1、第第 4 4 講講數列求和數列求和一、選擇題一、選擇題1 1(2010(2010改編題改編題) )數列數列 a an n 滿足滿足a an n1 1a an n1 1( (n nN N，n n1)1)，且且a a2 22 2，S Sn n是是 a an n 的前的前n n項和項和，則則S S2 2 011011( () )A A1 1 002002B B1 1 003003C C1 1 004004D D1 1 005005解析：由解析：由a an n1 1a an n1 1得得a an n1 1a an n1 1，a a1 11 1a a2 21 1，S S2 2 011011a a1 1(

2、 (a a2 2a a3 3) )( (a a4 4a a5 5) )( (a a2 2 008008a a2 2 009009) )(2(2 0100102 2 011)011)1 11 1 0050051 1 004.004.答案：答案：C C2 2數列數列 1 11 12 2，2 21 14 4，3 31 18 8，4 41 11616，的前的前n n項和為項和為( () )A.A.1 12 2( (n n2 2n n2)2)1 12 2n nB.B.1 12 2n n( (n n1)1)1 11 12 2n n1 1C.C.1 12 2( (n n2 2n n2)2)1 12 2n n

3、D.D.1 12 2n n( (n n1)1)2 21 11 12 2n n解析：解析：a an nn n1 12 2n n，S Sn n1 11 12 22 21 14 4n n1 12 2n n(1(12 23 3n n) )1 12 21 14 41 12 2n n，S Sn nn n(1(1n n) )2 21 12 21 11 12 2n n1 11 12 21 12 2n n( (n n1)1)1 11 12 2n n1 12 2( (n n2 2n n2)2)1 12 2n n. .答案：答案：A A3 3數列數列 a an n 的通項公式的通項公式a an n1 1n nn n

4、1 1，若前，若前n n項的和為項的和為 1010，則項數為，則項數為( () )A A1111B B9999C C120120D D121121解析：解析：a an n1 1n nn n1 1n n1 1n n，S Sn nn n1 11 11010，n n120.120.答案：答案：C C4 4(2009(2009安徽銅陵模擬安徽銅陵模擬) ) 數列數列 1 1，1 11 12 2，1 11 12 23 3，1 11 12 23 3n n的前的前n n項和項和S Sn n等于等于( () )A.A.3 3n n1 1n n1 1B.B.2 2n nn n1 1C.C.3 3n nn n1

5、1D.D.4 4n nn n3 3解析：解析：a an n2 2n n( (n n1)1)2 21 1n n1 1n n1 1 ，所以，所以S Sn n2 21 11 12 21 12 21 13 31 1n n1 11 1n n1 1n n1 1n n1 12 21 11 1n n1 1 2 2n nn n1 1. .答案：答案：B B二、填空題二、填空題5 5已知數列已知數列 a an n 的通項公式為的通項公式為a an n( (1)1)n n1 1(3(3n n2)2)，則前，則前 100100 項之和項之和S S100100等于等于_解析：并項求和解析：并項求和a a1 1a a2

6、2a a3 3a a4 4a a5 5a a6 6a a9999a a1001003 3S S1001003 35050150.150.答案：答案：1501506 6數列數列 5,55,5555,55,555，的前的前n n項和為項和為_解析：解析：a an n5 59 9(10(10n n1)1)，S Sn n5 59 9(10(1010102 21010n nn n) )5 59 910101010n n1 11 11010n n5 58181(10(10n n1 110)10)5 59 9n n50508181(10(10n n1)1)5 59 9n n. .答案：答案：50508181

7、(10(10n n1)1)5 59 9n n7 7已知已知f f( (x x) )4 4x x4 4x x2 2，求，求f f1 11111 f f2 21111 f f10101111 _._.解析：因為解析：因為f f( (x x) )f f(1(1x x) )4 4x x4 4x x2 24 41 1x x4 41 1x x2 24 4x x4 4x x2 24 44 42 24 4x x4 4x x4 4x x2 22 22 24 4x x1.1.所以所以f f1 11111 f f10101111 f f2 21111 f f9 91111 f f5 51111 f f6 61111

8、 1.1.f f1 11111 f f2 21111 f f10101111 5.5.答案：答案：5 5三、解答題三、解答題8 8已知等差數列已知等差數列 a an n ，a a2 29 9，a a5 521.21.(1)(1)求求 a an n 的通項公式；的通項公式；(2)(2)令令b bn n2 2a an n，求數列，求數列 b bn n 的前的前n n項和項和S Sn n. .解：解：(1)(1)設數列設數列 a an n 的公差為的公差為d d，依題意得方程組，依題意得方程組a a1 1d d9 9a a1 14 4d d2121. .解得解得a a1 15 5，d d4 4，所以

9、所以 a an n 的通項公式為的通項公式為a an n4 4n n1.1.(2)(2)由由a an n4 4n n1 1，得，得b bn n2 24 4n n1 1，所以所以 b bn n 是首項為是首項為b b1 12 25 5，公比，公比q q2 24 4的等比數列的等比數列于是得于是得 b bn n 的前的前n n項和項和S Sn n2 25 5(2(24 4n n1)1)2 24 41 13232(2(24 4n n1)1)1515. .9 9(2009(2009海南三亞模擬海南三亞模擬) )已知數列已知數列 a an n 滿足滿足a a1 1a a2 2a an nn n3 3.

10、.(1)(1)求數列求數列 a an n 的通項公式；的通項公式；(2)(2)求求1 1a a2 21 11 1a a3 31 11 1a a1001001 1的值的值解：解：(1)(1)當當n n2 2 時，由時，由a a1 1a a2 2a an n1 1a an nn n3 3，a a1 1a a2 2a an n1 1( (n n1)1)3 3，兩式相減，得兩式相減，得a an n3 3n n2 23 3n n1 1，n n2,3,42,3,4，當當n n1 1 時，有時，有a a1 11 13 31 1，滿足上述公式，滿足上述公式故數列故數列 a an n 的通項公式為的通項公式為a

11、 an n3 3n n2 23 3n n1.1.(2)(2)1 1a an n1 11 13 3n n( (n n1)1)1 13 31 1n n1 11 1n n，n n2,3,42,3,41 1a a2 21 11 1a a3 31 11 1a a1001001 11 13 31 11 12 2 1 13 31 12 21 13 3 1 13 31 199991 11001001 13 31 11 1100100 3333100100. .1010(2010(2010廣東惠州調研廣東惠州調研) )等差數列等差數列 a an n 前前n n項和為項和為S Sn n，已知對任意的，已知對任意的

12、n nN N* *，點，點( (n n，S Sn n) )在二次函數在二次函數f f( (x x) )x x2 2c c的圖象上的圖象上(1)(1)求求c c，a an n；(2)(2)若若k kn na an n2 2n n，求數列，求數列 k kn n 前前n n項和項和T Tn n. .解：解：(1)(1)點點( (n n，S Sn n) )在二次函數在二次函數f f( (x x) )x x2 2c c的圖象上，的圖象上，S Sn nn n2 2c c，a a1 1S S1 11 1c c，a a2 2S S2 2S S1 1(4(4c c) )(1(1c c) )3.3.a a3 3S

13、 S3 3S S2 25 5，又，又 a an n 為等差數列，為等差數列，6 6c c6 6，c c0 0，d d3 31 12 2，a an n1 12(2(n n1)1)2 2n n1.1.(2)(2)k kn n2 2n n1 12 2n n，T Tn n1 12 23 32 22 25 52 23 32 2n n3 32 2n n1 12 2n n1 12 2n n1 12 2T Tn n1 12 22 23 32 23 35 52 24 42 2n n3 32 2n n2 2n n1 12 2n n1 1得：得：1 12 2T Tn n1 12 22 21 12 22 21 12

14、23 31 12 24 41 12 2n n2 2n n1 12 2n n1 11 12 22 22 2n n1 12 2n n1 13 32 22 2n n3 32 2n n1 1T Tn n3 32 2n n3 32 2n n. .1 1 (2010(2010創新題創新題) )有限數列有限數列 a an n 中中，S Sn n為為 a an n 的前的前n n項和項和， 若把若把S S1 1S S2 2S Sn nn n稱為數列稱為數列 a an n 的的“優化和優化和”，現有一個共，現有一個共 2 2 009009 項的數列：項的數列：a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a2

15、2 009009，若其，若其“優化和優化和”為為2 2 010010，則有，則有 2 2 010010 項的數列：項的數列：1 1，a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a2 2 009009的優化和為的優化和為_解析：依題意，解析：依題意，S S1 1S S2 2S S2 2 0090092 2 0090092 2 010010，S S1 1S S2 2S S2 2 0090092 2 0090092 2 010.010.又數列又數列 1 1，a a1 1，a a2 2，a a2 2 009009相當于在數列相當于在數列a a1 1，a a2 2，a a2 2 009009前加一項前

16、加一項 1 1，其優化和為其優化和為1 1( (S S1 11)1)( (S S2 21)1)( (S S2 2 0090091)1)2 2 0100102 2 0090092 2 0100102 2 0100102 2 0100102 2 010.010.答案：答案：2 2 0100102 2( () )S Sn n1 12 22 23 32 24 42 2( (1)1)n n1 1n n2 2_._.解析：當解析：當n n是偶數時：是偶數時：S Sn n(1(12 22 22 2) )(3(32 24 42 2) )(n n1)1)2 2n n2 2 (1(12 23 34 4n n) )n n( (n n1)1)2 2. .當當n n是奇數時：是奇數時：S Sn n1 12 2( (2 22