1、1 / 6元二次方程專題復習【知識回顧】考點 1 一元二次方程的概念及解法一兀二次方程的概念只含有個未知數，且未知數的最高次數是的整式方程，叫做一兀二次方程.匕的一般形式是 ax2+bx+c-0（a 0）.一兀二次方程的解法解一兀二次方程的基本思想是，主要方法有：直接開平方法、法、公式法、法等.考點 2 一元二次方程根的判別式及根與系數的關系根的判別式的定義關于x 的兀二次方程 ax +bx+c=0（a豐0）的根的判別式為判別式與根的關系 (1)b2-4ac 0兀次方程的實數根；(2)b-4ac=0一兀二次方程的實數根；(3)b2-4acv0兀次方程實數根.根與系數的關系1.如果一 兀二次方程

2、 ax +bx+c=0（a豐0）的兩根分別是 xx2,則 xbc+x 二 ,xx=.aa否則解題就會出錯。）注（注意在使用根系天系式求待疋的系數時必須滿足40這個條件，意：2x122cxx x2x x2 1 2 1 2(人X2)2 (X1X2)2 4x1X2獨x2x1X22x1x2x1x2 X1a x2a X1X2a X1x2a211 x x11XXX2cx2x x12金1 2 121 222 2 22x “x x _ x xXXXX X1lx12 1 2 12 1 21 2x2 |: x1x22/ x1x224X1X211 VV2.以 X1X2為根的一元二次方程可寫成x2( X1+X2) X

3、+X1X2=0.3 使用一 兀二次方程ax2+bx+c=0 （aM0）的根的判別式 =b2 4ac 解題的前提是二次項系數0.4.若 X1,的兩根，則 ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0 .反之，若X2疋大于 x 的方程 ax +bx+c=0_ 2c=0, ax22+bx2+c=0，且 X1Mx2,rf|r5 旦辛千 v齊二次方程 ax2+bx+c=0 的1IT則 X1, X2疋天于 X 的 兀兩根.【易錯提示】（1）在使用根的判別式解決問題時，如果二次項系數中含有字母，要加上二次項系數不為0 這個限制條件.（2）利用根與系數的關系解題時，要注意根的判別式 b2- 4ac0.

4、考點 3 一元二次方程的應用（傳播類，樹枝類、握手、單雙循環、面積、增長率）列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相同，但在解題中心須 注意所求出的方程的解一定要使實際問題有意義，凡不滿足實際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去.【典型例題】例 1 : （2014 年廣東汕尾）已知關于x的方程x2+ax+a- 2=0（1）若該方程的一個根為 1，求a的值及該方程的另一根；（2）求證：不論 a 取何實數，該方程都有兩個不相等的實數根.2 / 62k例 2：關于 x 的方程kx2(k 2)x _0有兩個不相等的實數根.4(1) 求 k 的取值范圍。(2) 是否存

5、在實數 k，使方程的兩個實數根的倒數和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，說明理由例 3: (2014 南充)已知關于 x 的一元二次方程 x2-22x+m=0,有兩個不相等的實數根(1)求實數 m 的最大整數值；在的條件下，方程的實數根是x1，X2,求代數式 X12+X22-X1X2的值(1)求 a 的最大整數值;例 5: (2014 株洲)已知關于 x 的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中 a、b、c 分別為 ABC 的三邊的長.(1)如果 x=-1 是方程的根，試判斷厶 ABC 的形狀，并說明理由；如果方程有兩個相等的實數根，試判斷厶 ABC 的形狀，并說明理

6、由；(3)如果 ABC 是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根例 6: (2015?鄂州，第 20 題 8 分)關于 x 的一元二次方程 x2+ (2k+1) x+k2+1=0 有兩個不等實根 x1, x2.(1) 求實數 k 的取值范圍.(2)若方程兩實根 X1, X2滿足|X1|+|X2|=X1?X2，求 k 的值.【基礎訓練】1 .解下列方程(1) (2X+ 3)2 25= 0.(直接開平方法)例 4:（2013 -淄博)關于 x 的一元二次方程(a-6)x2-8x+9=0 有實根.(2)當 a 取最大整數值時，求出該方程的根；求2x2-32x_的值.X28x 11（2）2x27x 20

7、（配方法）3 / 62（3）x 23 x 2（因式分解法）2（4）2x x 60（公式法）2.用配方法解方程x24x 2 0，下列配方正確的是（3.A.A.(X 22B.（X2）22F 列方程中，有兩個不相等實數根的是（2A.x 4兀二次方程C.（X2)22D.(X 2)26B.4x24X4X10C.D.2X 100的根的情況是B.有兩個相等的實數根兒一次方程（X- 1）D.沒有實數根）D.有兩個實數根6、若關于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有兩個不相等的實數根，則 k 的取值范圍是（）有兩個不相等的實數根5、已知 bv0,關于 X 的A.有兩個不相等的實數根 B .有兩個相等的實

8、數C.有一個實數根=b 的根的情況是（C.沒有實數根A. kv1B. k1C. k=1 D. k07、若關于 x 的方程 x2-4x+m=0 沒有實數根，則實數 m 的取值范圍是（）A.mV-4B.m-4C.mv4D.m4&已知關于 x 的一元二次方程 x2+bx+b- 1=0 有兩個相等的實數根，則 b 的值是_29、若關于 x 的一元二次方程kx2x 1 0有兩個不相等的實數根，貝U實數k的取值范圍是（A. k 1B.k 1且kC. k 1 且 k 0D. k 1 且 k 010、設X1,X2是方程X23x3 0的兩個實數根，貝UXlX2的值為（）A.5B.-511.（2014?湖

9、北黃岡） 若C.1D.-1B是一兀二次方程X+2x- 6=0 的兩根，貝 Ua2+薩=（）A.B.32C16D. 4012.值為(A.- 10(2013?鄂州)已知 mB.13. (2014?菏澤)已知關于A. 1B.14.(2014 荊門)已知a是A.0VaV1C.1.5VaV2n 是關于 x 的一元二次方程 x2- 3x+a=0 的兩個解，若（m- 1） （n-C.- 4D. 10 x的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一個非零根-b，貝 Ua-b的值為（兀二次方程C. 0D. - 2X2-X-1 = 0 較大的根，則下面對a的估計正確的是（B.1VaV1.5D.2VaV31) =- 6

10、，貝 U a 的15. （2015?四川攀枝花第 9 題 3 分）關于 實數根，則 m 的取值范圍是（）的一元二次方程（2m - 2) x + (2m+1) x+m - 2- 0 有兩個不相等的正16.關于x的一元二次方程x2mx 2m0的一個根為 1，217.菱形 ABCD 的一條對角線長為 6,邊 AB 的長為方程 y -A. 8B. 20C. 8 或 20D .，方程的另一根為7y+10=0 的一個根，則菱形 ABCD 的周長為（）1018.已知整數kv5，若厶ABC的邊長均滿足關于x的方程x23Ax 8 0，則ABC的周長3 / 66 / 619. 設 xi, X2是方程 x2-x -

11、 2013=0 的兩實數根，：+T. =_ 20. 已知 m n 是關于 x 的一元二次方程 x2- 3x+a=0 的兩個解，若（m- 1） （n- 1） =- 6,則 a 的值為（）22n m24. （ 2015?四川涼 ft 州第 25 題）已知實數 m, n 滿足 3m +6m - 5=0，3n +6n - 5=0，且 m 審，則=m n25. 已知關于x的方程（m 2）x22（m 1）x m 1 0，當m為何非負整數時：（）（1）方程只有一個實數根；（2）方程有兩個相等的實數根；（3）方程有兩個不等的實數根.26. （2010 湖北孝感）已知關于 x 的方程 x2 2 （k 1） x+

12、k2=0 有兩個實數根 x , x .1 2（1 ）求 k 的取值范圍；（2）若X2乂必1，求 k 的值.27.已知關于 x 的一元二次方程 x2-2x-a=0.（1）如果此方程有兩個不相等的實數根，求a 的取值范圍；112如果此方程的兩個實數根為X1, X2,且滿足 +_ =-，求 a 的值.x1x2328. （2014 白銀）用 10 米長的鋁材制成一個矩形窗框，使它的面積為 6 平方米.若設它的一條邊長為 x 米，則根據題意可列出關于 x 的方程為（）A.x（5+x）=6B.x（5-x）=6C.x（10-x）=6D.x（10-2x）=629. （2013 哈爾濱）某商品經過連續兩次降價，

13、銷售單價由原來的125 元降到 80 元，則平均每次降價的百分率為_30. （2013 襄陽）有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有64 人患了流感.A.- 10B. 4C.- 4D.1021.已知,疋兀二次方程x25x 2 0的兩個實數根，則22的值為（)A. -1B. 9C.23D. 2722.如果方程 ax2 bx 6=0 與方程 ax2+2bx 15=0 有一個公共根是3,求 a, b 的值， 并求方程的另一個根.23.若 0 是關于 x 的方程（m 2）x2+3x+m2+2m 8=0 的解，求實數m 的值，并討論此方程解的情況.2019 中考一元二次方程專題復習X.（1）求每輪傳染中平均

14、一個人傳染了幾個人？（2）如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？31.某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是91,每個支干長出多少小分支？2019 中考一元二次方程專題復習X.32.學校舉行乒乓友誼賽，采用單循環賽形式（即每兩個隊要比賽一場），計算下來共要比賽66 場，問共有多少個隊報名參賽？33.參加一次足球賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共賽90場，共有多少隊參加?34. （2008，南京）某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為3m 寬的空地，其他三側內墻各保留1m 寬的通道當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區域的面

15、積是 288m2?35. （2014 宿遷）一塊矩形菜地的面積是 120 m2，如果它的長減少 2 m，那么菜地就變成正方形，則原菜地的長 是_m.36. （2014 麗水）如圖，某小區規劃在一個長 30 m、寬 20 m 的長方形 ABCD 上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與 AB 平行，另一條與 AD 平行，其余部分種花草.要使每一塊花草的面積都為 78 m2，那么通道的寬應設計成 多少 m?設通道的寬為 x m，由題意列得方程.37. （2015?湖北，第 21 題 6 分）如圖，一農戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m 的住房墻，另外三邊用 25m 長的建筑材料圍成，為方便進

16、出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m 寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2?38. （ 2015?畢節市）一個容器盛滿純藥液 40L,第一次倒出若干升后，用水加滿；第二次又倒出同樣體積的溶液, 這時容器里只剩下純藥液 10L，則每次倒出的液體是 _L .【能力提高】1. （2014 南京）某養殖戶每年的養殖成本包括固定成本和可變成本，其中固定成本每年均為增長.已知該養殖戶第 1 年的可變成本為 2.6 萬元.設可變成本平均每年增長的百分率為2: 1,在溫室內沿前側內墻保留4 萬，可變成本逐年X.2019 中考一元二次方程專題復習X.（1）_用含 x 的代數式表示第 3 年

17、的可變成本為萬元；（2）如果該養殖戶第 3 年的養殖成本為 7.146 萬元，求可變成本平均每年增長的百分率2. （2014?萊蕪）某市為打造“綠色城市”，積極投入資金進行河道治污與園林綠化兩項工程、已知2013 年投資 1000 萬元，預計 2015 年投資 1210 萬元若這兩年內平均每年投資增長的百分率相同（ 1）求平均每年投資增長的百分率；（ 2）已知河道治污每平方需投入 400 元，園林綠化每平方米需投入 200 元，若要求 2015 年河道治污及園林綠 化總面積不少于 35000 平方米，且河道治污費用不少于園林綠化費用的 4 倍，那么園林綠化的費用應在什么范 圍內？3. （ 20

18、15?畢節市）某商場有 A，B 兩種商品，若買 2 件 A 商品和 1 件 B 商品，共需 80 元；若買 3 件 A 商品和 2 件 B 商品，共需 135 元（1 ）設 A, B 兩種商品每件售價分別為a 元、b 元，求 a、b 的值；（2） B 商品每件的成本是 20 元，根據市場調查：若按（ 1）中求出的單價銷售，該商場每天銷售B 商品 100 件；若銷售單價每上漲 1 元， B 商品每天的銷售量就減少 5 件1求每天 B 商品的銷售利潤 y （元）與銷售單價（x）元之間的函數關系？2求銷售單價為多少元時， B 商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？4.某水果經銷商上月份銷售一種新上市的水果，平均售價為10 元/ 千克，月銷售量為 1000 千克，經市場調查，若將該水果價格調低至 x 元/千克， 則本月份銷售量 y（千克） 與 x （元/千克） 之間符合一次函數關系式y kxb， 當 x=7 時， y=2000;當 x=5 時，y=4000;（ 1 ）求 y 與 x 之間的函數關系式；（2）已知該種水果上月份的成本價為5 元/千克，本月份