1、本章內(nèi)容可以概括為以下幾點(diǎn)v一、反映直線方向的量v二、直線方程的各種形式v三、平面內(nèi)兩直線關(guān)系v四、線性規(guī)劃問題簡介v五、圓的方程v六、曲線和方程v七、直線和圓，圓和圓關(guān)系v八、對稱問題一、反映直線方向的量、知識要點(diǎn)（）直線的方向向量（）直線的法向量（）直線的傾斜角（）直線的斜率（）它們之間的關(guān)系、典型實(shí)例分析（）例題（）例題（）直線的方向向量設(shè)是直線上兩點(diǎn)，則向量或與平行的非零向量稱為直線的方向向量21, PPll21PP21PP1v2v OP1P2圖 1l如圖中，非零向量都是直線的方向向量2122,vvPPl（）直線的法向量與直線的方向向量垂直的非零向量，稱為直線的法向量，如圖中，都是直線

2、的法向量YXO1n2n1n2nlll顯然，當(dāng)直線的一個方向向量時，便是直線的一個法向量（為什么？）),(bav ),(abnll（）直線的傾斜角若直線l與x軸交于點(diǎn)P，把x軸繞交點(diǎn)P,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線l重合時，所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則稱為直線l的傾斜角，如圖所示若直線l與x軸平行或重合，我們規(guī)定，此時直線l的傾斜角，如圖所示0yxo0），的取值范圍的定義可知，傾斜角由直線傾斜角0yxo(4)直線的斜率02202022tantan2kkklllkkll）時，（不存在時，）時，由直線斜率的定義可知斜率不存在，我們說此時直線的傾斜角若直線）的傾斜角，且為（表示，即：的斜率，常用為直線的正切，則

3、稱的傾斜角若直線(5)直線的方向向量、法向量、傾斜角、斜率之間的關(guān)系：），的一個法向量就是（直線），的一個方向向量就是（直線）（，則斜率的傾斜角為已知直線）cossinsincos2tan1llkl它們都是反映直線方向的量，它們之間有相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化，在一定條件下，已知其中一個，可以求出另外三個，如：時），（的斜率直線），（的一個法向量便是直線），則，（的一個方向向量為已知：直線0)2aabklabnlbavl時）（）（時）（）（的傾斜角直線0arctan0arctanababababl時），（便有：取向量上兩點(diǎn)，而直線的方向?yàn)橹本€特別地，121212121221222111),(),(

4、),(xxxxyykyyxxPPlyxPyxP時）（時）（的傾斜角直線），的一個法向量就是（直線），的一個方向向量就是（直線，則的斜率為已知：直線0arctan0arctan11)3kkkklklklkl典型例題分析的傾斜角直線又回到原來的位置，求則直線個單位，軸正方向平移個單位，再沿軸負(fù)方向平移沿：直線例llyxl231)2, 3(),(0000yxQlyxP上一點(diǎn)，經(jīng)平移后到點(diǎn)是直線解：設(shè)的一個方向向量就是直線由已知lPQ)2, 3(3232k斜率32arctan32arctan）（傾斜角),(00yxP)2, 3(00yxQxyOl的取值范圍和傾斜角的斜率相交，求直線線段為端點(diǎn)的點(diǎn)，且與

5、過：已知直線例klABBAPl)0 , 3(),3, 2()2 , 1(2XYOPA(-2,-3)B(3,0)21132051223）（）（相交，而與線段直線或存在時，解：如圖當(dāng)PBPAPBPAkkABlkkkkk不存在或），（取值范圍是kkk52121arctan5arctan，取值范圍是：的傾斜角從而直線l二、直線方程的各種形式、知識要點(diǎn)（）點(diǎn)斜式方程（）斜截式方程（）方向式方程（）參數(shù)式方程（）點(diǎn)法式方程（）一般式方程（）兩點(diǎn)式方程（）截距式方程、典型實(shí)例分析例題例題）（程，即得直線的點(diǎn)斜式方）（）（）是共線向量，）與（則（上任意一點(diǎn)直線且其斜率為經(jīng)過點(diǎn)若已知直線直線的點(diǎn)斜式方程0000

6、0000001,),(),() 1xxkyyyyxxkkyyxxyxPlkyxPl軸上的截距就是直線在這里于是得直線斜截式方程即得：即軸交點(diǎn)為直線與，特別地取在直線的點(diǎn)斜式方程中直線的斜截式方程ybbkxykxbybPyP), 0()200byyaxxabRttbayyxxvPPyxPlyxPbavl000000000),(,/),(),()3也可寫為時，當(dāng)）（故得直線方向式方程則，上任一點(diǎn)直線且經(jīng)過點(diǎn)），（方向向量若已知直線直線的方向式方程l),(000yxP),(yxPxyttPP0如圖，具有幾何意義，變數(shù)在標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中，參的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程上式稱為直線，）（）（程為：此時，直線的參數(shù)式方傾

7、斜角為直線），特別地取方向向量為（為參變量的方向向量，）為直線，式中（寫成如下參數(shù)式：直線的方向式方程可改直線的參數(shù)式方程tlRttayytaxxltlbaRtbtyyatxxsincossincos)40000l),(000yxP),(yxPxyttPP0),(0)()(,),()0( ,),()500022000不同為零其中程為：于是得直線的點(diǎn)法式方則上任意一點(diǎn)直線）（的一個法向量為且已知直線上一點(diǎn)若直線直線的點(diǎn)法式方程BAyyBxxAnPPyxPlBABAnlyxPl),(0,600不同為零其中一般式則直線方程具有如下的，記在直線的點(diǎn)法式方程中）直線的一般式方程BACByAxByAxC1

8、21121121221122211100,/),(),(),(7yyyyxxxxyyxxPPPPlyxPyxPyxPl兩點(diǎn)式時，直線方程可以寫成，當(dāng)則上任意一點(diǎn)是直線兩點(diǎn)，經(jīng)過若已知直線）直線的兩點(diǎn)式方程軸上的截距軸和在都不為零，分別是直線，式中：于是可得直線的截距式即得軸交于與軸交于設(shè)與相交，而不過原點(diǎn)，若直線與兩坐標(biāo)軸都在直線的兩點(diǎn)式方程中直線的截距式方程yxbabyaxbyaaxbbPyaaPx1000)0(), 0()0(),0 ,()821PyxlyxlllP之間的線段中點(diǎn)恰為點(diǎn)：與：在兩直線方程，使的直線，求過點(diǎn)例0820103) 1 , 0(321044141410227137)

9、 1 , 0(27082113701031,121yxxylkkkABPkxyxkxykxyxkxyBAllkkxylBA，即的方程為直線，得的中點(diǎn)為線段又得由得由兩帶點(diǎn)分別交于，與直線條件）不存在時，不滿足題設(shè)（，的方程為解法一、設(shè)直線),(00yxABxyOP1l2l044)0 , 4(),2 , 4(08)2()(20103,),2 ,(1202) 1 , 0(,),(,00002100000021yxlBAyxyxllBAyxByyxxPBAyxABAlllBB的方程為：從而由兩點(diǎn)式得得上，在又中心對稱可知兩點(diǎn)關(guān)于又由，設(shè)分別交于與解法二、設(shè)直線方程取得最小時，求直線）當(dāng)（的方程面積最

10、小時，求直線）當(dāng)（為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩點(diǎn)，軸正半軸交于，且分別與過點(diǎn)，直線例lMBMAlABCOBAyxMl21,) 1 , 2(4042122121041212)02(422)2(1)2(2)21)(12(2121210),0 ,12(120) 1 (2yxxylkkkkkkkkkkOBOASkBykAxxkylklAOB，也即）（的方程為故，取，又即當(dāng)且僅當(dāng)），（軸正半軸交于與正半軸交于它與）（方程為：，設(shè)的斜率解法一、由已知直線04212424214124212111210, 0), 0(),0 ,(yxyxlbababaabOBOASbabyaxlbabBaAAOB，即的方程為，時成立，等號

11、當(dāng)且僅當(dāng)，且的方程可寫成從而直線解法二、由已知可設(shè)03, 1)2(1022, 4)2()2()2, 2)(1,1() 1 , 2(),21 , 0(),0 ,12(012)2(yxxykkkkkkkMBMAMBMAMBMAABMkBkAkxkyl即直線方程為時成立時，即當(dāng)且僅當(dāng)上的點(diǎn)是線段又則），（）（方程為線解法一、由已知可設(shè)直0322122243212sin42sin4cossin2,cos2,sin12sin1cos2yxtytxaaaattMBMAtatatBAlRttaytaxlBABA，即直線方程為），（時成立，又等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膸缀我饬x由參數(shù)兩點(diǎn)對應(yīng)的，則的傾斜角，）為直線，（其中

12、）（）（的方程為解法二、設(shè)直線三、平面內(nèi)兩直線關(guān)系、知識要點(diǎn)（）兩直線平行的條件（）兩直線垂直的條件（）兩直線重合的條件（）兩直線相交的夾角（）直線到直線的角（）點(diǎn)到直線的距離（）兩平行直線間的距離（）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系、典型實(shí)例分析例題例題212121222111122112212122221111/0:, 0) 1bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且則此時，即兩直線斜率均存在：，：若，且則：若兩直線平行的條件100:, 0)2212122211121212122221111kkllbxkylbxkylBBAAllCyBxAlCyBxAl則此時，：

13、，：若，則：若兩直線垂直的條件2121212221111221122121222211110:, 0)3bbkkllbxkylbxkylCACABABAllCyBxAlCyBxAl，且重合則此時，：，：若，且重合于則：若兩直線重合的條件211221222121222111212112212122222121212121222211111tan2111costan2cos0:, 0)4kkkkllkkkkbxkylbxkylBBAABABAllBABABBAAllCyBxAlCyBxAl）不垂直于時（即當(dāng)則：，：又若若）不垂直于時（即當(dāng)，則的夾角為與：若兩直線相交的夾角來表示一般不能用注意則：，

14、：又若若：，若若不垂直于當(dāng)時，的角到直線22222121212121122221112121122122221111212121cos1tantan0:, 02)5BABABBAAkkkkbxkylbxkylBBAABABACyBxAlCyBxAlllllll220000002200220000),(0),(,),(, 0)6BACByAxddlyxPdlPlyxPBACByAxnnQPddlPBAnlPBACByAxdlQnnQPddlPBAnlPyxPCByAxl的距離到直線，故綜上所述有：距離的到直線上，則在直線由于的距離到直線點(diǎn)）指向異側(cè)（如圖）（的法向量位于當(dāng)化簡得上任意一點(diǎn)點(diǎn)為其中

15、的距離到直線點(diǎn)）指向同側(cè)（如圖）（的法向量位于當(dāng)點(diǎn)：設(shè)直線點(diǎn)到直線的距離：lnPQOyxlnPQOyx相等方程的一次項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)與求注意：距離公式中，要之間的距離與則：，若兩平行直線間的距離2122212122221111210:, 0/)7llBACCdllCyBxAlCyBxAlll0,),()3(0,),(20),(1),(, 0)800000000000000CByAxBAnlyxPCByAxBAnlyxPCByAxlyxPyxPCByAxl）指向異側(cè)（的法向量與當(dāng)）指向同側(cè)（的法向量與）當(dāng)（上在直線）當(dāng)（點(diǎn)：設(shè)直線點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：系來判定點(diǎn)與直線位置關(guān)同的特點(diǎn)，根據(jù)特殊點(diǎn)方程左邊值

16、的符號必相般式方程，的坐標(biāo)，代入直線的一以利用直線同一側(cè)各點(diǎn)點(diǎn)與直線位置關(guān)系也可坐標(biāo)求所在的直線方程為平分線，所在直線方程為邊上中線的頂點(diǎn)、例CByxBEABCyxCDABAABC,04202474),8 , 2(5xyAB）坐標(biāo)（的中點(diǎn)則解法一、設(shè)28,22),(BBBByxDAByxB024)28(7)22(404202474042,BBBByxyxyxyxDB上和直線分別在直線又)0 , 4(0, 4ByxBB，即得34)4(208ABk21, 042BEkyxBEABC：平分線所在直線又)0 , 6(02474002474002134121342112111CyxyyxCDyBCkkkkkkkkkkkBCBCBCBEABBEABBCBEBCBE，得由所在直線方程，又所在直線方程為，得即由已知條件得074247)42(47424872402474), 42(0422222BBBByyyxAByyByxB程為邊上的中線所在直線方又上，可設(shè)在直線解法二、 xyAB)0 , 4(, 0ByB從而得042)8 , 2(AyxA的對稱點(diǎn)關(guān)于直線作上在直線由已知得BCAA),0 , 6()0 , 6(02474CxyxCxBC即軸交點(diǎn)，與點(diǎn)即為直線軸，故所在直線即為的方程求直線過