1、第一節第一節 衍射的基本理論衍射的基本理論 第二節第二節 衍射和傅立葉變換衍射和傅立葉變換第三節第三節 單孔的夫朗和費衍射單孔的夫朗和費衍射 第四節第四節 衍射光柵衍射光柵第五節第五節 菲涅爾衍射菲涅爾衍射第 四 章 光的衍射 第一節第一節 衍射的基本理論衍射的基本理論 一、衍射問題概述一、衍射問題概述 光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，光的衍射是指光波在傳播過程中遇到障礙物時，所發生的偏離直線傳播的現象。所發生的偏離直線傳播的現象。 光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過障礙光的衍射，也可以叫光的繞射，即光可繞過障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影區域中，并在障礙物，傳播到障礙物的幾何陰影

2、區域中，并在障礙物后的觀察屏上呈現出光強的不均勻分布。物后的觀察屏上呈現出光強的不均勻分布。 通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。通常將觀察屏上的不均勻光強分布稱為衍射圖樣。 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 S SP PP 光的衍射現象與光的干涉現象，都是相干光波疊光的衍射現象與光的干涉現象，都是相干光波疊加引起的光強的重新分布。加引起的光強的重新分布。 不同之處在于：干涉是有限個相干光波的疊加，不同之處在于：干涉是有限個相干光波的疊加，衍射是無限多個相干光波疊加的結果。衍射是無限多個相干光波疊加的結果。 衍射需要用到積分，但在許多情況下，對衍射孔衍射需要用到積分，但在許多

3、情況下，對衍射孔徑的積分無法求解，使衍射問題的求解遇到了很徑的積分無法求解，使衍射問題的求解遇到了很大的困難。通常情況下，我們無法得到精確的解，大的困難。通常情況下，我們無法得到精確的解，而只能得到近似的解。而只能得到近似的解。第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 研究衍射現象及其規律的問題歸結為已知光波在某研究衍射現象及其規律的問題歸結為已知光波在某一衍射屏上的復振幅分布，或已知入射光波及衍射一衍射屏上的復振幅分布，或已知入射光波及衍射屏的形狀和振幅透射函數，求光在衍射屏后的空間屏的形狀和振幅透射函數，求光在衍射屏后的空間任一點或任一平面上的復振幅分布或光強分布。任一點或任一平面上的復

4、振幅分布或光強分布。 研究衍射問題的傳統方法：首先，惠更斯研究衍射問題的傳統方法：首先，惠更斯菲涅菲涅耳原理對衍射現象作了初步解釋。其后，基爾霍夫耳原理對衍射現象作了初步解釋。其后，基爾霍夫從波動方程出發，對衍射屏上的光場分布作了一些從波動方程出發，對衍射屏上的光場分布作了一些假設，推導了求衍射圖樣分布的公式，并為惠更假設，推導了求衍射圖樣分布的公式，并為惠更斯斯菲涅耳原理提供了理論基礎。菲涅耳原理提供了理論基礎。 在現代光學中，以線性系統理論為基礎，把產生衍在現代光學中，以線性系統理論為基礎，把產生衍射的系統看作是一個線性不變系統，以平面波理論射的系統看作是一個線性不變系統，以平面波理論(或

5、角譜理論或角譜理論)來討論衍射問題，這就是傅里葉變換來討論衍射問題，這就是傅里葉變換的方法。的方法。 研究光的衍射現象，嚴格來說，應該用光的矢量研究光的衍射現象，嚴格來說，應該用光的矢量衍射理論來求解，但求解過程很復雜。衍射理論來求解，但求解過程很復雜。 在許多情況下，我們只要知道近似結果就可以了，在許多情況下，我們只要知道近似結果就可以了，所以一般都用光的標量衍射理論來求解衍射過程。所以一般都用光的標量衍射理論來求解衍射過程。只有在一些特別需要精確結果的場合，才會使用只有在一些特別需要精確結果的場合，才會使用矢量衍射理論。矢量衍射理論。第 四 章 光的衍射 二、惠更斯二、惠更斯-菲涅耳原理菲

6、涅耳原理 1.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理最早成功的用波動理論解釋衍射現最早成功的用波動理論解釋衍射現象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用象的是菲涅耳，他把惠更斯原理用干涉的理論加以補充。干涉的理論加以補充。惠更斯原理惠更斯原理1690年提出。惠更斯認年提出。惠更斯認為，為，面上每一點都可以看作是一個面上每一點都可以看作是一個次波源，發出球面次波；這些次波次波源，發出球面次波；這些次波在隨后的某一時刻的包跡面，將形在隨后的某一時刻的包跡面，將形成一個新的波陣面成一個新的波陣面 ，波面的法線，波面的法線方向就是波的傳播方向。方向就是波的傳播方向。 第 四 章 光的衍射 ?平面波平面波球面波球面波

7、 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 惠更斯原理能夠很好的解釋光的直線傳播，光的惠更斯原理能夠很好的解釋光的直線傳播，光的折射和反射方向，也能說明衍射現象可能發生，折射和反射方向，也能說明衍射現象可能發生，卻不能詳細解釋各種衍射現象，也不能描述衍射卻不能詳細解釋各種衍射現象，也不能描述衍射場的光強度分布。場的光強度分布。 菲涅耳認為，這些次波既然來自同一個光源，應菲涅耳認為，這些次波既然來自同一個光源，應該是相干的，因而衍射場某點該是相干的，因而衍射場某點P的光強度，應由的光強度，應由這些次波在該點的干涉結果疊加而成。這些次波在該點的干涉結果疊加而成。 惠更斯惠更斯-菲涅爾原理：在任意

8、給定的時刻，任意波菲涅爾原理：在任意給定的時刻，任意波面上的點都起著次波波源的作用，它們各自發出面上的點都起著次波波源的作用，它們各自發出球面次波，障礙物以外任意點上的光強分布，即球面次波，障礙物以外任意點上的光強分布，即為沒有被阻擋的各個次波源發出的次波在該點相為沒有被阻擋的各個次波源發出的次波在該點相干疊加的結果。干疊加的結果。 2.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理的數學表達式菲涅耳原理的數學表達式 第 四 章 光的衍射 000exp jkrEAr上入射波的復振幅為上入射波的復振幅為： 對于衍射場中的對于衍射場中的P點，由點，由d傳來的光波的復振幅傳來的光波的復振幅就是：就是：其中：第 四 章 光

9、的衍射 0exp j krtdE PKDE drrMP D0, 1D/2, 0D為小面元的外法線與為小面元的外法線與MP之間的夾角，稱為傾斜角。之間的夾角，稱為傾斜角。叫做方向因子（傾斜因子）。菲涅耳的假設，當叫做方向因子（傾斜因子）。菲涅耳的假設，當，K為復系數。 這就是惠更斯菲涅耳原理的數學表達式，稱為這就是惠更斯菲涅耳原理的數學表達式，稱為惠更斯惠更斯-菲涅爾公式。菲涅爾公式。 第 四 章 光的衍射 如果在波面處障礙物的開口面積就用如果在波面處障礙物的開口面積就用表示，則表示，則P P點的復振幅為：點的復振幅為： 00expexpAjkrjkrE PKDdrr設某一曲面或平面上的復振幅分

10、布為設某一曲面或平面上的復振幅分布為 特別地，當用平面波正入射照明時，則衍射孔徑特別地，當用平面波正入射照明時，則衍射孔徑上任一點的復振幅為一個常數，若用上任一點的復振幅為一個常數，若用A來表示，則菲來表示，則菲涅耳公式可簡化為：涅耳公式可簡化為：第 四 章 光的衍射 ,B exp,jkrE PKDBdr exp jkrE PKADdr則這一曲面或平面上的各點發出的次波在則這一曲面或平面上的各點發出的次波在P點產生的復振幅可以表示為：點產生的復振幅可以表示為：三、基爾霍夫衍射積分公式三、基爾霍夫衍射積分公式 基爾霍夫從波動微分方程出發，利用場論中的格基爾霍夫從波動微分方程出發，利用場論中的格林

11、理論，及電磁場的邊界條件，給惠更斯林理論，及電磁場的邊界條件，給惠更斯-菲涅爾菲涅爾原理找到了較完善的表達式。原理找到了較完善的表達式。 確定了傾斜因子和常數確定了傾斜因子和常數K的具體形式，建立了光的具體形式，建立了光的衍射理論，彌補了菲涅爾理論的不足。的衍射理論，彌補了菲涅爾理論的不足。 將光場當作標量來處理，只考慮電場或磁場的一將光場當作標量來處理，只考慮電場或磁場的一個橫向分量的標量振幅，而假定其它分量也可以個橫向分量的標量振幅，而假定其它分量也可以用同樣的方法獨立的處理。用同樣的方法獨立的處理。 完全忽略了電磁場矢量分量間的耦合特性，稱為完全忽略了電磁場矢量分量間的耦合特性，稱為標量

12、衍射理論。盡管它也是一種近似處理，但在標量衍射理論。盡管它也是一種近似處理，但在一般情況下，它能與實驗結果很好的符合。一般情況下，它能與實驗結果很好的符合。 第 四 章 光的衍射 1.亥姆霍茲亥姆霍茲基爾霍夫定理基爾霍夫定理 光波電磁場的任一個分量的復振幅應滿足如下光波電磁場的任一個分量的復振幅應滿足如下的標量波的波動微分方程，即亥姆霍茲方程：的標量波的波動微分方程，即亥姆霍茲方程：第 四 章 光的衍射 220Ek E亥姆霍茲亥姆霍茲基爾霍夫定理的公式就表達如下：基爾霍夫定理的公式就表達如下：1( )4ikrikrSEeeE PEdnrnr其中，其中，S為包圍考察點為包圍考察點P的任意封閉曲面

13、，的任意封閉曲面，d為為曲面上的有向面元，取外法向為正，曲面上的有向面元，取外法向為正，r表示曲面表示曲面上任意點處的面元上任意點處的面元d到到P的距離。在的距離。在S面上任一面上任一點處點處n表示沿向外法線的單位矢量。表示沿向外法線的單位矢量。 輔助函數輔助函數(格林函數格林函數)表示小面元處表示小面元處發射的球面子波。子波的振幅大小由發射的球面子波。子波的振幅大小由d處的電場處的電場E和它的法向偏導數和它的法向偏導數為格林函數。第 四 章 光的衍射 /En來決定。來決定。 exp jkrGr2.基爾霍夫衍射積分公式基爾霍夫衍射積分公式第 四 章 光的衍射 閉合曲面由三部分組成：開孔閉合曲面

14、由三部分組成：開孔，不透明屏的部分背照面不透明屏的部分背照面1，以，以P點為中心、點為中心、R為半徑的大球的部為半徑的大球的部分球面分球面2。 P點的光場復振幅為點的光場復振幅為12( )14ikrikrE PEeeEdnrnr 和和1面，基爾霍夫假定（基爾霍夫邊界條件）面，基爾霍夫假定（基爾霍夫邊界條件） ：在在上，上，E和和 對于對于2面，面，r=R，cos(n,R)=1（法線與半徑同向，（法線與半徑同向，所以它們的夾角為所以它們的夾角為0，方向余弦為，方向余弦為1），且有），且有 ：第 四 章 光的衍射 /0En 與不存在屏時的值完全相同。與不存在屏時的值完全相同。在不透明屏的背照面在不

15、透明屏的背照面1上，上，E=0，/En的值由入射波決定，的值由入射波決定，11ikRikRikReeeikikRnRRRR因此，在因此，在2上的積分為：上的積分為：式中，式中，是是2對對P點所張的立體角，點所張的立體角，d是立體角元。是立體角元。 第 四 章 光的衍射 221144ikRikReEeEikE dikE R dRnRn索末菲輻射條件：索末菲輻射條件： lim0REikE Rn 當當R時，時，(eikR/R)R是有界的，所以上面的積分是有界的，所以上面的積分在在R時時(球面半徑球面半徑R取得足夠大取得足夠大)為零。為零。 只需要考慮對孔徑面只需要考慮對孔徑面的積分，即：的積分，即：

16、 最終得到：最終得到： 第 四 章 光的衍射 1( )4jkrjkrEeeE PEdnrnr0120expexpcoscos1( )2jkrjkrE PAdjrr 這就是基爾霍夫衍射積分公式。它表示了單色點這就是基爾霍夫衍射積分公式。它表示了單色點光源光源S0發出的球面波經孔徑發出的球面波經孔徑，在，在后的某點后的某點P處產生處產生的光振動的復振幅分布。的光振動的復振幅分布。 式中，式中， r0是光源是光源S0到孔徑到孔徑上任一點的距離，上任一點的距離，r是是Q點點到到P點的距離。點的距離。 1和和 2分別為孔徑面分別為孔徑面的法線與的法線與r0和和r的夾角。的夾角。 第 四 章 光的衍射 表

17、示表示S0發出的發出的球面波在球面波在面上的復振幅分布；面上的復振幅分布； 00exp/EAjkrr表示表示上任意一點上任意一點Q處的小處的小面元發出的球面子波對面元發出的球面子波對P點點的貢獻量。的貢獻量。 exp/Gjkr r用惠更斯用惠更斯-菲涅耳原理的基本思想來解釋：菲涅耳原理的基本思想來解釋： P點的光振動的復振幅是由這些次波源產生的，點的光振動的復振幅是由這些次波源產生的，并且它與入射波在孔徑上的復振幅和傾斜因子有并且它與入射波在孔徑上的復振幅和傾斜因子有關，與波長關，與波長成反比，而且次波源的振動相位超前成反比，而且次波源的振動相位超前入射波的相位入射波的相位90，這一點由，這一

18、點由1/j來說明來說明1/j=exp(-j/2)。 第 四 章 光的衍射 次波源次波源 00exp/EAjkrr表明在波面法線方向上的次波貢獻最大；表明在波面法線方向上的次波貢獻最大； 第 四 章 光的衍射 221cos/2D 01D/21/2D 0D 菲涅爾關于次波貢獻的研究中假設菲涅爾關于次波貢獻的研究中假設 /20D是不對的是不對的。 傾斜因子的具體表達式：傾斜因子的具體表達式： 當點光源距孔徑較遠，可以看作是平行光入射時，當點光源距孔徑較遠，可以看作是平行光入射時， 103.基爾霍夫衍射公式的化簡和推廣基爾霍夫衍射公式的化簡和推廣 傍軸近似：對于傍軸光線，衍射孔徑的線度遠傍軸近似：對于

19、傍軸光線，衍射孔徑的線度遠小于衍射孔徑平面到觀察屏的距離，光源和考察小于衍射孔徑平面到觀察屏的距離，光源和考察面上的有效范圍對衍射孔徑中心的張角很小，因面上的有效范圍對衍射孔徑中心的張角很小，因此，可近似認為：此，可近似認為：第 四 章 光的衍射 1D基爾霍夫衍射積分公式就簡化為：基爾霍夫衍射積分公式就簡化為： 00expexp( )jkrjkrE PKAdrr基爾霍夫衍射積分公式通用表達式：基爾霍夫衍射積分公式通用表達式： 衍射孔徑的復振幅透射系數：衍射孔徑的復振幅透射系數： 第 四 章 光的衍射 ,exp,( , )0TTjT ( , ) 其他 透過衍射物體的光波可以表示為：透過衍射物體的

20、光波可以表示為： ,( , )ABT 任意單色光源發出任意單色光源發出的光波到達衍射孔的光波到達衍射孔徑平面時的復振幅徑平面時的復振幅( , ):B 直角坐標系中可適用于任意照明條件和任意性質直角坐標系中可適用于任意照明條件和任意性質的衍射物體的基爾霍夫衍射積分公式：的衍射物體的基爾霍夫衍射積分公式： 四、菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射四、菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射第 四 章 光的衍射 exp( , ),jkrE x yAd dr 1.菲涅爾近似和菲涅爾衍射菲涅爾近似和菲涅爾衍射 觀察平面距衍射孔徑的距離不同，所得到觀察平面距衍射孔徑的距離不同，所得到的衍射圖樣不同。的衍射圖樣不同。 K2、K3及其周

21、圍的范圍內的衍射現象，稱為近及其周圍的范圍內的衍射現象，稱為近場衍射或菲涅爾衍射；較遠處，如場衍射或菲涅爾衍射；較遠處，如K4及及更遠處的更遠處的衍射現象稱為遠場衍射或夫朗和費衍射。衍射現象稱為遠場衍射或夫朗和費衍射。第 四 章 光的衍射 菲涅爾衍射菲涅爾衍射 SP光源和場點都為有限遠光源和場點都為有限遠P光源無限遠，場點有限光源無限遠，場點有限遠遠 衍射孔徑上的任一點與考察面上的任一點之間的衍射孔徑上的任一點與考察面上的任一點之間的距離為距離為r： 傍軸近似的條件：傍軸近似的條件： 第 四 章 光的衍射 x1/2222rxyd, , ,dx y 的最大值將將r展開成二項式：展開成二項式： 菲

22、涅爾近似菲涅爾近似 ：當當d大到能夠滿足：大到能夠滿足：第 四 章 光的衍射 222222222222222223()()11 ()()1 ()()128()()()()28xyrdxydddxyxydddxyxyddd22 232()() 82xyd菲涅爾衍射區菲涅爾衍射區 基爾霍夫衍射積分公式就進一步化簡為（菲涅爾基爾霍夫衍射積分公式就進一步化簡為（菲涅爾積分公式積分公式 ）：）： 第 四 章 光的衍射 22222221 ()()1222xyrddxyxydddd222222( , ),expexp2exp,exp22expKkE x yAjkdjxyd dddKxykjk dAjdddk

23、jxyd dd 2.夫瑯和費近似和夫瑯和費衍射夫瑯和費近似和夫瑯和費衍射夫瑯和費近似夫瑯和費近似 ：d大到可以滿足：大到可以滿足：第 四 章 光的衍射 SP光源和場點都為無限遠光源和場點都為無限遠222()22d 222xyxyrddd基爾霍夫衍射公式可化簡為（夫瑯和費衍射積分公式）：基爾霍夫衍射公式可化簡為（夫瑯和費衍射積分公式）： 221( , )exp,exp2xykE x yjk dAjxyd dj ddd 夫瑯和費衍射區夫瑯和費衍射區 六、在有限距離觀察夫瑯和費衍射的方法六、在有限距離觀察夫瑯和費衍射的方法 夫朗和費衍射問題可以得到解析解，菲涅爾衍夫朗和費衍射問題可以得到解析解，菲涅

24、爾衍射只能得到近似解，無法得到解析解。射只能得到近似解，無法得到解析解。 第 四 章 光的衍射 使用透鏡近距離的觀使用透鏡近距離的觀察并使用夫瑯和費衍射察并使用夫瑯和費衍射 1.平面波照明的情形平面波照明的情形 薄透鏡使入射光波的相位空間薄透鏡使入射光波的相位空間分布發生改變，是相位變換分布發生改變，是相位變換(調制調制)器：器： 當光線通過薄透鏡時，中心區當光線通過薄透鏡時，中心區域厚，光程長，相位延遲大；邊域厚，光程長，相位延遲大；邊緣區域薄，光程短，相位延遲小，緣區域薄，光程短，相位延遲小，入射光波的等相位面形狀改變。入射光波的等相位面形狀改變。返回薄透鏡的相位變換作用可以用它的透射函數

25、表示薄透鏡的相位變換作用可以用它的透射函數表示 其中：其中：第 四 章 光的衍射 ( , )( , )( , )lllETE ( , )lE 出射平面的光波復振幅出射平面的光波復振幅 ( , )lE 到達透鏡入射面的光波復振幅到達透鏡入射面的光波復振幅 圖圖（a）正入射的平面波，復振幅為）正入射的平面波，復振幅為1： ( , )( , )llTE 凸透鏡的作用就是將入射的平面波變更為出凸透鏡的作用就是將入射的平面波變更為出射的球面波射的球面波 。簡諧球面波在極坐標中可以表示為：簡諧球面波在極坐標中可以表示為： 只能用菲涅爾近似，得到會聚球面波的表達式：只能用菲涅爾近似，得到會聚球面波的表達式：

26、 第 四 章 光的衍射 00( )exp ()EE rj krr1/2222rz220,expexp2lEkEjkfjff 220,exp2llkEEjf 合并常數項：合并常數項：透鏡的位相變換因子：透鏡的位相變換因子： 經過像差精心校正的任一實際透鏡的相位變換經過像差精心校正的任一實際透鏡的相位變換作用，都可以用上式表示。作用，都可以用上式表示。 經過透鏡和衍射孔徑后，出射光波的復振幅：經過透鏡和衍射孔徑后，出射光波的復振幅： 第 四 章 光的衍射 220,exp2lllkTEEjf 220,exp2llABTTkAEjf 其中，單位振幅的單色平其中，單位振幅的單色平面波正入射照明，復振幅面

27、波正入射照明，復振幅為為 ( , )1B 衍射物體的復振衍射物體的復振幅透射系數為幅透射系數為 ( , )T 代入到菲涅爾衍射公式中，得到：代入到菲涅爾衍射公式中，得到： z等于等于f時，時，上式可化簡為：上式可化簡為： 第 四 章 光的衍射 2222222201( , )exp,exp22exp11exp,exp22explxykE x yjk zAjj zzzkjxyd dzExykjk zAjj zzzfkjxyd dz 220( , )exp,exp2lExykE x yjkfAjxyd djfff 上式和夫瑯和費衍射公式具有完全相同的形式，上式和夫瑯和費衍射公式具有完全相同的形式，也

28、就是說，用圖（也就是說，用圖（a）的衍射裝置，可以在透鏡的）的衍射裝置，可以在透鏡的后焦面上觀察到衍射孔徑的夫瑯和費衍射，衍射圖后焦面上觀察到衍射孔徑的夫瑯和費衍射，衍射圖形的空間擴展與透鏡的焦距有關。形的空間擴展與透鏡的焦距有關。 如采用圖（如采用圖（b）的裝置，可以證明，仍然可以在透）的裝置，可以證明，仍然可以在透鏡的后焦面上觀察到衍射物體的夫瑯和費衍射。鏡的后焦面上觀察到衍射物體的夫瑯和費衍射。 第 四 章 光的衍射 斜入射平面波照明，設入射平面波的方向角為斜入射平面波照明，設入射平面波的方向角為，則照明光波的復振幅可以表示為：則照明光波的復振幅可以表示為： sin( , )exp2Bj

29、 圖b 透鏡后焦面上的復振幅仍然可以用上面的透鏡后焦面上的復振幅仍然可以用上面的式子來表示，現在有：式子來表示，現在有： 第 四 章 光的衍射 ,sinexp2,ABTjT 2.球面波照明的情形球面波照明的情形 應用菲涅爾衍射積分公式可以證明，當用球面波照應用菲涅爾衍射積分公式可以證明，當用球面波照明時，只要滿足一定的條件，仍然可以在近距離觀明時，只要滿足一定的條件，仍然可以在近距離觀察到物體的夫瑯和費衍射。察到物體的夫瑯和費衍射。 應用菲涅爾近似，應用菲涅爾近似，s發出的球面波在衍射孔徑平面發出的球面波在衍射孔徑平面上的復振幅分布為：上的復振幅分布為： 第 四 章 光的衍射 220( , )

30、exp2kBBjp B0是球面波在中是球面波在中心點的復振幅。心點的復振幅。 透鏡出射平面的復振幅分布為：透鏡出射平面的復振幅分布為：帶入菲涅爾公式可得到：帶入菲涅爾公式可得到： 第 四 章 光的衍射 222200( , )( , ) ( , ) ( , )expexp( , )22llABTTkkB EjjTpf 22222222001( , )exp,exp22exp111exp,exp22explxykE x yjk qAjj qqqkjxyd dqB Exykjk qTjj qqpqfkjxyd dq 令令 即觀察面位于點光源的共軛像面上時，衍射公即觀察面位于點光源的共軛像面上時，衍射

31、公式可化簡為：式可化簡為： 第 四 章 光的衍射 000lB EEj q當當 111pqf220( , )exp,exp2xykE x yEjk qTjxyd dqq 上式與夫瑯和費衍射公式相同。所以，用單色球面上式與夫瑯和費衍射公式相同。所以，用單色球面波照明時，在點光源的共軛像面上可以得到夫瑯和費波照明時，在點光源的共軛像面上可以得到夫瑯和費衍射。由此我們可以得到，無論用什么樣的光源照明，衍射。由此我們可以得到，無論用什么樣的光源照明，只要滿足一定的條件，我們都可以觀察到夫瑯和費衍只要滿足一定的條件，我們都可以觀察到夫瑯和費衍射。射。 第二節第二節 衍射和傅立葉變換衍射和傅立葉變換 一、計

32、算衍射問題的傅立葉變換方法一、計算衍射問題的傅立葉變換方法 不論是在菲涅爾衍射公式還是在夫瑯和費衍射不論是在菲涅爾衍射公式還是在夫瑯和費衍射公式中，都有一個線性復指數因子：公式中，都有一個線性復指數因子： 第 四 章 光的衍射 expexp2kxyjxyjddd令：令： /fxd/fyd 就可以將復指數因子表示為：就可以將復指數因子表示為： exp2exp2xyjjffdd三維簡諧平面波的復振幅為：三維簡諧平面波的復振幅為： 如果用直角坐標系的三個分量表示，則：如果用直角坐標系的三個分量表示，則： 第 四 章 光的衍射 00expE rEj kr 0exp2xyzE rjf xf yf z 衍

33、射公式中的復指數因子就相當于一個三維簡諧衍射公式中的復指數因子就相當于一個三維簡諧平面波，其空間頻率為：平面波，其空間頻率為： (,)ff實際上它也是一個二維傅立葉變換核實際上它也是一個二維傅立葉變換核 。對于夫瑯和費衍射：對于夫瑯和費衍射：d=f，衍射公式可寫為：衍射公式可寫為：第 四 章 光的衍射 221( , )exp,exp22xyE x yjkfAjffd djff /fxf/fyf其中， 設：,exp2a ffAjffd d 衍射孔徑,A 的夫瑯和費衍射就可以用它的二的夫瑯和費衍射就可以用它的二維傅立葉變換和一個復常數的乘維傅立葉變換和一個復常數的乘積來表示，即可以表示為：積來表示

34、，即可以表示為： 其中，復常數可以表示為：其中，復常數可以表示為： 第 四 章 光的衍射 ,(,)E x yg x y a ff221( , )exp2xyg x yjkfjff一般衍射圖形的分布都可用輻照度表示：一般衍射圖形的分布都可用輻照度表示： 2,L x yE x yE x yEx y則夫瑯和費衍射圖形的輻照度為：則夫瑯和費衍射圖形的輻照度為：2221,(,)L x ya fff它的傅立葉變換可以表示為：它的傅立葉變換可以表示為： 第 四 章 光的衍射 22,expkSAjd 22,expexp2ffSkAjjffd dd F于是，菲涅爾變換也可以表示為：于是，菲涅爾變換也可以表示為：

35、,(,)E x yg x yff221( , )exp2xyg x yjk dj dd/fxd/fyd 對于菲涅爾衍射，把積分項中的因子歸到衍射孔對于菲涅爾衍射，把積分項中的因子歸到衍射孔徑的表達式中，就有：徑的表達式中，就有： 第三節第三節 單孔的夫朗和費衍射單孔的夫朗和費衍射 一、單縫的夫朗和費衍射一、單縫的夫朗和費衍射第 四 章 光的衍射 單縫的復振幅透過系數可表示為：單縫的復振幅透過系數可表示為： 1,0T 0,2a其他 或或 0Trecta透過衍射物體的光波的復振幅為：透過衍射物體的光波的復振幅為： 0ABTrecta傅立葉變換的縮放定理傅立葉變換的縮放定理 設函數設函數第 四 章

36、光的衍射 ( )F1exp2f axjx dxFaa( )f x的傅立葉變換為的傅立葉變換為a為不等于零的任意實常數，則有：為不等于零的任意實常數，則有：矩形函數的傅立葉變換矩形函數的傅立葉變換 ： 000exp2exp2sina fAjfdrectjfdac a fa衍射圖形的輻照度為：衍射圖形的輻照度為：第 四 章 光的衍射 2200( , )expsin2aa xxyyE x yjkfcjffff22200022( , )sin0,0 sinaa xa xyyL x ycLcfffffyf表示衍射圖樣只存在于表示衍射圖樣只存在于y=0處，即處，即x軸上，軸上，可省略。可省略。 若用傾斜平

37、面波照明，衍射圖形的分布形式不改若用傾斜平面波照明，衍射圖形的分布形式不改變，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共變，中央亮斑的中心位置平移到了照明光源的共軛像點的位置。軛像點的位置。 代入夫瑯和費衍射公式，得到單縫的夫瑯和費衍代入夫瑯和費衍射公式，得到單縫的夫瑯和費衍射的復振幅分布為：射的復振幅分布為： 單縫衍射圖形的特點單縫衍射圖形的特點我們采用菲涅爾子波疊加的原理來介紹。我們采用菲涅爾子波疊加的原理來介紹。 第 四 章 光的衍射 子波元的面積為子波元的面積為dsbd 設設ds為距單縫中心為為距單縫中心為的面元，的面元，到到P點的光程為點的光程為r，中心處的面元，中心處的面元到到P點的光

38、程為點的光程為r0，則這兩支光，則這兩支光的光程之差為：的光程之差為： 0sin,rrr 代入到基爾霍夫衍射公式中：代入到基爾霍夫衍射公式中：其中，其中，第 四 章 光的衍射 exp( , ),jkrE x yAd dr 00111.rrrr00().ik rrikrikrik reeee 可以得到：可以得到：000sinsin,.sinaE x yCaa其中，其中，C為復常數為復常數 221exp2xyCjkfjff衍射角不是很大的情況下衍射角不是很大的情況下，sintan/x f 單縫衍射圖形的分布由單縫衍射圖形的分布由sinc函數決定。函數決定。 稱為單縫衍射因子。稱為單縫衍射因子。 第

39、 四 章 光的衍射 00000sin,sinaxa xfE x yCaCacaxff22000sinsin/a xa xa xcfff（1）單色光照明的衍射輻照度分布）單色光照明的衍射輻照度分布 對應光強中央主極大值對應光強中央主極大值(亮條紋亮條紋)；所以在屏幕；所以在屏幕中央，各光束同相位，相干疊加后產生極大光強，中央，各光束同相位，相干疊加后產生極大光強，所以這個零級衍射斑中心就是幾何光學像點。所以這個零級衍射斑中心就是幾何光學像點。 第 四 章 光的衍射 02000sinsinlim sin/1aa0/,a xfmsin0m 對應衍射極小值即暗條紋。暗條紋的位置是：對應衍射極小值即暗條

40、紋。暗條紋的位置是：00/,m fa xfmxa因為因為m=1，2，第 四 章 光的衍射 sintan/x f0sinam11002sin (), sin (),aa衍射極小對應的衍射角為：衍射極小對應的衍射角為：可表示為：可表示為：002,aa 各極小近似等間距。各極小近似等間距。 兩個衍射極小之間，有一個衍射次極大。兩個衍射極小之間，有一個衍射次極大。 0/a xf 設：設：,0dL x ydtg的位置就是各級衍射的位置就是各級衍射次極大的位置。解這次極大的位置。解這個方程，得到：個方程，得到：為超越方程為超越方程,只能圖解。只能圖解。第 四 章 光的衍射 作圖求解作圖求解2243. 14

41、3. 1ytgy輻照度曲線輻照度曲線00 . 15 . 0223(0,0)L L0y相鄰兩暗紋的角寬度為：相鄰兩暗紋的角寬度為： 在中央亮斑內，集中了單縫衍射的絕大部分能量，在中央亮斑內，集中了單縫衍射的絕大部分能量，它的角寬度是相鄰兩暗紋角寬度的兩倍：它的角寬度是相鄰兩暗紋角寬度的兩倍：第 四 章 光的衍射 00cosaa02 /a線寬度為：線寬度為：02/wfa由此可見，當由此可見，當一定時，一定時，0a小，則大，衍射現象顯著。大，衍射現象顯著。 中央亮斑的大小與波長成正比，波長越長，衍中央亮斑的大小與波長成正比，波長越長，衍射效應越明顯，所以可以說幾何光學是波動光學射效應越明顯，所以可以

42、說幾何光學是波動光學當當0時的極限情況。時的極限情況。 點光源照射時的夫瑯和費單縫衍射圖形點光源照射時的夫瑯和費單縫衍射圖形 線光源照射時的夫瑯和費單縫衍射圖形。線光源照射時的夫瑯和費單縫衍射圖形。 此時的衍射條紋是線光源上各個不相干點光源產生的衍此時的衍射條紋是線光源上各個不相干點光源產生的衍射圖樣的總和。射圖樣的總和。 第 四 章 光的衍射 相對復振幅和輻照度分布相對復振幅和輻照度分布第 四 章 光的衍射 (2) 白光照明：白光照明時，衍射條紋除中央極白光照明：白光照明時，衍射條紋除中央極大由于大由于m=0而與波長無關，即各波長的中央極大而與波長無關，即各波長的中央極大都集中在一起，從而形

43、成白色亮紋外，其余各條都集中在一起，從而形成白色亮紋外，其余各條紋都將呈現出彩色，由內向外的顏色依次是由紫紋都將呈現出彩色，由內向外的顏色依次是由紫到紅。到紅。 第 四 章 光的衍射 二、矩孔的夫朗和費衍射二、矩孔的夫朗和費衍射 矩形孔徑的復振幅透射系數可以用二維矩形函矩形孔徑的復振幅透射系數可以用二維矩形函數表示：數表示： 第 四 章 光的衍射 00Trectrectab它的傅立葉變換為：它的傅立葉變換為： 0 000000 0,sinsinsinsina ffa bc a fc ba xb ya bccff 矩孔的夫瑯和費衍射的復振幅分布和輻照度分布：矩孔的夫瑯和費衍射的復振幅分布和輻照度

44、分布： 第 四 章 光的衍射 220 000( , )expsinsin2a ba xb yxyE x yjkfccjffff22220000222200( , )sinsin0,0 sinsina ba xb yL x yccfffa xb yLccff 中央亮斑集中了絕大部分光能，其寬度與單縫中央亮斑集中了絕大部分光能，其寬度與單縫衍射時相似，為：衍射時相似，為： 第 四 章 光的衍射 02/xwfa02/ywfb 三、圓孔的夫瑯和費衍射三、圓孔的夫瑯和費衍射 由于大多數光學儀器都是圓形光瞳，所以最有由于大多數光學儀器都是圓形光瞳，所以最有實際意義的是圓孔的夫朗和費衍射。實際意義的是圓孔的

45、夫朗和費衍射。 極坐標系中的傅立葉變換公式可由直角坐標系極坐標系中的傅立葉變換公式可由直角坐標系中的傅立葉變換公式直接導出。中的傅立葉變換公式直接導出。 第 四 章 光的衍射 cossin22tan/ 對空間坐標來說：對空間坐標來說： 觀察平面上觀察平面上空間頻率坐標空間頻率坐標第 四 章 光的衍射 cossinxryr22tan/rxyy xcossinffuffu22tan/fffuff 代入到直角坐標系的二維傅立葉變換和傅立葉代入到直角坐標系的二維傅立葉變換和傅立葉逆變換公式逆變換公式 第 四 章 光的衍射 200,exp2cosa fuAjfud d 200,exp2cosAa fuj

46、fuf df du 由于是圓對稱的，復振幅的分布于由于是圓對稱的，復振幅的分布于無關，無關，則傅立葉積分可以簡化為單重積分形式則傅立葉積分可以簡化為單重積分形式傅立葉傅立葉貝塞爾變換貝塞爾變換 第 四 章 光的衍射 20000exp2cos22a fAjfuddAJfd 0022Af a fJfdf將圓孔函數表示為：將圓孔函數表示為： /ATcirc 它的傅立葉變換為：它的傅立葉變換為：010()2(2)2a fJfdJff 圓孔的夫瑯和費衍射的復振幅和輻照度分布：圓孔的夫瑯和費衍射的復振幅和輻照度分布：第 四 章 光的衍射 21122exp2222exp22KrfrE rjkfJffrfrJ

47、fKrjkfffrf 22112222222022rrJJffKKL rLfrrff令令衍射圖樣衍射圖樣 第 四 章 光的衍射 2/2sin/rf 2120JLL衍射圖樣的極值特性：衍射圖樣的極值特性： 在在=0時，即對于軸上點時，即對于軸上點P0，即為中央極大值；當，即為中央極大值；當滿足滿足J1()=0時，光強度為時，光強度為0，有極小值，也就是暗紋。，有極小值，也就是暗紋。此外，在相鄰兩個極小之間，有一個衍射次極大。此外，在相鄰兩個極小之間，有一個衍射次極大。光的能量主要是集中在中央亮斑內，這一亮斑通常稱光的能量主要是集中在中央亮斑內，這一亮斑通常稱為愛里斑。為愛里斑。愛里斑的半徑由第一

48、光強極小值處的愛里斑的半徑由第一光強極小值處的值決定值決定 。為衍射角為衍射角以角半徑來表示：以角半徑來表示： 式中，式中，S為圓孔面積，可見，圓孔面積越小，為圓孔面積，可見，圓孔面積越小，愛里斑面積越大，衍射現象就越明顯。愛里斑面積越大，衍射現象就越明顯。第 四 章 光的衍射 /0.61 /AArf 愛里斑的面積為：愛里斑的面積為：20(0.61) /SfS3.830.612Affr( )/ (0)LL0 . 10sin0.611.12夫瑯和費圓孔衍射輻夫瑯和費圓孔衍射輻照度分布曲線照度分布曲線sin( )/ (0)LL中央主極大中央主極大第一極小第一極小第一次極大第一次極大第二極小第二極小

49、00.61 /0.81 / 1.12 /10.017500第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 四、光學成像系統的分辨本領四、光學成像系統的分辨本領 光學成像系統對點物所成的像實際上就是系統對光學成像系統對點物所成的像實際上就是系統對這個點物在像面上形成的夫瑯和費衍射圖樣，也這個點物在像面上形成的夫瑯和費衍射圖樣，也可以說，點物經成像系統所成的像就是它經系統可以說，點物經成像系統所成的像就是它經系統衍射后產生的衍射圖樣。衍射孔徑顯然就是系統衍射后產生的衍射圖樣。衍射孔徑顯然就是系統的孔徑，也就是限制了成像光束的孔徑光闌。因的孔徑，也就是限制了成像光束的孔徑光闌。因為光學系統的孔徑幾乎都是

50、圓形的，所以形成的為光學系統的孔徑幾乎都是圓形的，所以形成的衍射圖樣都是夫瑯和費圓孔衍射的圖樣。衍射圖樣都是夫瑯和費圓孔衍射的圖樣。 光學系統由于孔徑的衍射作用，將使分辨率受到光學系統由于孔徑的衍射作用，將使分辨率受到一定的限制。所謂分辨率，指的是光學系統能分一定的限制。所謂分辨率，指的是光學系統能分辨開兩個靠近的點物或物體細節的能力，它是光辨開兩個靠近的點物或物體細節的能力，它是光學成像系統的重要性能指標。學成像系統的重要性能指標。 1瑞利判據瑞利判據 當當S1、S2之間之間的距的距離不同時，得到的衍離不同時，得到的衍射像的情況也有所不射像的情況也有所不同，我們來看下面這同，我們來看下面這三

51、種情三種情況。況。 第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 兩物點的衍射光斑，若其中一個的中央兩物點的衍射光斑，若其中一個的中央極大，恰與另一個的第一極小相重，則極大，恰與另一個的第一極小相重，則認為這兩物點恰可分辨認為這兩物點恰可分辨. .瑞利判據：瑞利判據：B這種情況下，兩衍射圖樣的中心的光強度約為中這種情況下，兩衍射圖樣的中心的光強度約為中央極大的央極大的82%82%以上，這可由兩個衍射圖樣的光強曲以上，這可由兩個衍射圖樣的光強曲線簡單相加得到線簡單相加得到. .大多數人的視覺可以分辨出大多數人的視覺可以分辨出. .A33. 1 n(1) (1) 人眼的分辨本領人眼的分辨本領BBAA

52、0 . 1nA,B A,B 是兩物點，近軸情況下是兩物點，近軸情況下 sin = .sin = .由折射定律由折射定律, nn. n由瑞利判據由瑞利判據, ,若若ABAB恰可分辨恰可分辨, ,則的中央極大則的中央極大與與B B的第一極小恰相重疊的第一極小恰相重疊3.3.光學儀器的分辨本領光學儀器的分辨本領33. 1 n2.2.人眼的分辨本領人眼的分辨本領BBAA0 . 1nA,B A,B 是兩物點，近軸情況下是兩物點，近軸情況下 sin = .sin = .由折射定律由折射定律, nn. n由瑞利判據由瑞利判據, ,若若ABAB恰可分辨恰可分辨, ,則的中央極大則的中央極大與與B B的第一極小

53、恰相重疊的第一極小恰相重疊第 四 章 光的衍射 第 四 章 光的衍射 眼內最小可分辨角眼內最小可分辨角,22. 1dn,22. 1dn人眼的分辨本領由眼外最小可分辨角量度人眼的分辨本領由眼外最小可分辨角量度. ., n.22. 1d眼外最小分辨角眼外最小分辨角式中式中d d為瞳孔直徑，為瞳孔直徑， 為光在眼內波長為光在眼內波長, ,/nn第 四 章 光的衍射 人眼瞳孔直徑人眼瞳孔直徑: :2 8,dmm 若取若取 d=2.5d=2.5毫米，毫米， =550 nm=550 nm，則人眼，則人眼最小分辨角為最小分辨角為1 1 若物體距離人眼太遠若物體距離人眼太遠, ,或物體太小或物體太小, ,則對

54、人則對人眼的張角小于眼的張角小于1 1角分角分, , 以至于眼睛不能分辨以至于眼睛不能分辨. .解決前一種情況用望遠鏡解決前一種情況用望遠鏡, , 解決后一種情況解決后一種情況用顯微鏡用顯微鏡. . 望遠鏡和顯微鏡的作用望遠鏡和顯微鏡的作用, ,是把被自己分辨的是把被自己分辨的物體再放大物體再放大, ,使其對眼睛的張角大于使其對眼睛的張角大于1 1 . .3望遠物鏡的分辨本領望遠物鏡的分辨本領 設設望遠物鏡的有效通光孔徑的直徑為望遠物鏡的有效通光孔徑的直徑為D，焦距，焦距為為f，光波長為，光波長為，則它對遠處物點所成的像的愛則它對遠處物點所成的像的愛里斑的角半徑為：里斑的角半徑為： 第 四 章

55、 光的衍射 1.22 /AD 根據瑞利判據，根據瑞利判據，可得到望遠物鏡可得到望遠物鏡的最小分辨角為：的最小分辨角為： 0.61 /A 4照相物鏡的分辨本領照相物鏡的分辨本領 和焦距相比，照相物鏡要成像的物體是較遠的，和焦距相比，照相物鏡要成像的物體是較遠的，其像面即感光膠片所在的位置大約就是焦面的位置。其像面即感光膠片所在的位置大約就是焦面的位置。若照相物鏡的孔徑為若照相物鏡的孔徑為D，焦距為，焦距為f，則它的分辨率，則它的分辨率N通常用最靠近的兩直線在感光膠片上的距離通常用最靠近的兩直線在感光膠片上的距離第 四 章 光的衍射 x的倒數來定義。的倒數來定義。 1.22/xfD則則N為：為：1

56、/1.22NxDf若取若取=550nm，則，則N又可表示為：又可表示為：1490/NDf 式中，式中，D/f是是物鏡的相對孔徑。由上式可見，照相物鏡的相對孔徑。由上式可見，照相物鏡的相對孔徑越大，其分辨率越高。物鏡的相對孔徑越大，其分辨率越高。 當然，對于照相系統來說，限制系統的分辨本領當然，對于照相系統來說，限制系統的分辨本領的除了物鏡的分辨率以外，還有感光膠片的分辨的除了物鏡的分辨率以外，還有感光膠片的分辨率。為了充分利用物鏡的分辨率，就要選擇分辨率。為了充分利用物鏡的分辨率，就要選擇分辨率比物鏡高的感光膠片率比物鏡高的感光膠片 。第 四 章 光的衍射 5顯微鏡的分辨本領顯微鏡的分辨本領

57、限制系統成像孔徑大小的是物鏡的邊框，所以，限制系統成像孔徑大小的是物鏡的邊框，所以，物鏡框即限制了顯微鏡的分辨本領。物鏡框即限制了顯微鏡的分辨本領。 設顯微物鏡孔徑光闌的直徑為設顯微物鏡孔徑光闌的直徑為D，則其衍射像的，則其衍射像的愛里斑的半徑為：愛里斑的半徑為： 第 四 章 光的衍射 1.22/ArlD 這時兩物點之間這時兩物點之間的距離的距離就是物鏡所就是物鏡所能分辨的最小距離。能分辨的最小距離。 阿貝成像條件阿貝成像條件 nsinu稱為物鏡的數值孔徑，通常以稱為物鏡的數值孔徑，通常以NA表示。表示。 第 四 章 光的衍射 sinsinnunu 在在l D時，時，sinu 近似地可表示為：

58、近似地可表示為：sin/2uuDlsin0.610.61sinsinununuNA 五、特殊物體的夫瑯和費衍射五、特殊物體的夫瑯和費衍射1屏的衍射屏的衍射巴比內原理巴比內原理 一個屏的開孔部分正好與另一個屏的開孔部分正好與另一個屏的不透明部分相對應，一個屏的不透明部分相對應，稱為互補屏。稱為互補屏。它們的復振幅透過系數滿足：它們的復振幅透過系數滿足： 巴比內原理：兩個互補屏在衍射場中某點單獨巴比內原理：兩個互補屏在衍射場中某點單獨產生的光場復振幅之和等于無衍射屏、光波自由產生的光場復振幅之和等于無衍射屏、光波自由傳播時在該點產生的光場復振幅。傳播時在該點產生的光場復振幅。第 四 章 光的衍射

59、( , )( , )1TT ( )( )( )EPEPEP( )EP( )EP( )EP當光波不受限制時，考察點當光波不受限制時，考察點P處的復振幅為處的復振幅為則有：則有：分別表示分別表示、單獨放在光源和觀察屏之單獨放在光源和觀察屏之間時，觀察屏上間時，觀察屏上P點處的光場復振幅。點處的光場復振幅。 (4.103) 在夫瑯和費衍射平面上，除了透鏡后焦面的中心在夫瑯和費衍射平面上，除了透鏡后焦面的中心F點以外，恒有：點以外，恒有： 第 四 章 光的衍射 對于夫瑯和費衍射，對對于夫瑯和費衍射，對(4.103)式的兩邊作傅立葉變換，式的兩邊作傅立葉變換，可以得到：可以得到：( )( )( , )E

60、PEPx y( )( )EPEP ( )( )LPLP 衍射孔衍射孔和它的互補屏和它的互補屏的夫瑯和費衍射，在除了的夫瑯和費衍射，在除了衍射考察平面中心點之外的一切考察點上，復振幅的衍射考察平面中心點之外的一切考察點上，復振幅的位相相差位相相差，輻照度則完全相同。，輻照度則完全相同。 2隨機顆粒的夫瑯和費衍射隨機顆粒的夫瑯和費衍射 應用巴比內原理，還可以測量散射小顆粒或細應用巴比內原理，還可以測量散射小顆粒或細絲的直徑的大小。絲的直徑的大小。 第 四 章 光的衍射 3直邊的夫瑯和費衍射直邊的夫瑯和費衍射直邊半無限平面的復振幅透射系數可表示為階躍函數。直邊半無限平面的復振幅透射系數可表示為階躍函