1、 剖析高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題 【摘要】線性規(guī)劃問題是指：在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題。一直是浙江省高考數(shù)學(xué)中的熱門考點，也可以說是必考點。通常以選擇填空題的形式考查考生的相關(guān)知識，但2012年浙江省高考理科卷卻在最后大題的最后一小題中采用了線性規(guī)劃求變式a+b的范圍。可見高考在線性規(guī)劃問題上對學(xué)生的要求已經(jīng)上升到了對知識本質(zhì)的真正理解與應(yīng)用。本文將對浙江省高考中線性規(guī)劃問題考察的特點及要求做出剖析，對線性規(guī)劃問題的本質(zhì)，能解決的具體問題，以及常見的考查題型做出總結(jié)，并且對“線性規(guī)劃問題”的推廣也做了分類歸納。【關(guān)鍵詞】線性規(guī)劃，可行域，最優(yōu)解，目標函數(shù)線性規(guī)劃問題是指

2、：在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題。近年來，高考在線性規(guī)劃出題的形式越來越靈活，并且線性規(guī)劃與其他知識進行交叉融合。考察中不僅體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形集合思想，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，而且還能體現(xiàn)學(xué)生的綜合分析問題能力，邏輯思維能力以及解決實際問題的能力。本文針對浙江高考特點對線性規(guī)劃問題作出解題策略。一、浙江高考題中的線性規(guī)劃問題例如：2012年浙江省高考數(shù)學(xué)（文科）卷，第14題：(該題為本文的樣題)設(shè)，其中實數(shù)x，y滿足， 則z的取值范圍是_。圖（2）圖（1）先簡單介紹下相關(guān)概念：（1）函數(shù)稱為目標函數(shù)，由于目標函數(shù)是含x，y的一次解析式，在直角坐標系

3、xoy中表示直線，故稱為線性目標函數(shù)。（2）表示x，y滿足的約束條件，由于約束條件中的不等式也都是x，y的一次不等式，故也稱為線性約束條件。（3）約束條件在直角坐標系xoy中表示的平面區(qū)域稱為可行域（如圖（1）黃色區(qū)域）。（4）可行域中的任意點（x,y）稱為可行解。可行解中能使目標函數(shù)z取得最大或最小的解稱為最優(yōu)解，相應(yīng)的z值稱為最優(yōu)值。其次談?wù)劷鉀Q線性規(guī)劃問題的基本步驟：畫：畫出約束條件所表示的可行域。注意邊界滿足時畫實線，邊界不滿足時把邊界畫成虛線。移：通常畫出z=0時目標函數(shù)所表示的直線，再畫如z=1時目標函數(shù)所表示的直線，從中領(lǐng)悟目標函數(shù)在上下移動過程中z的變化情況，如圖（2）可以發(fā)現(xiàn)

4、在直線越往上移動過程中，z值越大；越往下移動過程中，z值越小。確定最優(yōu)解：通過步驟不難確定圖（2）中和為最優(yōu)解，且z在處取得最大，在處取得最小。求最優(yōu)值：計算最優(yōu)解，聯(lián)立邊界方程，解出交點坐標，代入目標函數(shù)。由邊界直線與求出點，代入得；同理由邊界直線與求出點，代入得。所以z的取值范圍是。再看0911年的浙江高考數(shù)學(xué)卷中的題。2009年（文理13）若實數(shù)滿足不等式組則的最小值是 4 2010年（文7）若實數(shù)滿足不等式組，則的最大值為（ ）（A）9 （B） （C）1 （D）2011年（3）若實數(shù)滿足不等式組 ,則的最小值是（ ） (A)13 (B)15 (C)20 (D)28從以上歷年文科試題中可

5、以看出，該類問題注重學(xué)生的對解題步驟的強化。多畫平面區(qū)域，領(lǐng)悟直線移動中z值的升降變化情況，正確求出邊界交點，解決線性規(guī)劃問題。在掌握解題步驟后，不難發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解必定在區(qū)域的邊緣。這樣只要將邊界交點都求出來，并算出相應(yīng)的目標函數(shù)值，其中較大的為最大值，較小的為最小值。如在樣題中，,代入目標函數(shù)得到值為：。從而知，故z的取值范圍是。再比如把樣題中的目標函數(shù)變式為：。同樣也把點，圖（3）,代入目標函數(shù)得到值為：。因此有，故z的取值范圍是。從圖（3）中也可以看出目標直線在移動過程中，在原點處取得最小，在線段BC上取得最大。故z的取值范圍確實是。舉此例，也想說明最優(yōu)解并不一定是唯一的。還要特別提醒的是不

6、可盲目只求直線交點，然后代入目標函數(shù)計算比較。這樣會照成一些非可行解也進入比較行列，如樣題中的點。然而最優(yōu)解出現(xiàn)在可行域的邊緣這個結(jié)論是正確的，關(guān)鍵是先畫出可行域。由此可以看出作圖的重要性。下面再來看近年的浙江理科試題。2010（理7）若實數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9，則實數(shù)（A） （B） （C）1 （D）2圖（a）與同年文科題相比，隨稍有改動，但提高了難度。解：先畫出表示的平面區(qū)域如圖（a），由于直線恒過點M，且原點滿足，故約束條件的平面區(qū)域可分為如下情況： 圖（b） 圖（c） 圖（d）當(dāng)時平面區(qū)域如圖(b),顯然的最大為無窮大，不是9。當(dāng)時如圖（c），顯然不存在可行域，不符合題意。當(dāng)平面

7、區(qū)域如圖（d），通過平移直線，不難發(fā)現(xiàn)在B點處取得最大。根據(jù)解邊界直線的方程組：，得B坐標為，因此由，得。通過上述分析，感受文理數(shù)學(xué)在考察上的不同要求，如分類討論，數(shù)形結(jié)合思想在理科題中更加深入，在知識的本質(zhì)理解上也更進一層。但無論多高的要求，都離不開解決線性規(guī)劃問題的基本步驟。再看下面這題，也不妨先比較下同年文理的區(qū)別。如不等號，的進一步要求。這些不同點必然體現(xiàn)了理科考核要求的提高，也是做題中不可忽視的關(guān)鍵性條件。2011（理5）設(shè)實數(shù)滿足不等式組若為整數(shù)，則的最小值是 （ ） （A）14 （B）16 （C）17 （D）19圖（一）解：先畫出如圖（一）的黃色可行域，但要注意將直線和直線畫成虛

8、線，再畫出目標函數(shù)，如。通過平移可以發(fā)現(xiàn)點雖然是整數(shù)點，但是不屬于可行解，因此在附近的整數(shù)點內(nèi)尋找，不難發(fā)現(xiàn)點是本題的最優(yōu)解，代入后得到最小值為：16。學(xué)生的圖可能沒有畫得如此標準，那么可以把附近的整數(shù)點如（3,2），都求出，代入后比較大小，較小者為所求的最小值。2012（理22）（本題滿分14分）已知a>0,bR，函數(shù)。（）證明：當(dāng)0x1時。（1）函數(shù)f(x)的最大值為；（2）；（）若-1 f(x) 1對x恒成立，求a+b的取值范圍。觀察題目可以理解（）中的證明說明：當(dāng)0x1時，由此結(jié)合（）中-1 f(x) 1，得。所以問題可以轉(zhuǎn)化為如下線性規(guī)劃問題：已知實數(shù)滿足不等式組，則的取值范圍

9、是 。解：采用分類討論去絕對值得：（1）或（2）圖（二）把a看成x，b看成y。畫出上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域，不等式組（1）的平面區(qū)域為淺藍色部分，不等式組（2）的平面區(qū)域為淡黃色部分。將兩個區(qū)域組合成本題的可行域，如下圖（二）。通過對目標函數(shù)線的平移不難發(fā)現(xiàn)在處取得最大值3，在處取得最小。然而C不在可行域內(nèi)，即不是可行解。所以的范圍為：通過以上對浙江省0912年的試題分析，相信可以明白浙江高考對線性規(guī)劃的考察特點和考核要求。二、線性規(guī)劃問題的本質(zhì)關(guān)于本質(zhì)，無非就是對概念的深層理解。這里不妨談?wù)劸€性規(guī)劃問題能解決的具體問題。高中數(shù)學(xué)中如遇到在若干個二元一次不等式條件下，去求關(guān)于此二元的某

10、個一次式的最值或范圍問題，可以認為是線性規(guī)劃問題。如函數(shù)在的上都存在零點，求實數(shù)的范圍。問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題：已知，則的范圍是 。三、線性規(guī)劃考察的問題類型由于線性規(guī)劃問題涉及直線相關(guān)知識，不等式，平面圖形等。因此考察問題也會跟此類知識有關(guān)。如將樣題改成下題已知實數(shù)x，y滿足（1）求不等式組所表示平面區(qū)域的面積；（2）若目標函數(shù)僅在點（0,2）取得最大，求的范圍；（3）若目標函數(shù)不止在一點取得最大，求的值。（4）記可行域內(nèi)的點，原點，點，求的范圍。解：（1）畫出如右圖所示的圖像,求出相關(guān)點：，,，。則做法不唯一，通常將可行域拆成幾個基本平面圖形的組合，關(guān)鍵在于方便計算。（2）先將目標函數(shù)寫成

11、直線的斜截式形式：。則是直線的斜率，為直線的縱截距。顯然直線越往上移動值越大。易得不符合題意。再觀察過C點的直線不難發(fā)現(xiàn)斜率小于直線BC的斜率，故，得（3）通過圖像可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)目標函數(shù)所表示的直線與直線AB或BC平行時，目標函數(shù)都不止在一點取得最大，故或。（4）根據(jù)數(shù)量積公式，可見本題跟樣題一樣，只不過換一種方式考察。關(guān)于還可以從向量的幾何意義出發(fā)：即長度乘以在上的投影，因此若投影越大值越大。四、“線性規(guī)劃問題”的推廣圖（4-1）關(guān)于對線性規(guī)劃問題的推廣，其實是將高中所學(xué)的線性規(guī)劃問題的解題步驟或者稱解題模式應(yīng)用推廣于非線性規(guī)劃問題。這里的非線性規(guī)劃問題，僅局限于高中知識能夠解釋的并非直線的幾何

12、圖形或幾何量，如圓，橢圓，斜率，距離等。根據(jù)約束條件與目標函數(shù)的特點分類為：約束條件線性，目標函數(shù)非線性；約束條件中含非線性，目標函數(shù)線性；約束條件和目標函數(shù)都非線性。這里例舉幾個常見的題型。例1：若實數(shù)滿足不等式組，（1）求的范圍；（2）求的最大值和最小值。解：先畫出可行域如圖（4-1） 圖（4-2）圖（4-2）（1）看成是和兩點的斜率。根據(jù)圖（4-2）知，當(dāng)直線PM繞M點從MB轉(zhuǎn)到與x軸垂直的直線時，斜率的變化范圍為：；當(dāng)直線PM繞M點從MC轉(zhuǎn)到與x軸垂直的直線時，斜率的變化范圍為：。因此的范圍為：。圖（4-3）（2）可以看成是和兩點距離的平方，也可以認為是以為圓心，過P點的圓的半徑的平方。根據(jù)圖（4-3）知，；，所以。故的范圍為：例2：已知實數(shù)滿足，（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍。解：因為，所以,故所表示的圖形為橢圓的一半。（1）令，將的值轉(zhuǎn)化為直線的縱截距。如右圖，通過平移目標函數(shù)不難發(fā)現(xiàn)在A點處取得最小值，在C點（直線與半橢圓的切點）處取得最大值。將代入得（）的最小值為：-2。再根據(jù)聯(lián)立，消元得：所以有，得（舍去）因此，的取值范圍為。（2）可以認為是半橢圓上的和兩點間斜率值的2倍。如右圖，不難發(fā)現(xiàn)，因此的取值范圍為：。以上兩個例題都說明：無論是線性還是非線性，將約