1、例1 怎樣使飲料罐制造用材最省的問題首先，把飲料罐假設(shè)為正圓柱體(實(shí)際上由于制造工藝等要求，它不可能正好是數(shù)學(xué)上的正圓柱體，但這樣簡(jiǎn)化確實(shí)是近似的、合理的)在這種簡(jiǎn)化下，我們就可以來明確變量和參數(shù)了，例如可以假設(shè)：V一罐裝飲料的體積，r一半徑，h一圓柱高，b一制罐鋁材的厚度，l一制造中工藝上必須要求的折邊長(zhǎng)度。上面的諸多因素中，我們先不考慮l這個(gè)因素于是： 由于易拉罐上底的強(qiáng)度必須要大一點(diǎn)，因而在制造上其厚度為罐的其他部分厚度的3倍因而制罐用材的總面積A ，每罐飲料的體積V是一樣的，因而V可以看成是一個(gè)常數(shù)(參數(shù))，解出A： 代入A得： 從而知道，用材最省的問題就是求半徑r使A(r)達(dá)到最小。

2、A(r)的表達(dá)式就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。可以用多種精確的或近似的方法求A(r)最小時(shí)相應(yīng)的r。 從而求得 例3 數(shù)據(jù)擬合模型在數(shù)學(xué)建模過程中，常常需要確定一個(gè)變量依存于另一個(gè)或更多的變量的關(guān)系，即函數(shù)。但實(shí)際上確定函數(shù)的形式（線性形式、乘法形式、冪指形式或其它形式）時(shí)往往沒有先驗(yàn)的依據(jù)。只能在收集的實(shí)際數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上對(duì)若干合乎理論的形式進(jìn)行試驗(yàn)，從中選擇一個(gè)最能擬合有關(guān)數(shù)據(jù)，即最有可能反映實(shí)際問題的函數(shù)形式，這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的擬合回歸方程問題。“人口問題”是我國(guó)最大社會(huì)問題之一，估計(jì)人口數(shù)量和發(fā)展趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ)。有人口統(tǒng)計(jì)年鑒，可查的我國(guó)從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)智料如下：年份

3、 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994人口數(shù) (百萬) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74分析：（1） 在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2） 估計(jì)出這圖象近似地可看做一條直線。（3） 用以下幾種方法（之一）確定直線方程，并算出1999年人口數(shù)。方法一：先選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn)，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二點(diǎn)確定一條直線，方程為N = 14.088 t 26915.842代入t =1999

4、,得N »12.46億方法二：可以多取幾組點(diǎn)對(duì)，確定幾條直線方程，將t = 1999代入，分別求出人口數(shù)，在取其算數(shù)平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直線方程。設(shè)（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), , (x n, y n)是直角平面坐標(biāo)系下給出的一組數(shù)據(jù)，若x 1<x 2<<x n,我們也可以把這組數(shù)據(jù)看作是一個(gè)離散的函數(shù)。根據(jù)觀察，如果這組數(shù)據(jù)圖象“很象”一條直線（不是直線），我們的問題是確定一條直線y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出這組數(shù)據(jù)的變化。對(duì)個(gè)別觀察值來說，它可能是正的，也可能是負(fù)的。為了不使它們相加彼此

5、抵消，故"最好"應(yīng)該是 它可能是正的，也可能是負(fù)的。為了不使它們相加彼此抵消，故"最好"應(yīng)該是例4 貸款買房問題某居民買房向銀行貸款6萬元，利息為月利率1%，貸款期為25年，問該居民每月應(yīng)定額償還多少錢？確定參變量：用n表示月份， 表示第n個(gè)月欠銀行的錢，r表示月利率，x表示每月還錢數(shù)， 表示貸款額，則可得下表：時(shí)間 欠銀行款初始 一個(gè)月后 二個(gè)月后 三個(gè)月后 n個(gè)月后 由遞推關(guān)系式 可得 令 =60000元， ,n=300,r=0.01得 元因此，該居民每月應(yīng)償還632元。餐廳選菜的規(guī)律學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有兩樣菜：A，B可供選擇。調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%改選B菜；而選B菜的，下星期一則有30%改選A，設(shè) 表示在第n個(gè)星期一選A，B的人數(shù)。（1） 試用 表示 ；（2） 證明： =0.5 +300；（3） 若記 ，則 解：（1） =0.8 +0.3 （2） 因