1、GeoGebra 使用入門數字式的坐標平面系統GeoGebra 使用入門11 / 50目錄 安裝 . 3 基本概念 . 5 跨系統、跨平臺 . 5 使用者接口. 5 輸出. 6 重要的網絡資源 . 7 基礎操作 . 81- 新點、交點、中心點 . 82- 直線、線段、向量 . 103- 垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡 . 134- 多邊形、正多邊形 . 205- 圓形、扇形、圓弧 . 226- 角、斜率. 267- 對稱、平移、旋轉 . 288- 數值滑桿、文字 . 349- 對象的屬性設定 . 37 進階操作范例 . 381- 直線方程式、函數 . 382- 動態文字處理、代數式定義處

2、理：if 語法的應用 . 393- 參數曲面(Curve) . 414- 序列物件(Sequence) . 425- 自訂工具列管理 . 45 附錄：以代數式建立對象之指令速查表 . 472GeoGebra 使用入門安裝Windows 接口下的安裝請先到 GeoGebra 的網站：http:/www.GeoG/cms/( 若要閱讀中文畫面，請將下拉式選單切換到 Chinese。)這畫面中包含大部分的資源，如Help、中文討論區等。從WebStart畫面中進行安裝，可以保證安裝到目前最新的版本，而下載頁面，則列出目 前最穩定的版本。本說明建議讀者可以WebStart方式進行安裝，

3、點選啟用 GeoGebra這個連結，畫面會導向到WebStart頁面，步驟如下頁：GeoGebra 使用入門3按下GeoGebra WebStart按鈕后，因為 GeoGebra 是在Java環境下執行的軟件，若您的計算機沒有安裝Java環境，則畫面會自動導向到Java安 裝網頁，若您的計算機沒有Java環境，且瀏覽器沒有導向到Java安裝網頁， 您可以自行輸入網址： 詳細的安裝說明。結束Java的安裝后，若您是以GeoGebra WebStart按鈕進行安裝，則 會自動進行 GeoGebra 的安裝，若瀏覽器沒有自動進行安裝，則您可以考慮切換到下載頁面下載 GeoGebra 的各系統版本進行

4、安裝。4GeoGebra 使用入門基本概念跨系統、跨平臺GeoGebra 是一個在Java虛擬機器環境上執行的解析幾何作圖程序，可以 說是一個數字式的平面直角坐標系統。所以用 GeoGebra 做出來的動態圖文件，可以 輕易的在不同操作系統，如 Windows、Linux、FreeBSD、Mac 等不同的操作系統上 執行。或可以在不同執行平臺，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的網 際網絡瀏覽器上，完整而無礙的執行。使用者接口GeoGebra 使用入門5我們大概可以把 GeoGebra 這樣的動態幾何軟件，想成一個數字式的坐標平面作圖程序。這樣的程序里，包含了

5、兩個主要區域，即代數區、幾何區。 幾何區負責顯示對象，如點、線、角、函數圖形、方程式圖形、參數曲面圖形、軌跡、文字、布爾值等，可以讓使用者以直覺的方式操作與體驗。 代數區負責列出對象的數學式型態的定義，都是一般數學課本中所熟悉的描述形式。例如點是以P(2,3)、直線方程式以L：2x3y5的形態將其 顯示。對于每一個對象，可以用鼠標在幾何區的移動功能下選取或代數區中 直接選取，之后可以按鼠標右鍵點選出它的屬性窗口，進行此對象各個屬性的調 整編輯，如名稱、定義、樣式、大小、裝飾、顯示條件、顯示型式、在幾何區的 顯示狀態等，接口簡單易懂，極易操作。另外此區將對象分成自變對象、應 變對象兩類，例如直線

6、可能就是兩個點的應變對象。而不管是自變對象或應變 對象皆可以被歸類于輔助對象，并可在菜單中設定是否在代數區中顯示出 來。對象的建立方式，可以用直覺的幾何方式或精確的代數定義方式來建立。幾 何建立方式，為先選取上方功能按鈕后，在窗口上方列右側即會出現其使用方式 說明，使用者依照其規范操作即可，所以原則就是先選功能，再依規則操作。代數建立 方式則為在下方輸入列，直接以指令方 式輸入，例如建立一個點為 A=(3,2)，其余對象的輸入語法，可以查閱菜單中的說明，或先以幾何 方式建立后，在其屬性窗口中，查閱其定義也可以，這是比較簡易的方法。對于 已經制作完成的 ggb 檔，也可以在播放按鈕區調整每個對象

7、播放的順序。輸出制作完成的檔案，將以.ggb的擴展名儲存，此外也可以用圖檔、網頁等 形態另外匯出。或將 ggb 文件直接內嵌于動態網頁中，并在網頁瀏覽器中直接操作。 另外 GeoGebra 也支持 LATEX 數學式標示語言。6GeoGebra 使用入門基礎操作1. 新點、交點、中心點范例圖8GeoGebra 使用入門各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例新點點選新點，再以鼠標點出位 置。A=(3,2)交點點選交點，再以鼠標點出兩 個對象后建立。A=Intersecta, b 直線 a、b 的交點。中心點點選中心點，再以鼠標點出 兩個點后建立，或點出一線段。C=MidpointA, B

8、點 A、B 之中點。 C=Midpoints 線段 s 之中點。輔助說明以幾何操作方式建立新點，僅需先選擇工具按鈕中的新點，然后直接在 幾何顯示作圖區中之適當位置按下鼠標左鍵，即完成新點建立。若以代數式建立， 則使用一般在平面坐標上點的表示法，鍵入 A=（3,2）這樣的指令，即完成一個名為 A 且坐標為（3,2）的點。 以幾何操作方式建立交點的方式比較多元，凡是兩對象間有交點者，皆可以在選擇交點功能按鈕后，連續點選出二個對象來完成操作。而若以代數式建 立，原則是以 A=Intersect對象1,對象2，這樣的指令來完成。而其中的對象1、 對象2，可以是直線、圓錐曲線、函數等對象。而有些交點會出

9、現二個，系統會分 別以1、2在下標標示表示之，例如兩個相割圓的交點有二個，則上述指令會產生 兩點 A1、A2。以幾何操作方式建立中點，需先選擇工具按鈕中的中心點后，再點選兩點或一線段對象，即完成中心點建立。代數式則以 M=midpoint 點 , 點 或 M=midpoint線段s 這樣的指令來建立。GeoGebra 使用入門92. 直線、線段、向量范例圖10GeoGebra 使用入門各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）直線點選直線，以鼠標點出兩點 后建立。L=lineA,B線段點選線段，以鼠標點出兩點 后建立，或點出起點，再指定長 度。a=segment

10、A,B射線點選射線，以鼠標點出兩點。b=RayA,B起點 A 通過 B 點的射線。c=RayA,v起點 A 且方向為 v 向量方向射線。向量點選向量，以鼠標點出已知 兩點，或一點及一向量。u=VectorE,F從點 E 到點 F 的向量。a=VectorA點 A 的位置向量(原點到 A 點的向量)輔助說明以幾何操作方式建立直線，僅需先選擇工具按鈕中的直線(過兩點)按鈕， 然后直接在幾何顯示作圖區中之兩個適當位置，分別按下鼠標左鍵，即完成二個 新點及過此二點之直線。或可以鼠標選取二個已知點后，建立通過此二點之直線。 而若以代數式建立，則鍵入 L=Line點對象1,點對象2 這樣的指令，即完成一個

11、 名為 L 且通過此二點對象之直線。GeoGebra 使用入門11以幾何操作方式建立線段，需先選擇工具按鈕中的線段(過兩點)按鈕，其余程序與直線之建立大致相同，差別只是結果顯示為一個以兩個點對象為端點 之線段。以幾何操作方式建立射線，需先選擇工具按鈕中的射線(過兩點)按鈕， 其余與直線之建立大致相同，差別只是結果顯示為一個以點對象 1 為起點，指向 點對象 2 之射線。或者可以選擇一個點對象與一個向量對象，建立出射線對象。 以幾何操作方式建立向量，需先選擇工具按鈕中的向量(過兩點)按鈕， 其余與直線之建立大致相同，差別只是結果顯示為一個以點對象 1 為起點，指向點物件 2 之向量。或者可以只選

12、擇一個點對象來建立出該點對象之位置向量。12GeoGebra 使用入門3. 垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡垂直線、并行線范例圖GeoGebra 使用入門13各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）垂直線點選垂直線，以鼠標點出已 知一點及一直線或是一向量后建 立。L=PerpendicularC,a通過點 C 且垂直于 a 的直線。 L=PerpendicularC,u通過點 C 且垂直于向量 u 的直線。并行線點選并行線，以鼠標點出已 知一點及一已知直線后建立。L=lineC,a通過 C 點且平行于 a 直線的直線。輔助說明以幾何操作方式建立垂直線，需先

13、選擇工具按鈕中的垂直線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，點選一直線及一點后，則建立通過此點且垂直于該直線之 垂線。或可點選一直線及一向量后，則建立通過此點且垂直于該向量之垂線。而 若以代數式建立，則鍵入 L=PerpendicularC,u， C 為點對象， u 為直線對象向 量對象，這樣的指令，即完成一個名為 L 且通過 C 且垂直于u直線或向量對象之垂 線。以幾何操作方式建立并行線，需先選擇工具按鈕中的并行線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，點選一直線及一點，建立通過此點且平行于該直線之平行 線。而若以代數式建立，則鍵入 L= Line點對象,直線對象這樣的指令，即完成 一個名為 L 且通過此

14、點且平行于該直線之并行線。14GeoGebra 使用入門中垂線、角平分線范例圖各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）中垂線點選中垂線，以鼠標點出已知 兩點，或一已知線段。L=LineBisectorA,B 線段 AB 的中垂線 L=LineBisectorss 線段的中垂線角平分線點選角平分線，以鼠標點出已 知三點，或二直線。注意在點的選 取順序，是以有向角的觀念，以逆 時針方向順序選取之。L=AngularBisectorA,B,C以 B 為頂點的角 ABC 的角平分線 L=AngularBisectorg,h直線 g 和 h 的角平分線GeoGebra

15、使用入門15輔助說明以幾何操作方式建立中垂線，需先選擇工具按鈕中的中垂線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知兩點，或一已知線段后，則建立通過此二點之線段之中垂線，或已知線段之中垂線。而若以代數式建立，則鍵 入 L=LineBisector點對象1,點對象2 或 L=LineBisector線段對象 這樣的指令， 即完成一個名為 L 且通過此二點或該線段之中垂線。以幾何操作方式建立角平分線，需先選擇工具按鈕中的角平分線按鈕，然后在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知三點，或二直線。注意在點的選取順 序，是以有向角的觀念，以逆時針方向順序選取之后，則建立此三點所構成角之角平分線，或二直線所構

16、成角之角平分線。而若以代數式建立，則鍵 入 L=AngularBisector點對象1,點對象2,點對象3 這樣的指令，即完成一個名為L且通過以此三點所構成角且以點物件2為頂 點之角平分線。或 鍵 入 L=AngularBisector直線1,直線2 這樣的指令，即完成一個名為 L 且以二直線為 邊之角平分線。16GeoGebra 使用入門切線、軌跡范例圖各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）切線點選切線，以鼠標點出一點 及一已知函數。(函數做法見進階 操作范例，或參看右方代數式說 明)f(x) 在點 A 時的切線注意 f 為一函數，其中點 A 的 x 坐標

17、 值當然必須為 f 函數之定義域中的 元素。例如，可透過下列代數式建立 一函數，及此函數上某一點之切線。 f(x)=3x2+1A=pointfGeoGebra 使用入門17L=tangentA,f軌跡點選軌跡，以鼠標點出一已 知點，及其相關點各一。這個功 能在表面上，就是點選兩個點。 但是要注意的是這二個點的關系 為何，可詳參右方的代數式說明。L_1=LocusB,A 依據在某對象上之一點 A 所控制的 點 B 的軌跡線。注意 B 應定義為 A 的相關表達式，且 A 應為某對象上的一點。例如，可透過下列一連串代數式，定 義出在 A 所在對象上方 3 單位的軌跡 圖形。f(x)=3x2+1A=p

18、ointf B=A+(0,3) L_1=locusB,A即可做出 L_1 為 f 向上平移 3 單位的拋物線圖形。輔助說明以幾何操作方式建立切線，需先選擇工具按鈕中的切線按鈕，然后在幾 何顯示作圖區中，以鼠標點出一點及一已知函數(函數做法見進階操作范例，或參 看以下說明)。注意 f 為一函數，其中點 A 的 x 坐標值當然必須為 f 函數之定義域 中的元素。例如，可透過下列代數式建立一函 數，及在其上某一點之切線： f(x)=3x2+1、 A=pointf 、 L=tangentA,f 。則建立出函數 f 在點 A 之切線 L。 以幾何操作方式建立軌跡，需先選擇工具按鈕中的軌跡按鈕，然后在幾

19、何顯示作圖區中，以鼠標點出一已知點，及其相關點各一。這個功能在表面上， 就是點選兩個點，但是要注意的是這二個點的 關系為何。在代數式中下指令 L_1=LocusB,A，意指依據在某對象上之一點 A 所控制的點 B 的軌跡線。注意 B 應定義為 A 的相關表達式，且 A 應為某對象上的一點。例如，可透過下列一連串18GeoGebra 使用入門代數式，定義在 A 所在對象上方 3 單位的軌跡圖形， f(x)=3x2+1、 A=pointf、B=A+(0,3)、 L_1=locusB,A，可做出 L_1為 f 向上平移 3 單位的拋物線圖形（注： 像 L_1 這樣的標記，底線后的第一個字符為下標）。

20、4. 多邊形、正多邊形GeoGebra 使用入門19范例圖各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）多邊形點選多邊形，以鼠標點出若 干點后建立。Poly1=PolygonA,B,C,. 由給定點 A、B、C 所圍成的多邊形20GeoGebra 使用入門正多邊形點選正多邊形，以鼠標點出兩點及輸入一數值 n 后建立。Poly1=PolygonA,B,n,n3包括點 A、B 的正 n 邊形，注意用此 方法建立時，若 n 值本身又是由一滑 桿，或其它對象控制之值，則各邊及 頂點是以動態出現的現象呈現。輔助說明以幾何操作方式建立多邊形，需先選擇工具按鈕中的多邊形或正多邊

21、形按鈕，然后在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知或實時新建的若干點，最 后再點選回第一個點之后建立。或點選正多邊形，以鼠標點出已知兩點及輸 入一數值 n 后建立。注意此動作其實只是建立了此多邊形之各頂點，然后順便建 立了依附在這些點上的邊及整個多邊形的物件。5. 圓形、扇形、圓弧GeoGebra 使用入門21圓形范例圖各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）圓點選圓()，以鼠標點出已 知二點、或已知一點及輸入一數 值為半徑、或點出已知三點后建 立。c=CircleM,r圓心 M 且半徑為 r 的圓。c=CircleM,s圓心 M 且半徑為 s 的長度的圓，其中s

22、 為一已知線段。c=CircleM,A圓心 M 通過點 A 的圓。 c=CircleA,B,C 通過三點 A、B、C 的圓。22GeoGebra 使用入門輔助說明以幾何操作方式建立圓，需先選擇工具按鈕中的圓()按鈕，然后在幾 何顯示作圖區中，以鼠標點出已知二點或實時新建的二點，或是點出已知三點及 或實時新建的三點，或是點出已知一點及輸入一數值為半徑，皆可建立一圓。相 關的代數式為輸入 c=CircleM,r，則可建立圓心 M 且半徑為 r 的圓，其中 r 為一 已知數值。c=CircleM,s，可建立圓心 M 且半徑為 s 的長度的圓，其中 s 為一已 知線段。c=CircleM,A，可建立圓

23、心 M 且通過點 A 的圓。c=CircleA,B,C，則 是可建立通過三點 A、B、C 的圓。扇形、圓弧范例圖GeoGebra 使用入門23各編輯區方法列表扇形點選扇形()，以鼠標點出 三點(第一點為圓心)后建立，或 任意三點來建立一通過此三點的 扇形。c=CircularSectorM,A,B圓心為 M，起點為 A、終點為 B 的扇 形，注意 A、B 兩點點選的順序，是 采用逆時針方向的有向角觀念。弧點選圓弧()，以鼠標點出 三點(第一點為圓心)后建立，或 任意三點來建立一通過此三點的 弧。c=CircularArcM,A,B圓心為 M，起點為 A、終點為 B 的圓 弧，注意 A、B 兩點

24、點選的順序，是 采用逆時針方向的有向角觀念。 c=CircumcircularArcA,B,C 依序通過 A、B、C 三點的圓弧。輔助說明以幾何操作方式建立扇形，需先選擇工具按鈕中的扇形()按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知一點為圓心及圓上兩個已知點或新建二 點，又或者是直接點出任意三點，皆可以建立 一扇形。相關的代數式輸入為 c=CircularSectorM,A,B，可建立圓心為 M ，起點為 A ，終點為 B 的扇形，注意 A、B 兩點點選的順序，是采用逆時針方向的有向角觀念。弧的建立與扇形的建立方式大致相同，唯需注意通過三點 A、B、C 的圓弧， 三點的點選順序，是采用逆時

25、針方向的有向角觀念。24GeoGebra 使用入門6. 角、斜率GeoGebra 使用入門25范例圖各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）角點選測量角度，以鼠標點出已 知三點后建立。=AngleA,B,C以 B 為頂點，線段 BA 和線段 BC 為兩 邊的夾角，注意 A、C 二點的點選順 序，是采用逆時針方向的有向角觀 念。斜率點選斜率，以鼠標點出已知直m=slopeL26GeoGebra 使用入門線后建立。而斜率，其雖然為一數值，但在 幾何區中會以一小直角三角形呈 現其意像。已知直線 L 之斜率。輔助說明以幾何操作方式建立角，需先選擇工具按鈕中的測量角度按

26、鈕，雖然其 功能名為測量角度，但其為建立一角對象。然后在幾何顯示作圖區中，以鼠標點 出已知一點或新建一點 A 為起始點，及一已知點或新建點 B 為頂點，再點出已知 一點或新建一點 C 為末端點，則可建立一角對象。注意通過 A,B,C 三點的角，三點的點選順序，是采用 逆時針方向 的有向角觀念。相關的代數式輸入為 c=AngleA,B,C，可建立起始點為 A，末端點為 C，頂點為 B 的角。 以幾何操作方式計算斜率，需先選擇工具按鈕中的斜率按鈕，以鼠標點出已知直線后建立。而斜率其雖然為一數值，但在幾何區中會以一小直角三角形 呈現其意像。若以代數式建立，則鍵入 m=slopeL ，因其為一數值，終

27、究不是一 個圖形，所以通常斜率數值在幾何區中建議隱藏其圖示。7. 對稱、平移、旋轉GeoGebra 使用入門27范例圖對稱各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）點對稱點選點對稱，以鼠標點出已知 一點、或已知直線或已知多邊 形，及其對稱點后建立出該已知 點、直線或多邊形的點對稱圖形。C=MirrorA,B以 B 為對稱點，做出點 A 的對應點 C L=Mirrorg,B以 B 為對稱中心，作直線 g 之線對稱 圖形 LP=Mirrorp,B以 B 為對稱中心，將多邊形 p 作對稱。線對稱同上，但對稱中心改為直線。同上，但對稱中心改為對稱軸。28GeoGebra

28、 使用入門輔助說明以幾何操作方式建立對稱對象，需先選擇工具按鈕中的線對稱或點對 稱按鈕，然后在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知點或已知直線或已知多邊 形，及其對稱軸(點)后建立出該已知點、直線或多邊形的線(點)對稱圖形。相關 的代數式輸入為，對稱對象名稱 A'=Mirror原對象A ,線對象或點對象，可建立 以線對象或點對象為對稱中心，相對于原對象的新對稱對象。平移范例圖GeoGebra 使用入門29各編輯區方法列表方法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）平移點選平移，以鼠標點出已知物 件，如點、線、多邊形等及一向 量后建立。A'= TranslateA,v

29、以向量 v 平移點 A a'= Translatea,v 以向量 v 平移直線 apoly'= Translatepoly,v以向量 v 平移多邊形 poly輔助說明以幾何操作方式建立平移對象，需先選擇工具按鈕中的平移按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知點或已知直線或已知多邊形，及其平移向 量后，建立出該已知點、直線或多邊形的平移圖形。相關的代數式輸入為平移后 對象名稱 A'= Translate 原對象A,向量v，可建立將原對象以向量 v 為基準，所 建立的新平移后對象。30GeoGebra 使用入門旋轉范例圖GeoGebra 使用入門31各編輯區方法列表方

30、法物件幾何建立代數建立范例（建立時最好包含自訂對象名稱）旋轉點選旋轉，以鼠標點出已知 對象如點、線、多邊形等，再 點選一旋轉中心，并輸入角度 建立旋轉后的對象。A'= rotateA,B以 B 為旋轉中心，將 A 旋轉角度 a'= rotatea,B以 B 為旋轉中心，將線段 a 旋轉角度 poly'= rotatepoly,B以 B 為旋轉中心，將多邊形 poly 旋轉角度 輔助說明以幾何操作方式建立旋轉對象，需先選擇工具按鈕中的旋轉按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中，以鼠標點出已知點或已知直線或已知多邊形，及其旋轉中 心點，再輸入一旋轉角度后，建立出該已知點、直線或多邊

31、形之旋轉后的圖形。 相關的代數式輸入為，旋轉后對象名稱 A'= rotate 原對象A,旋轉角度,旋轉中 心點 B ，可建立將原對象以旋轉中心點 B 為基準，旋轉角度后，所建立之新的 旋轉后對象。注意其旋轉角度是以逆時針有向角度量的。32GeoGebra 使用入門8. 數值滑桿、文字GeoGebra 使用入門33范例圖各編輯區方法列表方法 對象幾何建立代數建立范例數值滑桿點選數值滑桿，設 定起始值、終值及增 量后建立。無法由代數式建立。文字點選插入文字，輸 入文字后建立。點選插入文字后會出現一文字編輯視 窗，在其中可運用各式的代數對象，及以 類程序語法組成一文字字符串，并可選擇是 否搭

32、配 Latex 表示式來呈現。有關 Latex 表示式可參閱教學網頁。網址為 /tex/latex123/latex123.html34GeoGebra 使用入門輸入可能的輸出結果"第一句，這是靜態文字"這是靜態文字"第二句，參用 A 點坐標 = " + AA 點坐標= (3.05, 2.54 )"第三句，參用線段 a = " + a + " cm "線段 a = 5.87 cm1. 若全句皆沒有雙引號，則全句以純字符串視之。2. 與雙引號一起運用時，可加入如 ifex

33、pression,"文字A","文字B"， 這樣的式子，增加其動態顯示的效果，且字符串的連接以加號串接之。3. 在文字輸入窗口中，要使用 Latex 表示式，要點選 Latex 勾選框。GeoGebra 使用入門35輔助說明以幾何操作方式建立數值滑桿對象，需先選擇工具按鈕中的數值滑桿按 鈕，然后在幾何顯示作圖區中任意位置點擊后，會出現一數值滑桿設定窗口，其 中要填入者，有起始值、終值、增量及數值角度選擇鈕。其余屬性如大小顏色等， 可隨個人喜好設定，填妥后按確定，即建立一數值滑桿對象。此對象目前無法由 代數式建立。注意數值滑桿內之起始值、終值、增量等，皆無

34、法以變量設定，須 以明確的數字設定之。這通常是給使用者控制各項數值大小的工具，以便能做出 各種動態呈現的圖形。以幾何操作方式建立文字對象，需先選擇工具按鈕中的文字按鈕，然后 在幾何顯示作圖區中任意位置點擊后，會出現一文字編輯窗口，在其中可運用各 式的代數式對象，及類程序語法組成一文字字符串，并可選擇是否搭配 Latex 表示 式來呈現(有關 Latex 表示式請參閱相關教學網頁)。注意，若全句皆沒有雙引號， 則視為純字符串。若與雙引號一起運用時，可加入如 ifexpression,"文字A","文字B"，這樣的式子，增加其動態顯示的效果，且字符串的連接須

35、以加號串接。 在文字輸入窗口中，要使用 Latex 表示式，記得一定要點選 Latex 勾選框，系統 才會將字符串轉譯成正確的數學式，以增加可讀性，這對閱讀者來說，是一個很方 便的界面。36GeoGebra 使用入門9. 對象的屬性設定對于任何一個對象，都有其相對應的屬性。這些屬性大致包含有以下四類：1.一般：包含對象名稱、對象的代數式定義、顯示與否、名稱或數值的顯示方式、 是否設定為輔助對象等。其中名稱、代數式定義這二項在造出對象時，大概 就已經被使用者所指定好。例如圓 c=circle(A,2)，其中 c 就是這個圓的名稱， circle(A,2)是這個圓 c 的定義。其余關于顯示與否、名

36、稱或數值的顯示方式、 是否設定為輔助對象等，則可隨使用者設定勾選。(如下圖一)2.顏色：顧名思義，此即為對象顏色的設定。(如下圖二)3.樣式：包含線寬等級及填色的比例設定。(如下圖三)4.進階：通常是伴隨一個布爾變量或布爾表達式，去設定此對象要顯示與否的條 件，若此條件被設定，則在前面一般設定中顯示對象與否的勾選框便自動失 效。另外有隨著不同對象會出現的不同屬性，如代數式顯示方式、數值滑桿 設定、文字字號等，使用者可逐一實驗。(如下圖四)圖一圖二圖三圖四GeoGebra 使用入門37進階操作范例1. 直線方程式、函數有些對象，無法由幾何編輯接口建立，這時以代數式直接在 GeoGebra 下方輸

37、 入列中建立，是一個很方便的方法。例如指定系數的直線方程式、或一些自訂函 數，如 L:2x-5y=-2，其中 L 為此直線方程式的名稱，注意以冒號區隔式子。其中 系數與代數項 x 或 y 之間，須填入一空格，以代表不同的對象相乘，若沒有以空 格隔開，系統會將其錯認為另一代數變量對象。函數的建立，通常遵循一般常用的表示法，例 如可在代數輸入列中鍵入 f(x)=x2+3x-1，其為一個二次拋物線函數，建立完成后，系統便直接將此函數在 幾何區中繪出。其中為次方的連接符號，例如在本例中，x2就代表 x 的 2 次 方。38GeoGebra 使用入門2. 動態文字處理、代數式定義處理：if 語法的應用范

38、例：四邊形的種類在文字的呈現處理中，可以搭配一些控制語法如 if 敘述，來強化其動態顯示 的效果，例如在上例中，除了點 A 為唯一自由點以外，其余三個頂點分別以 z 數 值滑桿來決定四邊形的長寬，用 角度數值滑桿來決定 A 點傾斜的角度。其定義 語法如下B=Ifz < 3.5, (x(A) + z cos(), y(A) + z sin(), (x(A) + 3.5 cos(), y(A) + 3.5 sin()表示點 B 位置為距 A 點 z 單位，且傾斜角度的上方位置。當 z 值小于 3.5 時，AB 長度隨 z 值大小改變，若 z 值大于 3.5，則 AB 長度停留在3.5，不隨

39、z 值大小而改變。C=Ifz < 6, (x(B) + z, y(B), (x(B) + 6, y(B)表示點 C 位置為距 B 點 z 單位的右方位置。當 z 值小于 6 時，BC 長度隨 z 值大小改變，若 z 值大于 6，則 AB 長度停留在 6， 不隨 z 值大小而改變。D=(x(A) + z, y(A)表示 D 點在點 A 的右邊 z 單位遠。GeoGebra 使用入門39這樣的設定，可以讓二個數值滑桿就變化出正方形、長方形、菱形、梯形、平行四邊形等不同的四邊形類型。而在文字說明的呈現上，若搭配 if布爾值,真 值的字符串,偽值時的字符串 的語法，可顯示出相對應的四邊形類型名稱

40、。其中上圖 紅框中的語法為"目前這個四邊形是一個 " + (If 90°, Ifz < 3.5, "正四邊形(即正方形)", Ifz > 6, "梯形", "矩形(即長方形)", Ifz < 3.5, "菱形", Ifz < 6, " 平行四邊形", "梯形") + ""如此便能造出動態的文字呈現效果。40GeoGebra 使用入門3. 參數曲面 (Curve)這個范例是另一個比較簡單的連續參數曲面，在

41、上圖中，我們用了二個數值滑桿 r、t，及一個角度數值滑桿、分別控制這個圓的半徑，及畫出多少角度的 弧，t 滑桿則是為了突顯參數曲面的函數性格。即當作是 L 參數區面中的定義域的 角度值，以計算出相對應的點坐標對象值，在本例中， A=L(t) ，會隨 t 值變化計 算出在圓上的一個點坐標。其中紅色的參數區面(圓弧)定義為：L=Curver cos(t), r sin(t), t, 0, 表示 L 為由半徑為 r，且角度為 t 的極坐標點 (r,t) 所構成的無限點集合。 其中 t 是由 0 到 的動態變量值。此圖形可隨著不同的終值 ( 0 < < 2 pi ) 之變化，繪出不同大小的

42、圓弧。GeoGebra 使用入門414. 序列物件 (Sequence)范例 多邊形內角和公式序列對象，對繪制離散形集合對象，是一個好用的代數定義方法。圖中以正 多邊形為講解范例，意圖將正多邊形內角和公式，用內部三角形切割方式拼湊出 來，圖中我們用了二個數值滑桿 r、n，分別去控制這個正多邊形半徑的大小，及 正多邊形的邊數。一組控制觀察角度的旋轉對象、三個序列對象：n 個頂點、n 條 邊、n 3條切割線，及一組靜態文字，一組動態文字，除靜態文字較簡單外，其 余對象之定義方法分別說明如下：42GeoGebra 使用入門一、n 數值滑桿為了方便學生觀察各種多邊形的內角切割情形，可定義一個名為 n

43、的數值滑桿，以控制多邊 形邊數。二、r 數值滑桿 為了視覺效果是否清晰與觀察單純化的考慮，我們用正多邊形為觀察對象。定義一個名為 r 之數值滑桿，控制這個正多邊形中心到頂點的長度，亦即此正多邊形外接圓的半徑。三、一組旋轉控制對象是為了要能從各種角度觀察出此正多邊形切割后的情形，所設計的一組對象。3.1 一個基于圓心 B，半徑為 1 的應變控制圓 c=circleB,1，其中 B 為一自變點對象。3.2 一個在圓 c 上，圓心 B 的 x 坐標加一單位的觀察角度基準點，應變對象 CB(1,0)。3.3 在圓 c 上建立一自由點 D=pointc。雖然他被限制在圓 c 的圓周上游移，但其值并未被限

44、 制死，仍應視為一依附于圓 c 的自變對象。3.4 建立一個應變角度對象 =AngleC,B,D，以 B 為頂點，由基準點 C 轉到 D 的有向角。四、建立此正多邊形的動態切割圖4.1 一個自變自由點對象 O，當作此正多邊形的中心。4.2 一組基于點 O、半徑 r、觀察角度 ，所動態產生的 n 個應變頂點對象，可用序列集合對象， 命名為 Pset，定義為 SequenceO+(rcos(+(i-1)360°/n),r sin(+(i-1)360°/n),i,1,n 由于這部分比較復雜，說明如下：我們希望建立的 n 數值滑桿在變動時，頂點數及相關位置也會跟著變動。例如當 n

45、變成 5，則圖形就出現正五邊形的五個頂點，可以讓我們藉此做出正五邊形及切割線。而這五 個頂點我們將它視為一個對象。如此設計，使得不管 n 值滑到多少，這 n 個頂點都只算是 一個對象，這樣就可以很方便的控制它。而要達成這個目的，可以使用 sequence。它包含 4 或 5 個參數，一是對象代數式 定義，二是變動指標，三是起始值，四是終值，五是增量，若 是第五個參數沒寫，則內定為 1。GeoGebra 使用入門43例如：sequence(i,i+1),i,1,5，這個指令可以造出一個包含 5 個點的集合對象(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)，如上頁圖中的點。若將第一個參數改成線段對象，則會 造出一個包含 5 條線段的集合，指令可改成 sequencesegment(i,i),(i,i+1),i,1,5， 如上頁圖中的線段。在本文中，第一個參數是點的代數定義式，其中 x 坐標為 rcos(+(i-1)360°/n)，y坐標為 r sin(+(i-1)360°/n)。將這二個式子用小括號包起來，則形成