1、第第 七七 章章彎曲變形彎曲變形7.2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程7.3 7.3 用積分法求撓度和轉角用積分法求撓度和轉角7.4 7.4 用疊加法求撓度和轉角用疊加法求撓度和轉角第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 7.5 7.5 梁的剛度計算梁的剛度計算7.1 7.1 概述概述7.6 7.6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁7.7 7.7 梁的彎曲應變能梁的彎曲應變能7.8 7.8 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施7-1 7-1 概述概述 若變形過大，會引起較大的振動，破壞起吊工若變形過大，會引起較大的振動，破壞起吊工作的平穩性。作的平穩性。一、工程中的彎曲變形問題一、工程中的彎曲變形問

2、題若變形過大，不若變形過大，不僅會影響齒輪的僅會影響齒輪的嚙合和軸承的配嚙合和軸承的配合，使傳動不平合，使傳動不平穩，磨損加快，穩，磨損加快，而且還會嚴重地而且還會嚴重地影響加工精度。影響加工精度。 又如，車床主軸：又如，車床主軸： 又如，如圖所示輪軸：又如，如圖所示輪軸： 若輪軸的變形過大，會使輪子不能正常嚙合，影響工若輪軸的變形過大，會使輪子不能正常嚙合，影響工作的平穩性等。作的平穩性等。 但有時又有相反要求，要求構件有適當變形，才能但有時又有相反要求，要求構件有適當變形，才能符合使用要求。符合使用要求。如汽車疊板彈簧，要求產生較大變形，才能在車輛如汽車疊板彈簧，要求產生較大變形，才能在車

3、輛行駛時發揮緩沖減振作用符合使用要求。行駛時發揮緩沖減振作用符合使用要求。此外，彎曲變形的計算還經常應用于超靜定系統的此外，彎曲變形的計算還經常應用于超靜定系統的求解。求解。二、彎曲變形的量度撓度和轉角二、彎曲變形的量度撓度和轉角FAB 原為直線的軸線原為直線的軸線AB彎曲彎曲成光滑而連續的曲線，成光滑而連續的曲線， 該曲線稱為該梁的撓曲線。該曲線稱為該梁的撓曲線。 在平面彎曲的情況下，撓曲線是位于載荷平面內的在平面彎曲的情況下，撓曲線是位于載荷平面內的平面曲線。平面曲線。 豎直位移豎直位移 w 稱為撓度，取向上為正。稱為撓度，取向上為正。xw xfw 橫截面的轉角，和撓曲線在該截面形心處的切

4、線與橫截面的轉角，和撓曲線在該截面形心處的切線與x 軸的夾角相等。軸的夾角相等。 xwddtan小變形：小變形： tan xfwxwdd FABwx撓曲線方程：撓曲線方程：CC任意截面形心任意截面形心CC三位移：三位移：水平位移水平位移x，豎直位移豎直位移w角位移角位移，忽略忽略 = w角位移角位移 稱為轉角，稱為轉角，逆時針方向為正。逆時針方向為正。EIxMx)()(1xwO23222dd1dd)(1xwxwx22ddxwEIxMxw)(dd 220M0 w0M0 w7.2 7.2 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程前一章已得到：前一章已得到：EIM1純彎曲梁純彎曲梁橫力彎曲梁（近似）

5、橫力彎曲梁（近似）任意曲線曲率任意曲線曲率)(xMwEI 或或EIxMxw)(dd22則有則有ACB 例例7-2-1 畫出下列梁的撓曲線大致形狀。畫出下列梁的撓曲線大致形狀。AmmCBLL解解: : 建立坐標系并建立坐標系并作彎矩圖作彎矩圖wx)(xMwEI AB段段: :0 0 wM， w上凸上凸BC段段: :0 0 wM，同時同時B處須滿足連續光滑條件，處須滿足連續光滑條件，即曲線與直線在即曲線與直線在B點相切。點相切。邊界條件邊界條件: :0 0CCw， w=0=0mMACB 例例7-2-2 等截面直梁，其撓曲線等截面直梁，其撓曲線 ，長度為，長度為l，確定梁的載荷、支撐情況。，確定梁的

6、載荷、支撐情況。EIFxw3lPl6Pl6F6故可確定其為懸臂梁。故可確定其為懸臂梁。解解: : 作彎矩圖、剪力圖作彎矩圖、剪力圖)(xMwEI FxxM6)(FxxMxFs6d)(d)(0d)(d)(xxFxqsF6F6Fl6M6FFs+ 0 0wx，EIFlwlx3 ，邊界邊界條件條件0 0wx，CxxMEIwd)( 轉角方程轉角方程DCxxxxMEIw d d)( 撓度方程撓度方程C、D 為積分常數；由邊界條件和連續性條件確定。為積分常數；由邊界條件和連續性條件確定。邊界條件邊界條件: : 固定端：固定端：w0 0；0 0；鉸支座：鉸支座：w0 0；彎曲變形的對稱點：彎曲變形的對稱點：0

7、 0。連續性條件連續性條件: : 撓曲線上任意點的撓度和轉角只有一個撓曲線上任意點的撓度和轉角只有一個值。值。EIxMwxw)(dd22 7-3 7-3 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形)(xMwEI EI為常量為常量EI為常量為常量lABq 例例7-3-1 用積分法求撓度方程和轉角方程，并確定絕對用積分法求撓度方程和轉角方程，并確定絕對值最大的轉角和最大的撓度。設值最大的轉角和最大的撓度。設EIEI為常量。為常量。解解：(1) (1) 求支反力，列求支反力，列彎矩方程彎矩方程(2) (2) 建立撓曲線近似微分方程，并積分建立撓曲線近似微分方程，并積分DCxxqxqlEIw4324- 12

8、(3) (3) 利用邊界條件確定積分常數利用邊界條件確定積分常數0 :0wx0 D0 :wlx24 3qlCxwlxxqxqlxM0 22)(2lxxqxqlwEI 0 222,6432CxqxqlwEIxqlRRBA21 由對稱性知由對稱性知RBRA3234624xlxlEIqw323224xlxlEIqxwEIqllxx24 : 03BAmax或EIqlwlxl3845 0; :242max(5) (5) 求最大值求最大值 (4) (4) 求轉角方程、撓度方程求轉角方程、撓度方程lABqxw彎曲變形的對稱點：彎曲變形的對稱點：0 0。邊界條件：邊界條件：0 :0wx0 :2lx0 :wlx

9、0 :2lx或或lxxqxqlwEI 0 222 例例7-3-2 用積分法求用積分法求C截面的轉角和撓度，截面的轉角和撓度，EI為常量。為常量。alABFC解解：(1) (1) 分段分段寫彎矩方程寫彎矩方程 , lFaRllaFRBA(2) (2) 分段建立撓曲線近似微分方程，并積分分段建立撓曲線近似微分方程，并積分axFxMCA0 1：段段RARBalxaaxllaFFxMAB )( )(2：段段113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxllaFxFEIwCaxllaFxFwEIwxFxwEI 1ax 0 )()(2axllaFFxwE

10、I alxa ABFCalwx(3) (3) 確定積分常數確定積分常數21 :wwax21 :wwax(1) 0 , 0 : 21wwax時時邊界條件邊界條件: :連續性條件連續性條件: :(3) , 2121DDCC),32(621alFaCClaFaDD3221(4) (4) C截面的撓度和轉角截面的撓度和轉角laEIFawwalEIFawwxC3 , 326 :021C122212)(2)(22CaallaFaFCFa2233113)(6)(66DaCaallaFaFDaCFa113112162DxCxFEIwCxFwEI223322222)(6)(6)(2)(2DxCaxllaFxFE

11、IwCaxllaFxFwEIAC段：段：AB段：段：(2) 0 : 2walx時時（1）（）（2）（）（3）疊加原理：當梁上同時作用幾個載荷時，梁的某一參量疊加原理：當梁上同時作用幾個載荷時，梁的某一參量（反力、內力、應力、變形）等于每個載荷（反力、內力、應力、變形）等于每個載荷單獨作用時所引起的該參量的代數和。單獨作用時所引起的該參量的代數和。疊加法：應用疊加原理計算梁的某一參量的方法。疊加法：應用疊加原理計算梁的某一參量的方法。 前提條件：小變形，材料服從虎克定律。前提條件：小變形，材料服從虎克定律。, dd22FFMxwEI, dd22qqMxwEIMxwEI22dd222222dddd

12、ddxwEIxwEIMMMxwEIqFqF22ddxwwEIqF* * 表表7-17-17-4 7-4 用疊加法求梁的變形用疊加法求梁的變形=+ 例例7-4-1 用疊加法求用疊加法求C點撓度。點撓度。解：解： 簡單載荷引起的變形簡單載荷引起的變形EIFaEIaFwFC648)2(33EIqaEIaqwqC245384)2(544 疊加疊加)6245(34EIFaEIqawC表表7.17.1第第7 7欄欄表表7.17.1第第9 9欄欄FqaaACBFaaACBqaaACB 例例7-4-2 用疊加法求用疊加法求C點撓度。點撓度。解解: :積分法積分法EIxllxlFwPC48)(43)()(d(2

13、2dxxllqdxxqFd)(2)(d0 xlEIxllxlqd24)(43()(2220PCqCwwdEIqlxlEIxllxlqll240d24)(43()(45 .02220表表7.17.1第第8 8欄欄q0l/2ABCl/2 例例7-4-3 用疊加法求用疊加法求C截面的轉角和撓度。截面的轉角和撓度。alABFC解解：(1) (1) 假設假設CA段為剛性，研究段為剛性，研究簡支梁簡支梁AB的變形所引起的的變形所引起的C截面截面的轉角和撓度的轉角和撓度xwFFaEIFalA3,31EIFalACEIlFaawCC3211ABCFAC(2) (2) 假設假設AB段為剛性，段為剛性，外伸段外伸

14、段CA看作懸臂梁：看作懸臂梁：,222EIFaCEIFawC332表表7.17.1第第2 2欄欄表表7.17.1第第5 5欄欄(3) (3) 疊加法求疊加法求C截面的撓度和轉角截面的撓度和轉角, 32621alEIFaCCClaEIFawwwCCC3221 例例7-4-4 等截面剛架等截面剛架A端的水平位移端的水平位移xA 和豎直位移和豎直位移yA。abEICEIPAB剛化剛化ABABPC2Ay剛化剛化BCPCABABC1Ax1AyPaP等價等價等價等價PAB解解：(1) (1) 剛化剛化AB段：段：(2) (2) 剛化剛化BC段：段：剛化剛化AB: : 21EIbpaayBA剛化剛化BC:

15、: 332EIpawyAA 2221EIpabxxxAAA(3) (3) 疊加：疊加： 221EIPabwxBA02Ax2AyABC1Ax1AyPaPPAB 3 3221abEIpayyyAAA*逐段剛化法逐段剛化法2aABq 例例7-4-5 用疊加法求中點用疊加法求中點C撓度和梁端截面撓度和梁端截面B的轉角。的轉角。CDE2lEIqalBR22解：解： C為對稱點，故為對稱點，故C截面的轉角為截面的轉角為0 0。表表7.1第第2欄欄在在RB作用下：作用下：EIqalwBR33EIqaEqBq63表表7.1第第4欄欄在在 q 作用下：作用下：EIlqaEIqaalEIqaEIqaalwwBqE

16、qBq624 683434Eq Bq qaRB qaRA BEqCBEqaRB ClqBEaqaRB C一、剛度條件：一、剛度條件： wwmax max疊加：疊加：laalEIqawwwwBqBRBC2334824 2236alEIqaBqBRB2 2 設計截面設計截面1 1 剛度校核剛度校核3 3 確定許可載荷確定許可載荷 2aABqCDE2llqBEaqaRB CqaRB 7-5 7-5 梁的剛度計算梁的剛度計算或或AAwwBBCABDF2=2kNABF1=1kNDC 例例7-5-1 一空心圓桿，內外徑：一空心圓桿，內外徑：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C點的點的w/L=0

17、.0001，B點的點的 =0.001弧度弧度，試試核此桿的剛度核此桿的剛度。+EIaLFawBC162111EILFB16211解：解：查表求簡單載荷變形查表求簡單載荷變形EIaLFB322)(3222aLEIaFwC)(3162221aLEIaFEIaLFwCEIaLFEILFB316221 疊加疊加=L=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kNm1019. 5)(31662221aLEIaFEIaLFwC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFB48124444m1018810)4080(6414. 3)(6

18、4 dDI 001.010423.04max 4536max101103 .1104001019.5LwLw校核剛度校核剛度剛度條件滿足。剛度條件滿足。一、基本概念一、基本概念2 2 超靜定問題：單純依靠靜力平衡方程不能確定出全超靜定問題：單純依靠靜力平衡方程不能確定出全部未知力（支反力、內力）的問題。部未知力（支反力、內力）的問題。1 1 靜定問題：單純依靠靜力平衡方程能夠確定全部未知靜定問題：單純依靠靜力平衡方程能夠確定全部未知力（支反力、內力）的問題。力（支反力、內力）的問題。 3 3 超靜定次數超靜定次數 n ：n = = 未知力數獨立的平衡方程數未知力數獨立的平衡方程數FBA7-6

19、7-6 簡單超靜定梁簡單超靜定梁BFAC1 1 靜定結構除荷載外，其他因素如溫度改變、支座靜定結構除荷載外，其他因素如溫度改變、支座移動、制造誤差、材料收縮等都不引起內力，即移動、制造誤差、材料收縮等都不引起內力，即靜定結構無裝配應力、無溫度應力等；而超靜定靜定結構無裝配應力、無溫度應力等；而超靜定結構中，任何因素都可能引起內力。結構中，任何因素都可能引起內力。2 2 靜定結構與結構的材料性質和截面尺寸無關，而靜定結構與結構的材料性質和截面尺寸無關，而超靜定結構與結構的材料性質和截面尺寸有關。超靜定結構與結構的材料性質和截面尺寸有關。二、二、 超靜定結構的特性超靜定結構的特性3 3 超靜定結構

20、的剛度比相應的靜定結構要大。超靜定結構的剛度比相應的靜定結構要大。4 4 超靜定結構在多余聯系破壞后，仍然能維持幾何不超靜定結構在多余聯系破壞后，仍然能維持幾何不變性，而靜定結構在任一聯系破壞后就變成了幾何變性，而靜定結構在任一聯系破壞后就變成了幾何可變體系。可變體系。 求解彎曲超靜定問題時，首先要選擇原超靜定結構求解彎曲超靜定問題時，首先要選擇原超靜定結構的靜定基，得其相當系統。的靜定基，得其相當系統。=RBAB0BBRBqBwwwq0lABEI 例例7-7-1 求支座求支座B的反力。的反力。（2 2）變形協調方程：）變形協調方程：解：解：(1) (1) 確定靜定基，得確定靜定基，得原結構的

21、相當系統：原結構的相當系統：+ ABq0(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補充方程補充方程EIlRwEIqlwBBRBqB3 ;83403834EIlREIqlB83qlRBABEIRBq0變形比較法變形比較法(2(2）變形協調方程：）變形協調方程：解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結構的相當系統：結構的相當系統：BCBRBqBlwwwB 例例7-7-2 求求BC桿的內力桿的內力。=A AB BR RB B=A AB BR RB B+ += =q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=q q 0 0L LA AB BR R B BEI 等價等價q q

22、0 0A AB B+q0(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補充方程補充方程)(3 ; )( 834EIlRwEIqlwBBRBqBEAlREIlREIqlBCBB3834)3(834EIlAlIqlRBCBEAlRlBCBBCBCBRBqBlwwwB=q q 0 0L LA AB BR R B BEI 等價等價q q 0 0L LA AB BC CEIlBCBCEAl=A AB BR RB B=A AB BR RB Bq q 0 0A AB B+q0+ += = 例例7-7-3 如圖所示雙梁系統，彈簧剛度如圖所示雙梁系統，彈簧剛度K，上下梁的抗，上下梁的抗彎剛度均為彎剛度均為EI，求，求

23、（1）彈簧受力大小彈簧受力大小，（，（2）當當P/(q0l) =?=?時彈簧不受力。時彈簧不受力。0qPl/2l/2l/2l/2解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結構的相當系統：結構的相當系統：0qF上梁上梁PF下梁下梁+KFwwCCEIFlEIlqwC483845340EIlFpwC48)(3KFEIlqEIlFP384548)2(403KEIlKEIlPlqF241384)85(330（5 5）令）令F=0，(2)(2)變形協調方程：變形協調方程：(3)(3)物理方程物理方程(4)(4)補充方程補充方程PF下梁下梁0qF上梁上梁CC得得P/q0l=5/8 例例7-7-4

24、7-7-4 兩端固定梁，求內力。兩端固定梁，求內力。 BACFabl二次超靜定結構二次超靜定結構ABFC2m1m0 , 0 BA (2) (2) 變形協調方程：變形協調方程：解：解：(1)(1)確定靜定基，得原確定靜定基，得原結構的相當系統：結構的相當系統：EIlmlEIblFabEIlmA66321EIlmlEIblFabEIlmB36621(3) (3) 物理方程物理方程(4)(4)補充方程補充方程 063621lblFablmlm066321lblFablmlmBACabl 222221lbFamlFabmABFC2m1m(5)(5)疊加法求內力疊加法求內力ABC 22lFab 22lbFa 223 blaba llFabMFEIxM)(1 dxMdWdU )(21dxEIxMdU2)(2 ldxEIxMU2)( 2一一、 彎曲應變能：彎曲應變能：應變能等于外力功。不計剪切應變能應變能等于外力功。不計剪切應變能xKdd1 曲率曲率M(x)OO dO 曲率曲率中心中心