1、12.4 無窮大與無窮小2定義定義: 若若0lim( )0,xxf x稱當稱當 時為無窮小時為無窮小.( )f x、 、記作：記作：1:limxx如0 xyo1xx 稱當時是無窮小.稱當稱當 時為無窮小時為無窮小.( )f x0 xxlim( )0,xf xx 3說明：說明：1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數混淆不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數零是可以作為無窮小的唯一的數.3. 一個量是否為無窮小一個量是否為無窮小與它自變量的變與它自變量的變化趨勢有關化趨勢有關.思考：思考： 是無窮小嗎？是無窮小嗎？1x4lim( )( )f xAf xA性質性質4 無窮小的性質

2、無窮小的性質性質性質1 有限個無窮小的代數和仍是無窮小有限個無窮小的代數和仍是無窮小. .性質性質2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小. .性質性質3 有限個無窮小的積是無窮小有限個無窮小的積是無窮小. . 推論推論2 常數與無窮小的乘積是無窮小常數與無窮小的乘積是無窮小. .推論推論1 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小. .501 lim sinxxx例1.求1 |sin| 1,x解：0lim0,xx又01lim sin0.xxxarctan limxxx例2.求 |arctan|,2x解：1lim0,xx又arctanlim0

3、.xxx性質性質2 有界函數與無窮小的乘積是無窮小有界函數與無窮小的乘積是無窮小. .6定義：定義：00lim( ),( )lim( ), ( ) xxxf xf xxxf xf xx 稱稱當當時時是是無無窮窮大大. .稱稱當當時時是是無無窮窮大大. .特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大0()lim( )xxxf x 0()lim( )xxxf x 7xyo3limxxxx1lim0 xyo3xx 稱 當時是無窮大10 xx稱 當時是無窮大例如：8說明：說明：1.1.無窮大是變量無窮大是變量, ,不能與很大的數混淆不能與很大的數混淆; ;. .無窮大說明函數極限不存在無窮

4、大說明函數極限不存在; ;9無窮大的性質無窮大的性質性質性質 有限個同號無窮大的和是無窮大有限個同號無窮大的和是無窮大.性質性質 有限個無窮大的積是無窮大有限個無窮大的積是無窮大.性質性質 無窮大與非零常數的積是無窮大無窮大與非零常數的積是無窮大.性質性質 無窮大與有界函數的和是無窮大無窮大與有界函數的和是無窮大.性質性質 同一過程中的無窮小的倒數為無窮大，無同一過程中的無窮小的倒數為無窮大，無窮大的倒數為無窮小窮大的倒數為無窮小.101lim(1)xx0 xyo111)1xx稱(當時是無窮小11lim1xx 而11 11小結：小結：掌握無窮大與無窮小的概念與性質；掌握無窮大與無窮小的概念與性

5、質；會利用無窮小性質求常見極限。會利用無窮小性質求常見極限。作業：作業： P91，7, 9122.5 極限的運算極限的運算13一、極限的四則運算法則一、極限的四則運算法則BAxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim 則lim( ) ( )lim( )lim ( )f x g xf xg xAB)0)(lim,)(lim)(lim)()(limxgBAxgxfxgxf lim( ), lim ( )f xAg xB設設在在同同一一極極限限過過程程中中，14231lim(32)xxx 例例1. 1. 求求2311lim3lim2xxxx解：原式23113 lim2 limxxxx（）（）

6、233 12 11 lim( )lim( )kf xkf x注：注：lim ( )lim( )nnf xf x注：注：為正整數為正整數n（）如果如果f( (x) )連續，極限連續，極限值等于函數值。值等于函數值。15211lim23xxx 例例2.2.求求121lim1lim 23xxxx（）解：原式（）21 12 132 如果分式中分子、分如果分式中分子、分母連續，且分母不為母連續，且分母不為0 0，則極限值等于函，則極限值等于函數值。數值。16分析：分析：21lim(23)xxx0,商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無

7、窮小與無窮大的關系由無窮小與無窮大的關系, ,得得例例3.3.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解：解：17211lim1xxx 例例4. 4. 求求11lim(1)(1)xxxx原式0.0型型111lim12xx方法方法： 消去零因子。消去零因子。分析：分式中分子分母都趨于分析：分式中分子分母都趨于0 0，稱為，稱為解：解：18例例5.5.147532lim2323 xxxxx求求. 型型332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 分析：分式中分子分母都趨于無窮，稱為分析：分式中分子分母都趨于無窮，稱為方法方法：分子、分母同除最高

8、次冪。分子、分母同除最高次冪。解：解：19例例6.25lim29xxx 解：解：222155limlim9292xxxxxxx 0 )(型型 20例例7.321lim52xxx 解：解：33231221limlim5252xxxxxxx )(型型 21小結小結: :00(0, 0, ,abm n 為為非非負負整整數數) )101101limmmmnnxna xa xab xb xb )(型型 00, ,0, , .anmbnmnm 當當當當當當2242lim4xxx例8. 求44lim(4)(2)xxxx41lim2xx4(2)(2):lim(4)(2)xxxxx解 原式=)00(型型14如果有根式，考慮先如果有根式，考慮先用有理化方法去根式。用有理化方法去根式。2332112lim()28xxx例9. 求22(2)(4)lim(2)(24)xxxxxx224lim24xxxx23224 12:lim8xxxx解 原式() 型12 考慮先通分