1、精選優質文檔-傾情為你奉上第四章 圓 與 方 程1. 1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。 設M（x,y）為A上任意一點，則圓的集合可以寫作：P = M | |MA| = r 2、圓的方程（1）標準方程，圓心，半徑為r； 點與圓的位置關系：當>，點在圓外; 當=，點在圓上當<，點在圓內; （2）一般方程 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （） 當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為 當時，表示一個點； 當時，方程不表示任何圖形。（3）求圓的方程的方法：待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利

2、用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根據已知條件求出圓心坐標以及半徑長度。另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過圓心，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系： 直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況：（1）設直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；（2） 過圓外一點的切線：設點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k， 若求得兩個不同的解，帶入所設切線的方程即可； 若求得兩個相同的解，帶入切線方程，得到一條切線；接下來驗證過該點的斜率不存在的直線（此 時，該直線一定為另一條切線）(3) 過圓上一點的切線方程：圓(x-a)2+(y

3、-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 兩圓的位置關系判斷條件公切線條數外離1+24條外切1+23條相交|1-2|1+22條內切|1-2|1條內含|1-2|0條4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差的絕對值），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。（即幾何法） 注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線5、.圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 聯立圓C1

4、的方程與圓C2的方程得到一個二元一次方程 若兩圓相交，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2公共弦所在的直線方程； 若兩圓相切，則該二元一次方程表示：圓C1與圓C2的公切線的方程； 若兩圓外離，則該二元一次方程表示的直線具有一個性質：從直線上任意一點向兩個圓引切線， 得到的切線長相等（反之，亦成立）6、已知一直線與圓相交，求弦的長度 代數法：聯立圓與直線的方程求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求弦長 幾何法：半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形（勾股定理） 代數法：直線方程與圓的方程聯立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程；利用弦長公式 ： |1-2| （或者|y1-y2|）求解7、已知兩圓相交

5、，求公共弦的長度代數法：聯立兩圓的方程求出交點坐標；利用兩點間的距離公式求弦長代數法：聯立兩圓的方程求出公共弦所在直線的方程（設公共弦的端點分別為A、B）；公共弦直線方程 與任一圓的方程聯立，消去一個未知數，得到一個一元二次方程；利用弦長公式 ：|1-2| （或者|y1-y2|）求解幾何法：半弦長、弦心距、半徑構成直角三角形（勾股定理）幾何法：根據圖像求解（兩個直角三角形，兩個未知數，解二元一次方程組）8、圓系與圓系方程 (1) 圓系:具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。 (2) 圓系方程：（一）.圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圓

6、系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (-1) - （）若圓 C1與圓C2交于P1、P2點，那么，方程（）代表過P1、P2兩點的圓的方程。若圓 C1與圓C2交于點（一個點），則方程（）代表與圓1 、圓2相切于點的圓的方程。（二）.直線：+0與圓：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交或相切則過它們的交點的圓系方程為：x2+y2+Dx+Ey+F+（+）09、直線與圓的方程的應用用坐標法解決平面幾何問題的“三部曲”：第一步：建立適當的平面直角坐標系，用坐標和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數問題；第二步：通過代數運算，解決代數問題；第三步：

7、將代數運算結果“翻譯”成幾何結論軸對稱例1、已知點A(4,1)，B(0,4)，在直線L：y=3x-1上找一點P，求使|PA|-|PB|最大時P的坐標。 解：如圖，設點C(x,y)是點B關于直線L對稱點，則由， ，得：直線BC的方程為：，將其與直線y=3x-1聯立，解得：D,其中D為BC中點，利用中點坐標公式，得C（3,3）。顯然：|PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,當且僅當A、C、P三點共線時，|PA|-|PB|最大。可求得：直線AC方程為：，與L方程聯立解得P的坐標為（2,5）。例2、光線由點C（3，3）出發射到直線L：y=3x-1上，已知其被直線L反射后經過點A(4,1)，求反射光線

8、方程。解：設點B是點C關于L的對稱點，則由光線反射的知識易知：點B在反射光線上，故所求的反射光線的方程即為直線AB所在的直線方程。由例1知點C關于L的對稱點為B（0,4），故直線AB的方程易求得為：。它即為反射光線方程。直線和圓1自點（3，3）發出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程解：已知圓的標準方程是(x2)2(y2)21，它關于x軸的對稱圓的方程是(x2)2(y2)21。設光線L所在直線方程是：y3k(x3)。 由題設知對稱圓的圓心C（2，2）到這條直線的距離等于1，即整理得 解得故所求的直線方程是，或， 即3x4y30，或4x3y302已知圓C

9、：，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，若存在求出直線L的方程，若不存在說明理由（14分）解：圓C化成標準方程為:假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）由于CML，kCM×kL=1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直線L的方程為yb=x，即xy+ba=0 CM=以AB為直徑的圓M過原點， ， 把代入得，當此時直線L的方程為：xy4=0；當此時直線L的方程為：xy+1=0 故這樣的直線L是存在的，方程為xy4=0 或xy+1=04已知圓C:及直線. （1）證明:不論取什么實數,直線與圓C恒相交；（2）求直線與圓C所截得的弦長的最短

10、長度及此時直線的方程解:(1)直線方程,可以改寫為,所以直線必經過直線的交點.由方程組解得即兩直線的交點為A 又因為點與圓心的距離,所以該點在內,故不論取什么實數,直線與圓C恒相交. (2)連接,過作的垂線,此時的直線與圓相交于、.為直線被圓所截 得的最短弦長.此時,.即最短弦長為. 又直線的斜率,所以直線的斜率為2.此時直線方程 為:5（12分）已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓恰過坐標原點，求實數m的值解：由 又OPOQ， x1x2+y1y2=0,而x1x2=96(y1+y2)+4y1y2= 解得m=36.已知圓C：(x+4)2+y2=4和點A(-2，0)，圓D的圓心在y軸上移動，且恒與圓C外切，設圓D與y 軸交于點M、N. MAN是否為定值？若為定值，求出MAN的弧度數；若不為定值，說明理由.【解】設圓D的方程為那么 因為圓D與圓C外切, 所以 又直線的斜率分別為 為定值 夾角問題 例5 (06全國卷一文) 從圓外一點向