1、第2課時正弦定理考點學習目標核心素養正弦定理通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法邏輯推理研犢導學索苗 問題導學預習教材P45 P48的內容，思考以下問題：1 .在直角三角形中，邊與角之間的關系是什么?2 .正弦定理的內容是什么？1 .正弦定理條件在ABC4角A, B, C所對的邊分別為a, b, c結論abc-sin A sin B sin C文子敘述在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等名師點撥對正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式.(3)揭示規律：正弦定理指出的

2、是三角形中三條邊與其對應角的正弦之間的一個關系式, 它描述了三角形中邊與角的一種數量關系.2.正弦定理的變形若R為 AB&卜接圓的半徑，則(1) a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2RSin C;(2)sinA= 2R, sin B=, sin C= 2R;(3)sinA ： sin B - sin C= a ： b ： c；a+b+c-(4) T T ：7s= 2R.sin A+ sin B+ sin C判斷(正確的打“,錯誤的打“x”)(1)正弦定理不適用于直角三角形.()(2)在 ABC3必有 asin A= bsin B.()在ABC 若 a>b,則必有 s

3、in A>sin B.()(4)在ABC 若 sin A= sin B,則必'有 A= B.()答案：(1) X (2) X (3) V (4) V在ABC中,a=3, b=5, sin A= 1,貝U sin B=()3巳5D.1解析：選B.因為a=3, b=5,1sin A=%所以由正弦定理得3sin1bsin A 5X 3 5B= 丁=&在ABC4角A,B,C所對的邊分別是a,b, c,若A=105。，B= 45。，b=2A/2,則c=()2A.-B.1C. 2D.2解析：選D.由三角形內角和定理得，C= 180° (A+ B) = 180° -

4、 (105 ° +45° )=30° .由正弦定理得，bsin C 2啦 sin 30 °c sin B sin 45 °-2，sin A cos B在ABM 若二-=丁, 則 BBW» sin A sin B .解析：根據正弦定理知， ,結合已知條件可得 sin B= cos B,又0VB<a b180° ,所以 B= 45答案：45解惑探究突破已知兩角及一邊解三角形在 ABC中，已知c=10, A= 45° , C= 30° ,解這個三角形.【解】因為 A= 45° , C= 30&#

5、176; ,所以 B= 180° (A+。= 105a c -由 sin A= sin C= a=csinAsin 45=10Xsin C sin 30=10 2.因為sin 75=sin(30+ 45° ) = sin 30cos 45+ cos 30sin 45所以b=csin B 10 x sin (A+ C)sin Csin 30= 20x 也要6= 52+5季.已知三角形的兩角和任一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內角和定 理求出第三個角.(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內角和定理求出第三個角，再

6、由正弦定理 求另外兩邊.1 .在ABC4 已知 a=8, B= 60° , C= 75° ,則 b=()A. 4 2B. 4 332C. 4 6D.°一 0, r、- 一 a b asin B 8sin 60解析：選 C.A= 180。- B- C= 45。，由正弦定理一一-="-3得 b=-一- = -sin A sin B sin A sin 45=4,：; 6.一_ 12.在ABC3, A= 60 , sin B= 2, a=3,求三角形中其他邊與角的大小.一- -1斛：因為sin B= 2,所以B= 30°或150° ,當B=

7、 30°時，由 A= 60°得C= 90° ;當B= 150°時，不合題意，舍去.所以由正弦定理b c asin B sin C sin Asin Bsin Asin 30 a=sin 60sin Cx 3 = v3, c=- . asin Asin 90sin 60x 3=2 3.已知兩邊及其中一邊的對角解三角形已知 ABC的下列條件，解三角形:(1) a= 10, b= 20, A= 60° ;(2) a=2, c=m，Oy.-15 -.b a【解】因為曰=前F，所以sinB=bsin20sin 601q-= 01,所以三角形無解.a c(

8、2)因為E所以sinasin C 2A= tr.c 2因為c>a,所以C>A所以A=-4. ,5兀所以B=記，b =季. sin駕csin B12sin C- 兀sin 3變條件若本例(2)中C=。改為A=。，其他條件不變，求 C, B, b . 34解：因為sin A sincsin A 3C= ca 2所以c=-3"或3.,_ 兀-5兀當。=3時，B=312asin B b =sin A73 + 1.年時，B=A，312asin B -b=gnK m1.即倒法國(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；如果已知的角為大邊所對的角

9、時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角；如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值 可求兩個角，要分類討論.(2)已知兩邊及其中一邊的對角判斷三角形解的個數的方法應用三角形中大邊對大角的性質以及正弦函數的值域判斷解的個數；在 ABC中，已知a, b和A,以點C為圓心，以邊長 a為半徑畫弧，此弧與除去頂點 A 的射線AB的公共點的個數即為三角形解的個數，解的個數見下表：A為鈍角A為直角A為銳角a>b一解一解一解a= b無解無解一解a<b無解無解a>bsin A兩解a= bsin A一解a<bs

10、in A無解 .11 . （2019 廣東省揭陽市檢測）在ABC,cosA=2,a=4j3,b=4*,則B等于（）A. 45 或 135°B. 135°C. 45°D. 60°解析：選 C.由 cos A=得 sin A=H, A= 60 ,由正弦定理得 sin B= = -r.22a 2因為三角形的內角和為180° ,且a>b,所以B= 45° .2 .已知在 ABC, a=x, b = 2, B= 45° ,若三角形有兩解，則 x的取值范圍是（）A. x>2B. x<2C. 2<x<2 2D

11、. 2<x<2 3解析：選CM asin B<b<a,得乎x<29，所以2Vx<242.判斷三角形的形狀已知在 ABC中，角A,B所對的邊分別是a和b,若acosB=bcosA,則ABC一定是()A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得：acosB= bcosA?sinAcosB= sinBcosA?sin( A E)=0,由于一兀A- B兀，故必有 A- B= 0, A= B,即 ABE等腰三角形.【答案】 A變條件若把本例條件變為“ bsin B= csin C”，試判斷 ABCW形狀.解：由bsin B= csi

12、n C可得sin 2B= sin 2C,因為三角形內角和為180° ,所以sin B= sin C.所以B= C故 ABC等腰三角形.即國法國判斷三角形形狀的兩種途徑注意在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以3.cos A cos B cos C免漏解.已知a, b, c分別是 ABC勺內角A B, C所對的邊，滿足 ABC勺形斗犬是()B.直角三角形D.等腰直角三角形A.等腰三角形C.等邊三角形解析：選C.由正弦定理得，二3二 3.sin A sin B sin Ccos A cos B cos Csin Acos AB= tan C,所以A= B=

13、C,即ABC等邊三角形.sin B sin C=入即 tan A= tancos B cos C驗證反情達標1 . (2019 遼寧沈陽鐵路實驗中學期中考試)在4ABC中，AB= 2, AC= 3, B= 60。，則cos C=(解析：選AB ACB.由正弦定理，得口= sn后即sin C sin 60,解得sin C= -3.因為AB< AC所以C< B,所以 cos C=1 sin 2C= -3-.2 .在 ABC中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c,且 A： B： C= 1 ： 2 ： 3,則 a ： b ： c=()A. 1 ： 2 ： 3B, 3 ： 2

14、： 1C. 2 ： 5 ： 1D. 1 ： 3 ： 2解析：選 D.在ABCh,因為 A： B：C= 1： 2 ： 3,所以 B= 2A, C= 3A,又 A+B+ C= 180°,所以 A= 30° , B= 60° , C= 90° ,所以 a： b ：c=sinA： sin B： sin C= sin 30°: sin 60°:sin 90 ° = 1 ：小：2.3.在ABC43,角 A, B, C的對邊分別是 a, b, c,若 c-acos B= (2 a- b)cos A,則4 ABC 的形狀是()A.等腰三角形

15、B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：選 D.已知 c acosB=(2 ab)cosA,由正弦定理得sinCsinAcosB= 2sinAcosA sinBcos A,所以 sin(A+ E) sinAcos B= 2sinAcos A sin BcosA,化簡得 cos A(sinB-sinA) =0,所以 cosA= 0 或 sinB-sin A= 0,則 A= 90° 或 A=B,故 ABC為等腰三角形或直角三角形.強化培優通關A基礎達標1 .在ABC 一定成立的式子是 （A. asinA= bsinBB.acosA= bcos BC. asinB=

16、 bsin AD.acosB= bcos A解析：選C.由正弦定理sin A sinB sin Casin B= bsinA2.在ABC4 若而a=2bsin A,則 B=()A 兀A. 了B.fC.f-2f解析：選C.由正弦定理，得 73sinA= 2sinBsinA,所以sinA2sinB J3)=0.因為0VA< 兀，0VB< 兀，所以 sin Aw 0, sinJ3 Li,兀 32 兀B=,所以 B=-7或二2333. （2019 濟南檢測）已知a,b,c分別是ABC的三個內角A B,C所對的邊，若A=60 , c=6, a=6,則此三角形有A.兩解B.一解C.無解D.無窮

17、多解解析：選B.由等邊對等角可得由三角形的內角和可得B= 60。，所以此三角形為正三角形，有唯一解.4.在ABC 若 c=® C= 60° ,則a+ b+ c：=(sinA+ sinB+ sin CA. 6C. 2B. 2 3D. . 3解析：選C.利用正弦定理的推論，得a+ b+ csin A+ sinB+ sin Csin C sin 60=2.5.在ABC3,已知 a2tan B= b2tan A,則 ABCW形狀是A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析：選D.將a=2Rsin A b= 2Rsin B（R為 AB。卜接圓的半徑）代入

18、已知條件,得 sin 2AtanB= sin 2Btan A,則sin 2AsinB sinAsin 2Bcos Bcos Asin A sin B 因為sin MnBw 0,所以右7r R,所以 sin 2 A= sin 2 B,所以 2A= 2B 或 2A=兀-2B,一 一 .兀 ,所以A= B或A+ B=n,故 ABC等腰三角形或直角三角形.，一16 .在ABC3,若a=3, cos A= 2,則 ABC勺外接圓白半徑為 .解析：由cos A= 2,得sin A= 11cos2A=*,設 ABC的外接圓的半徑為 R,由正弦定理，有2R= -=2J3,即 ABC勺外接圓的半徑為 J3. s

19、in A答案：37 .在ABC4角A,B,C的對邊分別為a, b,c,若a=3,B= 2A,cosA=*，則 b解析：因為cos A=,所以 sinA=因為 B= 2A,3所以 sin B= sin 2A= 2sin Acos2 2 b a -，A= 3 '又 sin B= sin A 所以 b=2V6.答案：2 68 .在ABC 若 B="4，b=/2a,則 C=解析：在 ABC中,由正弦定理3 = 3.sin A sin Ba sin.兀一J2 sin 一42=2a,所以 sin A=2,所以A*或.因為b= 2a>a,所以B>A,即Av：,一一. 兀 一一.

20、兀 兀 7所以 A=所以 c=兀-a-B=-y-T=答案：12兀9 . （2019 浙江溫州月考）在AABC, A= 30° , C= 45° , c =，2,求 a, b及 cos B解：因為 A= 30 , C= 45 , c=42,一 一、m csin A J2sin 30 °所以由正弦7E理，倚a= r-c=- 45 °=1.sin ka/ sin45又 B= 180° - (30 ° +45° ) = 105所以 cos B= cos 105 ° = cos(45 ° + 60°csi

21、n B 2sin 105sin C sin 452sin 105 ° =2sin(45。+60° )10 .如圖所示， AB± BC CD= 33, /ACB= 30 , / BCD= 75 , / BDC= 45 ,求 AB 的解：在BCDP,/DBC= 180° 75° 45° = 60° ,由正弦定理知,33BCsin 60 ° sin 45可得 BC= 116,在 RtA ABC3, AB= BCan / ACB=11，6 x tan 30 ° = 11 平3:1，則三角形的最大角為B 能力提升1

22、1 .在 ABO43,已知B= 60° ,最大邊與最小邊的比為B. 75A. 60°C. 90°D. 115解析：選B.不妨設a為最大邊,c為最小邊,由題意有（=黑="學,即 0n（：的）、，整理，得（3 J3）sin A= （3+，3）cos A 所以 tan 所以A= 75° ,故選B.12 .在ABC角 A,B,C的對邊分別為a,b, c,已知 bcosC+由bsinC-a-c=0,則角B=.解析：由正弦定理知，sin Bcos C+ . 3sin Bsin C sin A sin C= 0.(*)因為 sin A= sin( B+ C)

23、= sin Bcos C+ cos Bsin C,代入(*)式得 q3sin Bsin C cos Bsin C sin C= 0.因為 sin C>0,所以 3sin B- cos B- 1 = 0,所以所后一城 、r1,即sinB-6 > 2.一_ 兀因為BC (0 ,兀)，所以B=.313.在ABCf, a, b, c分別為角 A B, C的對邊,(A+。AsinCB=t，若 a2+c2=4ac,貝丹- 3sin無力al l、， a2 + c2 b2+ 2accos B解析：因為 一=二:acac=4, B= 2, 33所以 b = 5ac.由正弦te理得 sin B= 5sin Asin C= 4,3-所以sin Asin C=云，所以sin (A+ Osin AsinC- sinAsinC_314 .已知 ABC中角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,且acos C+ *c= b.(1)求角A的大小;(2)若 a= 1, b=，3,求 c 的值.3,斛：由 acos C+ q-c=b,3 .得 sin Acos C+ sin C= sin B.因為 sin B= sin( A+ C) = sin Acos C+ cos Asin C, .