1、一九九八年全國初中數學聯合競賽試題第一試一、填空題1.設 m=J5+1,那么 m+2的整數部分是.m2 .在直角三角形ABC中，兩條直角邊AB,AC的長分別為1厘米,2厘米，那么直角的角平分線的長度等于厘米.3 .已知 x3x1=0，那么代數式 x3-2x+1 的值是.4.已知 m,n 是有理數，并且方程 x2+mx+n=0 有一個根是 V5-2,那么m+n的值是5 .如圖，ABCD為正方形，A,E,F,G在同一條直線上，并且AE=5厘米，EF=3厘6 .滿足19982+m2=19972+n2(0mn1998)的整數對(m,n),共有個.7 .設平方數 y2是11個相繼整數的平方和，則y的最小

2、值是.8.直角三角形ABC中,直角邊AB上有一點M,斜邊BC上有一點P,已知MP_LBC,ABMP 的面積等于四邊形MPCA的面積的一半，BP=2厘米，PC=3厘米,9.已知正方形ABCD的面積35平方厘米，E,F分別為邊AB,BC上的點，AF,CE相交于點G,并且MBF的面積為5平方厘米QBCE的面積為14平方厘米，那么四米，那么FG=厘米.那么直角三角形ABC的面積是千方厘米.邊形BEGF的面積是平方厘米.10.把100個蘋果分給若干個人，每人至少分一個，且每人分的數目各不相同，那么至多有人.11.設(a,b)為實數，那么 a2+ab+b2-a-2b 的最小值是.12 .1,2,3,98共

3、98個自然數中，能夠表示成兩整數的平方差的個數是.13.在右邊的加法算式中，每一個表示一個數字，任意兩個數字都不相同，那么A與B乘積的最大值是.14.直線AB和AC與圓O分別為相切于B,C兩點，P為圓上一點，PUAB,AC的距離分別為4厘米,6厘米，那么P到BC的距離為厘米.15 .每一本書都有一個國際書號：ABCDEFGHIJ,其中ABCDEFGHI由九個數字排列而成，J是檢查號碼.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r是S除以11所得的余數，若r不等于0或1,則規定J=11-r.(若r=0,則規定J=0;若r=1,規定J用 x 表示)現有一本書的書號是962y70

4、7015，那么y=.第二試1.求所有正實數 a,使得方程 x3-ax+4a=0 僅有整數根.2 .已知P為？ABCD內一點,O為AC與BD的交點，M、N分別為PB,PC的中點，Q為AN與DM的交點，求證：(1)P,Q,O三點在一條直線上；(2)PQ=2OQ.3.試寫出5個自然數，使得其中任意兩個數中的較大的一個數可以被這兩個數的差整除.153十一=一45十一,im十m44如圖，AD為直角A的平分線，過B作BEDA交CA的延長線于點E./EBA=/BAD=45:AEFG=-EF=16(厘米).1.31m=g5+1,一九九八年.5-1m,511:3.AE=AB=1,又ACD所ACBE,ADAC2E

5、BCE222AD=EB=3.-2x1=(x3x2-x)(x2-x-1)2二 x(x2-x-1)(x2-x-1)2=24.因為m、n 為有理數，方程一根為 75-2,那么另一個根為-2,由韋達定理.5.=4,16由原圖AEBEEGEFFGEFEDAEAE，一 EFBDA3又由已知a+b+c=5,b+c+d=14,解之得28100b=一,c=.2727SBEGF=b+C=學 8=420(平方厘米).10.13由題意，設有n人，分蘋果數分別為1,2,，nn2-m2=3995=5x17x47,(nm)(nm)=51747.顯然，對3995的任意整數分拆均可得到(m,n),故滿足條件的整數對(m,n)共

6、2父2父2父2=16(個).7.1111個相繼整數的平方和為,_、2,、22,、2,_、2(x-5)-(x-4)k-工 x(x4)(x5)22=11(x10)=N,則y最小時，從而 x2=1,y=11.8.屈MBPsACBA,SIBP:SBA=1:3,BP:BA=1:3,BA=2V3,AC=V13.6.16S.ABC=-2V3,斤=J3929.42027生一 1 1 配_2 2BCS.ABC7由原圖，連BG.t己S&GE=a，S&GB同理 BE,BA5二 b，S4GF=c，S作Gc=d.n(n1)1+2+3+n=-100,2丁n013,所以至多有13人.11. -1a2二ab二

7、b2-a-2b=a2(b-1)ab2-2bb-1232=（a+）十一（b1）1.24、r,b-1當a+=0,b1=0,2即a=0,b=1時，上式不等式中等號成立，故所求最小值為12. 7322x=nm=(nm)(n-m)（1mn98m,n為整數）因為n+m與n-m同奇同偶，所以x是奇數或是4的倍數，所以1至98共98個自然數中，滿足條件的數有49+24=73個.13. 15設算式a顯然：g=1,d=9,h=0.bca+c+f=10+B_+def_b+e=9+AghABA6.2(AB)19=2345678=35.AB=8.欲令A-B最大，取A=5,B=3,止匕時b,e為6,8;a,c,f為2,4

8、,7,故AB最大值為15.14.2 而如圖，PM-LAB,PNLAC,PQ_LBC.P,Q,C,N四點共圓，P,Q,B,N四點共圓，/MPQ=1800/MBQ=/180/NCQ=2NPQ,-(a口鼻224-1.MPQsAQPN,MPPQ=，PQNPPQ=JMPNP=2厘米).15. 7S=9106928y77605740312丁S被11除所得的余數等于 7y+1 被11除所得的余數.由檢查號碼可知，S被11除所得的余數是11-5=6,因此7y被11除所得余數為6-1=5,.y=7第二試一、設兩整數根為x,y(x0,Uy=4a02a=,由于 x 為整數,x-4x=5時，a=25,y=20；x=6

9、時，a=18,y=12；x=7時，a不是整數；x=8時，a=16,y=8.于是a=25或18或16均為所求.說明沒有說明理由，僅指出a的每一個正確值給4分.二、證明如原圖，連PO,設PO與AN,DM分別交于點 Q,Q.在APAC中，vAO=OC,PN=NC,Q為重心，PQ=2OQ在APDB中，=DO=BO,BM=MP,.Q為重心，PQ=2OQ這樣 Q=Q,并且 Q,Q就是AN,DM的交點Q.故P,Q,O在一條直線上,/MQP=/MBP=NBCP=/QNP,WyWa,4WxW8.可推出x#4,2且 PQ=2OQ.三、1680,1692,1694,1695,1696為滿足條件的5個數（注：答案不唯

10、一）以上5個數可用以下步驟找出：第一步：2,3,4為滿足要求的三個數.第二步： 設a,a+2,a+3,a+4為滿足條件的四個數，則a可被2,3,4整除.取a=12,得滿足條彳的四個數12,14,15,16.第三步：設b,b+12,b+14,b+15,b+16.取12,14,15,16的最小公倍數為b.即b=1680,得滿足條件的五個數1680,1692,1694,1695,1696.情感語錄1 1 .愛情合適就好，不要委屈將就，只要隨意，彼此之間不要太大壓力2 2 .時間會把最正確的人帶到你身邊，在此之前，你要做的，是好好的照顧自己3 3.女人的眼淚是最無用的液體，但你讓女人流淚說明你很無用4

11、 4.總有一天，你會遇上那個人，陪你看日出，直到你的人生落幕5 5.最美的感動是我以為人去樓空的時候你依然在6 6.我莫名其妙的地笑了，原來只因為想到了你7 7.會離開的都是廢品，能搶走的都是垃圾8 8.其實你不知道，如果可以，我愿意把整顆心都刻滿你的名字9 9.女人誰不愿意青春永駐，但我愿意用來換一個疼我的你1010 .我們和好吧，我想和你拌嘴吵架，想鬧小脾氣，想為了你哭鼻子，我想你了1111 .如此情深，卻難以啟齒。其實你若真愛一個人，內心酸澀，反而會說不出話來1212 .生命中有一些人與我們擦肩了，卻來不及遇見；遇見了，卻來不及相識；相識了，卻來不及熟悉，卻還要是再見1313 .對自己好點，因為一輩子不長；對身邊的人好點，因為下輩子不一定能遇見1414. .世上總有一顆心在期待、呼喚著另一顆心1515. .離開之后，我想你不要忘記一件事：不要忘記想念我。想念我的時候，不要忘記我也在想念你1616. .有一種緣分叫鐘情，有一種感