1、試卷十四試題與答案填空10%每題2分1、設A,a,-是由有限布爾格A,E誘導的代數系統,S是布爾格中所有原子的集合,那么AW,八,一A2、集合S=a,3,丫,8上的二元運算*為*a3丫8a8a3丫3a3丫8丫3丫丫丫8a8Y8那么,代數系統S,*中的幺元是,a的逆元是.3、設I是整數集合,Z3是由模3的同余類組成的同余類集,在Z3上定義+3如下:r3j=i+jmod3,那么+3的運算表為；Z+,+3是否構成群°4、設G是n階完全圖,那么G的邊數m=.5、如果有一臺計算機,它有一條加法指令,可計算四數的和.現有28個數需要計算和,它至少要執行次這個加法指令.選擇20%每題2分1、在有理

2、數集Q上定義的二元運算*,Vx,yWQ有x*y=x+y-xy,那么Q中滿足.A、所有元素都有逆元；B、只有唯一逆元；C、VxWQ,x#1時有逆元x,；D、所有元素都無逆元.2、設S=0,1,*為普通乘法,那么S,*是A、半群,但不是獨異點；B、只是獨異點,但不是群;C、群；D、環,但不是群.3、圖給出一個格L,那么L是3、A、分配格；B、有向圖D=<V,E>有補格；C、布爾格；D、A,B,C都不對.,那么vi到v4長度為2的通路有條.4、圖.至少填加條邊才能構成EulerA、1;B、2;C、4;D、5.三、判斷10%每題2分1、在代數系統A,*中如果元素aA的左逆元ae存在,J_1

3、那么它一定唯一且a=黑.2、設S,*是群G,*的子群,那么G,*中幺元3是$,*中幺元.3、設A=x|x=a+b,3,a,b均為有理數,+,為普通加法和乘法,那么代數系統A,+,是域.4、設G=V,E是平面圖,|V|=v,|E|=e,r為其面數,那么v-e+r=2.5、如果一個有向圖D是歐拉圖,那么D是強連通圖.四、證實46%1、 設<人,*>,是半群,e是左幺元且VxwA,三欠三A,使得X*x=e,那么<人,*>是群.10分2、 循環群的任何非平凡子群也是循環群.10分3、 設aH和bH是子群H在群G中的兩個左陪集,證實：要末aHcbH=9,要末aH=bH.8分4、

4、設四,+,>,是一個含幺環,|A|>3,且對任意VawA,都有a,a=a,那么小,+,>不可能是整環這時稱<A,+,>是布爾環.8分5、 假設圖G不連通,那么G的補圖G是連通的.10分五、布爾表達式8%設EX1,X2,X3=X1AX2VX2AX3vx2AX3是布爾代數<01,V,A,>上的一個布爾表達式,試寫出其的析取范式和合取范式.六、圖的應用16%1、構造一個結點v與邊數e奇偶性相反的歐拉圖.6分2、假設英文字母,a,e,h,n,p,r,w,y出現的頻率分別為12%,8%,15%,7%,6%,10%,5%,10%,求傳輸它們的最正確前綴碼,并給出h

5、appynewyear的編碼信息.10分+30121、 <P(S),1-n(n-1)4、2;001211202201一、填空10%每題2分答案5',>；2、3,丫；3、是；5、9選才i10%(每題2分)題目12345答案CBDBD三、判斷10%(每題2分)題目12345答案NYYNY四、證實46%1、(10分)證實：Va,b,cA,假設a*b=a*c貝Jb=c事實上：:a*b=a*c/.三a?使a?*(a*b)=a?*(a*c)(a?*a)*b=(a?*a)*c,.e*b=e*c即：b=c(2)e是人,*之幺元.事實上：由于e是左幺元,現證e是右幺元.Vx=A,x*ewA,

6、安使*(x*e)=(?*x)*e=e*e=e=?*x由(1)即x*e=x,.e為右幺元(3)VxwA,那么x,wA事實上:_xA(x*M*x=x*(?*x)=x*e=x=e*xx*?=e故有*x=x*5?=e,x有逆元由(2),(3)知：a,*為群.2、(10分)證實：m,設6,*是循環群,G=(a),設$,*是6,*的子群.且S*e,S*G,那么存在最小正整數使得：amws,對任意alws,必有1=tm+r,0rm,t0,rl-tmltmlm、-tlrmtc故：a=a=a*a=a*(a)=S即：a=a*(a)=Srm1mt所以auS但m是使a=S的最小正整數,且0Mrm,所以r=0即：a-(

7、a)這說明S中任意元素是am的乘哥.所以G,*是以am為生成元的循環群.3、(8分)證實：對集合aH和bH,只有以下兩種情況：(1)aH'bH¥；(2)aHbHIll對于aHcbH,那么至少存在,h2wH,使得ahi=bh2,即有a=bh?'一,這時任,IIJi,意ah-H,有ah=附2兒二wbH故有aH三bH同理可證：bH=aH所以aH=bH4、(8分)證實：反證法：如果A,+,是整環,且有三個以上元素,那么存在awA,a#H,a#1且a,a=a即有：a#e,a-1#日但aa1)=aaa=aa=日這與整環中無零因子條件矛盾.因此A,+,不可能是整環.5、(10分)證

8、實：由于G=V,E不連通,設其連通分支是G(V1),G(Vk)(k之2),7u,vWV,那么有兩種情況：(1) u,v,分別屬于兩個不同結點子集Vi,Vj,由于G(Vi),G(Vj)是兩連通分支,故(u,v)在不G中,故u,v在G中連通.(2) u,v,屬于同一個結點子集Vi,可在另一結點子集Vj中任取一點w,故(u,w),(w,v說在G中,故鄰接邊(u,w)(w,v)組成的路連接結點u和v,即u,v在G中也是連通的.五、布爾表達式8%函數表為:X1X2X3E(X1,X2,X3)00000011010001111000101111011111E(Xi,X2,X3)=(xiX2X3)(xiX2X

9、3)(X1X2X3)析取范式:(XiX2X3)(XiX2X3)合取范式：E(Xi,X2,X3)=(Xix2X3)(XiX2X3)(xiX2X3)六、樹的應用i6%i、6分解：結點數5,邊數6,每個結點度數均為偶數,所以它是歐拉圖口結點數6,邊數7,每個結點度數均為偶數,所以它是歐拉圖口附：最優二叉樹求解過程如下:2、i0分解：根據權數構造最優二叉樹:傳輸它們的最正確前綴碼如上圖所示,happynewyear的編碼信息為：io0ii0i0i0i0i00iiioiii0i0000iiii0ii000117g1010121578101012151510101215111520121515202315

10、2023304330小草急急忙忙的返青依舊；細雨迷迷濠濠的飄灑依舊.盈盈月下來,照亮你的山歌依舊；燦燦星升起,白楊樹綠影婆娑依舊.好風似水,不驚你安眠依舊；鳥兒呢噥,愛的春天依舊.可我,望盡了我的花季,望盡了長長的一路落英繽紛呵！岑凱倫的綿綿春雨依舊,戴望舒的深深雨巷依舊!漂泊的船,尋找一個溫馨港口；孤寂的心,渴望一聲溫暖問候.是你在我最落寞的時候,把親切放在我左右；是你在我最失意的時候,把慰藉放在我心頭.紅酥手,黃藤酒；春如舊,人空瘦.蝴蝶雙飛影孤單,淚痕紅泡蚊綃透!那一葉小舟,那一雙眼眸,望穿了幾層山水幾層樓那一縷相思,那一縷離愁,孤獨了多少暮風晨雨后春風依舊,桃花依舊；春水依舊,明月依舊；渡口依舊,時光依舊.前世的情緣,今生的守候,多少次夢里相逢,追憶難收,點點相思堆成無言