1、隨機信號的時域分析隨機信號的時域分析 信號是個隨時間、空間、或其它某個參量變化的，攜帶某種信息的物理量。 通常遇到最多的是時間信號，是隨時間變化的物理量。 由于我們討論的是隨機的時間信號，其幅度、相位隨機變化，無法由確定的時間函數來描述。而隨機信號的統計規律則是確定的，因此，人們用統計學方法建立了隨機信號的數學模型隨機過程。本章主要內容： v隨機過程的基本概念 v隨機過程的數字特征 v隨機過程的微分和積分計算 v隨機過程的相關函數及其性質 第二章 隨機信號時域分析v復隨機過程和高斯隨機過程v隨機過程的平穩性和遍歷性 本章的重點及其要求：（1 1） 根據隨機過程的具體形式，學會它的概率分布及各種

2、根據隨機過程的具體形式，學會它的概率分布及各種數字特征；數字特征；（2 2） 已知隨機過程的表達式，能熟練地判斷該過程是否具已知隨機過程的表達式，能熟練地判斷該過程是否具有平穩性、遍歷性；有圖示的函數曲線或者給定的函數表達有平穩性、遍歷性；有圖示的函數曲線或者給定的函數表達式，判定其是否平穩隨機過程的正確的相關函數的曲線或表式，判定其是否平穩隨機過程的正確的相關函數的曲線或表達式；達式；（3 3） 對于平穩隨機過程，要會計算它的相關系數和相關時對于平穩隨機過程，要會計算它的相關系數和相關時間，并對它們要有明確的認識；間，并對它們要有明確的認識； 關于隨機過程的概念，在全書中起著承上啟下的作用，

3、關于隨機過程的概念，在全書中起著承上啟下的作用，是后續各章的基礎，應予以從分重視。是后續各章的基礎，應予以從分重視。 下面由一個試驗實例來建立隨機過程的概念。舉例： 在相同條件下，對同一雷達接收機的內部噪聲電壓（或電流）經過大量的重復測試后，設觀測 到的所有的可能結果有m種，記錄下m個不相同的波形。2.1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念1km10intttt111( ,)( ,)( )iX tX tx t( ,)( ,)( )kikkX tX tx t( ,)( ,)( )mimmX tX txt( )iX t 以上是所有可能結果的集合，盡管在每次測量以前，不能事先確定哪條波形將會出現，

4、但事先可以確定“總會”在這m個波形中“出現一個”。即：中每一個結果k總有一個波形 與其對應。而對應于所有不同的實驗結果 ，得到的一族時間波形 ，而它們的總體 稱為“隨機過程”。1( ,),( ,),( ,)kmX tX tX t( ,)( )kkX tx t( , )X t 相對所有實驗結果而言，這一族時間函數的總體 構成了隨機過程，其中 稱隨機過程的樣本函數，而所有樣本函數的集合 則構成了隨機過程的“樣本函數空間”。l1( ),( ),( )kmx tx txt( )kx tl 盡管從總體上看隨機過程各次所得的結果可能不盡相同，是隨機的。但是就其單次實驗結果k而言，它是確定的，是可以用一個確

5、定時間函數 表示的。 因此，如果能觀察到隨機過程的所有可能結果，每個結果用一個確定函數 表示，則隨機過程則可以用所有這些確定函數的總體 或 來描述。( )kx t1( ),( ),( )kmx tx txt( )kx t1( ,),( ,),( ,)kmX tX tX t( , )X t 可見隨機過程必定是兩個參變量的函數X(t，)， tT，。對于某個時刻t=ti， X(ti，) 通常稱為隨機過程X(t，)在t=ti時刻的“狀態”。它僅是參變量的函數，對所有實驗結果而言，它隨機地取X(ti ，1) ， X(ti ，k)， ， X(ti，m) 中的任一個“值” 所以隨機過程X(t，)在t=ti時

6、刻的“狀態” X(ti，) 是定義在上的一個“隨機變量”Xi。 而隨機過程X(t，)在t=tj時刻的“狀態” X(tj，)是定義在上的另一個“隨機變量”Xj 。隨著t的變化，得到一個個不同的“狀態” X(t1，) ,X(ti，), , X(tn，)是一個個不同的隨機變量X1,X2, , Xn。所以又可以將隨機過程X(t，)看成一個“隨時間變化的隨機變量X(t) ”。對于隨機過程X(t)而言：固定， t變化 一個確定的時間函數。t 固定， 變化 一個隨機變量（狀態）。t固定， 固定 一個確定的值。 ， X(t， m)， t變化， 變化 隨機過程（一族時間函數的總體， 或隨時間變化的隨機變量）一般

7、隨機變量寫成:X,Y,Z。一般隨機過程寫成:X(t),Y(t),Z(t)一般樣本函數寫成: ，腳標k對應中第k個樣本。( ),( ),( )kkkx ty tz t各種正弦隨機過程 ( )cos()v tAwt( ),( ),( )kkkx ty tz t2.1.2 隨機過程的分類隨機過程的分類一、按過程的時間和狀態是連續?還是離散?來分類。連續型隨機過程 X(t, ).的時間和狀態均是連續的。時間連續過程的樣本函數 在時間上是連續的。狀態連續過程在任一時刻的狀態Xi取值連續，是連續型隨機變量。( )kx t( ),( ),( )kkkx ty tz t離散型隨機過程 Y(t,)的時間是連續的

8、，狀態是離散的。狀態離散過程在任一時刻的狀態Yj取離散值，是離散型隨機變量。其概率分布如：( ),( ),( )kkkxtytzt連續隨機序列 時間離散、狀態連續時間離散離散時間用序號n代替t 。過程的樣本函數在時間上是離散的，構成樣本序列 。狀態連續過程的狀態Xj仍取連續值，是連續型隨機變量。其概率密度如：( )Z n( )kz n( ),( ),( )kkkx ty tz t離散隨機序列 時間離散、狀態離散時間離散過程在時間上離散的，構成隨機序列。狀態離散過程的狀態Wi取離散值，是離散型隨機變量。( )W n二、按隨機過程的概率分布或性質來分類二、按隨機過程的概率分布或性質來分類1)、高斯

9、過程、泊松過程、維納過程其每一個狀態Xj均為高斯分布、泊松分布、維納分布。2)、平穩隨機過程過程的一階，二階矩不隨時間的變化而變化1212( )( )( )( )( )0ininX tX tX tX tX tttttt 隨機過程X(t)在任意n個時刻t1,t2,tn狀態X(t1) ,X(t2) ,X(tn)構成n維隨機變量 X(t1),X(t2),X(tn) ，當t0,n 時的 n維隨機變量近似隨機過程。因此，可以借用對n維隨機變量的分析研究來“替代”或“近似”對隨機過程的分析研究。213、隨機過程的概率分布例：例：一、隨機過程的一維分布隨機過程X(t)在任一固定時刻t1T，其狀態是一維隨機變

10、量，其分布函數 可以反應隨機過程X(t)在整個時間段T上的所有一維狀態的概率分布情況。所以定義隨機過程X(t)的一維分布函數：一維概率密度：也變化。變化，隨著，因為換成如果將);(t)();(111txFtTttxtXPtxFXX);(txFXxtxFtxfXX);(),(TtxtXPtxFX.)();(一維分布只能描述隨機過程X(t)在任一孤立時刻的統計特性，而不能反應隨機過程X(t)的各個狀態之間的關系。二、隨機過程的二維分布隨機過程X(t)在任意兩個固定時刻t1T， t2T的狀態X(t1) ,X(t2)構成二維隨機變量X1，X2，其聯合分布函數：隨著(t1, t2)的變化， 可以表示隨機

11、過程X(t)在整個時間段T上，任意兩個時刻的狀態的聯合概率分布情況。所以定義隨機過程X(t) 二維分布函數：隨機過程X(t) 二維概率密度：21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(),;,(2121ttxxFXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.)(;)(),;,(三、隨機過程X(t) 的n維概率分布 隨機過程X(t)在任意n個時刻t1,t2,tn狀態X(t1)、X(t2)、X(tn)構成n維隨機變量 X1,X2,Xn 。用類似上面的方法，我們可以定義隨機過程X(t)的

12、n維分布函數為：)(,.,)(,)(),.,;,.,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFn維概率密度為：nnnXnnnXxxtttxxxFtttxxxf.),.,;,.,(),.,;,.,(121212121同多維隨機變量一樣，隨機過程X(t)的n維概率分布具有下列主要性質： 1） 2） 3）0),.,;,.,(1),.,;,.,(0),.,.,;,.,.,(2121212121nnXnXninXtttxxxftttFttttxxxF4）5)6）如果X(t1), X(t2),X(tn)統計獨立，則有1.),.,;,.,(212121 nnnXdxdxdxtttxxxf

13、),.,;,.,(.),.,;,.,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf 12121122( ,.,; , ,.,)( , )( , ).(, )XmmXXXnnfx xx t ttfx t fx tfx t214、隨機過程的數字特征、隨機過程的數字特征一、數學期望如果將過程X(t)中的 t 看成是固定的，則 X(t)就是一個隨機變量，它隨機的取值，其在 t 時刻取值的概率密度為 。據期望的定義：( )( , )( )XXE X tx fx t dmt)(0)(tmttXXmx(t) 描述了X(t)所有樣本函數在各個時刻擺動的中心即X(t)在各個時刻

14、的狀態(隨機變量)的數學期望。( , )Xfx t1( )Xmt1t( )Ximtit二、隨機過程X(t)的均方值和方差同理，把過程X (t)中的t視為固定時， X(t)為時刻t的狀態（隨機變量）。其二階原點矩：將t視為變量時，即為過程X (t)的均方值。22( )( , )XE Xtx fx t dx222 ( ) ( )( ) ( )( , )( )XXXXD X tE X tm tx m tfx t dxt同理，過程X(t)的方差：過程X(t)的均方差：)()()(2tttXDXX故離散型隨機過程Y(t)的數學期望為：miiiYyytptyf1)()();()()(iiytYPtp111

15、12221221( )( ) ()( )()( )()( )( )( )( )( ) ( )( )( )mmYiiiiiiimmiiiiiiimYiiimXiYiim typ tyy dyp t yyy dyp t yyy dyy p ttE Yty p ttD Y tym tp t對離散型隨機過程Y(t),tT,若所有狀態取值的樣本空間為y1,y2,ym。可用利函數表示其一維概率密度。即： iI=1,m其中 表示t時刻狀態Y(t)取值為yi的概率。均方值為：方差為：三、隨機過程的自相關函數下面兩個隨機過程 X(t)， Y(t) 它們的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，x(t)= y(

16、t)。但從樣本函數看有明顯不同。(t)隨時間變化慢，不同時刻的兩個狀態X(t1),X(t2)之間的依賴性強（相關性強）。y(t)隨時間變化快，不同時刻的兩個狀態Y(t1),Y(t2)之間的依賴性弱（相關性弱）。因此期望和方差不能反應過程內部變化快慢、相關性強弱的狀況。ttttmttXXX210)()()(ttttmttYYY210)()()(一般用來描述隨機過程“任意兩個時刻的兩個狀態之間內在聯系”的重要數字特征 自相關函數定義為：它反應了任意兩個時刻的狀態X(t1) 與X(t2)之間的“相關程度”。 狀態X(t1) 與X(t2)之間的相關程度也可以用自協方差函數來描述： 2121212121

17、21),;,()()(),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222( ,)( )( ) ( )( )( ) ( )(,; ,)( ,)( ,)( )( )( , )( )( , )( )( )XXXXXXXXXXXXXCt tEX tmtX tmtxmtxmtfx x t tdx xCt tRt tmtmttttRt tE XtCt tD X tt 時，過程的均方值。過程的方差。隨機過程的自相關系數定義為：若離散型隨機過程Y(t)所有狀態可能取值的范圍是y，則該過程的自相關函數為：0)(0)(.)()(),(),(21212121ttttt

18、tCttXXXXXX121 2112212( , ) ( ), ( )XyyR t tkk P Y tk Y tkkk注：隨機過程的期望、方差、自相關函數、協方差函數、自相關系數等存在的條件是：)()(2tXEtXE例例2.2、設隨機過程X(t)=Ut，U在(0,1)上均勻分布，求EX(t)，DX(t)，Rx(t1,t2)，Cx (t1,t2)。解：10212121212122121212012121212101( )0( ) ( )2( , )( )( )( )3( , )( , )( )( )3UUXUXXufutE X tE U tt E Utufu dutuduRt tE X t X

19、tE U t U tt tE Ut tt tufu dut tu dut ttCt tRt tm tm t ，其它121222 212( )( , )12Xtt ttD X tCt t例例2.3 若一隨機過程由下圖所示的四條樣本函數組成，而且每條樣本函數出現的概率相等，求RX (t1, t2) 。解：由題意可知，隨機過程X(t)在 t1, t2 兩個時刻為兩個離散隨機變量。所以可列出聯合分布率如下：X(t1) X(t2) Pi1151/42241/43621/44311/4123412( )6543210X tttt121211221212( , )( ),( ),1(1 524623 1)7

20、4iXXiRt tkkP X tk X tkk kkkP 習題：習題： 2-1、 2-2、2-3、2-41( , )( , )2XXj xfx tQu tde0),()()(nXnnntQjtXE( )( , )(; )X tXXjujuxQtEfx t dxee2.1.5 隨機過程的特征函數隨機過程的特征函數一、一維特征函數將X(t)視為某一固定t時刻的狀態, 則隨機變量X(t)的特征函數：將 t 看成變量， 就是隨機過程X(t)的特征函數。),(tQX特征函數的逆變換：n階原點矩：二維特征函數隨機過程X(t)在任意兩個時刻t1,t2的狀態 構成二維隨機變量 ，它們的聯合特征函數為：又稱作隨

21、機過程X(t)的二維特征函數。1 12 212121122121212(,; ,)exp( )( )( ,; ,)XXju xju xQu u t tEju X tju X tfx x t t dx dxe 二維特征函數 的逆變換：),;,(2121ttuuQX1 12 212121212122()( ,; , )1( ,; , )(2 )XXj u xu xfx x t tQu u t tdu due 12( ),( )X tX t所以，隨機過程X(t)的相關函數可以用其二維特征函數來求：21212122121212121212121212121 12 2120()0(,; ,)(,; ,)

22、(,; ,)( ,)XXXXuj u xu xuuuQu u t tu ujx xfx x t tdx dxx xfx x t tdx dxRt te 122121212120(,; ,)( ,)XXuuQu ut tRt tuu 若將上式兩邊對變量1 ，2 各求一次偏導數，據逆轉公式，由過程X(t)的n維特征函數可求得n維概率密度。11111111 1.(,.,; ,.,)exp( ).( ).(,.,; ,.,).XnnnnXnnnn nju xju xQuuttEju X tju X tfxxttdxdxe 111111 1()( ,; , )1( ,; , )(2 )XnnXnnnnn

23、 nju xu xfxx ttQuu ttdudue三. n維特征函數離散型隨機過程的特征函數 將t固定，則離散型隨機過程X(t)是在t時刻的狀態，若X(t)(隨機變量)隨機的取值i ，i=1,2,，其概率 ，( )( )iip tP X tx則離散型隨機過程的一維特征函數定義為1212121212( ; )( )(,; ,)( );( )( ,)iiiijijjijuxQ u teP X txQ u u t tju xju xeP X tx X txt tT 同理，定義兩個時刻t1,t2的狀態X(t1) ，X(t2)的聯合特征函數為離散型隨機過程的二維特征函數2.2.1 平穩隨機過程平穩隨機

24、過程粗略的說粗略的說隨機過程的統計特征不隨時間的推移而變化。隨機過程的統計特征不隨時間的推移而變化。嚴平穩隨機過程 1. 定義 設有隨機過程 X(t) , t T，若對于任意n和任意t1t2 0)以后， x()就很小了，可以近似認為X(t)與X(t+ )不相關。這個可以認為X(t)與X(t+ )不相關的時間間隔“0” 稱為“相關時間”。由圖可見，由于過程不同，自相關系數 ()也不同，其不相關的時間間隔“0” 也不相同。0圖5.16)(X000.0500)(a1)(X0.05通常定義相關時間“0”的方法有兩種：1、0()0.05X2、daadXXX00000)(1cos)()()()(1時，定義

25、：當所包圍的面積，令矩形面積)()(21XX10,1020,20)(1tx)(2txt快速起伏緩慢變化10相關時間“0”所反映的意義：由圖可見，曲線越陡，相關時間“0”越小，意味著過程的任意兩個狀態X(t),X(t+ ) 不相關所要求的時間差越短。樣本變化越劇烈（樣本起伏越大）。反之，且反。因此，相關時間0是對過程的任意兩個狀態X(t),X(t+ ) 隨 變成不相關“快、慢”的一種度量。例例2.8 已知平穩過程X(t)的自相關函數 ，求其自相關系數和相關時間。2( )3expXR2222220( )( )( )333( )(0)(0)( )333XXXXXXXCRReeeeCRRee00ln(

26、)()0.05ln(0.05)1.731XX解：解：由相關系數的定義2000( )0.8862Xded由相關時間定義一：由相關時間定義二：一.兩個隨機過程的聯合分布 設有兩個隨機過程 ,它們的概率密度分別為),(,),(TttYTttX),.,;,.,(2121nnXtttxxxf1212(,.,; , ,.,)Ymmfy yyt tt 1、兩個過程的n+m維聯合分布函數11111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ),.,( ), ( ),., ()XYnmnmnnmmFxxyytt ttP X txX tx Y tyY ty2、兩個過程的n+m維聯合概率密度11111111

27、11( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,; ,., , ,.,).XYnmnmn mXYnmnmnmfxxyytt ttFxxyytt ttxxyy 2.3 兩個隨機過程的聯合統計特性兩個隨機過程的聯合統計特性11111111( ,.,;,.,; ,., , ,.,)( ,.,;,.,;,.,.,)XYnmnmXYnmnmfxxyytt ttfxxyytttt tttt3、若X(t)與Y(t)對于任意的 n, m, 都有11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmFxxyyttttFxxttFyyt

28、t或11111111(,.,;,.,; ,., ,.,)(,.,; ,.,)(,.,; ,.,)XYnmnmXnnYmmfxxyyttttfxxttfyytt則稱隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的。4、若兩個過程的任意n+m維聯合分布均不隨時間平移 而變化，則稱此兩過程為聯合嚴平穩或者嚴平穩相依。t兩個隨機過程的互相關和正交1、互相關函數 定義兩個隨機過程X(t)與Y(t)的互相關函數為)(),(21tYtX121212( ,)( ) ( )( , ; ,)XYXYRt tE X t Y tx y fx y t tdxdy 式中 是過程X(t)與Y(t)在兩個時刻t1, t2的狀態。2、協

29、方差函數 定義過程X(t)和Y(t)的互協方差函數為 dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY),;,()()()()()()(),(2121221121式中 分別是隨機變量 的數學期望。此式也可寫成)(),(21tmtmYX)(),(21tYtX)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY121212( ,)0( ,)( )( )XYXYXYCt tRt tmt mt或 ( , )0XYRt t ( , )0XYCt t 121212( , )0( , )( )( )XYXYXYRt tCt tmtm t 或 3、兩個過程正交、兩個過程正交4

30、、兩個過程互不相關、兩個過程互不相關若兩個過程X(t)和Y(t)對任意兩個時刻 t1，t2 都有則稱X(t)和Y(t)兩個過程正交。則稱兩個過程X(t)和Y(t)在同一時刻的狀態正交。若兩個過程X(t)和Y(t)對任意兩個時刻 t1，t2 都有則稱X(t)和Y(t)兩個過程互不相關。若僅在同一時刻 t 存在若僅在同一時刻 t 存在則稱兩個過程X(t)和Y(t)在同一時刻的狀態互不相關。 三、兩個隨機過程聯合平穩三、兩個隨機過程聯合平穩1、定義、定義 若X(t) 、Y(t)為兩個平穩隨機過程，且它們的互相關函數僅是單變量的函數，即則稱過程X(t)和Y(t)為“聯合寬平穩”， 簡稱“聯合平穩”。2

31、、性質、性質(1)、互相關函數和互協方差函數均不是偶函數122121),()()(),(ttRtYtXEttRXYXY( )()( )()XYYXXYYXRRCC)()()()()()(YXXYRtXtYEtYtXER0)()(XYYXRR(0)(0)XYYXRR(2)、互相關函數和互協方差函數的取值滿足：2222( )(0)(0)( )(0)(0)XYXYXYXYXYRRRCCC 221( )(0)(0)211( )(0)(0)22XYXYXYXYXYRRRCCC(3)、 表示兩個平穩過程正交。(5)、 表示兩個平穩過程互不相關。( )0XYR，(4)、 兩個平穩過程所有同一時刻的狀態正交。

32、0)0(XYR( )0XYC，(6)、 兩個平穩過程所有同一時刻的狀態互不相關。(0)0XYC3、兩個聯合平穩過程的互相關系數YXYXXYYXXYXYmmRC)()()( )1( )0( )( )XYXYX tY t一般 ， 當 時，過程與互不相關。習題習題 2-9、 2-11、2-12、 2-13l2.4 復隨機過程復隨機過程“實”隨機過程可以看成隨時間變化的“實”隨機變量。“復”隨機過程可以看成隨時間變化的“復”隨機變量。一、復隨機變量1、定義：復隨機變量 Z=X+jY 由實隨機變量X,Y構成。2、復隨機變量的數字特征定義的原則：必須滿足：在 Y=0 時 Z 的數字特征，就是 X 的數字特

33、征。(1)復隨機變量Z的數學期望：YXZmjmYEjXEZEm若設中心化的復隨機變量 ：()()()()()ZXYZXYZZmXmj YmXjYZZmXmj YmXjYZll(2)復隨機變量Z的方差：22222 ()() () () ZXYXYD ZE ZmE ZZE XmYmE XmE YmD XD Y(3)兩個復隨機變量Z1=X1+jY1 與 Z2=X2+jY2的協方差：121 212121122121 21 212() ()()()()Z ZZZX XY YX YY XCE ZmZmE ZZE XjYXjYCCj CC(4)兩個復隨機變量Z1=X1+jY1 與 Z2=X2+jY2相互獨立

34、的條件(5)兩個復隨機變量Z1,Z2的互不相關1 12 21 12 211221122( ,)( ,)(,)X Y X YX YX Yfx y xyfx yfxy121212() ()0Z ZZZCE ZmZml12120Z ZRE ZZ(6)兩個復隨機變量Z1,Z2的正交l復隨機過程復隨機過程1、定義復隨機過程為： Z(t) = X(t) + jY(t) 式中X(t)和Y(t)都是實隨機過程。2、復隨機過程Z(t)統計特性可以由X(t)和Y(t)的2n維聯合概率分布 完整的描述，其概率密度為1111(,.,;,.,; ,., ,.,)XYnnnnfxxyytttt3、復隨機過程Z(t)的數字

35、特征Z(t)的數學期望：)()()()()()(tmjtmtYEjtXEtZEtmYXZZ(t)的方差：2 ( )( )( ) ( )( )( ) ( )ZD Z tE Z tm tE Z tZ tD X tD Y tllZ(t)的自相關函數：)()(),(tZtZEttRZZ(t)的自協方差函數：)(),(0)()(),(tZDttCtZtZEttCZZ：4、復隨機過程Z(t)平穩的條件：(X(t)和Y(t)各自都是平穩過程)ZYXZmmjmtm)()(),(ZZRttR5、兩個復隨機過程Z1(t)， Z2(t)Z1(t) =X1(t)+jY1(t)， Z2(t)=X2(t)+jY2(t)Z

36、1(t)與Z2(t)的互相關函數：1212( ,)( )()Z ZRt tE ZtZ t()(0, 2)( )jtUZ te為常數(2)Z1(t)與Z2(t)的互協方差函數：(3)兩個復隨機過程Z1(t)， Z2(t)聯合平穩的條件：1212( ,)( )()Z ZCt tE ZtZ tZ1(t)， Z2(t)各自平穩，且：1212( ,)( )Z ZZ ZRt tR例例:設復隨機過程設復隨機過程(4) 兩個復隨機過程Z1(t)和 Z2(t)互不相關12( ,)0Z ZCt t(5) 兩個復隨機過程Z1(t)和 Z2(t)正交12( ,)0Z ZRt t()20( )cos()sin()( )

37、( )( ),( )cos(),( )sin()1( )( )cos()0,( )02jtXYZ tetjtZ tX tjY tX ttY ttmtE X ttdmt解：設1212( )( )( , )( , )( )ZZZZm tD tR t tC t tZ t是否是平穩過程？求：、 122121121221()()()()()()( )( )( )0( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1( ,)( ) ( )( ),( )(ZXYZZZZZZZZjtjtjtjtjttjttjmtmtjmtDtDtEZ tmtZ tmtE Zt Z tERt tE Zt Z tEERttR

38、Cteeeeeee故求 ：121212120,)( ,)( )( )( ,)( )( )0,( )( ) ( )(0)1( )ZZZZZZZZjjjtRt tmt mtRt tCmtRE Zt Z tRZ teee常數僅與有關由于，且，所以復過程平穩。習題：習題： 2-14111112222212333333(1),(2),( )(1),(2),( )(1),(2),( )nnnxxx nxxxxnxxxxXxxxnx：，(,)：2.5.1 隨機序列的收斂隨機序列的收斂“數列收斂”的概念： 若有數列S1,S2,Sn,對任意小的正實數0，總能找到一個正整數N，使得當nN時，存在 Sn-a N ，

39、則稱數列S1,S2,Sn,收斂于常數 a 。用 表示。或用S1,S2,Sn ， 即稱：數列Sn的極限為a.aSnnliman一、一、隨機序列收斂的幾種定義1、隨機變量序列“處處收斂” 若隨機序列樣本空間=1, 2, 3中的“所有” 的樣本序列(普通數列)均收斂，()every where2. 5 隨機過程的微分和積分隨機過程的微分和積分則稱：隨機序列X(n) “處處收斂”于隨機變量X。記作：簡寫：lim( )iiinx nx，lim( ) ( )nX nXeX nX 在上述“處處收斂”的定義中，中只要有“一個”i對應的樣本序列 不收斂，則隨機序列X(n)就不是“處處收斂”的。這個條件一般的隨機

40、序列都不容易滿足。 下面介紹幾種常用的“寬松的” 收斂定義。( )ix n2、以概率1收斂（“幾乎處處收斂”）almost every where若隨機序列X(n)相對試驗E的所有可能結果 滿足：則稱：隨機序列X(n) “以概率1收斂”于隨機變量X。簡記：lim( )1.( )nPX nXaeX nX lim ( )0 ( )nP X nXPX nX 103、依概率收斂(Probability) 若隨機序列X(n) 對于任意給定小正數 ，有：則稱：隨機序列X(n)“依概率收斂”于隨機變量X。記：04、依分布收斂(distribution) 設：Fn(x)，n=1,2,是隨機序列X(n)的分布函

41、數，F(x)是隨機變量X的分布函數。若存在：則稱：隨機變量序列X(n)“依分布收斂”于X。記： lim( )( )( )nnF xF xdX nX ( )( )( )niF xF xF xx5、均方收斂（平均意義下的收斂）Mean.square 設隨機序列X(n)對所有 的n=1,2,二階矩存在，隨機變量X的二階矩也存在。 若X(n)、X滿足：則稱：隨機序列X(n) “均方收斂”于隨機變量X。 記作： 或： 2lim ( )0( )( )nnm sE X nXl i m X nXX nX ，(2) 均方收斂的充要條件（柯西準則） 若隨機序列X(n)和隨機變量X的二階矩均存在，則X(n)均方收斂

42、于X的充要條件是：2( )( ) E X nX m2lim( )( ) 0nmE X nX m只需要對隨機序列X(n)的一個方差 進行檢驗，比較方便。因此，在隨機過程中運用的是均方收斂。四種收斂模式之間的關系：四種收斂模式之間的關系：eSM PdeaeaSM Pde例例 2.12 已知二維隨機變量(X,Y)在平面區域 內服從均勻分布。而隨機序列Z(n)定義在平面區域Gn上(見下圖)11( , ) |,|1nGx yxynnn：，證明：證明：(1)隨機序列Z(n)依概率收斂于0； (2)隨機序列Z(n)依分布收斂于0； (3)隨機序列Z(n)均方收斂于0；121(, ),( )(, )0(, )

43、,nnX YGnZ ng X YX YG,1111yx( , ) | 1,| 1Gx yxy：11011nnnn012345n( )Z n1122(,) ，2211( )1 ( )0 1P Z nnnP Z nn nGG12：證明證明(1)：因為|( )0 |001|( )0 |1lim|( )0 |li(,m)0(,nnnnX YGXPZ nPPZ nPGnPZPnYn當在整個平面時，上時當有，所以隨機序列Z(n)依概率收斂于0。222222( )(1)(2)( )131( )010141111( )14311111( )(1)( )()(1) ( )()442nZ nZZZ iP Z nn

44、iP Z nnniF zU zU zU zU zU ziii 證明證明(2)：由題可知，隨機序列Z(n)的分布律和分布函數為驗證收斂于0隨機序列Z(n)分布函數的極限：0lim( )( )( )nnF zF zU z常數0，可以看成是僅取值0的特殊隨機變量Z0，因此F0(z)=U(z)。所以有 上式表明：隨機序列Z(n)依分布收斂于0。2222122224lim ( )0 lim ( ) lim ( )1111lim (0)1lim0kkknnnknnE Z nE Z nzPz nznnnn22111lim( )lim (1) ( )()( )nnnF zU zU zU znnn證明證明(3)

45、：由隨機序列Z(n)的分布律可得上式表明：隨機序列Z(n)均方收斂于0。思考思考：隨機序列Z(n)是否以概率1收斂于0？000lim ()( )tx ttx t 0t一、隨機過程處處連續對于隨機過程X(t)而言，若它的每一個樣本函數在 上都連續：0lim()( ),.txttxt t則稱：該過程X(t)在 上處處連續。t252 隨機過程的連續性隨機過程的連續性一般確定函數的連續性：設函數(t)在 的某個鄰域內有定義，當自變量的增量t0 時，函數的增量也趨于0，則稱：函數(t)在 上連續.0t在微積分中，一個函數要可微，該函數首先必須要連續。即：極限0)()(lim20tXttXEtTttt21

46、二、均方連續1、定義若二階矩過程在tT上滿足則稱X(t) 在tT上，“在均方意義下”連續。或稱該二階矩過程X(t)具有“均方連續性”。常表示為或者簡稱過程m.s連續。)()(0tXttXmiltTt 2、均方連續的準則 ( 過程X(t) 在tT上均方連續的“充要條件” ),(21ttRX 若X(t) 的自相關函數 在tT (t1=t2=t)上連續， 則X(t)便在tT上均方連續。120tTTt充分性：均方極限若 在 t1=t2=t 處一般連續，等式右邊有),(21ttRX),(),(),(),()()()()()()()()()()()()()()(2ttRtttRtttRttttRtXtXt

47、XttXttXtXttXttXEtXttXtXttXEtXttXEXXXX證明：證明：展開定義式左側對上式兩邊取極限：),(),(),(),(lim)()(lim020ttRtttRtttRttttRtXttXEXXXXtt0),(),(),(),(lim0ttRtttRtttRttttRXXXXt則左邊就有0)()(lim20tXttXEt X(t)均方連續.1212(,)( , )()()( )( )XXRtt ttRt tE X tt X ttE X t X t),(21ttRX221/212 ()( ) ()E X ttX tE X tt221/22 ( )()( ) E XtEX t

48、tX t利用許瓦茲不等式必要性：必要性：若X(t) 在tT上均方連續，則 在t1=t2=t上一般連續。證明：證明：對不等式兩端取極限：112211220000lim (1)lim lim (2)lim tttt 及2( )()( )E X tX ttX t12()( )()EX ttX t X tt12()( )()EX ttX t X tt2( ) ()( )E X tX ttX t(1)(2)(2 123)121200lim lim(,)( , )0XXttRtt ttRt t 若X(t)在tT上均方連續，20lim()( )0tEX ttX t 則不等式右端1221/2120lim ()

49、( ) ()0tE X ttX tE Xtt 2221/220lim ( )()( ) 0tE XtEX ttX t 122112122000000lim lim()( )()( )()( )lim lim (1)lim lim (2)0ttttttEX ttX tX ttE X tX ttX t 即有112211220000lim (1)lim 0lim (2)lim 0tttt 即121200lim lim(,)( , )XXttRtt ttRt t 則 在t1=t2=t上一般連續。證畢。),(21ttRX則12()( )()EX ttX tX tt 2( )()( )E X tX ttX

50、 t121200lim lim(,)( , )XXttRtt ttRt t 3、推論、推論 (1)若自相關函數 在 (t1=t2=tT)C上的每一點連續，則它在時域(t1,t2) TT上處處連續。證：設(t1,t2) TT時域中任意(t1t2)處，將(t1,t2)分別代 換(2-123)式中的(t，t)。),(21ttRX同理可證：若X(t)是平穩過程，Rx(t,t)=R(0), 則“Rx()在 =0點連續” 是平穩過程X(t)在 tT上均方連續的充要條件。),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXtt

51、XtXEttXtXttXEtt(t1t2)12tToCTt221/211122 ()( ) ()E X ttX tE X tt221/21222 ( ) ()( ) E X tE X ttX t11122()( )()EX ttX tX tt11122 ()( ) ()E X ttX tX tt1222( )()( )E X tX ttX t1222( )()( )E X tX ttX t),(),(limlim2122110201ttRttttRXXtt)()()()()()(limlim2221221110201tXttXtXEttXtXttXEtt1020lim (1)0lim (2)0

52、tt 因自相關函數在 (t1=t2=tT) 上的每一點連續，則過程X(t)在 tT上均方連續。有:20lim()( ) 0,iiiitiEX ttX ttT 112210102020lim (1)lim 0lim (2)lim 0tttt 因為),(),(limlim0),(),(limlim21221102012122110201ttRttttRttRttttRXXttXXtt則有則有),(21ttRX即自相關函數 在(t1,t2) TT時域中任意(t1t2) 上也連續，證畢。同理，若平穩過程X(t) 的Rx()在 =0點連續，則Rx()在所有 tT上也連續。故有)()(lim)()(00t

53、XEttXEtXttXmiltt)()()(tXttXtY222( )( ) ( )0YtE Y tE Y t)()(22tYEtYE)()()()(22tXttXEtXttXE1/22()( ) ()( )EX ttX tEX ttX t（2）如果隨機過程X(t)是均方(m.s)連續，則它的數學期望也必定連續。即：利用許瓦茲不等式證明：證明：設隨機過程因故由于X(t)是均方連續的0)()(lim0tXttXEt所以：0)()(lim20tXttXEt00()( )lim () ( )ttl i mX ttX tE X ttE X t 也可以寫成如下的形式：00lim ()( )0lim ()

54、( )ttE X ttE X tE X ttE X t 也就有：所以有：)()(lim00ttXmilEttXEtt一個均方連續的隨機過程，一個均方連續的隨機過程，“求極限求極限”與與“求期望求期望”可以交換次可以交換次序。序。0( )tl i m 0lim ()t 注： 是一般意義下的極限， 是均方意義下的極限。0lim()( )0tE X ttE X t 2.5.3 隨機過程的微分隨機過程的微分隨機過程的微分（導數） 1. 均方導數的定義設均方連續過程 X(t), tT 和隨機過程X(t) ，tT,若在整個T內當 時， 均方收斂于X(t) 即滿足：0tttXttX)()(20()( )li

55、m( )0tX ttX tEX tt 0()( )( )tX ttX tl i mX tt 則稱過程X(t)在tT上均方( m.s )可導（可微）。而 便稱為過程X(t)在tT上的均方導數。( )( )dX tXtdt或者或者均方可微的條件均方可微的條件 在檢驗過程X(t)是否均方可微時我們遇到了一個問題，在定義式中X(t)是待求的。在X(t)尚未求出時，檢驗X(t)是否均方可微，我們可以運用一個能避開X(t)的準則Cauchy準則。即，如果X(t)滿足：0)()()()(lim222110,21ttXttXttXttXEtt則稱X(t) 在均方意義下可微。我們由上式出發，推導出X(t)均方可

56、微的充分條件。上式左端：22211)()()()(ttXttXttXttXE(2 141)對上式兩端求極限，可得：),(),(),(),(2),(),(),(),(1),(),(),(),(1212121222222111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX tttttttRttttRttttRttXttXttXttXEXXXtt21212122221211212222110,),(2),(),()()()()(lim21由此可見，隨機過程X(t)在tT上，均方可微的充要條件是在一切 (t, t)

57、, tT上 存在。21212( ,)XRt ttt 1221212( ,)XtttRt ttt 如果偏導數 存在，則上式可寫成0),(2),(),()()()()(lim21212122221211212222110,21tttttttRttttRttttRttXttXttXttXEXXXtt隨機過程導數 的數學期望與相關函數( )X tdttXdEttXEttXEttXttXEttXttXmilEdttdXEtYEttt)()()(lim)()(lim)()()()(0001、 Y(t)的數學期望dttXdEdttdXE)()(設Y(t)為可微過程X(t)的導數ttXttXmildttdXt

58、Yt)()()()(0即導數的期望期望的導數隨機過程的導數運算與其數學期望的運算可以交換次序。隨機過程的導數運算與其數學期望的運算可以交換次序。12( ,)XRt t121212( , ) ( ) ( )( )( )YR t tE Y t Y tE X t X t2222222121210212212021221202122121202()( )( ,)( ) ( )( )( )()( )( )( )()( )( )lim( ,)( ,)( ,limXXXXYttttX ttX tRt tE X t Y tE X tl i mtX t X ttX t X tE l i mtE X t X tt

59、E X t X ttRt ttRt tRt tt 2)t 2、 Y(t)的自相關函數的自相關函數 根據自相關函數的定義，有而X(t)與Y(t)的互相關函數又因121121211012121102111102121),(),(),(lim)()()()(lim)()()()()(),(111tttRtttRtttRttYtXtYttXEtYttXttXmilEtYtYEttRXYXYXYtttY212121212( ,)( ,)( ,)XYXRt tRt tRt ttt 隨機過程導數隨機過程導數 的自相關函數，等于隨機過程的自相關函數，等于隨機過程 自相關函自相關函數的二階偏導數。數的二階偏導數

60、。將該式代入上式，得到：22121),(),(tttRttRXXY( )Xt)(tX三、對平穩過程的分析三、對平穩過程的分析X(t)為平穩過程：EX(t) 常數，Rx(t1,t2)=Rx() 或：1)、由導數存在的條件得平穩過程均方可導的條件：處存在。在0)( R ( )( )()( )0dX tdE X tdE XtEdtdtdt常數221212212( ,)( )( ,)XXXRt td RRt tttd 122212212( , )( )(0)0XXXtttRt td RRt td 處連續。在0)(R0)0()0(0)()()()(RRRRRR2)、對于實平穩過程若實平穩過程過程X(t)