1、3機械能守恒定律及其應用教學目標：理解和掌握機械能守恒定律，能熟練地運用機械能守恒定律解決實際問題教學重點： 機械能守恒定律的應用教學難點： 判斷被研究對象在經歷的研究過程中機械能是否守恒，在應用時要找準始末狀態 的機械能教學方法： 復習、討論、總結、鞏固練習、計算機輔助教學教學過程：一、機械能守恒定律1 1機械能守恒定律的兩種表述（1 1）在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發生相互轉化，但機械能的總量 保持不變。（2 2）如果沒有摩擦和介質阻力，物體只發生動能和重力勢能的相互轉化時，機械能的總 量保持不變。2 2對機械能守恒定律的理解：（1 1）機械能守恒定律的研究對象一定是系統，

2、至少包括地球在內。通常我們說“小球的 機械能守恒” 其實一定也就包括地球在內， 因為重力勢能就是小球和地球所共有的。 另外小球 的動能中所用的 V V,也是相對于地面的速度。（ 2 2）當研究對象（除地球以外）只有一個物體時，往往根據是否“只有重力做功”來判 定機械能是否守恒；當研究對象（除地球以外）由多個物體組成時,往往根據是否“沒有摩擦 和介質阻力”來判定機械能是否守恒。（3 3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用” 。在該過程中,物體可以受其它力的作用, 只要這些力不做功,或所做功的代數和為零,就可以認為是“只有重力做功”。3 3對機械能守恒條件的認識如果沒有摩擦和介質阻力, 物體只發

3、生動能和勢能的相互轉化時, 機械能的總量保持不變, 這就是機械能守恒定律沒有摩擦和介質阻力,這是守恒條件具體的講，如果一個物理過程只有重力做功，是重力勢能和動能之間發生相互轉化，沒有與其它形式的能發生轉化，物體的動能和重力勢能總和保持不變如果只有彈簧的彈力做功，彈簧與物體這一系統，彈性勢能與動能之間發生相互轉化，不與其它形式的能發生轉化，所以彈性勢能和動能總和保持不變.分析一個物理過程是不是滿足機械能守恒，關鍵是分析這一過程中有哪些力參與了做功，這一力做功是什么形式的能轉化成什么形式的能.如果只是動能和勢能的相互轉化，而沒有與其它形式的能發生轉化，則機械能總和不變. 如果沒有力做功，不發生能的

4、轉化，機械能當然也不發生變化.【例 1 1】 如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機械能是否 守恒？系統機械能是否守恒？解：以物塊和斜面系統為研究對象，很明顯物塊下滑過程中系統不受摩擦和介質阻力，故系統機械能守恒。又由水平方向系統動量守恒可以得知：斜面將向左運動，即斜面的機械能將增大，故物塊的機械能一定將減少。點評：有些同學一看本題說的是光滑斜面，容易錯認為物塊本身機械能就守恒。這里要提醒兩條：由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N N 和物塊的實際位移 s s 的方向已經不再垂直，彈力要對物塊做負功，對物塊來說已經不再滿足“只有重力做功”的條件。 由于水平方向系

5、統動量守恒， 斜面一定會向右運動，其動能也只能是由物塊的機械能轉移而來， 所以物塊的機械能必然減少。4 4.機械能守恒定律的各種表達形式確定研究對象和研究過程。判斷機械能是否守恒。選定一種表達式，列式求解。4 4.應用舉例【例 2 2】如圖所示，質量分別為 2 2 m m 和 3m3m 的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A A、B B，直(1)1 mghmv2=mgh *mv2，即EpEEpEk;-厶Ep= EK，只要把角尺的頂點 0 0 處有光滑的固定轉動軸。AOAO、B0B0 的長分別為 2L2L 和 L L。開始時直角尺的A0A0 部分處于水平位置而 B B 在 0 0 的正下方。讓該系

6、統由靜止開始自由轉動，求：當A A 到達最低點時，A A 小球的速度大小 v v;B B 球能上升的最大高度 h h;開始轉動后 B B 球可能達到 的最大速度 V Vm。解析：以直角尺和兩小球組成的系統為對象，由于轉動過程不受摩擦和介質阻力，所以該系統的機械能守恒。過程中 A A 的重力勢能減少，A A、B B 的動能和 B B 的重力勢能增加，A A 的即時速度總是 B B公式可解得 sinsin (5353 - -a) =sin37=sin37 ,a=16=16B B 球速度最大時就是系統動能最大時，而系統動能增大等于系統重力做的功W WG。設 0A0A從開始轉過B角時 B B 球速度最

7、大，1 2m -(2v f+ 13m v2=2mg=2mg 2Lsin2Lsin0-3mg-3mg L L(1-cos1-cos0 )22的 2 2 倍。2mg 2L =3mg L寸2 m v2B B 球不可能到達 0 0 的正上方,它到達最大高度時速度一定為零,設該位置比 0A0A 豎直位置向左偏了a角。 2mg2mg 2 2LcosLcosa=3mg=3mg L L(1+sin(1+sina),此式可化簡為4cos4cosa-3sin-3sina=3=3，利用三角O OA AOB =mgL=mgL ( 4sin4sinB+3cos+3cosB-3-3)w2mg2mg L L,解得vm=V

8、11點評：本題如果用EP+EK=E Ep/+EKZ這種表達形式，就需要規定重力勢能的參考平面, 顯然比較煩瑣。用一厶Ep就要簡潔得多。下面再看一道例題。【例 3 3】 如圖所示，半徑為R的光滑半圓上有兩個小球A、B，質量分別為m和M，由細線掛著，今由靜止開始無初速度自由釋放，求小球A升至最高點C時A、B兩球的速度？解析：A球沿半圓弧運動，繩長不變，A、B兩球通過的路程相等，A上升的高度為2兀R兀Rh =R；B球下降的高度為H;對于系統，由機械能守恒定律得：42-.-：EP二EK；EpHR12=-MgmgR(M m)v22Vc =二RMg -2mgR VM +m【例 4 4】如圖所示，均勻鐵鏈長

9、為L，平放在距離地面高為2L的光滑水平面上，其長度1、的-懸垂于桌面下，從靜止開始釋放鐵鏈，求鐵鏈下端剛要著地時的速度？5方法 1 1、選取地面為零勢能面:41LL12mg2L mg(2L ) = mg mv5510221LL1方法 2 2、桌面為零勢能面：mgmg（L ） mv2510221 -解得：v =*74gL5點評：零勢能面選取不同，所列出的表達式不同，雖然最后解得的結果是一樣的，但解 方程時的簡易程度是不同的，從本例可以看出，方法二較為簡捷。因此，靈活、準確地選取零 勢能面，往往會給題目的求解帶來方便。本題用一 A AE Ep=AEK也可以求解，但不如用EP+EK=E Ep/+EK

10、/簡便，同學們可以自己試 一下。因此，選用哪一種表達形式，要具體題目具體分析。二、機械能守恒定律的綜合應用【例 5 5】如圖所示，粗細均勻的 U U 形管內裝有總長為 4L4L 的水。KI I 開始時閥門 K K 閉合，左右支管內水面高度差為L L。打開閥門 K K 后，T左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？（管的內部橫截面很.：；.巧.小，摩擦阻力忽略不計）卜 -:解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初kLm蟲蟲：2L2nR R）. .已知列車的車輪是卡在導軌上的光滑槽中只能 使列車沿著圓周運動，在軌道的任何地方都不能脫軌。試問：在沒有任何動力的情況下，列車在水平軌道上應

11、具有多大初速度V V0，才能使列車通過圓形軌道而運動到右邊的水平軌道上？gLo【例 7 7】 質量為 0.020.02 kgkg 的小球，用細線拴著吊在沿直線行駛著的汽車頂棚上，在汽車 距車站 1515 m m 處開始剎車，在剎車過程中，拴球的細線與豎直方向夾角0= 3737保持不變，如圖所示，汽車到車站恰好停住求：因為 F F合=mgtan=mgtan0=ma=ma0.62 2所以 a=gtana=gtan0=10=10 xm/sm/s =7.5=7.5 m/sm/s0.8對汽車，由 V V02=2=2 asas得 V V0= =2as= =2 7.5 15m/s=15m/s=15 (m/s

12、m/s)解析：當游樂車灌滿整個圓形軌道時，游樂車的速度最小，設此時速度為 量為m m，則據機械能守恒定律得：V V,游樂車的質122mVo2mv要游樂車能通過圓形軌道，則必有v0v0，所以有v0- 2(1) 開始剎車時汽車的速度；(2) 汽車在到站停住以后，拴小球細線的最大拉力。cos37cos37= 0.80.8)解析：(1 1)小球受力分析如圖(取 g g= 1010 m m/s s , sin37sin37= 0.60.6,(2(2)小球擺到最低點時，拉力最大， 設為T T,繩長設為 I I1根據機械能守恒定律，有mgmg (1-lcos1-lcosB) =mvmv222在最低點，有 T

13、-mg=mT-mg=m,IT T = = mg+2mgmg+2mg (1 1 一 coscos0),代人數值解得 T T= 0.280.28 N N【例 8 8】 如圖所示，一根長為1m，可繞0軸在豎直平面內無摩擦轉動的細桿AB，已知OA =0.6m;OB =0.4m，質量相等的兩個球分別固定在桿的A、B端，由水平位置自由釋放，求輕桿轉到豎直位置時兩球的速度？r月-汀-E解析：A、B球在同一桿上具有相同的角速度- ,vA：vB=RA：RB=3:2,A、B組成一個系統，系統重力勢能的改變量等于動能的增加量，選取水平位置為零勢能面，則:AEP=EpA+AEPB=mgR +mg& =mg(R

14、-甩)=0.2mg21212 2 2A+ mvB= m(R +R2)2 21 mv2厶EKEKA*EKB八Ep八EK20.2mg二0.26mvA=1.65、vB=1.1%解得：-(2(2)小球擺到最低點時，拉力最大， 設為T T,繩長設為 I I【例 9 9】 小球在外力作用下，由靜止開始從A A 點出發做勻加速直線運動，到 B B 點時消除4外力。然后，小球沖上豎直平面內半徑為R R 的光滑半圓環，恰能維持在圓環上做圓周運動，到達最高點 C C 后拋出，最后落回到原來的出發點 A A 處，如圖所示，試求小球在 ABAB 段運動的加 速度為多大？解析：要題的物理過程可分三段：從A A 到孤勻加

15、速直線運動過程；從B B 沿圓環運動到 C C的圓周運動，且注意恰能維持在圓環上做圓周運動，在最高點滿足重力全部用來提供向心力；從 C C 回到 A A 的平拋運動。根據題意，在 C C 點時，滿足2vmg = m一R從 B B 到 C C 過程，由機械能守恒定律得mg2R J mv2-1mv；2 2由、式得VB= 5gR122R=_gt2從 C C 回到 A A 過程，滿足2水平位移 s=vts=vt，v二gR由、式可得 s=2Rs=2R從 A A 到 B B 過程，滿足2as =vB【例 1010】如圖所示，半徑分別為 R R 和 r r 的甲、乙兩個光滑的圓形軌道安置在同一豎直平 面上，

16、軌道之間有一條水平軌道 CDCD 相通，一小球以一定的速度先滑上甲軌道，通過動摩擦因數為的 CDCD 段，又滑上乙軌道，最后離開兩圓軌道。 都恰好為零，試求水平 CDCD 段的長度。解析：(1 1)小球在光滑圓軌道上滑行時，機械能守恒，設小球滑過C C 點時的速度為通過甲環最高點速度為 v v,根據小球對最高點壓力為零，由圓周運動公式有2vmg二mR取軌道最低點為零勢能點，由機械守恒定律由、兩式消去 v v,可得Vc二5gR同理可得小球滑過 D D 點時的速度VD=.5gr，設 CDCD 段的長度為 l l,對小球滑過 CDCD 段過程應用動能定理II1212mgl mvDmvC2 2,將Vc

17、、VD代入，若小球在兩圓2mvC21= mg2R mv_5(R-r)可得2J三、針對訓練1.1.如圖所示，兩物體 A A、B B 從同一點出發以同樣大小的初速度面到達另一端，則（）2.2.將一球豎直上拋，若該球所受的空氣阻力大小不變，則其力大小不變，則其上升和下 降兩過程的時間及損失的機械能的關系是（）A A .t上切，：E上E下B B .t上t下，E上E下C C .t上t下，E上E下D D .t上= =上下，厶E上=：E下h h，質量為 m m 的小球，從離桌面高 H H 處自由落下，不計空氣阻力，假設桌面處的重力勢能為零，小球落到地面前的瞬間的機械能應為（4.4.一顆子彈水平射入置于光滑水

18、平面上的木塊A A 并留在 A A 中，A A 和木塊 B B 用一根彈性良好的輕彈簧連在一起，如圖所示，則在子彈打擊木塊A A 及彈簧壓縮的過程中，對子彈、兩木塊和彈簧組成的系統（）A A .動量守恒，機械能守恒B B .動量不守恒，機械能守恒C C .動量守恒，機械能不守恒D D .無法判斷動量、機械能是否守恒5 5 .如圖所示，質量、初速度大小都相同的A A、B B、C C 三個小球，在同一水平面上，A A 球豎直上拋，B B 球以傾斜角B斜和上拋，空氣阻力不計， C C 球沿傾角為B的光滑斜面上滑，它們上 升的最大高度分別為hA、hB、hC，則（）v vo分別沿光滑水平面和凹A A .

19、 A A 先到B B. B B 先到D D .條件不足，無法確定3 3 .如圖所示，桌面高度為B B. mgHmgHC C. mgmg (H H + + h h)D D . mgmg (H-hH-h)AC C. A A、B B 同時到達B B -hhB:he6 6質量相同的兩個小球，分別用長為I I 和 2 2 I I 的細繩懸掛在天花板上，如圖所示，分別拉起小球使線伸直呈水平狀態，然后輕輕釋放，當小球到達最低位置時（A A兩球運動的線速度相等C C .兩球運動的加速度相等7 7.個人站在陽臺上，以相同的速率 水平拋出，不計空氣阻力，則三球落地時的速率（& &如圖所示，在光滑水

20、平桌面上有一質量為M M 的小車，小車跟繩一端相連，繩子另一端通過滑輪吊一個質量為 m m 的磚碼，則當砝碼著地的瞬間（小車未離開桌子）小車的速度大小 為_ ，在這過程中，繩的拉力對小車所做的功為 _。9 9質量為 m m 的人造地球衛星，在環繞地球的橢圓軌道上運行，在運行過程中它的速度最大值為Vm，當衛星由遠地點運行到近地點的過程中，地球引力對它做的功為W W,則衛星在近地點處的速度為 _，在遠地點處的速度為 _ 。C-hA =hBheD D hAhB,hAhe兩球運動的角速度相等細繩對兩球的拉力相等v vo,分別把三個球豎直向上拋出，豎直向下拋出,）A A .上拋球最大B B .下拋球最大

21、C C.平拋球最大D D .三球一樣大VO1010 物體以Ek=100J J 的初動能從斜面底端沿斜面向上運動，當該物體經過斜面上某一點時，動能減少了 80J80J，機械能減少了 32J,32J,則物體重返斜面底端時的動能為 _參考答案1.1. B B 在凹曲面上運動時，由于機械能守恒，一部分重力勢能轉化為動能，下降過程中速度的水平分量總是增大，一直到底部，以后水平分量又恢復到V V。，所以沿凹曲面運動的水平速度的平均值大于沿直線運動的速度，將先到達另一端。2.2. C C 上升和下降兩過程，小球通過的位移大小相等，由受力分析知小球上升過程的加速度，.小球上升的時間應小于下降的時間；小球運動過

22、程中損失的機械能等于克服空氣阻力做的功，空氣阻力大小不變，上升、下降兩過程的位移大小相等，上、下過程損失的機械 能相等。3.3.B B 小球未碰地之前機械化能守恒， 即每一時刻的機械能都與初始時刻的機械能相等， 都為 mgHmgH，錯選 D D 項的原因是對機械能及參考平面的性質沒有掌握準確。機械能是動能和勢能的總和，即E = Ep Ek，小球在自由下落過程中重力勢能減小而動能增大，但機械能不變。4.4.C C 在子彈打木塊的過程中，認為 A A 還沒有移動，系統動量守恒，機械能不守恒；在 子彈與木塊一起向右壓縮彈簧的過程中，系統所受合外力為零，動量守恒；由于只有彈簧彈力做功，機械能守恒。對題所給的物理過程，系統動量守恒，機械能不守恒，應選C C。5.5.C C A A 球和 C C 球上升到最高點時速度均為零，而B B 球上升到最高點時仍有水平方向的 速度，即仍有動能。對 A A、C C 球而言.12mgh mv02得h=業,2gmgh mv2二mv：2 22 2所以h 1:：:h2g66 6C C、D D設小球到達最低點的線速度為v v，繩長為 L L,則由機械能守恒1010. 20J20J提示：根據題意，當物體滑到斜面某一點