1、名校名師推薦考試內容等級要求矩陣的概念A二階矩陣與平面向量B常見的平囿變換A變換的復合與矩陣的乘法B二階逆矩陣B二階矩陣的特征值與特征向量B二階矩陣的簡單應用B坐標系的有美概念A簡單圖形的極坐標方程B極坐標方程與直角坐標方程的互化B參數方程B直線、圓及橢圓的參數方程B參數方程與普通方程的互化B參數方程的簡單應用B不等式的基本性質B含有絕對值的不等式的求解B不等式白證明（比較法、綜合法、分析法）B算術一幾何平均不等式與柯西不等式A利用不等式求最大（小）值B運用數學歸納法證明不等式B§12.1矩陣與變換考情考向分析】矩陣命題出自三個方向：一是變換的復合與矩陣的乘法，通過研究曲線上任意一點

2、的變換可以得出曲線的變換.二是逆變換與逆矩陣，主要由點或曲線的變換用待定系ii名校名師推薦數法求矩陣或逆矩陣.三是特征值與特征向量.屬于低檔題.基礎知識自主學習一回扣其礎知識訓練基此袁目一廣知識梳理"bn1行矩陣ana2與列矩陣|的乘法規則:2b21ana12?11 - aii>b11 + a12xb21.(2)二階矩陣an a12Ja21a22與列向量|x° 的乘法規則:Joana12"an x xo+ a2>< yoJ21a 22x xo + a22* yo12(3)兩個二階矩陣相乘的結果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下:anH2121211

3、b12a22Jb21b22a11,a21a11 X b12+ a12 Xa21 x b12+ a22 *Xbn+a12Xb21xbn+a22*b21(4)兩個二階矩陣的乘法滿足結合建但不滿足交換律和猾去律即(AB)C=A(BC),ABWBA,由AB=AC不一定能推出B=C.一般地，兩個矩陣只有當前一個矩陣的列數與后一個矩陣的行數相等時才能進行乘法運算.2 .常見的平面變換(1)恒等變換：如(2)伸壓變換：如(3)反射變換：如(4)旋轉變換：如(5)投影變換：如1cos0sin0*in一1cos010其中。為旋轉角度;(6)切變變換：如|01kkCR,且kw0).3 .逆變換與逆矩陣(1)對于二

4、階矩陣A,B,若有AB=BA=E,則稱A是可逆的,B稱為A的逆矩陣;(2)若二階矩陣A,B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矢I陣，且(AB)1=B1A1.4 .特征值與特征向量設A是一個二階矩陣，如果對于實數%存在一個非零向量”，使Aa=那么入稱為A的一個特征值,而a稱為A的屬于特征值入的一個特征向量.5 .特征多項式設A=|ab是一個二階矩陣，法R,我們把行列式f(?)=卜ab=片一(a+d)計/d一c卜dadbe,稱為A的特征多項式.基礎自測題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打或"x”)(1)已知A,B,C為二階矩陣，且AB=AC,若矩陣A存在逆矩陣，則B=C.(V)

5、(M0兒TH31一若二階矩陣A,B均存在逆矩陣，則(AB)1=B1A1.(X)(4)矩陣A=061的特征值為8和一3.(V)題組二教材改編-23112.P52例3已知矩陣A=45L則A的逆矩陣A=.53答案221211所以A3222解析因為det(A)=2X5-3X4=-2,312723. P11習題T7已知矩陣 M= 011a1,其中aCR若點P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點P'(-4,0),實數a的值為解得a= 3.2 2.由一 1 ： - 4=J1- 21 1 0得 2 2a= 4,4. P39 例 1(1)已知2A-22解 AB =-2111-X-+-X22 2-122X2

6、X濟2X2J0 0題組三易錯自糾5. A= 10B=L,則AB的逆矩陣為0答案1T 1一 1 解析 A = J一 0B J 0 11B 1 0( AB) 1=B 1A 16.設橢圓的方程為2x2+91,若它在矩陣一1M =個圓,則實答案解析設P(xy)為橢圓上任意一點，變換后為P' (x' , y'),x' 則- xly'所以x= x'y=2y',代入橢圓的方程，得2+q=1.a因為它表不圓,所以 a=4.7-1 0 不7.已知矩陣 A= 0 0 2 L B= |021，求矢I陣A 1B.6解設矩陣A的逆矩陣為1,c d0一1 ,2.一所

7、以A 1B =0-a-b|=p012c2d-b11故a=-1,b=0,c=0,d=2,-1從而A的逆矩陣A1=0題型分類深度剖析具羽理題深度剖析更點難點多維探究題型一矩陣與變換自主演練1 .已知a,b是實數，如果矩陣M=a所對應的變換將直線x-y=1變換成x+2y=1,b1J求a,b的值.72al解設點（x,y）是直線x-y=1上任息一點，在矩陣M的作用下變成點（x,y），則Jb1x' 所以,y'=2x+ay, =bx+y.因為點（x',y'）在直線x+2y=1上,所以(2 + 2b)x+ (a+2)y=1,即2+2b= 1,La+2=-1,a=-3,所以s11

8、b=-2.2 .二階矩陣M對應的變換將點（1,1）與（2,1）分別變換成點（1,1）與（0,2）.（1）求矩陣M;(2)設直線l在矩陣M變換作用下得到了直線m：x-y=4,求直線l的方程.“二abl解(i)設M=k：-yHi/d=所以a-b=-1,lC-d=-1,-2a+b=0,-2c+d=-2,解得b=2,d=4,一二121所以M=JIJ4_)(2)設直線l上任意一點P(x,y),在矩陣M的變換作用下得到點P'(x',y').x，因為Jlly,j JIEL lx：4y且m：x'y'=4,所以(x+2y)(3x+4y)=4,整理得x+y+2=0,所以直線

9、l的方程為x+y+2=0.思維升華已知變換前后的坐標，求變換對應的矩陣時，通常用待定系數法求解.題型二求逆矩陣-師生共研例1已知矩陣det(A)=241一-1求A的逆矩陣A；(2)求矩陣C,使得AC=B.解(1)因為|A|=2X31X4=2,所以A 11_-1(2)由八0=3得依A)C=AB,故一xC=A1B=2一一21,0思維升華求逆矩陣的方法(1)待定系數法設A是一個二階可逆矩陣bI AB=BA=E; d(2)公式法A |=跟蹤訓練解 B=( B, AB= |1J0=ad bcw 0,已知矩陣1)-1-2.0A=2-2ill矩陣亙|A|B的逆矩陣B 1一1,0-11 .一2 ,求矩陣AB.

10、21121IL041一i41題型三特征值與特征向量,0 11臺師生共研例2已知矩陣A的逆矩陣A72 1(1)求矩陣A;(2)求矩陣A1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量.解(1)因為矩陣A是矩陣1 的逆矩陣，且 |A 1|= 2X 2- 1 X 1 = 30,所以a=32-1'42(2)矩陣A 1的特征多項式為f 0)=-1=24 計 3= (1)(卜 3),令f(2)=0,得矩陣A-1的特征值為加=1或卜=3,11所以&=是矩陣A-1的屬于特征值4=1的一個特征向量,一1&=一1A1的屬于特征值4=3的一個特征向量.abl思維升華已知A=IL求特征值和特征向量的

11、步驟cd入一a令f（ A =一c=(入一a)(入一d)-bc=0,求出特征值(2)列方程組，卜ayby=0,cx+（入一dy=0;(3)賦值法求特征向量，一般取x=1或者y=1,寫出相應特征的向量.跟蹤訓練2(2018無錫期末)已知變換T將平面內的點，2(0,1)分別變換成點弓，一2：,(3，4：.設變換T對應的矢I陣為M.(1)求矩陣M;(2)求矩陣M的特征值.3得a=3,b=-2,c=4,d=4,，M二3司441(2)設矩陣M的特征多項式為f(?),=（入一3）（卜4）6令f(5=0,則冊=1,22=6.課時作業夕基礎保分練7151,已知A=，求A的特征值.62X-15解A的特征多項式f(

12、?)=一6人一2=（卜1）（Z-2）30=大一3卜28=（卜7）（入+4）,，A的特征值為4=7,卜=4.2 I,求失I陣A的逆矩陣A 1故A的特征值為7和一4."12.(2018南通、泰州模擬)設矩陣A滿足：A|0解方法一叱;工所以a=-1,2a+6b=2,c=0,2c+6d=3.解得1 , b= 0, d = 2,所以 A =- 10112_ 1_ 1根據逆矩陣公式得 A-1：.0二一1方法二在a 1 6一一1-22一 2兩邊同時左乘逆矩陣A3回 6Lat設A-1所以一a=1解得a= 13.- 0 371 21，則Ik0 6 J-2a+3b = 2,b=0, c= 0,(2019

13、徐州模擬)已知矩陣a1 -203一 c= 0, 一 2c+ 3d= 6.d=2,從而A 1a= 16 rlJD 11,向量b=121.求向量a,使得A2a=b.3 14 9=1 121 12JO4x+3y= 10,y=2,解得J：1'所以a= I1 1y=2,24.(2018宿遷期中)已知變換T把直角坐標平面上的點A(3,4),B(0,5)分別變換成點A'(2,-1),B1(-1,2),求變換T對應的二階矩陣M.設矩陣M = 1a qbj 3口 di-41bi42名校名師推薦3a-4b= 2, 所以，3c-4d=- 15b=- 1, 且5d =2.2 a=5'b= 一解

14、得1C= c55所以矩陣M=-52 d=55.曲線Ci：x2+2y2711在矩陣M =-02 的作用下變換為曲線 C2,求C2的方程.解設P（x,y）為曲線C2上任意一點,1P' (x' , y')為曲線x2+2y2 = 1上與P對應的點,x= x' +2y'ly=y'，x' =x-2y,即4 yly' =y.因為P'是曲線C1上的點,所以C2的方程為(x2y)2+2y2=1.6. （2015江蘇）已知x, yCR,向量a是是矩陣；xA=-y1 的屬于特征值2的一個特征0314向量，求矩陣A以及它的另一個特征值.解由已知，

15、得Aa=-2a,x-1 = -2,y=2所以矩陣A=1一從而矩陣A的特征多項式f（4=（入+2）（X-1）,所以矩陣A的另一個特征值為1.一17.求曲線|x|+|y|=1在矩陣M =011對應的變換作用下得到的3-011對應的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積.3-一1解設點（x0,y0）為曲線|x|+|y|=1上的任一點，在矩陣M=；0點為（x'，y'),一1則由Py'x'=x0,，得，1Iy=3y0，x0=x,即小Iy0=3y名校名師推薦1所以曲線|x| + |y| = 1在矩陣M =0°11對應的變換作用下得到的曲線為|x|+3|y|=1,3一

16、所以圍成的圖形為菱形，其面積為1x2x|=|.2338.(2018江蘇省豐縣中學質檢)在平面直角坐標系xOy中，A(0,0),B(2,0),C(2,1),設kw0,20kR,M=-0N=J，點AB,C在矩陣MN對應的變換下得到點Ai,Bi,Ci,AiBiCi的面積是ABC面積的2倍,求實數k的值.由題設得MN=O09Jkoo1-由oo.=21可知Ai(0,0),Bi(0,2),Ci(k,-2).計算得ABC的面積是i,4Ar1cl的面積是|k|,則由題設知|k|=2Xi=2,即k=22.技能提升練19. (2018高郵考試)已知矩陣A= 'T1其中aC R,若點P(1,1)在矩陣A對應

17、的變換作用下得到點P'(0,3).(1)求實數a的值;(2)求矩陣A的特征值及特征向量.(2)二I卜119.f(4=猿一2卜3.4A1令f(5=0,得=1,?2=3,對于特征值加=1,-2x+y=0,解相應的線性方程組4x-2y=0,x=1,得一個非零解rly=2,1良矩陣A的屬于特征值4=1的一個特征向量.上一對于特征值=3,解相應的線性方程組2x+y=0,4x+2y=0x=1得一個非零解1ly=-2,因此j02=2是矩陣A的屬于特征值B3的一個特征向量.矩陣A的特征值為?1=1,灰=3,灰=3的特征向量分別為111.-2x2 y2E： +/.經過矩陣A變換后對應點為P' (

18、x'，V,),所以ry=ax,= by,2因為點P' (x' , y')在橢圓E： %2y3=1 上，10.設 a>0, b>0,若矩陣A=|a01把圓C：x 22 2所以af+T，,這個方程即為圓C方程,a2 = 4, 所以12= 3,+y2=1變換為橢圓0b(1)求a,b的值;1(2)求矩陣A的逆矩陣A.解設點P(x,y)為圓C：x2+y2=1上任意一點,又因為a>0,b>0,所以a=2b=3.2(2)由(1)得A=0!所以,320-1211. (2017江蘇)已知矩陣A=求AB；C2,求C2的方程.(2)若曲線C1：x-+y7=1在矩陣AB對應的變換作用下得到另一曲線82不。1B= :jo 2TO11解（1）因為A=!JO_l-o所以AB=J1叩0L021ob2-10(2)設Q(xo,yo)為曲線Ci上任意一點，它在矩陣AB對應的變換作用下變為點P(