1、高三數學專題復習應用題【考點概述】數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一，也是考生失分較多的一種題型。解答這類問題的要害是深刻理解題意，學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化，這就需要建立恰當的數學模型，這當中，函數，數列，三角是較為常見的模型，而立幾，不等式，解幾等模型也應在復習時引起重視。高考應用性問題的熱門話題是增減比率型和方案優化型，另外，估測計算型和信息遷移型也時有出現。當然，數學高考應用性問題關注當前國內外的政治，經濟，文化，緊扣時代的主旋律，凸顯了學科綜合的特色。【求解應用題的一般步驟】1、審清題意：認真分析題目所給的有關材料，弄清題意，理順問題中的條件和結論，找到關鍵量，進

2、而明確其中的數量關系（等量或大小關系）2、建立文字數量關系式：把問題中所包含的關系可先用文字語言描述關鍵量之間的數量關系，這是問題解決的一把鑰匙。3、轉化為數學模型：將文字語言所表達的數量關系轉化為數學語言，建立相應的數學模型（一般要列出函數式、三角式、不等式、數列、排列組合式、概率以及利用幾何圖形等進行分析），轉化為一個數學問題。4、解決數學問題：利用所學數學知識解決轉化后的數學問題，得到相應的數學結論。5、返本還原：把所得到的關于應用問題的數學結論，還原為實際問題本身所具有的意義。【常見類型】類型一：函數應用題1.1以分式函數為載體的函數應用題例1.工廠生產某種產品，次品率p與日產量x（萬

3、件）間的關系為：p16x23c,(c為常1.5 元.（2）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件?(注:,口牙 次品數次曲率=FST*100%）解（1）若0 xyC,則3(x6o 9x3x 2(6x)若xyC,則3( x x)323(9x 2x2)2(6 x)03c,則 y 2(9 4x)(6x)(9x(6 x)22x2)( 1)3(x 3)(x 9)(6 x)2且0<c<6）.已知每生產1件合格產品盈利3元，每出現1件次品虧損（1）將日盈利額y（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數;_ _ 一 23(9c 2c )2(6 c)3時，ymax f (3)xc,ymax3,則y0,函數在

4、0，c上為增函數，6,在（0，3）上為增函數，在（3，c）上為減函數，當x綜上，若0c3,則當日產量為c萬件時，日盈利額最大；若3c6,則當日產量為3萬件時,日盈利額最大1.2以分段函數為載體的函數應用題例2.在等邊ABC中，AB=6cm,長為1cm的線段DE兩端點D,E都在邊AB上，且由點A向點B運動(運動前點D與點A重合)，FDAB，點F在邊AC或邊BC上；GEAB，點G在邊AC或邊BC上，設ADxcm.(1)若ADF面積為&f(x)，由DE,EG,GF,FD圍成的平面圖形面積為S2g(x),分別求出函數f(x),g(x)的表達式;(2)若四邊形DEGF為矩形時xx0,求當xx0時

5、，設F(x)上區，求函數g(x)F(x)的取值范圍.解：(1)當0x3時，F在邊AC上，FDxtan600底，f(x)5時，F在邊BC上，FD(6x)tan60073(6x),f(x)工(6232cx,0,2x),f(x);3(62x),3x5當0x2時,F、G都在邊AC上，FDxtan600Mx,EG、,3(x1)g(x)3x3(x1)13x_32，3時,F在邊AC上，G在邊BC上,FD、,3x,EG,3(5x)5<3g(x)-2-；5時,F、G都在邊BC上，FDx),EG,3(5x)g(x),3x11.32g(x)x05、3一,22%3x11.3,32。當25x3時，F(x)2x25

6、5,4F(x)956x H ,F (x) 11 1,x2 5x 33 c4 02x 11x2當3x5時，F(x)2xF(x)的取值范圍為5,5418.c,105例3.將一張長8cm,寬6cm的長方形的紙片沿著一條直線折疊，折痕(線段)將紙片分成兩部分，面積分別為Sicm2,S2cm2,其中Si<S2.記折痕長為lcm.(1)若1=4,求S的最大值;(2)若Si：S2=1：2,求l的取值范圍.解如圖所示，不妨設紙片為長方形ABCD, AB=8cm, AD = 6cm,其中點A在面積為Si的部分內.折痕有下列三種情形:折痕的端點N分別在邊ABAD上;ABCD上;折痕的端點N分別在邊MAD(情

7、形)BC上.(情形)(情形)(1)在情形、中 MN >6,故當1 = 4時，折痕必定是情形.設AM=xcm,AN=ycm,則x2+y2=16.因為x2+y2>2xy,當且僅當x=y時取等號,所以Si=xy<4,當且僅當x=y=2時取等即Si的最大值為4.(2)由題意知，長方形的面積為S=6X8=48.因為Si:S2=1:2,SKS2,所以Si=16,S2=32.當折痕是情形時，設AM=xcm,AN=ycm,則xy=16,即所以l=),wxw8.設f(x)=x2+,x>0,則f'x)=2x=)(x4),x3),X>0.故(,4)(4, 8)f'x)一

8、0十f(x)646480所以f（x）的取值范圍為64,80,從而l的范圍是8,4;當折痕是情形時，設AM=xcm,DN=ycm,則（x+y）X6=16,即y=x.0<x<8,0Wxw8,所以l=)2),0<x<.所以l的范圍為6,;當折痕是情形時，設BN=xcm,AM=ycm,則(x+y)X8=16,即y=4-x.0wxW6,/日o一/由，得0Wx<4.0W4一xW6,所以l=,0WxW4.所以l的取值范圍為8,4.綜上，l的取值范圍為6,4.例4.如圖，長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動，速度為v（v>0）,雨速沿E移動方向的分速度為

9、ccR,E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與XS成正比，比例系數為1; （2）其他面的淋雨量1c33-S之和，其值為2.記y為E移動過程中的總淋雨量，當移動距離d100,面積2s=2.(1)寫出y的表達式；(2)設0vvWl0,0vcw5,試根據c的不同取值范圍，確定移動速度v,使總淋雨量y最少.解：(I)由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為31Vc|1,故202yF2301Vc112)加vc110)-(n)由(i)知，當0vc時，y5(3c3v10)5(3c10)15;VV當c故y(1)v10時，y-(3v3c10)5(103c)

10、15.在(c,10上，y是關于v的增函數.故Vv15,0 v c,15,c v 10.5(3c10)v5(103c)v當0c10時，y是關于v的減函數.故當v310當一c5時，在(0,c上，y是關于v的減函數;3例5.如圖所示的自動通風設施.該設施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2a(a>1)米.上部CmD是個半圓，固定點E為CD的中點.EMN是由電腦控制其形狀變化的三2角通風窗(陰影部分均不通風)，MN是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持和CD平行的伸縮橫桿.(1)設MN與AB之間的距離為x米，試將三角通風窗EMN的通風面積S(平方米)表示成關于x的函數Sfx

11、;解:(1)(一)0<xMN(二)(2)(2)當MN與AB之間的距離為多少米時，三角通風窗EMN的通風面積最大？并求出這個最大面積.1,，、一-時，由平面幾何知識，得2MN2a2(2af(x)(一)0<x1)xx(2a1)x2(a1)x(2aa21)x2(x2(2a1)(二)當xA.1(a2)22.a1)x(x(x12)，x(2aa2(2a1)f(x)max一時2(2a1)J，11a一時,22a2(x2)21222)a2(2a(x2)21)時,1、22)(x10,2),1(2，a21)xf(0)(af(x)maxf(x2)2121a(x-)(x-),12).1)x2(2a1)2a4

12、(2a1)/12(x)2(x2)122)(x1222)2a212(x2)21-a2(x2)f(x)max12二(a-)(a220,f(x)maxx2(2a1)f(0)；(&1),f(x)max2a4(2a 1)4a 32a 4(2a 1)綜上，三角通風窗f(x) max-aW 巫時，當 x 0時，f (x)max 221 , 一f(0) 一，即MN與AB之間的距離為0米時, 4EMN的通風面積最大，最大面積為1平方米.4a2. 1 一-2-,即MN與AB之間的距離為x -(72a 1)米時,2 一，1 La )-時，當 x -G/2a 1)時,三角通風窗EMN的通風面積最大,12B.a

13、1時，a221當x萬(后1)時，f(x)max最大面積為aa2平方米.21.3以二次函數為載體的函數應用題例6.輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動.如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1米的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE(拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內)，D為這段拋物線的最高點.現在運動員的滑行軌跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標系，x軸在地面上，助跑道一端點A(0,4),另一端點C(3,1),點B(2,0),單位：米.(1)求助跑道所在的拋物線方程;(2)若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同

14、的切線，為使運動員安全和空中姿態優美，要求運動員的飛行距離在4米到6米之間(包括4米和6米)，試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍？(注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標差的絕對值.)解(1)設助跑道所在的拋物線方程為f(x)2a°xbox依題意:c04,4a0 2b0 c00,解得,9a0 3b0 c01,a01 ， b04,Co助跑道所在的拋物線方程為f(x)(2)設飛行軌跡所在拋物線為g(x)2axbx c0),依題意:fg，得 f'(3) g'(3),9a3b令 g(x)6a2,1,解得b c6a,9a 5,2ax (2 6a)x 9a

15、a(x3a 1 2)a3a 1、211 信，(x ),a a0, x11 一,a3a 13a 1當x 時，g(x)有最大值為1a則運動員的飛行距離飛行過程中距離平臺最大高度h 1a即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在1-,一,依題意，4 a2米到3米之間.6,2a3, a例7.某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元.為了增加企業競爭力,決定優化產業結構，調整出x (xC N )名員工從事第三產業，調整后他們平均每人每年創造利潤為10 a3x 萬兀(a>5000),剩下的員工平均每人每年創造的利潤可以提高0.2x%.(1)若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1000

16、名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業?(2)在(1)的條件下，若調整出的員工創造出的年總利潤始終不高于剩余員工創造的年總利潤，則a的取值范圍是多少？解(1)由題意，得10(1000x)(1+0.2x%戶10X1000即x2500XWQ又x>0,所以0VXW500即最多調整500名員工從事第三產業.(2)從事第三產業的員工創造的年總利潤為3x10 a 500x萬元，從事原來產業的員工的年總利潤為13x13x210(1000x)1x萬兀，則10ax<10(1000x)1x，所以ax-一<10002x-x-5005005005001c2y221000x2,所以a

17、x<2+1000+x,即aw*x_+2000+1恒成立.500500500x因為2x+幽2/包1000=4當且僅當空=1000,即*=500時等號成立，所以aW5,又500x丫500x500xa>0,所以0vaW5.所以a的取值范圍為(0,5.類型二：三角測量應用題2.1 以三角函數的定義為載體的三角應用題例8.如圖，兩個圓形飛輪通過皮帶傳動，大飛輪。1的半徑為2r(r為常數)，小飛輪。2的半徑為r,O1O24r.在大飛輪的邊緣上有兩個點A,列表:0(0,2兀)32一兀3,24(一兀,一兀)334一花3(-4兀2勸2冗f()+00+f()0極大值f(2兀)3極小值f(兀)0，當02

18、兀時，f(©取得極大值為史3；當。4兀時，f(9)取得極小值為班.3434B ,滿足 BOiA,在小飛輪的邊緣上有點 C .設大飛輪逆時針,旋轉一圈，傳動開始時，點B , C在3水平直線 O1O2上.m(1)求點A到達最高點時A, C間的距離；(2)求點B, C在傳動過程中高度差的最大值解(1)以Oi為坐標系的原點， 。2所在直線為x軸，如圖所示建立直角坐標系.當點A到達最高點時，點A繞Oi轉過二，則點C繞O2轉過. 此時A ( 0 , 2r) , C (- r,且r) 6322AC , (9r)2 (2r jr)2、,25 2 3 r.(2)由題意，設大飛輪轉過的角度為0,則小飛輪

19、轉過的角度為2也其中 0,2兀.此時 B (2rcos , 2rsin ), C (4r rcos2 , r sin2 ).記點B,C高度差為d,則d |2rsin rsin 2 | .即 d 2r |sin sin cos |.設 f( ) sinsin cos ,0,2 兀，貝U f ( ) (1 cos )(2cos 1).令 f ( ) (1 cos )(2cos1)。，得 cos答：點B,C在傳動中高度差的最大值dmax*r.22.2 以三角函數的圖象為載體的三角應用題例9.如圖，摩天輪的半徑為40m,點。距地面的高度為50m,摩天輪做勻速轉動，每3min轉一圈,摩天輪上的點P的起始

20、位置在最低點處.(1)試確定在時刻t(min)時點P距離地面的高度；(2)在摩天輪轉動的一圈內，有多長時間點P距離地面超過85m?(3)求證：不論t為何值，f(t)f(t1)f(t2)是定值.解設點尸離地面的走離為y1則可令尸北in(3C中)-曲由題沒可知，與0,扛K0rT2npbir2仃門H2n.八1=二3?所以3一二，從用j=50sin(-t-t-<pJ_60W3J、27T.lr京主配設處r=0時代入尸5O=im=f-?-60,但宜你=-L從而q>3J2TT因此3二6。-50"一11t。)?ST要至點E更高比面超過85理工揖5=60-50c即匚匚"'

21、KfJQ士9772UATT于是由三角函數基本性貢推得爸號，如1<NW所以,在摩天輪轉動的一圈內，點尸距離地面超過85ni的時間有1分鐘.由知而得&與-60=6550心8爭工f(0-f(r-1)-fCr-工)=00-50cos-n-60<0c-o?-n:E-l)-dO<9cos號京irt-cog (亍工【一亍(亍兀【一4，五z)= 1S 0-50 co? -)cos33一83mM口江tj2-32523-180故不論為何值，f(t)-f(r-1)-f(e-2)是定值.2.3以直角三角形為載體的三角應用題例10.如圖，矩形 ABCD中，AB=3, AD=2, 一質點從 AB

22、邊上的點B出發，沿與AB的夾角為后，依次反射（入射角與反射角相等）的P2,巳已處.(1)若P4與Po重合，求tan的值;的方向射到邊BC上點Pi到邊 CD, DA和AB上(2)若P4落在A、Po兩點之間，且 APo=2 .設tan =t,將五邊形PoPiP2P3P4的面積S表示為t的函數，并求S的最大值.(1)設 fob Xo ,則 PB Xotan , PC2 x0 tanRCRC2 xo tan2tantantanP2D 3Xo2 tanP3D(3xo)tan2,RA(3x0) tanAP4由于P4與P0重合，AP4PoB3,4所以 tan6,即tan(2)由(1),可知ARtan因為P4

23、落在A、Po兩點之間,所以2 tan3S=S 四邊形ABCDS PoBP1S PCP2S F2DP3S P3AP416 tan22(2tan )工1 tan2,(4tan tan2)2(44tan )4 tan5834 tan24 tan321217t t.由于,所以3217t32 2 17t 12=32 4V51 .故S的最大值為324面.例11.如圖所示，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD,AB1oJ3m,CD373m,現用鋼絲繩對這兩根鋼管進行加固，有兩種方法:（1）如圖（1）設兩根鋼管相距1m,在AB上取一點巳以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）

24、.則BE多長時鋼絲繩最短？（2）如圖（2）設兩根鋼管相距3召m,在AB上取一點E,以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，再將鋼絲繩依次固定在D處、B處和E處，形成一個三角形型的加固（圖中虛線所示）.則BE多長時鋼絲繩最短？F D B F D B圖1圖2解（1）設鋼絲繩長為ym,CFD理！ 1.Ian 3,3 1 (其中 0cos sin cos 八3.3cos2- sinsin2 cosy 3 3 -cos-sn11 sinsin coscos3.33-3sincoscos sin令y 0得sin cos ,當才時，即BE 6加時ymin 6近庭 2例12.如圖，將邊長為3的正方形ABCD

25、繞中心O順時針旋轉一兀 （0V曰得到正萬形ABCD'.根據平面當tan73時，即BE473時，ymin8（2）設鋼絲繩長為ym,CFD,則12.3 3,33 33)y蟲3生31cossin(其中0sincos幾何知識，有以下兩個結論:(2) $ EF= "?A E?A F = %?-匚=22 tant2-1x22tan_ ( 3sin2 ?cos1 + sin + cos ) 2sin9sin cos2(1 + sin+ cos )2'令 t= sin + cos ,貝U sin cos兀兀 兀因為(0, 2),所以+4 (4,3,所以 t=V2sin( +：)G，X

26、兀KDJ, AKD 'L/AFE=對任息(0<<2),AEAL,AEA'F,AGBF,AGBH,AICH,AICJ,均是全等三角形.(1)設AE=x,將x表不為的函數;(2)試確定，使正方形ABCD與正方形ABCD重疊部分面積最小，并求最小面積.解(1)在RtAEAF中，因為/A'FE=,AE=x,所以EF=,AF=-sintan由題意AE=AE=x,BF=AF=xtan所以AB=AE+EF+BF=x+-+3.sintan3sin.兀9(t2 1)9_2_ 9S3訐=4(1 + 尸4(11+1)辛1 2業+ 11正方形A BCD與正方形ABCD重疊部分面積S

27、= S正方形 ABC D 4SAAEFRA 9 (1 1) = 18(V2 1) 當t=42，即=全寸等號成立2.4以解三角形為載體的三角應用題例13.某運輸裝置如圖所示，其中鋼結構ABD 是 ABB 一的固定裝置，AB上可滑動的點C使CD垂直于底面3所以"1+sin+cos'(02)A,B重合)，且CD可伸縮(當CD伸縮時，裝置ABD隨之繞D在同一平面內旋轉)，利用該運輸裝置可以將貨物從地面D處沿DCA運送至A處，貨物從D處至C處運行速度為v,從C處至A處運行速度為3v.為了使運送貨物的時間t最短，需在運送前調整運輸裝置中DCB的大小.(1)當變化時，試將貨物運行的時間t表

28、示成的函數(用含有v和l的式子)；(2)當t最小時，C點應設計在AB的什么位置？解：(1)在BCD中"BCD,B,BDl3lsin(120)31BC,CDsin2sinACABBC1lsin(120),sinnttACCD11sin(120),31,則t,(-131 3 cos6v 6v sin3vv3v3vsin2vsin3(2)tL(1o)6vsin2vsin人3cos'13cos令m(),則m()一一sinsin人、112令m()0得cos一,設cos0-o(,),33332則(不，。)時，m()0;(0,丁)時m()0331cos 一 時 m(36 4)有最小值22

29、,此時BC &1 .»、64答：當BC1時貨物運行時間最短.8例14.如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端。的仰角和立柱底部B的俯角均為6c.設S的眼睛距地面的距離按乖米.(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；.一.兀(2)立枉的頂端有一長2米的彩桿MN繞其中點O在S與立枉所在的平面內旋轉.攝影者有一視角范圍為-3的鏡頭，在彩桿轉動的任意時刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由.解如圖，作SC垂直OB于C,則/CSB=30°,/ASB=60°.又SA=3p,故在RtSAB中，可求得BA=3,即攝影者到立柱的水

30、平距離為3米.cos/MSN最小值為，從而得到/由SC=3,/CSO=30°,在RtSCO中，可求得OC=®因為BC=SA=,，故OB=2小,即立柱高為2，3米.(2)方法一：連結SM,SN,設ON=a,OM=b.在SON和SOM中，*)2+1b2,22*1)=-V3)2+1-a2,22m1),得a2+b2=26.cos/MSN=>=>.又/MSNC(0,t),則/MSNv.故攝影者可以將彩桿全部攝入畫面.方法二提示：設/MOS=0,建立cos/MSN關于0的關系式，求出MSNv.方法三提示：假設/MSN=,設ON=a,OM=b,聯立a2+b2=26和a2+b2

31、ab=4消元，判斷方程是否有解.方法四提示：計算過S點作圓O（1為半徑）的兩切線夾角大于60o.也可合理建系.【說明】第（1）問主要考查了對圖形的認識；第（2）問突出應用題中變量的選擇，方法的選擇.另外應用題中除求解函數最值問題外，也考慮涉及方程的解、不等式等問題，如方法三.2.5以圓（或圓弧）為載體的三角應用題例15.某園林公司計劃在一塊O為圓心，R（R為常數，單位為米）為半徑的半圓形（如圖）地上種植花草樹木，其中弓形CMDC區域用于觀賞樣板地，OCD區域用于種植花木出售，其余區域用于種植草皮出售.已知觀賞樣板地的成本,是每平方米2元，花木的利潤,是每平方米8元，草皮的利潤,是每平方米3元.

32、（1）設COD（單位：弧度），用表示弓形CMDC的面積之f（）;（2）園林公司應該怎樣規劃這塊土地，才能使總利潤最大？并求相對應的的值.解：品1R2，Socdsin0f()白(sin).(0，)V2 ,觀賞樣板地成本為V3(2)設總利潤為y兀，草皮利潤為y1元，花木地利潤為12-R ( sin )2, 21 28 R ( sin ) 2 2121212yi3(2R2R),y22Rsin8,y3c,1f21r2、1f2.yyiy2y33(RR)Rsin2221 21R23(510sin)2設g()510sin(0,).g()510cos1g()0,cos,g()在(0,一)上為減函數；2 33

33、，一g()0,cos一,g()(一，)上為增函數.4 3口當一時，g()取到最小值，此時總利潤最大.5答：所以當園林公司把扇形的圓心角設計成一時，總利潤最大32.6以立體幾何為載體的三角應用題例16.某企業擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為80立方米，且I>2r.假設該容器的建造費用僅與其表面3積有關.已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c>3)千元，設該容器的建造費用為y千元.(1)寫出y關于r的函數表達式，并求該函數的定義域;(2)求該容器的建造費用最小時的r.

34、解（I）設容器的容積為V由題意知Vr2l 93r3,又V 80r 故143V r32r80374/20、力r)由于l2r,因此0 r 2.所以建造費用y 2 rl 3 4 r2c 2 r4 203(Mr)24 r c,2 160因此 y 4 (c 2)r,0 r 2.r(2)由(1)得 y' 8 (c 2)r1602), 3 (r20由于c 3,所以c 2 0,當r3 0-c 2(c-2202),02.令 31- m,則 m 0,所以 y' 8 （c2 2） （r m）（ r2 rm m2）. , c 2r9 （1）當0 m 2即c 時，易得r m是函數y的極小值點，也是最小值

35、點。29一（2）當m 2即3 c 3時，當r （0,2）時，y' 0,函數單調遞減，所以r=2是函數y的最小值點，綜上所述，當93 c 時，建造費用最小時r 2;29當c時，建造費用最小時2例17.某部門要設計一種如圖所示的燈架，用來安裝球心為 O,半徑為R（米）的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個部件組成，其中圓弧形燈托EA, EB,EC,ED所在圓的圓心都是 。、半徑都是 R （米）、圓弧的圓心角都是。（弧度）；燈桿EF垂直于地面,桿頂E到地面的距離為h （米），且h R ;燈腳FAi下81下。下口1是正四棱錐F A1B1C1D1的四條側棱，正方形A1B1C1D1的外接圓半徑為

36、 R （米），四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為9 （弧度）.已知燈桿、燈腳造價都是每米 a （元），燈托造價是每米 a （元），其中R,h,a都 3為常數.設該燈架的總造價為 y （元）.（1）求y關于 的函數關系式;取何值時，y取得最小值?解（1）延長EF與地面交于Oi ,由題意:A1FO1,且FOi -R-, 從而 EF h R-,tantanRA1F sinf(a R34)34sin2(hRtancossin3 12cos23sin(0,一)時，y'30；0,2),其中tan一時,34R- 4)a . y Ra( sin3(1 2cos )(7 2cos23siny 0,y最小.

37、4 cossin,設計要求：圓錐和圓柱的總高度和圓柱底a元，圓錐側面用料單價分別是圓柱側面用時，燈架造價取得最小值3例18.要制作一個由同底圓錐和圓柱組成的儲油罐（如圖）面半徑相等，都為米.市場上，圓柱側面用料單價為每平方米料單價和圓柱底面用料單價的4倍和2倍.設圓錐母線和底面所成角為（1）寫出的取值范圍;(2)將y表示成的函數關系式;(3)當為何值時，總費用y最小？解設圓錐的高為hi米，母線長為l米，圓柱的高為h2米；圓柱的側面用料單價為每平方米2a元，圓錐的側面用料單價為每平方米4a元.(1)(0, 4).圓錐的側面用料費用為4arl ,圓柱的側面費用為2a rh2，圓柱的地面費用為 2a

38、=2a=2a(3)則當4a rl 2a rh2r(2lh222r2( cos設f()一時，f6(0, ) 時,6時,2ar) = 2atan )r2rcos3.tan淇中2(rhi)r,cos2sin 1()20；cosf ( ) 2sin2 1cos(0,).則 f4=2ar 2(r rtan ) r cos2sin 12cos0;當(石，/時，f()取得最小值，則當一時，費用6y最小.2s_1 0；2；cos例19.某商場為促銷要準備一些正三棱錐形狀的裝飾品，用半徑為10cm的圓形包裝紙包裝.要求如下：正三棱錐的底面中心與包裝紙的圓心重合，包裝紙不能裁剪，沿底邊向上翻折，其邊緣恰好達到三棱

39、錐的頂點，如圖所示.設正三棱錐的底面邊長為xcm,體積為Vcm3.在所有能用這種包裝紙包裝的正三錐裝飾品中，V的最大值是多少？并求此時x的值.解：正三棱錐展開如圖所示.當按照底邊包裝時體積最大.設正三棱錐側面的高為ho,高為h.由題意得：-6x+h0=10,解得h0=10半x.則 h=業2-x2=、卜 0 Txf一卷xC(0,10響.100-喈x所以，正三棱錐體積V= 1Sh=1>X3x2x100 10瓦33 4,3=塔小0串.12.3設 y = V2= x-(100 -48求導得y'=曙10.3.350x4i、100x410x5、上行一林485'令 y'= 0,

40、得 x= 873,當xC（0,8娟）時，y>0,y隨著x的增加而增大,當xe（843,10小）時，y'v0,y隨著x的增加而減小,所以，當x=8mcm時，y取得極大值也是最大值.此時y=15360,所以Vmax=32T5cm3.答：當底面邊長為843cm時，正三棱錐的最大體積為32/53.2.7 以追擊問題為載體的三角應用題例20.如圖，AB是沿太湖南北方向道路，P為太湖中觀光島嶼，Q為停車場，PQ5.2km.某旅游團5游覽完島嶼后，乘游船回停車場Q,已知游船以13km/h的速度沿方位角的方向行駛，sin&.游船13離開觀光島嶼3分鐘后，因事耽擱沒有來得及登上游船的游客甲

41、為了及時趕到停車地點Q與旅游團會合，立即決定租用小船先到達湖濱大道M處，然后乘出租汽車到點Q（設游客甲到達湖濱大道后能立即乘到出租車）.假設游客甲乘小船行駛的方位角是，出租汽車的速度為66km/h.一、54(1)設sin問小船的速度為多少km/h時，游客甲才能和游船同時到達點Q;5(2)設小船速度為10km/h,請你替該游客設計小船行駛的方位角當角余弦值的大小是多少時，游客甲能按計劃以最短時間到達解(1)如圖，作PN AB,N為垂足.sin13s1nd在 Rt PNQ 中， PNPQ sin5.2 -132 (km),QN PQ cos =5.212134.8(km).Q在 RtAPNM 中,

42、MNPN1.5 (km)設游船從P 至 ij Q所用時間為t1 h,游客甲從P經M到Q所用時間為tzh,小船的速度為vi km/h,則由已知:26-5132 -(h),t25PM MQVi662.53.3661t2t1 ,20包工工2%20 202525325.，小船速度為 一km/h,游客甲和游船同時到達Q .3(2)在 RtPMN 中，PMPNPN(km), MN2cos.村(km).sin2cos QM QN MN 4.8 sinHi(km).* PM t 10QM6625sin15s1n 1II4 cos(55 33sin133 5cos(165 sin(f55(33 5cos)cos

43、'2 sin5 33cos165sin2|，令t 0得:cos533當 cos。2 時，t 0;當 cos() &時，t 0.3333cos.在(0,一)上是減函數, 2.當方位角口滿足 cost最小，即游客甲能按計劃以最短時間到達Q .例21.已知島A南偏東30方向,里每小時的航速沿正東方向勻速行駛距島A20海里的B處有一緝私艇，一艘走私船正從A處以30海.假設緝私艇沿直線方向以v海里每小時的航速勻速行駛，經過t小時截住該走私船.(1)為保證緝私艇在30分鐘內(含30分鐘)截住該走私船，試確定緝私艇航行速度的最小值;(2)是否存在v,使得緝私艇以v海里每小時的航行速度行駛，總

44、能有兩種不同的航行方向截住該走私船？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請說明理由斛：(1)設小髭與輪船在某處相遇由題意可得；vt):-202+(30t)2*20-30rcos(903-30=)比同得士V，C皿-g()0=400(L_±卜-6乃pkt4由于00上,即"!-322(所以當上=2時，、取得晨小值10t即小娜航行速度的最小值為in*IT海里小時(2)由(1)知二與-%-900,設L=u(u0)t7rt于是斗0。11-6。0口-900r=0(D小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價于方程應有兩個不等正根，即產。口。口。儂。.吟。，解得5。對。口。0所以，v的

45、取值范圍是1”弓，30)2.8 以米勒問題為載體的三角應用題例22.如圖，有一壁畫，最高點A處離地面4m,最低點B處離地面2m.若從離地高1.5m的C處觀賞它，則離墻多遠時，視角最大？試題分析：如圖，作CD_"于Z?，則CD=£P設2S4CQ=ot./BCD二戶,視角乙WCB=&CD=1.則日三父尸，在RtSACD和RtASCD中，丫 tan 戊=二=tan 0 =0.5tan = tan u-P')-2_5_£5tan a- tan1- tan fftan flx* + 1.25令u=，一二ux1-2x+1.251-0(*)K+1"二方

46、程尸I有大干。的買數解,J目口4 4*l：5z/之。二.&W二，即（tan正切函數J二國工在0=|上是噌函數,一視角g同時取得最大值。此時? x - utan 8 = tan(£t - #)：=8分BC的高度h=4m ,125m,試問d解；設48=0：幺8=凡-當CD=m時，tan£1：=,tan/?=,x工2r丁十'A4H當且僅當匯=正時等號成立.2答.離墻更mh視角日霞大z例23.某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿仰角/ABE=c,/ADE書.（1）該小組已經測得一組5、3的值，tana=1.24tan3=1.20請據

47、此算出H的值；（2）該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m）,使“與3之大，可以提高測量精確度.若電視塔的實際高度為少時，0-3最大？HTT白卜解：(1)7k=t亙邛。&D=p，同理：AB-，BD=p-ADrtanptanc.ta.npAD-AB=DBS故得上=-盧%，tanptanatampyfttana_4x1.24_%:=tana-tanp=L24-l,20='因此，算出的電視塔的高度H是iMin.由題謾知dZMan吟，平片片號HH-htan Cu-0)=tariLtan。dd卜3；1+tanauanp-'+印舊_A：d+笑一1 d

48、d&+目?一期71Hq7-百)，(當且僅當尸4125Ml公,554時,取等號)故當d=553時，tain(o-p)最大.因為。曰口。則0*”梟斯以當d=55舊時咔最大.由俄求的E是曲國.類型三：數列應用題例24.在金融危機中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經清理知共有2009根.現將它們堆放在一起.(1)若堆放成縱斷面為正三角形(每一層的根數比上一層根數多1根)，并使剩余的圓鋼盡可能地少則剩余了多少根圓鋼？(2)若堆成縱斷面為等腰梯形(每一層的根數比上一層根數多1根)，且不少于七層,(I)共有幾種不同的方案？(n)已知每根圓鋼的直徑為10cm,為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m,則選擇哪

49、個方案，最能節省堆放場地?解(1)當縱斷面為正三角形時，設共堆放等差數列，且剩余的圓鋼一定小于 n根，從而由n層，則從上到下每層圓鋼根數是以1為首項、1為公差的n(n1)2009n得，當n 62時，使剩余2 且nNS220092的圓鋼盡可能地少，此時剩余了56根圓鋼;(2) (I)當縱斷面為等腰梯形時，設共堆放n層，則從上到下每層圓鋼根數是以x為首項、1為公差1,的等差數列，從而nx-n(n1)2009,即n(2xn1)2200927741,因n1與n的2奇偶性不同，所以2xn1與n的奇偶性也不同，且n2xn1,從而由上述等式得：n 7- n 14或2x n 1 574 2x n 1n 41或

50、287 2x n 1,n49，一,、，一或，共有4種方案可供選擇2)可知：若n 41 ,貝U x 29 ,982xn182(n)因層數越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，所以由(400 cm,上下底之長為 280 cm說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為和680cm,從而梯形之高為200%/3cm,而200J31010400,所以符合條件；若n49,則x17,說明最上層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480cm,上下底之長為160cm和640cm,從而梯形之高為240、,3cm,顯然大于4m,不合條件，舍去;綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節省堆放場地.例25.某啤酒廠為適應市場需要，2011年起引進葡萄酒生產線，同時生產啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生產量為16000噸，葡萄酒生產量1000噸.該廠計劃從2012年起每年啤酒的生產量比上一年減