1、20.3 極差、方差與標準差極差、方差與標準差2.眾數是一組數據中出現次數最多的數據，是一組數據中的原數據，而不是相應的次數一組數據中的眾數可能不止一個,也可以沒有.1.求中位數時，要先將數據按大小順序.排序時，從小到大或從大到小都可以當數據個數為奇數時，中位數是最中間的一個數據；但當數據個數為偶數時，其中位數是最中間兩個數據的平均數，它不一定與這組數據中的某個數據相等。階段性小結：眾數、中位數都是用來描述一組數據的集中趨勢.1、數據1，3，4，2，4的中位數是_ 求中位數要先排序33.52和3(眾數不惟一)2、數據1，3，4，5，2，6的中位數是_3、數據1，2，3，2，3，4的眾數是_身高

2、/米 1.5 1.6 1.65 1.7 1.751.8人數/名 2112114、某班8名男同學的身高如下（單位：米）試求出平均數、眾數和中位數下表顯示的是上海下表顯示的是上海20012001年年2 2月下旬和月下旬和20022002年年同期的每日最高氣溫：同期的每日最高氣溫： 試對這兩段時間的氣溫進行比較試對這兩段時間的氣溫進行比較 20022002年年2 2月下旬的氣溫比月下旬的氣溫比20012001年高嗎？年高嗎？兩段時間的平均氣溫分別是多少？兩段時間的平均氣溫分別是多少？經計算可以看出，對于經計算可以看出，對于2 2月下旬的這段時間月下旬的這段時間而言，而言，20012001年和年和20

3、022002年上海地區的平均氣年上海地區的平均氣溫相等，都是溫相等，都是1212 這是不是說，兩個時段的氣溫情況沒有什么這是不是說，兩個時段的氣溫情況沒有什么差異呢？根據上表提供的數據差異呢？根據上表提供的數據, ,繪制出相應的繪制出相應的折線圖我們進行分析折線圖我們進行分析 不同時段的最高氣溫不同時段的最高氣溫通過觀察，發現：通過觀察，發現：2001年年2月下旬的氣溫波動比月下旬的氣溫波動比較大較大-從從6 到到22 ，而而2002年同期的氣溫年同期的氣溫波動比較小波動比較小-從從9 到到16 .622916 什么樣的指標可以反映一組數據變化范什么樣的指標可以反映一組數據變化范圍的大小？圍的

4、大小？ 我們可以用一組數據中的最大值減去我們可以用一組數據中的最大值減去最小值最小值 所得的差來所得的差來反映這組數據的變化范反映這組數據的變化范, ,用這種方法得到的差稱為用這種方法得到的差稱為極差極差 。 極差最大值極差最大值最小值最小值思思 考考 為什么說本章導圖中的兩個城市，一個為什么說本章導圖中的兩個城市，一個“四季溫差不大四季溫差不大”，一個，一個“四季分明四季分明”？這里四季分這里四季分明明。這里一年四這里一年四季溫度差不季溫度差不大大例例1 1 : :觀察圖觀察圖20.3.120.3.1，分別說出兩段時間內氣溫，分別說出兩段時間內氣溫的極差的極差解解 由圖可知，圖由圖可知，圖(

5、a)(a)中最高氣溫與最低氣溫之間中最高氣溫與最低氣溫之間差距很大，相差差距很大，相差1616，也就是，也就是極差為極差為1616；圖；圖(b)(b)中所有氣溫的中所有氣溫的極差為極差為77，所以從圖中看，所以從圖中看，整段時間內氣溫變化的范圍不太大整段時間內氣溫變化的范圍不太大 1 1、樣本、樣本3 3，4 4，2 2，1 1，5,6,5,6,的平均數的平均數為為 , , 中位數為中位數為 ；極差為；極差為 ；2 2、樣本、樣本a+3a+3，a+4a+4，a+2a+2，a+1a+1，a+5a+5的的 平均數為平均數為 _, ,中位數為中位數為_,_, 極差為極差為 _. .3.53.55a+

6、3a+34 小明和小兵兩人參加體育項目訓練，近期的五次測試成績如表20.3.2所示.誰的成績較為穩定？為什么？測試次數12345小明1014131213小兵1111151411表表20.3.2 通過計算，我們發現兩人測試成績的平均值都是12.4分從圖20.3.2可以看到： 相比之下，小明的成績大部分集中在平均值附近，而小兵的成績與其平均值的離散程度較大通常，如果一組數據與其平均值的離散程度較小，我們就說它比較穩定 思思 考考 怎樣的數能反映一組數據與其平均值的離散程度? 我們已經看出，小兵的測試成績與平均值的偏差較大，而小明的較小那么如何加以說明呢?可以直接將各數據與平均值的差進行累加嗎?在表

7、20.3.3中寫出你的計算結果所以我們說小明的成績較為穩定所以我們說小明的成績較為穩定.12345求和求和小明小明每次測試成績每次測試成績101413121362每次成績每次成績平均成績平均成績小兵小兵每次測試成績每次測試成績111115141162每次成績每次成績平均成績平均成績通過計算，依據最后求和的結果可以比較兩組數據圍繞其平均值的波動情況嗎?如果不行，請你提出一個可行的方案，在表20.3.4的中寫上新的計算方案，并將計算結果填入表中不能不能20.3.312345求平求平方和方和小明小明每次測試每次測試成績成績1014131213每次成績每次成績平均成績平均成績小兵小兵每次測試每次測試成

8、績成績1111151411每次成績每次成績平均成績平均成績20.3.41234567小明每次測試成績101413缺席12缺席13小兵每次測試成績1111151114141120.3.5 如果一共進行了如果一共進行了7次測試次測試,小明因故缺席了兩次小明因故缺席了兩次,怎樣比較誰的成績更穩定怎樣比較誰的成績更穩定?請將你的方法與數據填入表請將你的方法與數據填入表20.3.5中中.思考思考2平均成績）-每次成績(2平均成績）-每次成績(我們可以用我們可以用“先平均，再求差，然后平方，最先平均，再求差，然后平方，最后再平均后再平均”得到的結果得到的結果表示一組數據偏離平均值表示一組數據偏離平均值的情

9、況的情況。這個結果通常稱為。這個結果通常稱為方差方差.通常用通常用S2表示一組數據的方差，用表示一組數據的方差，用 x 表示一組表示一組數據的平均數，數據的平均數，x1、x2、.表示各個數據。表示各個數據。)()()(1222212xxxxxxnSn在實際應用時常常將求出的方差再開平方，在實際應用時常常將求出的方差再開平方，這就是這就是標準差標準差.22s 標準差方差方差標準差 S發現：發現：方差或標準差越小，離散程度越小，波動越小方差或標準差越小，離散程度越小，波動越小.方差或標準差越大，離散程度越大，波動越大方差或標準差越大，離散程度越大，波動越大 方差與標準差方差與標準差- - 描述一組

10、數據的描述一組數據的波動大波動大小小或者或者與平均值的離散程度的大小與平均值的離散程度的大小. .極差極差-反映一組數據反映一組數據變化范圍的大小變化范圍的大小；總結總結:平均數平均數-反映一組數據的反映一組數據的總體趨勢總體趨勢計算可得：小明計算可得：小明5次測試成績的標準差為次測試成績的標準差為 小兵小兵5次測試成績的標準差為次測試成績的標準差為區別：區別：極差極差是用一組數據中的最大值與最小值的是用一組數據中的最大值與最小值的差來反映數據的變化范圍，主要反映一組數據中差來反映數據的變化范圍，主要反映一組數據中兩個極端值之間的差異情況，對其他的數據的波兩個極端值之間的差異情況，對其他的數據

11、的波動不敏感動不敏感.方差方差主要反映整組數據的波動情況，是反映一組主要反映整組數據的波動情況，是反映一組數據與其平均值離散程度的一個重要指標，每個數據與其平均值離散程度的一個重要指標，每個數年據的變化都將影響方差的結果，是一個對整數年據的變化都將影響方差的結果，是一個對整組數據波動情況更敏感的指標組數據波動情況更敏感的指標.在實際使用時，往往計算一組數據的方差，來衡在實際使用時，往往計算一組數據的方差，來衡量一組數據的波動大小量一組數據的波動大小.標準差標準差實際是方差的一個變形，只是方差的單位實際是方差的一個變形，只是方差的單位是原數據單位的平方，而標準差的單位與原數據是原數據單位的平方，

12、而標準差的單位與原數據單位相同單位相同.1.比較下列兩組數據的極差、方差和標準差比較下列兩組數據的極差、方差和標準差:A組組:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;B組組:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5解解:先求平均數先求平均數 5)5591827364(1015)5810(101_BAxxA組極差組極差:10-0=10,B組極差組極差:9-1=8 求方差求方差: A的極差的極差B的極差的極差比較下列兩組數據的極差、方差和標準差比較下列兩組數據的極差、方差和標準差:A組組:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;B組組:4,

13、6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5解解: 求方差求方差: 6)55(2)59()51 ()58()52()57()53()56()54(1015)55(8)510()50(10122222222222222BAss標準差標準差: 6 5BAssSASBA的方差的方差B的方差的方差 2 算一算，第算一算，第141頁問題頁問題1中哪一年氣溫的離中哪一年氣溫的離 散程度較大散程度較大?和你從圖和你從圖20.3.1中直觀看出的結果中直觀看出的結果一致嗎一致嗎?解：解：2001年年2月下旬氣溫的方差為月下旬氣溫的方差為20.75（度（度C平方），平方），2002年年2月下旬氣溫的方差為月下旬氣溫的方差為4（度（度C平方），因此平方），因此2001年年2月下旬氣溫的離月下旬氣溫的離散程度較大，和圖中直觀的結果一致。散程度較大，和圖中直觀的結果一致。(1)知識小結：對于一組數據，有時只知道它的知識小結：對于一組數據，有時只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動大小；平均數還不夠，還需要知道它的波動大小；而而描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常描述一組數據的波動大小的量不止一種，最常用的是方差和