1、2019-2020 年高考壓軸卷數學（文）含解析一、選擇題：本大題共10 小題，每小題 5 分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1. 已知復數滿足，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限2. 設集合，集合，則=（）A. B C D 3. 設是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4. 某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（）.A.B C D 5.某校從高一年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的模塊測試成績分成6 組：40, 50）,50, 60）,

2、 60 , 70） , 70 , 80） , 80 , 90） , 90 , 100加以統計，得到如圖所示的頻率分布 直方圖.已知高一年級共有學生600 名，據此估計，該模塊測試成績不少于60 分的學生人數為（）6.按照如圖的程序運行，已知輸入的值為,則輸出的值為（）A. 588 B 480 C 450 D 1206.按照如圖的程序運行，已知輸入的值為,則輸出的值為（）/審出i韓果A. 7 B. 11 C. 12 D. 247. 已知是公差為的等差數列，為的前項和 .若成等比數列，則（）A.B . C . D8. 設，函數的圖象向左平移個單位后，得到下面的圖像，則的值為（）6 丿3 -1B .

3、D.9.已知函數，則函數的零點個數為（）A.1B.2 C. 3D.410.已知雙曲線，、是實軸頂點，是右焦點，是虛軸端點，若在線段上（不含端點）存在不同的兩點使得構成以為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A.B . C . D .二、填空題：本大題共 5 小題，每小題 5 分，共 25 分把答案填在答題卡的相應位置.11.已知向量，滿足，則 .12.已知函數的圖象在點處的切線方程是，貝 U _ .x -3013.若 x, y 滿足約束條件V 20 則目標函數 z=- 2x+y 的最小值為 _2A.C.ttA.v;對任意實數，設f (x) =(x2-2x)二(x 3)，若函數的圖象

4、與軸恰有二個公共點，則實數的取值范圍是 _.15.已知圓，直線與的交點設為點，過點向圓作兩條切線分別與圓相切于兩點，貝 U_。三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟解答 寫在答題卡上的指定區域內.16.(本小題滿分 12 分)隨著全面二孩”政策推行，我市將迎來生育高峰.今年新春伊始泉城各醫院產科就已經是一片忙碌，至今熱度不減衛生部門進行調查統計，期間發現各醫院的新生兒中，不少都是“二孩”；在市第一醫院，共有個猴寶寶降生，其中個是“二孩”寶寶；市婦幼保健院共有個猴寶寶降生，其中個是“二孩”寶寶.(I )從兩個醫院當前出生的所有寶寶中按分層抽樣方法抽取個

5、寶寶做健康咨詢.1在市第一醫院出生的一孩寶寶中抽取多少個？2若從個寶寶中抽取兩個寶寶進行體檢，求這兩個寶寶恰出生不同醫院且均屬“二孩”的概,2n(ad - bc)k(a+b)(c+d J(a+c)(b+d )17.(本小題滿分 12 分)在中，內角的對邊為，已知.(1) 求角的值；(2) 若，且的面積為，求.18.(本小題滿分 12 分)在三棱柱中，側棱平面，且，分別是棱，的中點，點在棱上，且14.現定義一種運算2(1)求證：平面;(2)求三棱錐的體積19.(本小題滿分 12 分)已知等差數列的前項和為，公差，且，成等比數列(1) 求數列的通項公式；(2)設是首項為 1 公比為 2 的等比數列

6、，求數列前項和 .2220.(本小題滿分 13 分)已知橢圓：的離心率為，直線 I : y=x+2a2b2與以原點 0 為圓心，橢圓的短軸長為直徑的圓0 相切.(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 求橢圓 C 與直線 y=kx (k 0)在第一象限的交點為 A.1設，且，求 k 的值；2若 A 與 D 關于 x 的軸對稱，求 AOD 勺面積的最大值.21.(本小題滿分 14 分)設函數，.已知曲線在點處的切線與直線垂直(1) 求的值；(2) 求函數的極值點；(3)若對于任意，總存在，使得f (xj - f (x2)-1 g(x,g(x2) m成立，求實數的取值 范圍1. 【答案】A【解析】由題意

7、得z5522 i，所以在復平面內對應的點位于第一象限，故選A.2-i(2-i)(2+i)2. 【答案】A【解析】由已知，所以故選 A.3. 【答案】C【解析】一條直線垂直于兩個不同的平面，則這兩個平面平行；反之也成立(面面平行的判定與性質)。故選 C.考點：充分條件和必要條件 4.【答案】B【解析】由三視圖可知幾何體為圓錐和半球的組合體半球的半徑為 1，圓錐的高為為，故圓錐的母線12長為，故幾何體的表面積S =x 4兀x 12+兀x 3 = 5兀25.【答案】B【解析】根據頻率分布直方圖，成績不少于分的頻率，然后根據頻數=頻率 x 總數，可求出所求.根據頻率分布直方圖，成績不少于分的學生的頻率

8、為1 -10 (0.005 0.015) = 0.8.由于該校高一 年級共有學生人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級模塊測試成績不少于分的人數為故選 B.6.【答案】D【解析】由程序框圖，因此值變為2 log23 3 log23 - 4，此時計算3 Tog。33 Iog23y=22283 = 24.故選D.7.【答案】C【解析】因為是公差為的等差數列，為的前項和，成等比數列，所以121135漢4 1255) =(3)佝13)，解得，所以S5= 5，故選 C.2222 2228.【答案】D【解析】試題分析：因為，函數的圖象向左平移個單位后，得到y =sin (x ) :sinCX)，由

9、函數的圖像可知，IL 33T2二一 =一+=一門T=兀，；國=22362T兀5兀所以，又因為函數的圖像過點(一，-1). sin() - -1，因為，應選 D.12 69.【答案】C 【解析】數有個零點，當時，函數有兩個零點，所以函數的零點共有個，故選 C.10.【答案】B【解析】由已知是以為斜邊的直角三角形，則在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓與線段相交，直 線的方程為，即，所以且，整理得且，解得且，所以，故選B.11. 【答案】【解析】2 *2由，即(ab) (a-b) =a -b =0，即，所以12. 【答案】【解析】由函數在某點的導數等于函數在該點的切線的斜率可知，有點必在切線上，代入

10、切線方程, 可得，所以有.13.【答案】-4【解析】g(x) = f (1 x)仁.2(1 _X)22(1 -x) _1,1 _x乞0jg(1一X)1,1 X 0. 2x _4x 2,x _1lg(1 x) -1,x :：: 1,所以，當時，函目標函數 z= - 2x+y 可化為 y=2x+z ,故結合圖象可知，當過點 B ( 3, 2)時，z 有最小值為-2X 3+2=- 4;故答案為-4.14.【答案】【解析】fx +3( x 4或x蘭-1)由題意得出函數f x二,作出函數的圖象如圖所示，若函數的圖象與x2-2x(-1 c x c4 )軸恰有二個公共點，則方程即恰有二個不同實根，則或或，所

11、以的取值范圍是，故答案應填由圓，得圓心，半徑；直線的交點坐標為，切線長 ”；設的交點為，則,，得，所116 24192=X一X =-2552516.答案】(I)2 個；(II )沒有 85%的把握認為一孩、【解析】(I)由分層抽樣知在市第一醫院出生的寶寶有個，其中一孩寶寶有 2個.2 分 在抽取 7 個寶寶中，市一院出生的一孩寶寶 2 人，分別記為，二孩寶寶 2 人，分別記為，婦幼保健院出生的一孩寶寶 2 人，分別記為，二孩寶寶 1 人，記為,從 7 人中抽取 2 人的一切可能結果所組成的基本事件空間為以,SAABP二孩寶寶的出生與醫院有關【解析】0=A, B1), (A1,ai),( Al,

12、b1),(A1, A2),(AI,B2), (A1,a2),(Bl,ai),(B1,bl)(B1,A2), ( B1, B2), (B1, a2), (ai, bl), (ai,A2), (ai, B2), (ai, a2), (b1,A2), (b1,B2)5分(b1, a2), (A2, B2), (A2, a2), (B2, a2) ?用表示：“兩個寶寶恰出生不同醫院且均屬二孩”，則.7 分(n)列聯表一孩二孩合計第一醫院202040婦幼保健院201030合計403070701.944：2.072,故沒有 85%的把握認為一孩、36孩寶寶的出生與醫院有關.17.【答案】(1); ( 2)

13、.【解析】(1)：,二2sinCcosA sin A = 2sinB,2si n C cos A si n A = 2si n(A C),- 2sinCcosA sin A =2sin AcosC 2cosAsinC,? 又是三角形的內角，.(2),又，18.【答案】(1)詳見解析；(2).【解析】試題分析：(1)設為的中點，連結，根據條件首先證明四邊形為平行四邊形，即可得到，再根據線面平行的判定即可得證；(2)利用將體積進行轉化，求得底面積與高即可求解試題解析：(1)設為的中點，連結，為的中點，.為的中點，2宀70 20 10-20 2040 30 40 3012 分又為的中點，又為的中點，

14、為的中點，, 又，四邊形為平行四邊形，又，,又平面，平面，平面； （2）v,，分別為，的中點，面，而,SBDE= SABAIB1SBDBIS應BES直DE=2 2一丄2 1一12 1 - 1 1二二2 211，VD_BECI=VCI_BDE33【解析】325 43a1d 5a1d =50(1)依題得222Jar3d) =a1(arH12d)解得.an=印(n 1)d =3 2(n -1)=2n 1，即bnnnVn一=2, bn二an2=(2 n 1) 2an.Tn= -3 205 217 22 III (2n 1) 2n2Tn=3 215 227 23丨丨1 (2n -1) 2n(2n 1)

15、2n兩式相減得：2(1_2心)2(加120.【答案】（1）（ 2）(2)Cl19.【答案】（1）;（ 2）【解析】(1)由題設可知，圓0 的方程為 x2+y2=b2.22因為直線 I : x - y+2=0 與圓 0 相切，故有,所以.因為，所以有 a2=3c2=3( a2- b2)，即 a2=3.所以橢圓 C 的方程為.(2)設點 A (xo, yo) ( xo 0, yo0),則%=k/以解得*D丄 .- +- =1321VeV2+3k忌 ，0=/2-代+3/2 5k2二二. -;Z2+3k合3kk(當且僅當時取等號)，-SAAOD的最大值為.【解析】12x - b(|nx -x)，其定義

16、域為,221x - bx bf (x) - -x b( 1)=x 0A0B=26K=.6,2 3K22 3K2(k=0 舍去).令h(x) =-X2-bx b,x(o,：),當時, ，有，即，所以在區間上單調遞減，故在區間無極值點yo=kxo.由、6621.【答案】(1); (2)證明見解析；(3).(1),所以,所以(2)f(x)當時,(1)由題設可知，圓0 的方程為 x2+y2=b2.22人七b - b24b- b亠* b24b，令，有X1,X2：當時，即，得在上遞減;當時，即，得在上遞增;當時，即，得在上遞減,此時有個極小值點和一個極大值點b-b，4bb亠zb，4b門當時，令，有x10,

17、 x20,2 2當時，即，得在上遞增；當時，即，得在上遞減，此時有唯一的極大值點綜上可知，當時，函數有一個極小值點和一個極大值點；當時，函數在無極值點；當時，函數有唯一的極大值點，無極小值點(3)令F(x)二f(x) g(x),x 1,b，1212則F (x)x2b(|nxx)x2(1b)x二b In xx，2 2若總存在，使得f (xj - f (x2)-1 g(xj - g(x2) m成立，即總存在，使得f (xj-g(xj f (x2)-g(x2) m 1成立，即總存在，使得成立，即，因為，所以，即在上單調遞增，所以F(X)max-F(x)min二F (b) - F (1) = bl “

18、b-b 1，即對任意成立，即對任意成立，構造函數t(b)=blnbb,bw1,+p),當時，在上單調遞增，.對于任意，所以2019-2020 年高考壓軸卷數學(理科)含解析一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個選項中，只有項是符合題目要求的1已知，其中是實數，是虛數單位，則的共軛復數為()A.2已知函數，且，則的值為A.正 B. 負 C. 零3已知某幾何體的三視圖如下，則該幾何體體積為（）5. （5 分）已知兩條不重合的直線m n 和兩個不重合的平面a、3，有1若 mln, ml a,貝 U n a ;2若 ml a , n 丄 3 , m/ n,貝 U

19、 a / 3 ；3若 m n 是兩條異面直線， ma , n3 , m/ 3 , n/ a ,貝 U a / 3 ；4若 a 丄 3 , a A 3 =m, n 3 , n 丄 m 貝 U n la.其中正確命題的個數是（D.可正可負A. 4+B為 5，那么（）2A. -1B.C.D. 1A, B 兩點之間的距離F列命題:正視圖俯視圖側視圖.n.4如圖所示為函數 f（x） =2sin（，x JC：，0,0）的部分圖像，其中A.1B. 2C. 3D. 46.設函數是定義在上的可導函數，其導函數為，且有，則不等式-：1- - 0 時均有(a- 1) x- 1 (x2- ax- 1)則 a=_ .三

20、、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟解答 寫在答題卡上的指定區域內.15. 已知向量m = ( 3sinx,1), n = (cos- , cos2-)記444(I)求的周期；(n )在 ABC 中，角 A、B C 的對邊分別是 a、b、c,且滿足(2a c)B=b , 若，試判斷 ABC 的 形狀.16. 在一次對某班 42 名學生參加課外籃球、排球興趣小組(每人參加且只參加一個興趣小組)情況調查中，經統計得到如下2X2 列聯表：(單位：人)籃球排球總計男同學16622女同學81220總計241842(I)據此判斷是否有 95%勺把握認為參加“籃球

21、小組”或“排球小組”與性別有關？(n)在統計結果中，如果不考慮性別因素，按分層抽樣的方法從兩個興趣小組中隨機抽取7名同學進行座談.已知甲、乙、丙三人都參加“排球小組”.1求在甲被抽中的條件下，乙丙也都被抽中的概率；2設乙、丙兩人中被抽中的人數為X,求 X 的分布列及數學期望 E(X).下面臨界值表供參考：參考公式：K2n(ad偵)(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)命題意圖：考查分類變量的獨立性檢驗，條件概率，隨機變量的分布列、 數學期望等，中等題.17已知正四棱柱中，.(I)求證：；(n)求二面角的余弦值；0.150.100.050.0250.0100.0050.001ko2.0

22、722.7063.8415.0246.6357.87910.8282(川)在線段上是否存在點，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由V II18.已知橢圓的左右焦點分別為，點為短軸的一個端點，(I)求橢圓的方程；(n)如圖，過右焦點，且斜率為的直線與橢圓相交于兩點，為橢圓的右頂點，直線分別交直線于點，線段的中點為，記直線的斜率為求證：為定值.19. 已知數列的各項均為正數，記 ”C(n)誕a4L an沙=1,2丄.(I)若，且對任意，三個數組成等差數列，求數列的通項公式(n)證明：數列是公比為的等比數列的充分必要條件是：對任意，三個數組成公比為的等 比數列.20. 已知函數().

23、(I)當時，求的圖象在處的切線方程；(n)若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；(川)若函數的圖象與軸有兩個不同的交點，且，求證：（其中是的導函數）xx 北京市高考壓軸卷數學理word 版參考答案1.【答案】Dx 1【解析】（x-xi）=1-yi, x=2,y=1,故選D.1 +i 22.【答案】B【解析】，函數在 R 上是減函數且是奇函數，同理：，3.【答案】【解析】該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一部分，所以該幾何體的體5積為2 2 1 34.故選A.2 24.【答案】A.【解析】試齡析，由爲迥點之麗距離為機強的半碑桝噸弓討函 數過點（0.1），所以血1卩因0“蘭*知*所

24、以函馥解析式淘（22636故/_!).2SB(-(-藝”A. MS65.【答案】C【解析】若 mLn, mL a ,貝 U n 可能在平面TmLa ,miln,. n 丄 a，又Tn 丄 3 , 3過直線 m 作平面丫交平面 3與直線 C,Tm、n 是兩條異面直線，.設nQ c=0,/ m 3 , mY ,YQ 3 =c mi c,*m a , Ca, C / a,Tn 3 , c 3 , nQ c=0, c / a , n / a a / 3 ；故正確4由面面垂直的性質定理：Ta L 3 , a Q 3 =m, n 3 , nLm, nL a .故正確 故正確命題有三個,故選 Ca內，故錯誤

25、a / 3，故正確6.【答案】C.【解析】由，得：，即，令，則當時，即在是減函數,FU+2014)二(2014+h_/U+2014)在是減函數，所以由得，即，故選7.【答案】C.2 2 2【解析】設 P ( m, n), = ( c m, n) ?( c m, n) =m c+n,2 2 2 2 2 2二 m +n =2c , n =2c m .把 P (m, n )代入橢圓得b2m2+a2n2=a2b2，把代入得 m2=0/w 2ac2,b2w 2c a2 c2w 2c,.三2 2 2又 m2w2,. wa,.WQa2 2c2Q w.綜上，ww故選 C.8.【答案】A.【解析】由 f(1+x

26、) =f (1 x )可得函數 f(x)的圖象關于 x=1 對稱， 方程在區間-3, 3根的個數等價于 f(x)與 y=圖象的交點的個數， 而函數 y=圖象可看作 y=的圖象向下平移 1 個單位得到， 作出它們的圖象如圖：可得兩函數的圖象有 5 個交點,故選 A9.【答案】a=-1.【解析】 若 a-3=-3,則 a=0,此時:A =0,1, -3, B = -3, -1,1”與題意不符，舍若 2a-1=-3,貝 U a=-1，此時:A=0,1, B=-3一,2 ,a=-1右 a2+1=-3,則 a 不存在綜上可知：a=-110.【答案】20.【解析】當箭頭指向時，計算S 和 i 如下.i =

27、 1, S= 0, S= 1;i = 2, S= 0, S= 2;i = 3, S= 0, S= 3;i = 4, S= 0, S= 4;i = 5, S= 0, S= 5;i = 6 結束.S= m= 5.當箭頭指向時，計算 S 和 i 如下.=1,S= 0, S =2,S= 3;=3,S= 6;=4,S= 10;=5,S= 15;i = 6 結束.S= n= 15.11.【答案】44S1111冇）211 2a62= 11a6=44【解析】由S_S3a4a5a6a7a8=5a6=20,解得,又由12.【答案】3.【解析】展開式通項公式為Tr+1=，一匚.=若為有理項時，則為整數， r=0、6

28、、12，故展開式中有理項共有3 項，故答案為：313.【答案】4.【解析】設過坐標原點的一條直線方程為，因為與函數的圖象交于P、Q 兩點，所以，且聯列【解析】(1)a=1 時，代入題中不等式明顯不成立.(2) a 力，構造函數 (a - 1) x - 1, y2=x1 2- ax - 1，它們都過定點 P ( 0,- 1).考查函數 y1= (a - 1) x - 1：令 y=0，得 M (, 0), a 1;1 2考查函數 y2=x2- ax - 1,顯然過點 M (, 0),代入得：()1=0 ,a-1a-1解之得：a=,或 a=0 (舍去).故答案為：x x 2 x 3 x 1 x 11

29、5.【解析】f(x)二 3sin cos cossincos44422222(I )1 二=2sin AcosB =sin(B C) =sinA=cos BB =23in 匸匸或或2622263sin(n根據正弦定理知：2ac cosB =bcosC= (2sin AsinC)cosB =sin BcosC而，所以，因此 ABC 為等邊三角形12 分16.【解析】(I)由表中數據得 K2的觀測值242X (16X 12-8X6 ) 25224X 18X 20X 2255所以，據此統計有 95%的把握認為參加“籃球小組”或“排球小組”與性別有關.4分(H)由題可知在“排球小組”的18 位同學中，

30、要選取 3 位同學.方法一：令事件 A 為“甲被抽到”；事件B 為“乙丙被抽到”，則P(An B), P(A).P(AAB)21所以 P(B|A) p(A)17X 16.7分方法二：令事件 C 為“在甲被抽到的條件下，乙丙也被抽到”，2 1則P(C)17X 16 136.由題知 X 的可能值為 0, 1 , 2.3551依題意 P(X0) 51 ； P(X1)17；P(X2)51從而 X 的分布列為X012P355151715110 分17.【解析】證明：(I )因為為正四棱柱，所以平面，且為正方形.1 分因為平面，所以.2 分因為，所以平面. 3 分因為平面，所以. 4 分(H )如圖，以為

31、原點建立空間直角坐標系.則4.5823.841.于是E(X)0 X35+ 1X+ 2Xv 751171 1715151312 分2X32y3=0令，則 所以D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), A(2,0,4), B/2,2,4),uuuuuuir所以DiA =(2,0,0), DC =(0,2, -4)設平面的法向量所以即.6 分令，則所以I ） 可知平面的法以uuic : DB n二碼58 分1因為二面角為鈍二面角,所以二面角的余弦值為（川）設為線段上一點，且uir因為CP =(X222,Z2),PG =(X2,2 - y2,4 Z2)uuu所以(X2,丫2-2, Z2)= (-X2,2-丫2,4 - Z2)即所以設平面的法向量uuu紜uuu因為DP =(0,2,),DB =(2,2,0),1+九11 分10 分所以即2y34 廠耐,12 分13 分4所以為定值若平面平面，則即，解得所以當時，平面平面. 14 分18.【解析】（I）由條件.2 分故所求橢圓方程為. 4 分（n）設過點的直線方程為：. 5 分