1、自動控制原理講義2022-4-11自動控制原理第九講自動控制原理第九講關關 偉偉Email: 自動控制原理講義2022-4-11第四章第四章 控制系統的頻率法分析控制系統的頻率法分析自動控制原理講義2022-4-11本章主要內容本章主要內容引言（本講）引言（本講）頻率特性的基本概念及表示方法（本講）頻率特性的基本概念及表示方法（本講）典型環節的頻率特性（本講）典型環節的頻率特性（本講）復雜系統頻率特性的繪制復雜系統頻率特性的繪制Nyquist穩定判據穩定判據穩定裕度穩定裕度 閉環系統的性能分析閉環系統的性能分析小結小結自動控制原理講義2022-4-11重點掌握內容重點掌握內容 頻率特性的物理意

2、義頻率特性的物理意義 典型環節的頻率特性典型環節的頻率特性 頻率特性的繪制頻率特性的繪制 穩定判據及其應用穩定判據及其應用 閉環系統頻率特性指標及性能分析閉環系統頻率特性指標及性能分析自動控制原理講義2022-4-111.引言引言頻域分析法 應用頻率特性研究線性系統的經典方法。任何輸入信號可以看作不同頻率的正弦信號的合成；以正弦信號作為測試輸入信號，觀察不同頻率和振幅的正弦信號經系統傳遞后產生的響應；系統的輸出就是這些響應的合成。特點頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實驗的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統來說，具有重要的實際意義。由于頻率響應法主要通過開環頻率特性的圖形對系

3、統進行分析，因而具有形象直觀和計算量少的特點。頻率響應法不僅適用于線性定常系統，而且還適用于部分非線性系統的分析。自動控制原理講義2022-4-112. 頻率特性的基本概念及表示方法頻率特性的基本概念及表示方法頻率特性（頻率響應） 它是系統（或元件）對不同頻率正弦輸入信號的響應特性。00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52線性系統00.511.522.53-5-4-3-2-1012345 輸出的振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化 自動控制原理講義2022-4-11頻率特性的基本概念（頻率特性的基本概念（1）設系統的傳遞函數為)()()()(

4、)(sVsUsGsRsC輸入)sin()(tAtr，其拉氏變換22)(sAsRA為常量，則系統輸出 22)()()()()(sAsVsUsRsGsC2221)()()(sApspspssUnnppp,21G(s)的極點 jsajsapsbsCniii1)(自動控制原理講義2022-4-11頻率特性的基本概念（頻率特性的基本概念（2）jsajsapsbsCniii1)(nitpitjtjiebeaaetc1)(t趨向于零(系統穩定) jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22jAjGjsjsjsAjGjssAsGajsjs2)()()()()()(22), 2

5、 , 1(,nibaai和待定系數 )()()()()()()()()()()()(jGjGjjsjGjGjjseAejGsGjGeAejGsGjG自動控制原理講義2022-4-11頻率特性的基本概念（頻率特性的基本概念（3）結論：結論：給給穩定穩定的系統輸入一個正弦，其的系統輸入一個正弦，其穩態輸出穩態輸出是與輸入是與輸入同頻率同頻率的正弦，幅值隨的正弦，幅值隨而而變變，相角，相角也是也是的函數。的函數。)(sin()(2)()()()(tAAeejAAeaaetcGtjtjGtjtjs自動控制原理講義2022-4-11頻率特性的定義頻率特性的定義系統的系統的頻率特性函數頻率特性函數 （定義

6、（定義4.3.1）定義定義為系統在零初值下該系統的輸出量的傅立葉變換象函數與輸入量為系統在零初值下該系統的輸出量的傅立葉變換象函數與輸入量的傅立葉變換象函數之比的傅立葉變換象函數之比.定義定義穩態響應的幅值與輸入信號的幅值之比穩態響應的幅值與輸入信號的幅值之比 A( ) 為系統的為系統的幅頻特性幅頻特性，它描述系統對不同頻率輸入信號在穩態時的放大特性；它描述系統對不同頻率輸入信號在穩態時的放大特性；定義定義穩態響應與正弦輸入信號的相位差比穩態響應與正弦輸入信號的相位差比 ( ) 為系統的為系統的相頻特性相頻特性，它描述系統的穩態響應對不同頻率輸入信號的相位移特性；它描述系統的穩態響應對不同頻率

7、輸入信號的相位移特性； )()()()()(jeAjRjCjG 頻率特性可以寫成復數形式： ，也可以寫成指數形式： 。其中， 為實頻特性， 為虛頻特性； 為幅頻特性， 為相頻特性。)()()(jQPjG)(| )(|)(jGjGjG)(P)(Q| )(|jG)(jG自動控制原理講義2022-4-11頻率特性函數與傳遞函數的關系頻率特性函數與傳遞函數的關系線性定常系統 傳遞函數 常微分方程頻率特性函數 時域復頻域頻域微分方程頻率特性傳遞函數脈沖函數js dtds dtdj)(tgL)(1sGL微分方程頻率特性傳遞函數脈沖函數js dtds dtdj)(tgL)(1sGL脈沖響應脈沖響應自動控制原

8、理講義2022-4-11頻率特性函數頻率特性函數例：設傳遞函數為：微分方程為：頻率特性為： 431)()()(2sssxsysG)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddtdtxty4)(3)(1)()()(2jjjxjyjG自動控制原理講義2022-4-112.頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法 極坐標圖 (Polar plot) 對數坐標圖 (Bode diagram or logarithmic plot) 對數幅相圖 (Log-magnitude versus phase plot)自動控制原理講義2022-4-11極坐標頻率特性曲線（極坐標頻率

9、特性曲線（Nyquist） 是在復平面上用一條曲線表示 由0時的頻率特性。即用矢量G(j ) 的端點軌跡形成的圖形。是參變量。在曲線的上的任意一點可以確定實頻、虛頻、幅頻和相頻特性。0)(P)(Q)()(A11)(2ssssG 頻率特性曲線是S平面上變量s沿正虛軸變化時在G(s)平面上的映射。由于 是偶函數，所以當 從 和 變化時，奈魁斯特曲線對稱于實軸。| )(|jG00自動控制原理講義2022-4-11Nyquist（乃奎斯特）圖50451.,)(TKTjKjG幅頻特性函數幅頻特性函數1250451222.)(TKjG相頻特性函數相頻特性函數50.arctgarctg)(argTjG 01

10、234510|G(j)|4540.2531.8224.9620.1216.718.83argG(j)0-26.6-45.0-56.3 -63.4-68.2 -78.7Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis010203040-20-15-10-505101520 =10 =5 =3 =-10 =-5 =-3 =1 =0 =-2 =-1 = =2jyxTTKjTKTjKjG1112222)(112222TTKyTKx,022Kxyx自動控制原理講義2022-4-11對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線(Bode圖圖1) 橫坐標分度：以頻率的對數值 log 進行分度

11、 橫坐標（稱為頻率軸）上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程（或十倍頻），用Dec表示。)(arg)()(log)(logjGjGjGjGL幅頻特性曲線相頻特性曲線DecDecDecDec12012.log0.0100.1110100自動控制原理講義2022-4-11對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線(2) 縱坐標分度： 幅頻特性曲線的縱坐標是以log A( ) 或20 log A( ) 表示。其單位分別為貝爾（Bl）和分貝（dB）。直接將log A( ) 或20 log A( )值標注在縱坐標上。 相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上

12、，使用同一個橫坐標（頻率軸）。 當幅值特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關系為：增益20log(幅值)20151086420增益增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值幅值)(A自動控制原理講義2022-4-11Bode（伯德）圖頻率特性函數要乘以頻率特性函數要乘以K K倍倍，只需把對數幅頻特性向上移只需把對數幅頻特性向上移動動20lgK dB20lgK dB150451.)(jjG1501352.)(jjGBode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.2101.510-110

13、0101-90-60-300Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.3101.610-1100101-90-450L(G1)L(G2)20lg3)5()(,11 . 0135)(323jGjGjjGBode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)101.4101.610-1100101102-90-450L(G2)L(G3)lg5lg5)()(jGjG241互為倒數的兩個頻率特性，互為倒數的兩個頻率特性，它它們的們的對數幅頻特性和對數相頻對數幅頻特性和

14、對數相頻特性都是互相反號特性都是互相反號)(arg)(arg)()(jGjGGLGL4242Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-5005010-1100101-90-4504590自動控制原理講義2022-4-11對數坐標圖的優點對數坐標圖的優點 可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性。 可以將乘法運算轉化為加法運算。 所有的典型環節的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。 對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率

15、特性表達式。自動控制原理講義2022-4-11典型環節的頻率特性函數典型環節的頻率特性函數 比例環節比例環節 積分環節積分環節 慣性環節慣性環節 振蕩環節振蕩環節 微分環節微分環節 延遲環節延遲環節自動控制原理講義2022-4-11比例環節的頻率特性比例環節的頻率特性logdBL/ )(log)(180180幅頻特性： ；相頻特性： ( )KA0)( 比例環節： ;KsG)(KjG)(對數幅頻特性： 111000lg20)(KKKKL常數Klog201K1KKlog201KKlog20001800)(KKK相頻特性： 0K0K自動控制原理講義2022-4-11積分環節的頻率特性積分環節的頻率特

16、性 積分環節的頻率特性：sKsG)(頻率特性：2)(jeKKjjKjG,log20log20log20)(log20)(KKAL20)(10; 0)(, 11LLK時，當時，當2)0()(1KtgKA)(1KdBL/ )()(902040204011010011010010K0)(;log20)(, 10LKKLK時，當時，當可見斜率為20/dec 當有兩個積分環節時可見斜率為40/dec 自動控制原理講義2022-4-110.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(積分環節積分環節L()自動控制原理講義2022

17、-4-11TtgTKA122)(,1)( 慣性環節的頻率特性：1)(TsKsG1)(TjKjG 對數幅頻特性： ，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：221log20log20)(log20)(TKAL低頻段：當 時， ，稱為低頻漸近線。1TKLlog20)(高頻段：當 時， ，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/Dec的直線（表示 每增加10倍頻程下降20分貝）。1TTKLlog20log20)(慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性(1)自動控制原理講義2022-4-11 當 時，對數幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當 時，趨近于高頻漸近線。0低頻高頻漸近線的交點為： ，得： ，稱

18、為轉折頻率或交換頻率。 TKKlog20log20log20TTo1, 1可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環節的對數幅頻特性。慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性(2)自動控制原理講義2022-4-11慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性(3)圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。自動控制原理講義2022-4-11慣性環節的頻率特性誤差分析慣性環節的頻率特性誤差分析自學自學當 時，誤差為：o2211log20T當 時，誤差為：oTTlog201log20222最大誤差發生在 處，為To1)( 31log20202maxdBT T0.1 0.2 0.5 1 2 510L(),()

19、,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04自動控制原理講義2022-4-11 相頻特性： Ttg1)(作圖時先用計算器計算幾個特殊點：。時，當時，當時，當2)(;4)1(1; 0) 0(0TT相頻特性曲線在半對數坐標系中對于( 0, -45)點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。當時間常數T變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據轉折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。

20、 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0()()-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.0102050100()()-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性(4)自動控制原理講義2022-4-110ReG(j)ImG(j)1慣性環節極坐標圖慣性環節極坐標圖G(j)自動控制原理講義2022-4-11 振蕩環節的頻率特性：22222212)(nnnssKTssTKsG討論 時的情況。當K=1時，頻率特性為：10TjTjG2)1

21、(1)(222222)2()1 (1)(TTA幅頻特性為：22112)(TTtg相頻特性為：振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性(1)自動控制原理講義2022-4-112222)2()1 (1)(TTA 幅頻特性為：2222)2()1 (log20)(log20)(TTAL對數幅頻特性為：低頻段漸近線：0)(1LT時，高頻段漸近線：TTLTlog40)(log20)(1222 時，兩漸近線的交點 稱為轉折頻率。斜率為-40dB/Dec。To1振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性(2) 相頻特性：22112)(TTtg幾個特征點：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T自動控制原理講義2022-4

22、-11對數相頻特性曲線在半對數坐標系中對于( 0, -90)點是斜對稱的。對數幅頻特性曲線有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性(3)自動控制原理講義2022-4-11振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性(4)自學自學對 求導并令等于零，可解得 的極值對應的頻率 。)(A)(ApTp221該頻率稱為諧振峰值頻率。可見，當 時， 。當 時，無諧振峰值。當 時，有諧振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM當 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數與實際曲線

23、可能有很大的誤差。 自動控制原理講義2022-4-110ReG(j)ImG(j)1ABA:22121211rrATB:onnA9021)()(12122TssTsG )(振蕩環節極坐標圖振蕩環節極坐標圖G(j)自動控制原理講義2022-4-11 微分環節的頻率特性： 微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：12)(1)()(22TssTsGTssGssG頻率特性分別為：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22微分環節的頻率特性微分環節的頻率特性自動控制原理講義2022-4-11純微分純微分純微分：2)(log20)(log20)()(ALA自動控制原理講義2022-4-110.1 0.21210201000db20db40db