1、課時跟蹤檢測(四十七)兩條直線的位置關系一、題點全面練1 若直線 11： y= k( (x 4) )與直線 12關于點( (2,1) )對稱，則直線 12過定點( () )A (0,4)B (0,2)C ( 2,4)D . (4, 2)解析： 選 B 由題知直線 1i過定點(4,0)， 則由條件可知， 直線 12所過定點關于( (2,1)對稱 的點為(4,0)，故可知直線 12所過定點為(0,2),故選 B.2.若點 P 在直線 3x + y 5= 0 上，且 P 到直線 x y 1 = 0 的距離為.2,則點 P 的坐 標為( () )A.(1,2)C . (1,2)或(2, 1)B.(2,

2、1)D . (2,1)或( (一 1,2)=埜，解得 x= 1 或 x= 2，故 P(1, 2)或(2, 1).3.已知直線3n1 的傾斜角為3,直線 11經過點 A(3,2)和 B(a, 1)，且直線 1 與 11平行,則實數 a 的值為( ()A. 0B.1C. 6D . 0 或 6解析：選 C由直線 1 的傾斜角為3 3/得 1 的斜率為一 1,4因為直線 1 與 11平行，所以 11的斜率為一 1.又直線 11經過點 A(3,2)和 B(a, 1),4. (2018 北京東城區期末) )如果平面直角坐標系內的兩點A(a 1, a+ 1), B(a, a)關于直線 1 對稱，那么直線 I

3、 的方程為( () )A. x y+ 1 = 0B.x+ y+ 1 = 0C. x y 1 = 0D. x+ y 1 = 0解析：選 A 因為直線 AB 的斜率為a a+一- = 1,所以直線 1 的斜率為 1.設直線 I 的a 1 a方程為 y= x+ b,由題意知直線 I 過點1 1,2a2a+1 1，所以2 =1 1+ b,解得 b= 1, 所以直線 1 的方程為 y= x + 1,即 x y+ 1= 0.故選 A.5.已知點 P( 2,0)和直線 1： (1 + 3?)x+ (1 + 2 矽一(2 + 5入=0(入R),則點 P 到直線 1 的距離 d 的最大值為( () )解析：選

4、C設 P(x,5 3x),則 d =|x 一 5 + 3x 一1|，化簡得 |4x 6| = 2，即 4x 6所以 11的斜率為，故=1,解得 a = 6.A. 2 3B. 10C.14D. 2 15解析：選 B 由(1 + 3 ?)x+ (1 + 2Ry (2+ 5?)= 0，得(x + y 2) + 入3x+ 2y 5) = 0,此方程是過直線 x + y 2= 0 和 3x + 2y 5 = 0 交點的直線|x+ y 2 = 0，系方程.解方程組可知兩直線的交點為Q(1,1)，故直|3x+ 2y 5= 0,線 I 恒過定點 Q(1,1)，如圖所示，可知d=|PH|w|PQ= 10,即 d

5、 的最大值為 10.n6.已知直線h：ax+ y 1 = 0,直線 l2： x y 3= 0，若直線 l1的傾斜角為二，貝 V a =4_ ；若 Il2,貝Ua=_;若 l1II l2，則兩平行直線間的距離為 _解析：若直線 l1的傾斜角為n,則一 a= k = tann= 1，故 a= 1;若丄則 ax1+ 1x(441)= 0,故 a = 1 ;若 l115，則 a= 1, h : x y+ 1 = 0,兩平行直線間的距離d=廠=2 2.答案：112 27.將一張坐標紙折疊一次，使得點 (0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m, n)重合，則 m + n=.解析：由題意可知，紙的

6、折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線，即直線y= 2x 3,答案：3458.以點 A(4,1) , B(1,5), C( 3,2), D(0, 2)為頂點的四邊形5 一 1解析：因為 kAB=_1 4.=2 21 1 3.= 2 5 3加=0 4 = 4k kBC= 3 1= 4.則 kAB= kDC, kAD kBC，所以四邊形 ABCD 為平行四邊形.又 kADkAB= 1，即 AD 丄 AB,故四邊形 ABCD 為矩形.它也是點(7,3)與點(m, n)連線的中垂線，于是故 m+ n =345. .=2X3,解得3m=；,531n n= NABCD 的面積為2(2)=一 43

7、03. .故 S四邊形ABCD|AB| |AD|=142+512x042+ 21225.答案：25A. 2 3B. 109.正方形的中心為點C( 1,0)，一條邊所在的直線方程是x+ 3y 5 = 0，求其他三邊所在直線的方程.解：點 C 到直線 x+ 3y 5 = 0 的距離 d= 1二土 綽0 0.pl + 95 5設與 x + 3y 5 = 0 平行的一邊所在直線的方程是x+3y+m=0(mM 5),則點 C 到直線 x+ 3y+ m= 0 的距離| 1 + m| _1 + 9 一=丁，解得 m= 5(舍去) )或 m = 7,所以與 x+ 3y 5 = 0 平行的邊所在直線的方程是x+

8、 3y+ 7= 0.設與 x + 3y 5 = 0 垂直的邊所在直線的方程是3x y+ n= 0,則點 C 到直線 3x y+ n = 0 的距離d=|1=刃1010解得 n= 3 或 n= 9,寸 9+ 15 5所以與 x+ 3y 5 = 0 垂直的兩邊所在直線的方程分別是3x y 3 = 0 和 3x y+ 9 = 0.10.已知點 P(2, 1).(1)求過點 P 且與原點的距離為 2 的直線 I 的方程;(2) 求過點 P 且與原點的距離最大的直線I 的方程，并求出最大距離；(3) 是否存在過點 P 且與原點的距離為 6 的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說 明理由.解：( (1)

9、過點 P 的直線 I 與原點的距離為 2，而點 P 的坐標為(2, 1)，顯然，過點 P(2, 1)且垂直于 x 軸的直線滿足條件，此時I 的斜率不存在，其方程為x= 2.若斜率存在，設 I 的方程為 y+ 1 = k(x 2),即 kx y 2k 1 = 0.此時直線 I 的方程為 3x 4y 10= 0.綜上可得直線 I 的方程為 x= 2 或 3x 4y 10= 0.(2)作圖可得過點 P 與原點 0 的距離最大的直線是過點P 且與 PO$a垂直的直線，如圖./ft由 I 丄 OP，得 klkop= 1,o12/-17J/由已知得I 2k 1| =2；k2+1 1解得1=5因為 kop=

10、 2,1所以 k 尸一嚴=2.kop由直線方程的點斜式得y+ 1 = 2(x 2),即 2x y 5= 0.(3)由(2)可知，過點 P 不存在到原點的距離超過5 的直線，因此不存在過點 P 且到原點的距離為 6 的直線.、專項培優練(一 )易錯專練一一不丟怨枉分1. (2019 青島模擬) )直線 x + a2y+ 6= 0 和(a 2)x + 3ay+ 2a = 0 無公共點，則 a 的值為( )A. 3 或一 1C. 0 或一 1解析：選 C 兩直線無公共點，即兩直線平行當a= 0 時，這兩條直線分別為 x + 61a 2=0 和 x= 0，無公共點；當 a豐0 時，由一-2=，解得 a

11、= 3 或 a= 1.若 a = 3,這兩a 3a條直線分別為 x+ 9y+ 6= 0, x + 9y+ 6 = 0,兩直線重合，有無數個公共點，不符合題意，舍去；若 a= 1,這兩條直線分別為 x+ y+ 6= 0 和 3x+ 3y+ 2 = 0,兩直線平行，無公共點.綜 上，a=0 或 a= 1.2.已知 A(1,2), B(3,1)兩點到直線 I 的距離分別是 2, 5 .2，則滿足條件的直線l共有()()A. 1 條B.2 條C . 3 條D . 4 條解析：選 C 當 A, B 兩點位于直線 I 的同一側時，一定存在這樣的直線 I,且有兩條.又|AB|= . 3 12+ 1 22=

12、5，而點 A 到直線 l 與點 B 到直線 l 的距離之和為 2 5 2 =5，所以當 A, B 兩點位于直線 I 的兩側時，存在一條滿足條件的直線.綜上可知滿足條件的直線共有 3 條.故選 C.3.l1, l2是分別經過 A(1,1),B(0, 1)兩點的兩條平行直線，當 l1, l2間的距離最大時，直線 l1的方程是_ .解析：當兩條平行直線與 A, B 兩點連線垂直時，兩條平行直線間的距離最大.因為所以直線 2x最大距離為I 5|5B.0 或31=5A(1,1), B(0, 1)，所以 kAB=1 1=2，所以當 l1,l1的斜率為1 1k= ，此時，直線 li的方程是 y 1 = Q(

13、 (x 1), 即卩 x + 2y 3= 0.答案：x+ 2y 3= 04.若直線 l 過點 P( 1,2)且到點 A(2,3)和點 B( 4,5)的距離相等，則直線 l 的方程為解析：當直線 l 的斜率存在時，設直線l 的方程為 y 2 = k(x + 1)，即 kx y+ k + 2= 0.由題意知|2k|2k3 3；k k+2|2|=| |4k4k -5+k k+2|2|,尿+1寸 k2+11即|3k 1|= | 3k 3|,. k = 3.1直線 l 的方程為 y 2= 3( (x+ 1), 即卩 x+ 3y 5= 0.當直線 I 的斜率不存在時，直線I 的方程為 x= 1,也符合題意

14、.答案：x+ 3y 5= 0 或 x = 15.在平面直角坐標系中，已知點P( 2,2),直線 l： a(x 1) + b(y+ 2) = 0(a, b R 且不同時為零) )，若點 P 到直線 I 的距離為 d,則 d 的取值范圍是 _.解析：易知直線 I 經過定點(1, 2),則點 P 到直線 I 的最大距離為一 2 12+ 2+ 22=5,最小距離為 0,所以 d 的取值范圍是0,5.答案：0,5(二 )交匯專練融會巧遷移6.與導數交匯若點 P 是曲線 y= x2 ln x 上任意一點，則點 P 到直線 y= x 2 的最小距離為( ()ApB.1C. 2D. 2解析： 選 C 因為點

15、P 是曲線 y= x2 ln x 上任意一點，所以當點P 處的切線和直線 y=x 2 平行時，點 P 到直線 y= x 2 的距離最小因為直線y= x 2 的斜率等于 1,曲線 y=x2 In x 的導數 y = 2x g,令 y = 1,可得 x = 1 或 x = *舍去) )，所以在曲線 y= x2 In x 上與直線 y= x 2 平行的切線經過的切點坐標為(1,1)，所以點 P 到直線 y= x 2 的最小距離為，2,故選 C.7.與不等式交匯如圖，已知直線 I1l l2，點 A 是l l1,l l2之間的定點，點 A 到11, 12之間的距離分別為 3 和 2,點 B 是 l2上的

16、一動點，作 AC 丄 AB, 且 AC 與 l1交于點匚匚則厶 ABC 的面積的最小值為 _.解析：以 A 為坐標原點，平行于 l1的直線為 x 軸，建立如圖所示的平 面直角坐標系，設 B(a, 2), C(b,3)./ AC 丄 AB , ab 6= 0, ab= 6, b=6 6. aRt ABC 的面積 S= 2 . a2+ 4 b2+ 9 =2孑+3636+ 9=1 1,72+9a9a2+ 學 2 ； 72+ 72= 6(當且僅當 a2= 4 時取等號) ).答案：68.與物理知識交匯如圖，已知 A( 2,0), B(2,0), C(0,2), E( 1,0),F(1,0), 束光線從 F 點出發射到