1、專題1.7 充分條件與必要條件-重難點題型精講1命題及相關概念2充分條件與必要條件一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件3. 充要條件如果“若p，則q”和它的逆命題“若q，則p”均是真命題，即既有pq，又有qp，記作pq.此時p既是q的充分條件，也是q的必要條件我們說p是q的充分必要條件，簡稱為充要條件如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件溫馨提示：“”的傳遞性若p是q的充要條件，q是s的充要條件，即pq，qs，則有ps，即p是s的充要條件【題型1 充分條件、必要

2、條件及充要條件的判定】【方法點撥】(1)定義法：首先分清條件和結論，然后判斷pq、qp和pq是否成立，最后得出結論(2)命題判斷法：若pq，則稱p是q的充分條件，q是p的必要條件若pq，則p是q的充要條件若pq，且qp，則稱p是q的充分不必要條件若pq，且qp，則稱p是q的必要不充分條件若pq，且qp，則稱p是q的既不充分也不必要條件【例1】（2021凌源市模擬）設集合Mx|x2，Px|x6，那么“xM或xP”是“xMP”的（）A充分不必要條件B充要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件【分析】“xM或xP”即xMP，再利用xMP與xMP之間的關系即可判斷出結論【解答】解：“xM或xP”即

3、xMP，MPx|x2x|x6R，MPx|2x6xMPxMP，反之不成立“xM或xP”是“xMP”的必要不充分條件故選：C【點評】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題【變式1-1】（2020秋寶安區期末）設U為全集，A，B是集合，則“存在集合C，使得AC，B（UC）”是“AB”的（）A充要條件B必要不充分條件C充分不必要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據條件可得AC且BC，從而得到AB，當AB，存在一個集合CA使得AC，B（UC），結合充要條件的定義可判定【解答】解：AC，B（UC）即AC且BCAB，則“存在集合C，使得AC，B（UC）”是“AB

4、”的充分條件；當AB，存在一個集合CA使得AC，B（UC），則“存在集合C，使得AC，B（UC）”是“AB”的必要條件；所以則“存在集合C，使得AC，B（UC）”是“AB”的充要條件故選：A【點評】本題主要考查了充分條件必要條件的判定，解題的關鍵是弄清哪個能推導哪個，屬于基礎題【變式1-2】（2021溫州模擬）若a，b，c是ABC的三條邊，則“a2+b2+c2ab+bc+ca”是“ABC是等腰三角形”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合等腰三角形的性質進行判斷即可【解答】解：若“ABC是等腰三角形”，則當abc，則a2

5、+b2+c2ab+bc+ca不一定成立，若a2+b2+c2ab+bc+ca，則2a2+2b2+2c22ab+2bc+2ca，即（ab）2+（bc）2+（ca）20，即ab0，bc0，ca0，則abc，則“ABC是等腰三角形”成立，即“a2+b2+c2ab+bc+ca”是“ABC是等腰三角形”充分不必要條件，故選：A【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合等腰三角形的性質是解決本題的關鍵比較基礎【變式1-3】（2020秋北海期末）“關于x的方程ax2+bx+c0的兩根為1，2”是“關于x的不等式ax2+bx+c0的解集為（1，2）”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不

6、充分也不必要條件【分析】根據一元二次不等式與一元二次方程之間的關系，討論a的范圍，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：若不等式ax2+bx+c0的解集為（1，2），則1，2是方程ax2+bx+c0的兩個根，且a0，則必要性成立，當a0時，若方程ax2+bx+c0的兩根為1，2，則ax2+bx+c0的解集為（，1）（2，+），即充分性不成立，即“關于x的方程ax2+bx+c0的兩根為1，2”是“關于x的不等式ax2+bx+c0的解集為（1，2）”的必要不充分條件，故選：B【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用一元二次方程和一元二次不等式之間的關系是解決本題的關鍵，是基

7、礎題【題型2 充分條件、必要條件及充要條件的探索】【方法點撥】(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因此探求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證【例2】（2020秋萬州區校級月考）“一元二次方程x2ax+10有兩個正實數根”的一個充分不必要條件可以為 ；一個必要不充分條件可以為 【分析】根據一元二次方程根與系數的關系求出命題成立的等價條件，利用充分不必要條件和必要不充分條件的定義進行求解即可

8、【解答】解：若一元二次方程x2ax+10有兩個正實數根，則等價為=a2-40x1x2=10x1+x2=a0，得a2或a-2a0，得a2，則成立的充分不必要條件為2，+）的真子集，則3，+）滿足條件，成立的必要不充分條件要真包含2，+），則0，+）滿足條件，故答案為：3，+），0，+）【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據根與系數之間的關系求出命題的等價條件是解決本題的關鍵，是基礎題【變式2-1】（2020秋黃浦區校級月考）設全集U，在下列條件中，是BA的充要條件的有（）ABA； UABUAUB；AUBUA1個B2個C3個D4個【分析】利用Venn圖進行判斷，理解BA的等價關系是解決

9、本題的關鍵【解答】解：如下圖借助Venn圖，可以判斷出ABABA，UABBA，UAUBBA，AUBUBA，故均正確故選：D【點評】本題考查了集合的圖形語言，考查了子集與集合運算的等價關系，屬于基礎題【變式2-2】（2021呂梁一模）已知a，bR，下列選項中，使ab0成立的一個充分不必要條件是（）Aa0或b0Ba10且b2Ca，b同號且不為0Da+b0或ab0【分析】根據不等式的關系結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可【解答】解：對于A：a0或b0不能夠推出ab0，故a0或b0不是ab0的充分條件，故A錯誤，對于B：a10且b2，能夠推出ab0，ab0不能夠推出a10且b2，故a10且b2，

10、是ab0的充分不必要條件，故B正確，對于C：a，b同號且不為0ab0，故a，b同號且不為0是ab0的充要條件，故C錯誤，對于D：a+b0或ab0與ab0互相推不出，故a+b0或ab0與ab0是既不充分也不必要條件，故D錯誤故選：B【點評】本題考查了不等式的基本性質和充分必要條件的定義屬于基礎題【變式2-3】（2020秋無錫期末）若m，n都是正整數，則m+nmn成立的充要條件是（）Amn2Bmn1Cm1且n1Dm，n至少有一個為1【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合不等式的解法，進行判斷即可【解答】解：因為m+nmn，所以（m1）（n1）1而m，nN*，所以（m1）（n1）Z，所以（m1）（

11、n1）0所以m1或n1故選：D【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應用，根據不等式的性質結合充分條件和必要條件的定義是解決本題的關鍵【題型3 由充分條件、必要條件求參數】【方法點撥】根據充分、必要條件求參數的取值范圍時，先將p，q等價轉化，再根據充分、必要條件與集合間的關系，將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式(組)進行求解【例3】（2020秋南陽期末）已知p：a2xa+2，q：1x7若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是 【分析】根據p是q的充分不必要條件，所以（a2，a+2）（1，7），然后建立關系式，解之即可【解答】解：p：a2xa+2，q：1x

12、7，因為p是q的充分不必要條件，所以（a2，a+2）（1，7），則a+27a-2-1即1a5故答案為：1，5【點評】本題主要考查了不等關系，以及充分條件、必要條件的判定，同時考查了學生邏輯推理的能力和運算求解的能力，屬于基礎題【變式3-1】（2020秋嘉定區校級月考）已知：x3a1或xa，：x2或x4，如果是的必要非充分條件，那么實數a的取值的集合為 【分析】由題意可得關于a的不等式組，然后求出實數a的取值的集合【解答】解：因為：x3a1或xa，：x2或x4，是的必要非充分條件，所以3a-12-a4，或3a1a，解得a14，所以實數a的取值的集合為1，+）故答案為：14，+）【點評】本題考查了

13、命題的充分必要條件和集合與集合的關系，屬于基礎題【變式3-2】（2020秋錫山區校級期末）從給出的兩個條件a2，a3中選出一個，補充在下面問題中，并完成解答已知集合A0，a+2，B0，1，a2（1）若“xA”是“xB”的充分不必要條件，求實數a的值；（2）已知 _，若集合C含有兩個元素且滿足C（AB），求集合C【分析】（1）利用“xA”是“xB”的充分不必要條件，得到AB，分情況求解即可；（2）分別選擇進行研究，利用集合與集合之間的關系進行分析求解即可【解答】解：（1）因為“xA”是“xB”的充分不必要條件，所以AB，當a+21時，即a1時，不滿足互異性，不符合題意；當a+2a2時，即a1或a

14、2時，可知a2符合題意；所以a2；（2）若選：則B0，1，1，不符合題意；若選：A0，4，B0，1，4，所以AB0，1，4，所以C0，1，C0，4，C1，4；若選：A0，5，B0，1，9，所以AB0，1，5，9，所以C0，1，C0，5，C0，9，C1，5，C1，9，C5，9【點評】本題考查了集合的概念、充分條件與必要條件的判斷、集合與集合關系的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題【變式3-3】（2020秋濟寧期末）在ABB；“xA“是“xB”的充分不必要條件；AB這三個條件中任選一個，補充到本題第（）問的橫線處，求解下列問題問題：已知集合Ax|a1xa+1，Bx|1x3（）當a2時，求A

15、B；（）若_，求實數a的取值范圍【分析】（）當a2時，得出集合A，然后根據并集的定義進行求解即可；（）若選條件，可得出AB，然后建立不等式，解出a的范圍若選擇條件和，同樣的方法，可得出a的取值范圍【解答】解：（）當a2時，集合Ax|1x3，Bx|1x3，所以ABx|1x3；（）若選擇ABB，則AB，因為Ax|a1xa+1，所以A，又Bx|1x3，所以a-1-1a+13，解得0a2，所以實數a的取值范圍是0，2若選擇，“xA“是“xB”的充分不必要條件，則AB，因為Ax|a1xa+1，所以A，又Bx|1x3，所以a-1-1a+13，解得0a2，所以實數a的取值范圍是0，2若選擇，AB，因為Ax|

16、a1xa+1，Bx|1x3，所以a13或a+11，解得a4或a2，所以實數a的取值范圍是（，2）（4，+）【點評】本題考查了一元二次不等式的解法，交集、并集和補集的定義及運算，分類討論的數學思想，子集的定義，考查了計算能力，屬于基礎題【題型4 充要條件的證明】【方法點撥】證明充要條件時要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”“結論”，必要性需要證明“結論”“條件”【例4】（2020秋鶴城區校級期中）已知ab0，求證：a+b1的充要條件是a3+b3+aba2b20【分析】我們先假設，a+b1再證明a3+b3+aba2b20成立

17、，即命題的必要性，再假設a3+b3+aba2b20再證明a+b1成立，即充分性，如果兩者均成立，即可得到a+b1的充要條件是a3+b3+aba2b20【解答】證明：先證必要性：a+b1，b1aa3+b3+aba2b2a3+（1a）3+a（1a）a2（1a）2a3+13a+3a2a3+aa2a21+2aa20再證充分性：a3+b3+aba2b20（a+b）（a2ab+b2）（a2ab+b2）0即：（a2ab+b2）（a+b1）0ab0，a2ab+b2=(a-12b)2+34b20，a+b10，即a+b1綜上所述：a+b1的充要條件是a3+b3+aba2b20【點評】本題考查的知識點是充要條件的證

18、明，本類問題的處理一共分為三步：證明必要性，證明充分性，得到結論【變式4-1】（2020春孝感期中）證明：a2+b2+c2ab+bc+ca的充要條件是ABC為等邊三角形這里a，b，c是ABC的三條邊【分析】根據充要條件的定義，分別證明充分性和必要性成立即可【解答】證明：充分性：（2分）如果ABC為等邊三角形，那么abc，所以，（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以，a2+b2+c2abbcca0，所以a2+b2+c2ab+bc+ca（5分）必要性：（7分）如果a2+b2+c2ab+bc+ca，那么a2+b2+c2abbcca0，所以（ab）2+（bc）2+（ca）20，所以ab0，bc0，ca0即 abc（10分）【點評】本題主要考查充要條件的證明，根據充分條件的定義，分別證明充分性和必要性是解決本題的關鍵【變式4-2】（2020秋萬州區校級月考）ABC中，邊BC內上有一點D，證明：AD是A的角平分線的充要條件是ABAC=BDDC【分析】利用相似三角形和平行線的性質，結合充要條件的定義證明即可【解答】證明：如圖，過B作BEAC交AD的延長線于點E，若AD為A的角平分線，則BADCAD，BEAC，CADE，BADE，ABBE，ACDBDE，BEAC=BDCD，ABAC=BDCD，若ABAC=BDCD，BEAC，ACDB