強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)方法有：數(shù)學(xué)模型法、數(shù)形結(jié)合法、變換法、函數(shù)法和類分法等；一般講，中學(xué)數(shù)學(xué)中分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的活動(dòng)是在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，通過一系列數(shù)學(xué)技能操作來完成的可見數(shù)學(xué)方法具有實(shí)用性和可操作性，既數(shù)學(xué)方法具有生活性。如上所述，方法是解決思想、行為等問題的門路和程序，是思想的產(chǎn)物，是包含或體現(xiàn)著思想的一套程序，它既可操作又可仿效。在選擇并實(shí)施方法的前期過程中，反映了學(xué)習(xí)者的能力和技能的高低；而在后期過程中，只反映了學(xué)習(xí)者的技能的差異。實(shí)際上，許多教師都有一個(gè)認(rèn)識(shí)誤區(qū)：認(rèn)為教學(xué)生解題的“招”，就是教學(xué)生方法；幾乎所

14、有的數(shù)學(xué)教師都會(huì)教給學(xué)生一些解題的“招”，但是，許多教師由于對(duì)數(shù)學(xué)方法的片面認(rèn)識(shí)而忽略了“法”的引導(dǎo)： “招”是指解決特殊問題的專用計(jì)策或手段，純屬于技能而不屬于能力；“招”的教育價(jià)值遠(yuǎn)低于“法”的價(jià)值。例如，待定系數(shù)法是一種特別有用的“法”。求二次函數(shù)的解析式時(shí)，用待定系數(shù)法根據(jù)圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第一“招”；根據(jù)頂點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第二“招”；根據(jù)與x軸交點(diǎn)和另一點(diǎn)的坐標(biāo)求出解析式可看作第三“招”。這三“招”各有奇妙之處。教師授予學(xué)生“用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式”，最根本、最要緊的“法旨”就在于讓學(xué)生明確二次函數(shù)的解析式中自變量、函數(shù)值和圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)

15、的對(duì)應(yīng)關(guān)系；對(duì)于一般的點(diǎn)和特殊的點(diǎn)(例如頂點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn))，解析式可以有什么不同的反映。而這樣的“法旨”，恰恰體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合思想。可見，“招”是可以直接傳授的，而“法”則要求學(xué)生有相應(yīng)的知識(shí)積累才能在教師的引導(dǎo)下，建立起“法”的框架。由此看來，我國古代傳說中經(jīng)常提到的某些師傅對(duì)待弟子“給招不給法”的現(xiàn)象，在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中應(yīng)該盡量避免。當(dāng)然，無論“招”還是“法”，顯然都是用來解決問題的，服務(wù)性是它們的共性。當(dāng)今世界，數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在科學(xué)技術(shù)研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語言，二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法，三是提供邏輯推理的工具。現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)特別是

16、電腦的發(fā)展，與數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的地位和作用的強(qiáng)化正好是相輔相成。四中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法由于中學(xué)生認(rèn)知能力和中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的限制，只能將部分重要的數(shù)學(xué)思想落實(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)予以重視的數(shù)學(xué)思想主要有三個(gè)：集合思想、化歸思想和對(duì)應(yīng)思想理由是：（）這三個(gè)思想幾乎涵蓋了全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容；（）符合中學(xué)生的思維能力及他們的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，易于被他們理解和掌握；（）在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用這些思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會(huì)比較多；（）掌握這些思想可以為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下較好的基礎(chǔ)那么，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法呢？1聯(lián)系生活，逐步

17、滲透。在中學(xué)階段，由低年級(jí)到高年級(jí)，把某些抽象的數(shù)學(xué)思想逐漸“融進(jìn)”具體的、實(shí)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認(rèn)識(shí)它們，如“集合思想、對(duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想”等。“集合思想、對(duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想”從七年級(jí)就要開始滲透，并貫徹于整個(gè)中學(xué)階段；“抽樣統(tǒng)計(jì)思想和極限思想”則從九年級(jí)開始滲透，到高中才逐步成型。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想，其實(shí)應(yīng)重視學(xué)生自己的生活感悟而不必強(qiáng)逼學(xué)生記憶；例如，“三角形的兩邊之和大于第三邊”作為公理，可取一些鐵絲讓學(xué)生動(dòng)手折三角形，從而直觀感覺公理；并讓學(xué)生體會(huì)，我們今天能進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，都是建立在“1

18、+1=2.”的原始記憶基礎(chǔ)上的深化；同理，三角形的公理也是建立三角形理論的基石，進(jìn)而體會(huì)公理化與結(jié)構(gòu)思想。 其次要注意滲透的漸進(jìn)性。例如集合思想，初中是用文氏圖或列舉法來表示集合，不等式(組)的解集可以用數(shù)軸表示或用不等式(組)表示；高中則是列舉法、描述法、文氏圖三者并舉，并同時(shí)允許用不等式(組)、區(qū)間或集合的描述法來表示實(shí)數(shù)集的某些子集。又如對(duì)應(yīng)思想，初中只用文字、數(shù)軸或平面直角坐標(biāo)系來講對(duì)應(yīng)；高中則在此基礎(chǔ)上引入了使用符號(hào)語言的對(duì)應(yīng)法則。至于公理化與結(jié)構(gòu)思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想和極限思想在初、高中階段的不同滲透水平，則是眾所周知的。此外，符號(hào)化思想、公理化思想以及極限思想等在中學(xué)數(shù)學(xué)中也不同程度地有所體現(xiàn)，應(yīng)依據(jù)具體情況在教學(xué)中予以滲透。2理性思考，初步理解。就是把某些數(shù)學(xué)思想在適當(dāng)時(shí)候明確“引進(jìn)”到數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有初步理解，這是理性認(rèn)識(shí)的開始。要“引進(jìn)”的有符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷搿?shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、極限思想等。這種“引進(jìn)”也是隨年級(jí)逐步增加的。有的思想從七年級(jí)起就開始闡述，有的則是先滲透后闡述的。3.回歸生活，突出強(qiáng)調(diào)。要使學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想