1、第六章不等式第 1 課時 一元二次不等式及其解法重溫激材芬實基礎 課前”考點引領、婆畫點理自主學習掌握一元二次不等式解法，理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函數之間的關系并能靈活運用.模型. 通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系.會解含參數的一元二次不等式.1. （必修 5P 練習 2（2）改編）不等式 3x2 x 4W0的解集是 _ .答案：兇K xw324解析：由 3x x 4 0,得（3x 4）（x + 1）w0,解得一 K x0 的解集是_.答案：歆|x1（21解析： 2x x 10,.（2x + 1）（x 1）0,.x1 或 x0 的解集為 _.答案

2、：x| 3x12解析：原不等式可化為x + 2x 30，得3x0 對一切實數 x 恒成立，則實數k 的取值范圍是_ .答案：k2 或 k 22解析：由 = 4 4（k 3）2 或 k0的解集是| -,-，則不等式 x bx av0 的解集是J23答案：x|2x3解析：由題意知一 2, 1 是方程 ax2 bx 1 = 0 的根，所以由根與系數的關系得a = 6,22解得 b = 5,不等式x-bx-av0即為x-5x+6V0,解得2x0（或v0）.因此，可以通過 y = ax2+ bx + c（a豐0）圖象與 x 軸的交點求得一元二次不等式的解，具體如表所示:考點新知 會從實際情境中抽象出一元

3、二次不等式1a，2二次隔數”元二 次方程一元二次不尊 It股 式y = + Aj- +c(a 0)6=bl-4urajr-+hx + t = 0(u0)UJ1bx +c0axL+0m疋=工？X工；x)/V rTgy0(a0)的算法過程將原不尊式化成般殆云血坤肛十心(KQD)題根1 一元二次不等式的解法解關于 x 的不等式：ax2+ (a 2)x 20.#.Vi) )町不等式雜齊舟(xSRl- *-Y求h稈住上+bx+t-0方4i-dx2+A.+=0的兩個實數很口巧泣有實玻根題型分婁深度剖折課中技巧點撥要盍導學各個擊破1解：當 a= 0 時,3原不等式化為 x+ K0,解得 xw1.4等式的恒成

4、立問題)22)設函數 f(x) = mx mx 1.(1)若對于一切實數 x, f(x)0恒成立，求 m的取值范圍；(2)若對于 x 1 , 3 ,f(x) m+ 5恒成立， 求 m的取值范圍. 解：若 m= 0,綜上，4mc 0.要使 f(x) 5 在 x 1 , 3上恒成立，即1 ?3、mx + 4m 60 時，g(x)在1 , 3上是增函數， 所以 g(x)max= g(3) ? 7m- 60,6 6所以 m7，所以 0m7;當 m= 0 時，一 60 恒成立；當 m 0 時，原不等式化為當 av0 時，原不等式化為2當 a -1，2當 a =-1，當 av1,a綜上所述，當 2 =x|

5、x 亍或 xw1/av a=2 時,2 時,2xa2xa (x+1)w0.2解得一 1wxwa;%+1) 0,解得x a 或x-1解得 x = 1；” m 2 解得-w x 2 時,;當一 2vav0 時，不等式的解集為的解集為x|x = 1;當 av2 時，不等式的解集為1;當 a 0 時，不等式的解集為f 2x|-wxw 1 :當 a= 2 時，不等式f214 時，一君一vxv十2a,a x/a2 4a 亠 a+ fa2 4a當 av0 時，xv或 x2a2a題型2 一元二次不要使 mf mx- 10 恒成立， 顯然10;mQ2解得一 4mQ = m + 4mQ若 0,5所以 g(x)ma

6、x= g(1) ? m- 60, 所以 m6,所以 m2,_ 23)(1)已知函數 f(x) = x + ax + b(a , b R)的值域為0 ,+)，若關于 x 的不等式 f(x)c 的解集為x|mx0 恒成立，則實數 a 的的值域為0,+),2ab 7 =0， f(x)ax+2 丿 c,即一|- cx0,26 m(x x + 1) 60,所以 ms .x x+ 16 6因為函數y=px x +1. - 2(解法 2)因為 x x + 1 =在1 , 3上的最小值為刁所以只需237+ 4ma恒成立，求實數(2)當 x 2, 2時，f(x)a恒成立,解：(1)當 x R 時，f(x)a恒成

7、立，即=a 4(3 a)w0,解得6a恒成立, 立，令 g(x) = x + ax + 3 a, 0, 0,a 的取值范圍； 求實數 a 的取值范圍.x2+ ax+ 3 a0對任意實數 a的取值范圍是6, 2.x 恒成立，則即 x + ax + 3 a 0 對任意 x 2, 2恒成ig(-2) 0解得7 0,題型3 三個二次之間的關系)例取值范圍是答案：(1) 9a|a 3解析:a22a4.(1)由題意知 f(x) = x + ax + b= |x + b 丁 f(x)/ f(x) (x + 2x) = g(x)恒成立.而 g(x) = (x + 2x) = (x + 1) + 1 在1,+s

8、)上單調遞減, g(x)max= g(1) = 3，故 a 3.實數 a 的取值范圍是(一 3,+).備選變式(教師專享)1, 1 是方程 x2+ px+ q= 0 的兩實數根,_21212不等式 qx + px + 1 0 可化為一 gx + x + 10，即 x x 6v0，解得一 2vxv3,2 不等式 qx + px + 1 0 的解集為x| 2vxv3.題型,4 一元二次不等式的應用)Z1,4)一個服裝廠生產風衣，月銷售量x(件)與售價P(元/件)之間的關系為 p= 160 2x,生產 x 件的成本 R= 500+ 30 x(元).(1)(2) 解:該廠月產量多大時，月利潤不少于1

9、300 兀？當月產量為多少時，可獲得最大利潤，最大利潤是多少？2(1)由題意知，月利潤 y= px R,即 y = (160 2x)x (500 + 30 x) = 2x + 130 x500.由月利潤不少于1 300 元，得一 2x2+ 130 x 5001 300, 即卩 x2 65x + 900W0,解得20WxW45,故該廠月產量在 2045 件時，月利潤不少于 1 300 元.亠2|65 Y 3 225(2)由(1)得，y= 2x + 130 x 500= 2 x 三 +,由題意知，x 為正整數，故當 x = 32 或 33 時，y 最大為 1 612 ,所以當月產量為 32 或 3

10、3 件時，可獲得最大利潤，最大利潤為1 612 元.備選變式(教師專享)某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品 x(百臺)，總成本為 G(x)(萬元)，其中固定成本為 2 萬元，并且每生產 1 百臺的生產成本 為 1 萬元(總成本=固定成本+生產成本)；銷售收入 R(x)(萬元)滿足：R(x)=一 0 4x+4.2x0.8,0WxW5,假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律求下列問題.10.2 , x5,(1)要使工廠有贏利，產量 x 應控制在什么范圍內？(2)工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？解：依題意，G(x) = x+ 2，設利潤函數為 f(x

11、)，貝 U產2(2)/ x1,+s)時，f(x)x2+ 2x+ ax0 恒成立，即2x + 2x + a0 恒成立,已知答案:解析:x2+ px+ qv0 的解集為制2x 0 的解集為 _x|2vxv32 x + px + qv0 的解集為由根與系數的關系得12=P，- 2 =q,解得1p=6180.4x+3.2x2.8,0WxW5,f(x)=8.2 x, x5.(1)要使工廠有贏利，即解不等式f(x)0 ,當 0WXW5時，解不等式一0.4X2+3.2x 2.80 ,2即 x 8x + 70,得 1x7,. 15 時，解不等式 8.2 x0,得 x8.2 ,二 5x8.2.綜上所述，要使工廠

12、贏利，x 應滿足 1x8.2，即產品產量應控制在大于100 臺，小于820 臺的范圍內.(2) 當 OWx5 時，f(x) 0? 2x 1,得函數的定義域為(一 2, 1.I厶2.(2017 蘇錫常鎮一模)已知集合 U= 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, M= x|x2 6x + 5 0,x Z，則？uMA_.答案：6 , 7解析：M= x|1 x 0,所以 5 x 1 , x 4，則一 2 x 0,4.已知函數 f(x) =i2則不等式 f(f(x)3的解集為_.|x + 2x, x0 ,答案：x|x 0時，f(f(x)= f( x) = ( x) 2x 3，即(x 3)(x +

13、1) 0,解得 2 2 2 2 20 x 3;當一 2vxV0 時，f(f(x) = f(x + 2x) = (x + 2x) + 2(x + 2x) 3,即(x + 2x 1)(x2+ 2x + 3) 0,即一 2VxV0; 當 x 2 時，f(f(x)= f(x2+ 2x) = (x2+ 2x)2 3，解得 x 2.綜上，不等式的解集為x|x 0,2i 2若 f(3 a)Vf(2a)，則實數 a 的取值范圍是x2x,xv0,答案：(3, 1)2.定義在 R 上的運算：x*y = x(1 y)，若不等式(x y)*(x + y)v1 對一切實數 x 恒成3.1.已知函數 f(x)解析：3 a

14、2畫出如圖，2a，解得3vav1.f(x)的圖象,/ f(3a2)vf(2a),10，則實數 y 的取值范圍是答案：一 1 31 2，2 丿解析：2 2 2 2/ (xy)*(x+y)=(xy)(1xy)=xxy+yv1, /. y+yvxx+1,223 一 13要使該不等式對一切實數x 恒成立，則需有y + yv(x x + 1)min=4，解得yv?.11_ 23._ 已知 f(x)是定義域為 R 的偶函數，當 x0時，f(x) = x -4x，那么不等式 f(x + 2)5 的解集是_ .答案：x| 7x3222解析：令 x0,vx0時，f(x) = x 4x,. f( x) = ( x

15、) 4( x) = x + 4x.又 f(x)為偶函數，2,x2 4x, x 0, f( x) = f(x)，二 x0 時，f(x) = x + 4x，故有 f(x) = &2再求 f(x) 0,x0,的解，由=2得 OWxv5;由2得一 5x0，即 f(x)5 的解集為(一 5,5) 由x 4x5,x + 4x5 ,于 f(x)向左平移兩個單位即得f(x + 2)，故 f(x + 2)5 的解集為x| 7x3 4._已知函數 f(x) =x + 3ax 1 ,g(x) = f (x) ax 5,其中 f (x)是 f(x)的導函數.對 滿足Kawl的一切 a 的值，都有 g(x)0，

16、則實數 x 的取值范圍是 _.f 2-3x x 20,2即*2解得一石x1.3x + x 80, ax + bx + c0 ,應先討論 a 與 b 的大小再確定不等式的解，解一元二次不等式的一般過程是：一看(看二次項系數的符號)，二算(計算判別式，判斷方程的根的情況)，三寫(寫出不等式的解集).3.應注意討論 ax2+ bx + c0 的二次項系數 a 是否為 0.4.要注意體會數形結合與分類討論的數學思想.分類討論要做到“不重” “不漏”“最簡”的三原則.備課札記23 j)解析：由題意，知答案:g(x) = 3x ax + 3a 5，令 (a) = (3 x)a + 3x 5, 1waw1.

17、對1waw1,恒有 g(x)0，即 (a)0 , (1) 0,(1) 0,2. (必修 5P86練習 2(1)改編)不等式組*x+ y0,所表示的平面區域的面積是iXW3答案：25解析：直線 x y+ 4= 0 與直線 x+ y= 0 的交點為 A( 2, 2)，直線 x y + 4= 0 與直線 x =3 的交點為 B(3 , 7)，直線 x+ y = 0 與直線 x= 3 的交點為 C(3, 3)，則不等式組表示的 平面區域是一個以點A( 2, 2) , B(3 , 7) , C(3, 3)為頂點的三角形，所以其面積為SABC1=X5X10=25.x0,y 0,3. 設實數 x, y 滿足

18、 則 z= 3x + 2y 的最大值是 _.x+yw3,2x + y x ,4. (必修 5P89練習 2 改編)設變量 x , y 滿足約束條件：(X + 2ykx+ b 表示直線 y= kx + b 上方的平面區域, y 0,所表示的平面區域的面0wxwt3積為 2,則答案:t 的值為解析:交點 B(t ,ywx+1,不等式組y 0,所表示的平面區域如圖中陰影部分所示由0wxwtt + 1).在 y = x+ 1 中，令 x = 0 得 y = 1,即直線 y = x+ 1 與 y 軸的交點為 C(0 ,(1 +t+1)XtI，得 t2+2t-3=0,解得 t=11).由平面區域的面積S=

19、合題意，舍去).。變式訓練Jj1A/”=+ L摻若不等式組x+y-2W0,x+2y-20,x-y+2m0答案：1解析：如圖,y = x + 1,解得x = t ,一4表示的平面區域為三角形，且其面積等于 3,則要使不等式組表示的平面區域為三角形，則-2m 0,ELI,2)設變量 x, y 滿足 x+ y 30,則目標函數 z = 2x + 3y 的最2xy3W0,小值為;x+y 0,(2)變量 x, y 滿足約束條件 x 2y+ 20,若 z = 2x y 的最大值為 2，則實數 m=!mx yw0.答案：7(2) 1解析：(1)作出可行域如圖所示，目標函數 z = 2x+ 3y 的幾何意義是

20、直線 y = |x + 在y 軸上的截距為彳，因此 z 的最小值也就是直線截距的最小值，平移直線 y = fx,經過點 B(2,331)時，Zmin= 2X2+ 3X1= 7.x + y 0,(2)如圖所示，目標函數 z = 2x y 取最大值 2，即 y = 2x 2 時，畫出*表x2y+20示的區域，由于 mx y0,yw2.(1)若 z = ，求 z 的最大值和最小值，并求z 的取值范圍；x(2)若 z = x2+ y2，求 z 的最大值與最小值，并求z 的取值范圍.xy+1w0,解：由 x0,作出可行域，如圖中陰影部分所示.yw2,答案：15/t/ Xyy(1) z =表示可行域內任一

21、點與坐標原點連線的斜率，因此的范圍為直線 0B 的斜率到xx一x y + 1 = 0, 一直線 OA 的斜率(直線 OA 的斜率不存在，即 Zmax不存在)環得 B(1 , 2)，二 k0By= 2,2=1 = 2,即 Zmin= 2,. z 的取值范圍是2 , +m).(2) z = X2+ y2表示可行域內的任意一點與坐標原點之間距離的平方.因此X2+ y2的值最22xy+1=0,小為 oA(取不到)，最大值為OB.由弋得A(O, 1),x = 0,0A2= 02+ 12= 1, 0 扌=12+ 22= 5.Zmax= 5, Z 無最小值. z 的取值范圍是(1 , 5.題型匚 1,3 線

22、性規劃的實際應用)EX1,3) 某企業生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A 原料 3噸，B 原料 2 噸，生產每噸乙產品要用 A 原料 1 噸，B 原料 3 噸.銷售每噸甲產品可獲得利潤 5 萬元，銷售每噸乙產品可獲得利潤3 萬元，該企業在一個生產周期內消耗A 原料不超過 13噸，B 原料不超過 18 噸，求該企業可獲得的最大利潤.12x+3y3w0,1.（2017 課標H）設 x, y 滿足約束條件2x 3y + 30,貝Uz = 2x + y 的最小值是y + 3 0,解：設甲、乙兩種產品分別需生產z 萬元，則 z= 5x + 3y.由題意可得,3x+yw13,2x + 3y 0,

23、y 0.作出可行域如圖所示.由圖可知當z = 5x+ 3y 經過可行域中的點(3 , 4)時，直線 z = 5x+ 3y 在 y 軸上的截距最大，故該企業可獲得的最大利潤Zmax= 5X3+ 3X4= 27（萬兀）.回克性規劃町實玩商用一x, y 噸，利潤為答案：1512192. (2017 南京、鹽城)已知實數 x,解析：目標函數即 y= 2x+ z，其中 z 表示斜率為 k = 2 的直線系與可行域有交點時 z= 12 3= 15.y滿足彳x+yW7，則;的最小值是-X + 2 1,貝 U z = 3x 2y公yw0,的最小值為答案：5解析：不等式組表示的可行域如圖陰影部分所示,易求得 A

24、( 1, 1) , B 3，越大，z 就越小，所以當直線 z= 3x 2y 過點 A 時，z 取得最小值, 1)2X1= 5.|x | 在 y所以 i 的最小值為 3X(軸上的截距x 1，4. (2017 無錫期末)設不等式 x yw0,表示的平面區域為x+yW4M 內的點，則實數 k 的取值范圍是_ .答案：2 , 5解析：由約束條件作出可行域，如圖陰影部分所示.因為函數M.若直線 y= kx 2 上存在y= kx 2 的圖象是過點A(0， 2)，且斜率為 k 的直線 I，由圖知，當直線 I 過點 B(1 , 3)時，k 取最大值 5,當直線 I 過點 C(2 ,2)時，k 取最小值5 20

25、21精融題屋丄型導)|yWx1,1.已知實數 x, y 滿足 xw3, 則 z = 2x y 的最大值是x + y 4,答案：5解析：作出可行域如圖陰影部分所示，發現當直線z= 2x y 過點 C(3, 1)時，目標函數z 取最大值，且最大值為 5.2.若實數 x, y 滿足 y x 10,若不等式 4x2+ y2 axyW0恒成立，則實數 a 的最 y 4 0,y4w0,yy 4x得2wxw4.由已知得a】+則實數a的最小值為 5.y 4xx+4y13W0,4.已知變量 x, y 滿足約束條件 2y x+ 10, x + y 4 0, 個點(x , y)使目標函數 z = x + my 取得

26、最小值，則 答案：1且有無窮多mi=解析：作出線性約束條件表示的平面區域，如圖陰影部分所示.L -04-13=0 2 3 45 6若 m= 0，則 z= x，目標函數 z = x + my 取得最小值的最優解只有一個，不符合題意；若222311 z說 0,則目標函數z=x+rny 可看作斜率為-m 的動直線 y 一 mx+mi若 m0,數形結合知使目標函數z = x + my 取得最小值的最優解不可能有無窮多個；1一若 m0,則m0(0,0, kx + b(,0 時，求目標函數 z= ax + by+ c 的最值的步驟：(1)作出可行域；(2)作出直線 lo： ax+ by = 0;(3)平移

27、直線 10： ax+ by = 0,依可行域判斷取得最值的最優解的點；(4)解相關方程組，求出最優解，從而得出目標函數的最值.3.常見的非線性目標函數的幾何意義：(1),x2+ y2表示點(x , y)與原點(0 , 0)的距離；(2), (x a)2+( y b)2表示點(x , y)與點(a , b)的距離；y(3)三表示點(x , y)與原點(0 , 0)連線的斜率值；y b(4)表示點(x , y)與點(a , b)連線的斜率值.備課札記x a|騷難指豈/24第 3 課時 基本不等式（對應學生用書（文）、（理）9798 頁）.二重溫教材夯實基破,課前考點盲 要蠱梳理自主學習：?1S J

28、tffi考點靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝實再*尋少衿*尋夸*專直夸球夸少*晦夸少審尋夸審*總*來夸余審尋事審吝*夸來來少*畝尋BBSE1._（必修5F99練習 4 改編）若實數 a, b 滿足 a+ b = 2,貝U3a+ 3b的最小值是 _ .答案：6解析：由基本不等式，得 3a+ 3b2：3a 3b= 2 3a+ b= 6，當且僅當 a= b= 1 時取等號, 所以 3a+ 3b的最小值是 6.12._（必修5Pi05復習題 9 改編）若 f（x） = x+ - 2（xV0），貝Uf（x）的最大值為 _X答案：423._ (必修5屜復習題10改編)若 x 3，則 x+ x3 的最小值為 _

29、.答案：2 2 322 ! 2解析： x+30,.x+x=(x+3)+x32(x+3)Xx3=2 頁3,解析: 因為 xT7 三a恒成立，所以ax12* I .又 T=Wx 十 3x 十 1 max x + 3x 十 11x + 一十 3x1 1x =-，即 x = 1 時等號成立，所以 a5.5.（原創）已知 a0, b0,若不等式-十二2 1m2叫恒成立，則 m 的最大值為a b 2a+ b答案：9解析：原不等式恒成立等價于(2a+ b) I ，而|+1i(2a 十 b) = 5+2b十半_minva b/a bmin 5 十 2. 2b 2a=9,當且僅當a= b 時等號成立.所以m 0

30、,b 0;(2)等號成立的條件：當且僅當等號；(3)結論：兩個非負數 a, b 的算術平均數不小于其幾何平均數.3.幾個重要的不等式(1)重要不等式：a2+ b2 2ab(a , b R).當且僅當 a = b 時取等號.abwa= b 時取等號.ab(a , b R)，當且僅當a= b 時取等號.備課札記2651已知 x2)在 x= a 處取最小值，則 a =_ .x 2答案：(1)1(2) 351(1解析：(1)因為 x0，則 f(x) = 4x- 2 + x二 5 =- 5-4x + 頁不 + 32，所以 x 20,則 f(x) = x+ 口 = (x 2) + 口 + 22/ (x 2

31、)21+ 2 = 4,當且僅當 x 2=，即 x= 3 時取等號.x 2所以當 f(x)取最小值時，x = 3, 即卩 a= 3. 。變式訓練9、 2y 9x/2y 9x廠由題意可得 x+2y=(x+2y)x+y =19+719+2廠19+6 2，當且僅當乎=牛,即9X2=2y2時取等號，故 x+加的最小值為19+62.2通過常數代1 通過配湊法)1)若4vxV1，求2x 2x+ 21解： 2x 2= 2 4Vxv12x 2x + 2二、宀的最大值.2x 2(x 1)2+111x= 2(x1)+xI=1(x 1) 0,0.(x 1)從而(X1)+-2,-(X1丿1; 12 ( x 1 )1W1

32、,當且僅當一(x 1)=，即 x = 0 時取等號.即(x 1 )備選變式(教師專享)19正數 x, y 滿足-+ = 1.x y求 xy 的最小值；求 x + 2y 的最小值.1 9鬥_91(1)由 1 = - + -2得 xy 36,當且僅當-=x y x yx(1)解:2x 2x + 21+( x 1 )=1.2x 2 max9y，即x=2，y=18時取等號,題型要點導常各個擊就利用基本不等式求最值27換法或消元法利用基本不等式求最值)28822)(1)已知 x0, y0 且 x+ y = 1,則-+ -的最小值為(2) 已知 x0, y0, x + 3y + xy = 9，則 x +

33、3y 的最小值為 _.答案：29解析：(1) 186(1)(常數代換法)/ x0y0 且 x + y= 1, 8+2=x y+ y) = 10 +8y+2x 10 + 2 x y8yx2x=18. y8y 2x=，即 x = 2y 時等號成立， x y218 2當 x = , y =石時，-有最小值 18.33x y9 3y由已知得 x=.1 + y(解法 1 ：消元法)當且僅當x0，y0 ,y0 , y0,. 9 (x + 3y) = xy = gx (3y) 0，則 t + 12t 1080, (t 6)(t + 18) 0.又 t0 , t 6.故當 x= 3, y = 1 時，(x +

34、 3y)min= 6.。變式訓練(1)已知正實數 x, y 滿足 xy + 2x + y = 4，則 x + y 的最小值為_(2)若 x, y (0 ,+)且 2x+ 8y xy = 0，則 x+ y 的最小值為答案：(1) 26 3 (2) 184 2x6解析：(1)由 xy + 2x + y = 4,解得 y =x+，貝 V x+ y = x 2+ x+1 = (x + 1) +x+1326 3，當且僅當 x=6 1 時等號成立.(2) 由 2x+ 8y xy = 0，得 2x+ 8y = xy, 82、 8y 2xX+y=(x+y)x+廠10+7+廠10+22 8+ =1,y x4y

35、x+一10+2X2xy4yxy=18,當且僅4y x當，即 x= 2y 時取等號.又 2x+ 8y xy = 0,二 x = 12, y = 6,即當 x= 12, y = 6 時，x + y 取最小值 18.題型3 基本不等式與函數的綜合應用)3) 已知函數 f(x)2x + ax + 11-1-(a R)，右對于任意xN,f(x)3恒成立，則 a 的取值范圍是30(8、x + 3.8*設 g(x) = x+ -，x N .x g(x)在(0 , 2 農上單調遞減，在2 寸 2,+m)上單調遞增，而 xN,Ag(x)在 x 取距離 2 2 較近的整數值時達到最小，而距離 2 2 較近的整數為

36、 2 和 3,且 g(2) = 6, g(3)=亍41x+x+3x2=xy + 6x2,答案：|-3,解析：對任意-pmx N*, f(x)3恒成立，即2 x + ax + 11x+ 1可得 g(2)g(3), g(x)min=178、 8- - x+x +3- 3,故 a 的取值范圍是3。變式訓練要制作一個如圖的框架(單位：m),要求所圍成的總面積為19.5 m1 2,其中四邊形 ABCD是一個矩形，四邊形 EFCD 是一個等腰梯形，梯形高h = AB, tan / FED=3，設 AB= x m , BC=y m.(1)求 y 關于 x 的函數解析式；怎樣設計 x, y 的長度，才能使所用

37、材料最少?解:H H(1)如圖，作 DHLEF 于點31/ x 0, y0,所求解析式為 y= I9-0vxv65.2x 6 i533(2) 在 Rt DEH 中，Ttan /FED-,Asin / FEB?45DE =基丄 5=5x,sin / FED 236，設框架的周長為 I m.395=2y+6x=廠 3x+6x AB = 3 m, BC= 4 m 時，能使整個框架所用材料最少.湮型匚I,4 基本不等式的實際應用）ELI,4）某單位擬建一個扇環面形狀的花壇（如圖所示），該扇環面是由以點 O 為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點O 的兩條直線段圍成的按設計要求扇環面的周長為 30 m,其中

38、大圓弧所在圓的半徑為10 m.設小圓弧所在圓的半徑為 x m 圓心角為9（弧度）.（1）求9關于 x 的函數解析式；（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為 4 元/米，弧線部分的裝飾費用為 9 元/米設花壇的面積與裝飾總費用的比為y,求 y 關于 x 的函數解析式，并求出 x 為何值時，y 取得最大值.解：(1)由題意可得，30=9(10 + x) + 2(10 x)，所以9=(0vxv10).10 十 x所以當 x = 1 時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大.備選變式（教師專享）去年冬季，我國多地區遭遇了霧霾天氣，引起口罩熱銷.某品牌口罩原來每只成本為6元，售價為

39、 8 元，月銷售 5 萬只.（1）據市場調查，若售價每提高 0.5 元，月銷售量將相應減少 0.2 萬只，要使月總利潤 不低于原392x0,解得 0vxv工6565則 l = (2x + 2y)5+2Xx+639x當且僅當3913即 x= 3 時取等號,此時 y392x5x = 4,6裝飾總費用為x1 2+ 5x 十 50170+10 x=99（10 十 x）十 8（10 x） = 170 十 10 x，所以花壇的面積與裝飾總費用的比x2 5x 5010 (17 十 x)丄103243t尸而當且僅當 ty=18時取等129= 1122X3x+2 23答案：732來的月總利潤（月總利潤=月銷售總

40、收入一月總成本），該口罩每只售價最多為多少元？33(2)為提高月總利潤，廠家決定下月進行營銷策略改革，計劃每只售價投入 w(x 9)萬元作為營銷策略改革費用.據市場調查，每只售價每提高51.(2017 蘇北四市模擬)若實數 x, y 滿足 xy + 3x = 3 0 xv是_.答案：8313111解析：由已知得 x =,而 0 x 3.則：+= y + 3+= y 3+y 十 32x y 一 3y 一 3y 一 3x(x 9)元，并0.5 元，月銷售量將相應減少0.2(x 8)則當每只售價x 為多少時，下月的月總利潤最大？并求出下月最大總利潤.解：(1)設每只售價為x 元(x8)x 85研X0

41、.2 (x 6) (8 6)X5,二378 25 (x 8)5答：當 x = 10 時,2.4 0.4x 1x 8 5x+T -、26,2(x5-4x 85(x8) + -5-x 8，即 x = 10 時取等號，ymax= 14.6) (x 9)=74+ 5=4，當且僅當2555 (x 8)5下月的月總利潤最大，且最大利潤為14 萬元.13411解析：由 x+y=1得 X+2+y+1=4, xT2 + yT7 =；+ 1 +4Jxf+x 1(5 + 4) = 4,當且僅當 1ii = 9y + 1 min 4.x + 2 + y + 1) = 442 1x =2, y = 3 時取等3. (2

42、017 泰州、南通模擬)若正實數 x, y 滿足 x + y = 1,則?+牛的最小值是答案:解析:8y41 x 4_+ _ =xy xy+ = -+4(x + y) 1=y+4x+ 48.當且僅當-=4x，即幺 Wx yx y1 x=-,y =3 y2 時取等號.4. (201a 217 蘇錫常鎮二莫)已知 a, b 均為正數，且ab- a-2b=0，則才-2 + b2的最小值為號即答案：7343“、1 、十 68,當且僅當 y= 4, x =刁時等號成立.即一十=8.7幺 y 3 _min352a2+b422a 221 a2_ +b 匚=-7+b17.4a b 45. (2016 江蘇卷)

43、在銳角三角形 ABC 中，若 sin A = 2sin Bsin C ，貝 U tan Atan Btan C 的最小值是.答案：8解析：(解法 1)Tsin A = 2sin Bsin C , sin A = sin(B + C)= sin Bcos C + cos Bsin C , / sin Bcos C +cos Bs in C = 2s in Bsi n C ,兩邊同除以 cos Bcos C，可得 tan B + tan C = 2tan Btan C ,tan B + tan Ctan Atan Btan C = tan(B + C)tan Btan C = tan Btan C

44、 =1 tan BtanC22 (tan Btan C )解析：Ta , b 均為正數，且ab a 2b= 0, 即卩 a+ 2b = ab,. - + b = 1.a b2 2則冷a+bb=I+/1.當且僅當 a= 4, b = 2 時取等號.2+b2 8，當且僅當a= 4, b= 2 時取等號.7.忽視最值取得的條件致誤)1 2典例 (1)已知 x0, y0,且 x + y = 1，貝 U x + y 的最小值是 _3(2) 函數 y= 1 2x(xv0)的最小值為 _.x易錯分析：(1)多次使用基本不等式，忽略等號成立的條件.如：xy 2 2 , x + y 2 xy 4 2,. (x

45、+ y)min= 4 2.(2)沒有注意到 xv0 這個條件，誤用基本不等式得2x +2 6.解析：(1) / x 0, y 0,x+y=(x+y) 1+* 2=3+氣3+22(當且僅當 y= .2x時取等號),a一2b2b- a1 -b+tan Ata n Bta n C 8,當且僅當 tan A = 2tan Btan C = 4 時取等號.363,4，利用線性規劃，可知z= 3x + 8y 分別在 （2 , 3）和 3, 4 處取最值，可得3a；8b的取值范圍是27 , 30.ac c c f 54. (2017 無錫期末)已知 a0, b0, c2，且 a + b = 2,貝 U +

46、的最小值為b ab 2 c 2答案：，10+ ,5ac c c /5 ia 115解析：由a0,b0,c2,且a+b=2,得 ac+不-2+c2=cb+爲-2+三當 x = ；2 + 1, y = 27：/.2 時，(x + y)min= 3 +2:：.、:23(2)/ xv0,. y = 1 - 2x-= 1 + ( - 2x) +1+ 2 (-2x ) -x = 1 + 2 護,等號，故 y 的最小值為 1 + 2 6.答案：（1）3 + 2 2（2） 1 + 2 6特別提醒：（1）（2） 盡量避免多次使用191._ 已知正數 a, b 滿足+ -=yab- 5，貝 U ab 的最小值為

47、_ab，得 ab ab-60,解得 /ab6, ab36.2.已知牛取最小值時，實數 a的值是答案：-解析:21 * |a|a+屮1 a2|a| b 4|a| bb = 4 時等號成立.3. （2017 南京三模）已知 a,b,c 為正實數，且 a+ 2b 8c,232 3a + 8b計薩c，則 V 的取值范圍是_.答案：27 , 30解析：因為 a，b，c 為正實數,a 2 b2a+2b8c的左右兩邊同除以c，得 a+/8；對 a+32,2c 3cw-的左右兩邊同乘 c,得一+ 0,Iy 0,ax = _,c.x0,y 0,y=b，則條件可轉化為x + 2yw8,再進行化簡，可得 x + 2

48、yw8,2 3 + -_+,2 2x 233轉化為線性規劃的問題，畫出可行域，對y= 2+2 求導，并令導函數值為-8 可得切點橫坐標為 3，代入曲線，計算出切點坐標為當且僅當 x=-a+ b = 2,1= 3，當且僅當 a=- 2,卜丄+乩一1 + 24|a|4|a| b 437=10+5.當且僅當 c= 2+ 2 時等號成立.疑唯指m/m/a + ba, b R,而一廠 ab 成立的條件是 a0,時要注意公式成立的前提條件.2.在運用基本不等式時，要特別注意拆、 拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“一正”（即條件中字母為正數）“二定”（不等式的另一邊必須為定值）“三相等”（等號取得的條

49、件）.3.正確理解定理：“和一定，相等時積最大；積一定，相等時和最小”.4.連續使用公式兩次或以上，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.5.掌握函數 y = ax+ -（a0, b0）的單調性，特別是當運用基本不等式不能滿足“三相X等”時.備課札記c（2a2+2ab）卜呂由 2=上乎）2,可得22( a + b)亠22a + ab222a + 2 ab25a + b2abc 222ab2ab葺誥二#，當且僅當 b = 5a 時等號成立，則原式-25c +52=，訂（c 2）4ab1+ +1c 21. a2+ b2 2ab 成立的條件是b 0,使用(c 2 )丄 + 1 c 238第 4

50、課時 不等式的綜合應用（對應學生用書（文）、（理）99100 頁）.二重溫教材夯實基破,課前考點盲 要蠱梳理自主學習：?1S Jtffi考點靳舟）咚菽少*套存夸夸少*吝實再*尋少衿*尋夸*專直夸球夸少*晦夸少審尋夸審*總*來夸余審尋事審吝*夸來來少*畝尋回歸教材41._ （必修5RO2習題 7 改編）函數y = x + -（x豐0）的值域是 _X4,47-=4 ;當 x pq，所以方案丙提價 最多.（1、x|3.設 x R, f（x）=；，若不等式 f（x） + f（2x）Wk對于任意的 xR 恒成立，則實數 k 的取值范圍是_ .答案：k22 84.（必修5PW6復習題 16 改編）已知 x

51、0, y0 且滿足+ - = 1,貝 U x + y 的最小值是答案：18 倫 8、2y 8x(掌握不等式的綜合應用；掌握基本不等式的綜合應用；掌握不等式與其他函數方程等知識的綜合應用.解決應用性問題的基本思路：讀題（背景、結論）一條件一建模一解題一反思一作 答.答案：(一a,4U4,+)4解析：當 x0 時，y = x + x次提價%其中 pq0,上述三種方案中提價最多的是解析：不等式轉化為kA岡 +|2x,因為1|x|2 (0,1，所以 kA2.39解析： x0, y0, x + y = (x + y) += 2 + 8+ A10+ 2 16= 18,當且僅x yxy2y 82 8當一=時

52、等號成立.又-+-= 1 , 當=6, y = 12 時，x+ y 有最小值 18.yx yocxi-思疋魁媳 6Aqe.OA哮JOA(L十哮)0哮)J品o+yAe + q+BHqe亙粵CXIAq十eeoAq02曲直s(oo+ol -Mw亙o+q+enqeBq 6報HT.9412解：由 x x 20 得 xv1 或 x2,由 2x2+ (5 + 2k)x + 5kv0 得(2x + 5)(x + k)v0, 因為一 2 是原不等式組的解，所以kv2.亠亠 5由(2x + 5)(x + k)v0 有一vxvk.因為原不等式組的整數解只有一 所以一 2v kw3, 故 k的取值范圍是 。變式訓練際

53、問題中的應用)中 k 為常數，且 60wkw100.(1)若汽車以 120 km/h 的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 L，欲使每小時的油耗不超過 9 L ,求 x 的取值范圍；(2)求該汽車行駛 100 km 的油耗的最小值.解：(1)由題意，當 x = 120 時，1x k+由1x 100 + 45wxw100./ 60wxw120,60wxw100.課中技巧點撥要點導常各個擊就題型分翼謙度剖析1 含參數的不x+ 5kv的解集中所含整數解只有-2,2,即一 3wkv-3,2).ax 1 0 (a x + 1解：原不等式等價于(ax 1)(x 當a = 0 時，解關于 x 的不等式當 a

54、 0 時,當 av0 時,若-v1,a若- = 1,a若-1,a+ 1) 0.由一(x + 1) 0，得 xv1;x (x + 1) 0，解得 xv1 或 x -;a ，ax-a (x+1)v0；1不等式化為不等式化為即一 1vav0,則一vxv1 ；a即 a=- 1,則不等式解集為空集;1 即av 1,則一 1vxv-.af. 1av1 時，解集為 1x| 1x-；a= 1 時，原不等式無解；1vav0 時,.1aJ2 不等式在實11x 0 時，解集為，x|x=乙路行車安全，要求2) 某輛汽車以 x km/h 的速度在高速公路上勻速行駛(考慮到高速公60wxw120)時，每小時的油耗(所需要

55、的汽油量)為1x k +4 500 x，其4500=11.5，所以 k=100.xw9,得 x2145x+4 500w0,解集綜上所述,42（2）設該汽車行駛 100 km 的油耗為 yL ,則100y=1令 t=J，則 t|百4 500 x: 1 11 120，60 J=2020k+90 00(60wxw120).:x x2( k y = 90 000t 20kt + 20= 90 000 t 9k9 000|r_150 90.k9 000k2，即 x =時，ymin= 20 ；9 000k9001105 k即 60wkv75,則當 t = ，即 x = 120 時，ymin=.120462

56、0為L；當60wkVk對稱軸為直線 t = 9000.T60wkw100,1k1右 9 0001202若丄,9000120答：當 75Wk0, y 0,則二+y的最小值為.xy當且僅當x=型，即 y xx + 8y的最小值為xy16y=18,x1答案：.2 1yx y 1解析：設=t0貝 U+-=一解析:設 x10,則 x + 2y+x 1 + 2t1 1 2 1y=時取等旦x號3.若 x, y, z 均為正實數，且2x2+ y2+ Z2=1，則丄僉嚴的最小值為答案：3+ 2 2 解析：x, y, z 均為正實數，且y 時取等號，則2 2(z +1)(1 + z)1 + z11rp = 3+

57、2 . 2.當且僅2xyz z (1 z ) z (1 z)31+z)3 2 住1 + z當 z = 2 1, 即卩 x = y= . 2 1 時，取得最小值 3 + 2 2.414.已知 xy 0，且 x + y 2xy，當且僅當 x =答案：9解析：由Tx , y 均為正實數， xy = 8+ x + y8+ 2 xy(當且僅當 x= y 時等號成立)，即 xy 2 xy 80,解得 xy 4，即 xy 16.故 xy 的最小值為 16.變式訓練1 x已知 x+ y= 1, y0, x0，則7 的最小值為2x y+1答案：541 xx + y x 1 y 1 y解析：將 x + y= 1

58、代入廠+ 中，得 + +.設=t 0,則原式2x y+ 12x x+ 2y 2 2x 2y x1 +x2 21 +11 2t + 3t + 31(1 + 2t ) + 2t + 1 + 4141=+=一(1+2t)+1 X21+ 2t 2 (1 + 2t )41 + 2t41 + 2t4+ 1)-)11+ 2t+ 2tX245461平行四邊形 ABCD 的面積為S?ABC=2X X1X2sin 1201-L/3當點 F 與點 D 重合時，SACFE=CE- CD- sin 120 =x.1SACFE=4S?ABCD E 是 BC 的中點.當點 F 在 CD 上時，1SACFE=sin 1202

59、1 CF =_.x在厶 CFE 中，EF= CE+ CF 2CE- CF- cos 120 y = 寸 x2+ *+ 13，當且僅當 x= 1 時取等號, 此時 E 在 BC 中點處且 F 與 D 重合，符合題意；當點 F 在 DA 上時, DF = 1 x.(i) 當 CE DF 時，過 E 作 EG/ CD 交 DA 于 G,在厶 EGF 中，EG= 1, GF= 2x 1,ZEGF= 120。，由余弦定理得 y= , 4x2 2x +1 ;由（i） , （i）可得 y= .4x2 2x + 13此時 E 在 BC 的八等分點（靠近 C）處且 DF= 4 百米，符合題意; 由414 (x

60、y) x+ 3y4 (x y)xV3y(X + 3y) + (x y)x + 3yx y5當且僅當 2（x y） = x + 3y，即 x= 5y= 3 時，取得最小值5. （2017 蘇州期中）如圖，有一塊平行四邊形綠地ABCD 經測量 BC= 2 百米，百米，/ BCD= 120,擬過線段 BC 上一點 E 設計一條直路 EF（點 F 在四邊形 ABCD 勺邊上， 不計路的寬度），EF 將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3 倍設 EC = x 百米，EF=y 百米.（2）當點 F 與點 D 重合時，試確定點 E 的位置; 試求 x 的值，使路 EF 的長度 y 最短.CD = 1解:13=一