1、誤差理論與數據處理誤差理論與數據處理信息與電氣工程學院信息與電氣工程學院羅清華羅清華辦公室：科研樓辦公室：科研樓1#1#南樓南樓人人網：人人網：Theory of Error and Data Processing關于這門課關于這門課一一. . 先修課程先修課程 概率論與數理統計概率論與數理統計二二. . 主要內容主要內容 誤差分析（誤差分析（Error Analysis）u 測量、誤差、處理方法測量、誤差、處理方法 數據處理（數據處理（Data Processing）u多次測量取平均多次測量取平均、回歸分析、最小、回歸分析、最小二乘二乘三三. . 后續課程和重要性后續課程和重要性 后續課程：

2、后續課程：測控電路測控電路、 電子測量原理電子測量原理 、 儀器設計儀器設計原理原理 重要性：測試測量數據處理、系統建模、預測、儀器校準重要性：測試測量數據處理、系統建模、預測、儀器校準2關于這門課關于這門課三三. . 課程目標課程目標 正確進行誤差分析正確進行誤差分析 正確進行數據處理正確進行數據處理 正確設計測量方案正確設計測量方案 正確評定測量不確定度正確評定測量不確定度四四. . 學時和課程安排學時和課程安排 學時（學時（4444學時）學時）周二周二(29)： 56節，節，H434周四周四(28) ：34節，節，H434周五周五(28) ：56節，節， H463 課程安排課程安排 課堂

3、授課、作業課堂授課、作業 3第一章第一章 緒緒 論論 1.1 測量的基本概念（測量的基本概念（Measurement） 1.2 測量誤差的基本概念（測量誤差的基本概念（Error） 1.3 測量結果的評定（測量結果的評定（Assessment） 1.4 數據的有效數字（數據的有效數字（ Significant figure ）與舍入規則）與舍入規則（ Rule of rounding ）41.1 測量的基本概念測量的基本概念 測量的定義測量的定義( (Definition) ) 測量單位制測量單位制( ( System of Units ) )和測量基準和測量基準( (Standard) 測量

4、的實現測量的實現( (Implementation) ) 測量方法測量方法( (Method) )及其分類及其分類( (Classification) 測量的意義測量的意義( (Significance) )和歷史和歷史( (History) )51.1.1 測量的測量的定義定義 測量（測量（Measurement） 為確定被測對象的量值而進行的實驗。是為確定被測對象的量值而進行的實驗。是將被測量將被測量與一與一個作為測量單位的個作為測量單位的標準標準進行進行比較比較，獲得，獲得比值比值的過程。的過程。 測量與測試的區別測量與測試的區別 測試是帶有試驗性質的測量測試是帶有試驗性質的測量被測量被

5、測量L L標準量標準量E E反映被測量反映被測量的數字的數字q=L/E6 1.1.2 測量單位制和測量基準測量單位制和測量基準7 單位制（單位制（ System of Units ）1. 定義：相應給定量制而建立的定義：相應給定量制而建立的一組單位一組單位。2. 包括包括基本單位基本單位和由定義公式、因數等確定的和由定義公式、因數等確定的導出單位導出單位組成。組成。 國際單位制（國際單位制（ The International System of Units, SI ） 1. 7個基本單位（長度，質量，溫度，時間，電流等）個基本單位（長度，質量，溫度，時間，電流等） 2. 兩個輔助單位和兩個輔

6、助單位和19個導出單位個導出單位 1.1.2 測量單位制和測量基準測量單位制和測量基準8量量 的的 單單 位位單單 位位 名名 稱稱單單 位位 符符 號號長長 度度米米m質質 量量千克（公斤）千克（公斤）kg時時 間間秒秒s電電 流流安安 培培 A熱力學溫度熱力學溫度開開 爾文爾文 K物物 質質 的的 量量摩摩 爾爾 mol發發 光光 強強 度度坎坎 德拉德拉 cd 國際基本單位國際基本單位( ( SI basic unit) 國家選定的非國際基本單位國家選定的非國際基本單位( (Non SI unit)分，小時，天，月，噸，公頃，升，海里分，小時，天，月，噸，公頃，升，海里 1.1.2 測量

7、單位制和測量基準測量單位制和測量基準9 組合單位組合單位（Composite unit）兩個或兩個以上單位用乘、除的形式組合而成的新單位兩個或兩個以上單位用乘、除的形式組合而成的新單位加速度（加速度（m/sm/s2 2），角速度，壓力，膨脹系數），角速度，壓力，膨脹系數 基準（計量基準量具，基準（計量基準量具，Standard）1. 1. 國家計量基準（主基準）國家計量基準（主基準）2. 2. 國家副計量基準國家副計量基準3. 3. 工作計量基準工作計量基準 1.1.3 測量的實現測量的實現10被測對象被測對象測量方法測量方法測量儀器測量儀器測量人員測量人員測量環境測量環境影響影響影響影響影響

8、影響被測信息被測信息激勵信號激勵信號對象屬性對象屬性選擇儀器選擇儀器測量測量、測量測量、算法算法決定方法決定方法命令及數據命令及數據 1.1.4 測量方法及其分類（測量方法及其分類（I I）11定義定義結果結果直接測量直接測量將被測量與標準量將被測量與標準量直接直接 進行比較（或進行比較（或直接直接 用標用標準儀器）準儀器）直接直接獲得被測量的獲得被測量的值值間接測量間接測量通過直接測量來獲得與通過直接測量來獲得與被測量有確定函數關系被測量有確定函數關系的其它量的其它量按確定的函數關系按確定的函數關系間接間接的獲取被測量的獲取被測量的值的值 1.1.4 測量方法及其分類（測量方法及其分類（II

9、 II）12定義定義關系關系絕對測量絕對測量通過測量所得數據直接通過測量所得數據直接得到被測量值的絕對大得到被測量值的絕對大小小被測量的絕對大小被測量的絕對大小= =標準量標準量+ +偏差值；偏差值；同時就某些方面來同時就某些方面來講，相對測量比較講，相對測量比較容易滿足精度要求容易滿足精度要求相對測量相對測量被測量相對于標準量的被測量相對于標準量的偏差值偏差值 1.1.4 測量方法及其分類（測量方法及其分類（IIIIII）13定義定義關系關系 靜態測量靜態測量對某種不隨時間改變的量對某種不隨時間改變的量進行的測量進行的測量靜態測量可以視為動靜態測量可以視為動態測量的特例，緩慢態測量的特例，緩

10、慢變化的動態測量可以變化的動態測量可以視為靜態視為靜態動態測量動態測量對時間變化的量連續進行對時間變化的量連續進行的測量，其數據處理常要的測量，其數據處理常要用到隨機過程理論用到隨機過程理論 1.1.4 測量方法及其分類（測量方法及其分類（IVIV）14定義定義關系關系 等精度測量等精度測量測量過程中，所有測量因測量過程中，所有測量因素都不發生改變。素都不發生改變。兩種測量的結果需要采兩種測量的結果需要采用不同的處理原則。用不同的處理原則。不等精度測量不等精度測量測量過程中，測量因素發測量過程中，測量因素發生改變，導致測量結果的生改變，導致測量結果的改變。改變。 1.1.5 測量的意義和歷史測

11、量的意義和歷史15 測量的意義（測量的意義（Significance）1. 1. 日常生活離不開測量日常生活離不開測量 生老病死，衣食住行生老病死，衣食住行2. 2. 科學的進步和發展離不開測量科學的進步和發展離不開測量 諾貝爾物理獎，科學的發展諾貝爾物理獎，科學的發展 1.1.5 測量的意義和歷史測量的意義和歷史16 測量的歷史（測量的歷史（history）：很悠久）：很悠久1. 1. 為什么要測量？為什么要測量？ 感官測量時出了問題，借助測量來獲取信息感官測量時出了問題，借助測量來獲取信息2. 2. 測量的目的：獲取更為準確、精確的信息（例如長度）測量的目的：獲取更為準確、精確的信息（例如

12、長度）英尺英尺（feet）金屬米原器金屬米原器光速米原器光速米原器測量的基本概念（小結）測量的基本概念（小結） 測量的定義測量的定義( (Definition) ) 測量單位制測量單位制( ( System of Units ) )和測量基準和測量基準( (Standard) 測量的實現測量的實現( (Implementation) ) 測量方法測量方法( (Method) )及其分類及其分類( (Classification) 測量的意義測量的意義( (Significance) )和歷史和歷史( (History) )171.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 誤差的來源誤差的來源( (So

13、urce of error) ) 誤差的定義誤差的定義( (Definition) )和表達和表達( (Expression) ) 誤差的分類誤差的分類( (Classification) ) 誤差分析的意義誤差分析的意義( (Significance) )18 1.2.1 誤差的來源誤差的來源19被測對象被測對象測量方法測量方法測量儀器測量儀器測量人員測量人員測量環境測量環境影響影響影響影響影響影響被測信息被測信息激勵信號激勵信號對象屬性對象屬性選擇儀器選擇儀器測量測量、測量測量、算法算法決定方法決定方法命令及數據命令及數據 1.2.1 誤差的來源誤差的來源20 測量方法測量方法( (Mea

14、suring method) )測量原理近似，測量方法不完善測量原理近似，測量方法不完善 測量儀器測量儀器( (Measuring instrument) )（1 1）標準量具誤差）標準量具誤差（2 2）儀器誤差，附件）儀器誤差，附件 測量環境測量環境( (Measuring environment) )溫濕度，氣壓，風向，光照溫濕度，氣壓，風向，光照 測量人員測量人員( (Survey crew) )視覺，聽覺，操作視覺，聽覺，操作 1.2.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示21 測量數據測量數據 真值真值( (Truth value) )？NO測量誤差測量誤差測量誤差測量誤差= =測得值

15、測得值真值真值（示值誤差（示值誤差= =儀器示值儀器示值真值）真值）1.2.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示22 真值的特性真值的特性u 近似可知性近似可知性u 可變性可變性 真值的類型真值的類型u 理論真值理論真值u 約定真值約定真值 指定值，約定值，最佳估計值指定值，約定值，最佳估計值1.2.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示23 絕對誤差（絕對誤差（ Absolute error ） 絕對誤差（量綱）絕對誤差（量綱）= =測量值測量值- -真值真值 有符號有符號 衡量測量值與真值的偏離程度衡量測量值與真值的偏離程度 相對誤差（相對誤差（ Relative error ） 相對誤差（

16、無量綱）相對誤差（無量綱）= =（測量值（測量值- -真值）真值）/ /真值真值 衡量測量水平的高低衡量測量水平的高低 引用誤差（引用誤差（ Fiducial error ，Quoted error） 引用誤差引用誤差= =示值誤差示值誤差/ /測量范圍上限（或量程）測量范圍上限（或量程）測量某一質量測量某一質量G1=50g，誤差為誤差為1=2g，測量另，測量另一質量一質量G2=2kg，誤差，誤差為為250g，問哪一個，問哪一個質量的測量效果較好質量的測量效果較好?1.2.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示24 例例1 測量某一質量測量某一質量G1=50g，誤差為，誤差為1=2g，測量另一質

17、量，測量另一質量G2=2kg，誤差為，誤差為250g，問哪一個質量的測量水平較高，問哪一個質量的測量水平較高?解：測量解：測量G1的相對誤差為的相對誤差為測量測量G2的相對誤差為的相對誤差為所以，所以，G2的測量結果較好。的測量結果較好。2111104502G222105 . 22000502G1.1.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示25 例例2 經檢定發現，量程為經檢定發現，量程為250V的的2.5級電壓表在級電壓表在123V處的處的示值誤差最大，為示值誤差最大，為5V。問該電壓表是否合格。問該電壓表是否合格? 解：按電壓表精度等級的規定，解：按電壓表精度等級的規定，2.5級表的最大允許

18、引用誤差級表的最大允許引用誤差為為2.5。而該電壓表的最大引用誤差為而該電壓表的最大引用誤差為因最大引用誤差小于最大允許引用誤差，故該電壓表合格。因最大引用誤差小于最大允許引用誤差，故該電壓表合格。%2%1002505q1.1.2 誤差的定義及表示誤差的定義及表示26 作業作業 （姓名（姓名+學號）學號）+本課程的建議本課程的建議1、某臺測溫儀表的測溫范圍為、某臺測溫儀表的測溫范圍為2001000 oC，校驗該表時得到，校驗該表時得到的最大絕對誤差為的最大絕對誤差為+4oC,試確定該儀表的精度等級。試確定該儀表的精度等級。2、某臺測溫儀表的測溫范圍為、某臺測溫儀表的測溫范圍為01000oC。根

19、據工藝要求、溫。根據工藝要求、溫度指示值的誤差不允許超過正負度指示值的誤差不允許超過正負 7oC，試問應如何選擇儀表的精，試問應如何選擇儀表的精度等級才能滿足以上要求度等級才能滿足以上要求?注：注：（1）將儀表的允許誤差去掉正負號和號，就是儀表的精確將儀表的允許誤差去掉正負號和號，就是儀表的精確度等級國家規定。度等級國家規定。 （2）我國生產的儀表常用的精度等級有）我國生產的儀表常用的精度等級有0.005，0.02，0.05，0.1，0.2，0.4，0.5，1.0，1.5，2.5，4.0。1.2.3 誤差的分類誤差的分類27 測量誤差的分類（測量誤差的分類（Classification） 1.

20、 隨機誤差隨機誤差 2. 系統誤差系統誤差 3. 粗大誤差粗大誤差 隨機誤差（隨機誤差（Random error） 定義：在同一條件下對同一被測量進行多次重復測量時，定義：在同一條件下對同一被測量進行多次重復測量時， 各測量數據的誤差或大或小，或正或負，其取值的大小沒有各測量數據的誤差或大或小，或正或負，其取值的大小沒有確定的規律性，是不可預知的。確定的規律性，是不可預知的。 特點：特點： a. a. 隨機，不恒定；隨機，不恒定； b. b. 不可測；不可測； c. c. 整體通常服從正態分布整體通常服從正態分布1.2.3 誤差的分類誤差的分類28 系統誤差（系統誤差（Systematic e

21、rror） 定義：在順次測量的系列測量結果中，其值固定不變或定義：在順次測量的系列測量結果中，其值固定不變或按某確定規律變化的誤差。按某確定規律變化的誤差。 規律：規律： 測量誤差具有確定的值或規律測量誤差具有確定的值或規律恒定性恒定性 在相同的考察條件下，可重復表現在相同的考察條件下，可重復表現重現性重現性 原則上可用函數的解析式、曲線或數表示；原則上可用函數的解析式、曲線或數表示； 這一規律性并不一定確知。這一規律性并不一定確知。1.2.3 誤差的分類誤差的分類29 粗大誤差（粗大誤差（Thick error, Mistake error , Outlier） 定義：超出正常范圍的大誤差。

22、定義：超出正常范圍的大誤差。 正常范圍正常范圍誤差的正常分布規律決定的分布范圍，只要誤差取值不誤差的正常分布規律決定的分布范圍，只要誤差取值不超過這一正常的范圍，應是允許的。粗大誤差是隨機的，超過這一正常的范圍，應是允許的。粗大誤差是隨機的，但不同于隨機誤差，僅表現在數值大小上的差別，因此但不同于隨機誤差，僅表現在數值大小上的差別，因此差別不明顯時，不太容易區分。差別不明顯時，不太容易區分。 粗大誤差產生原因粗大誤差產生原因 一般粗大誤差是由測量中的一般粗大誤差是由測量中的失誤失誤造成的，必須剔除掉。造成的，必須剔除掉。 1.2.4 誤差分析的意義誤差分析的意義30 測量誤差的普遍意義測量誤差

23、的普遍意義 1. 1. 測量誤差不可避免，但有大小之分測量誤差不可避免，但有大小之分 2. 2. 一定情況下，測量精確度的提高受到限制一定情況下，測量精確度的提高受到限制 3. 3. 測量誤差不可避免，在合理范圍內，就認為正常測量誤差不可避免，在合理范圍內，就認為正常 誤差分析的意義誤差分析的意義 1. 1. 減小誤差的影響，提高測量精度減小誤差的影響，提高測量精度 2. 2. 對測量的結果的可靠性作出評定，即給出精確度的估計，對測量的結果的可靠性作出評定，即給出精確度的估計， 衡量測量水平的高低衡量測量水平的高低 3. 3. 以最小的投入，獲取最大的產出以最小的投入，獲取最大的產出誤差的基本

24、概念（小結）誤差的基本概念（小結） 誤差的來源誤差的來源( (Source of error) ) 誤差的定義誤差的定義( (Definition) )和表達和表達( (Expression) ) 誤差的分類誤差的分類( (Classification) ) 誤差分析的意義誤差分析的意義( (Significance) )311.3 測量結果的評定測量結果的評定 精度精度準確度準確度( (Accuracy) ) 表示測量數據的平均值與真值的表示測量數據的平均值與真值的 接近程度。（系統誤差的綜合）接近程度。（系統誤差的綜合） 精密度精密度( (Precision) 表示重復測量所得數據的相互接

25、近表示重復測量所得數據的相互接近 程度程度 （離散程度）（隨機誤差的綜合）。（離散程度）（隨機誤差的綜合）。 精確度精確度 是對精密度和準確度的綜合評定。是對精密度和準確度的綜合評定。321.3 測量結果的評定測量結果的評定33隨機誤差小隨機誤差小系統誤差大系統誤差大精密度高精密度高準確度低準確度低隨機誤差大隨機誤差大系統誤差小系統誤差小精密度低精密度低準確度高準確度高隨機誤差小隨機誤差小系統誤差小系統誤差小精密度高精密度高準確度高準確度高以打靶為例來比較說明以打靶為例來比較說明精密度精密度、準確度準確度、精確度精確度三者之間的關系。三者之間的關系。圖中圖中靶心靶心為射擊目標，相當于為射擊目標

26、，相當于真值真值，每次測量相當于一次射擊。，每次測量相當于一次射擊。1.4 數據的有效數字與舍入規則數據的有效數字與舍入規則34 數據的誤差及其表述方法數據的誤差及其表述方法 數據的有效數字（數據的有效數字（Significant figure） 數字的舍入規則數字的舍入規則 （Rule of rounding） 數字運算規則（數字運算規則（Rule of operation） 科學計數法（科學計數法（Scientific notation）2 1.4.1 數據的誤差及其表述方法數據的誤差及其表述方法35 測量誤差測量誤差( (Measurement error) ) 測量過程中各種因素引入的

27、誤差測量過程中各種因素引入的誤差 數據處理誤差數據處理誤差( (Error of data processing) ) 1. 1. 近似關系處理，例如非線性近似關系處理，例如非線性 函數的線性化；函數的線性化； 2. 2. 估計引入的誤差；估計引入的誤差； 舍入誤差（舍入誤差（Rounding error） 數據誤差表述方法數據誤差表述方法 1. 1. 給出數據的精度參數：標準差或者擴展不確定度；給出數據的精度參數：標準差或者擴展不確定度； 2. 2. 有效數字表達；有效數字表達； 2 1.4.2 數據的有效數字數據的有效數字36 有效數字（有效數字（Significant figure） 若

28、數據的最末一位有半個單位以內的誤差，而其它數字若數據的最末一位有半個單位以內的誤差，而其它數字都是準確的，則各位數字都是都是準確的，則各位數字都是“有效數字有效數字”。一般，為確切。一般，為確切表述數據的精度，給出的數據只應保留有效數字。表述數據的精度，給出的數據只應保留有效數字。 有效位數（有效位數（Significant digit） 測量結果中，從第一個非零數字開始，所有的數字的個測量結果中，從第一個非零數字開始，所有的數字的個數。數。 科學計數法中的指數部分不計在內?？茖W計數法中的指數部分不計在內。1.4.2 數據的有效數字數據的有效數字37對于小數，第一個非零有效數字前面的零不是有效

29、數字。對于小數，第一個非零有效數字前面的零不是有效數字。如：如： 0.0023有效數字為最后有效數字為最后兩兩位。位。數據末尾的一個或數個零應為有效數字。如數據末尾的一個或數個零應為有效數字。如1450 有效數字有效數字應為應為4位，位，0.460有效數字為有效數字為3位位數字末尾的零的含義有時并不清楚，此時往往采用數字末尾的零的含義有時并不清楚，此時往往采用10的方的方次表示。如：次表示。如：12 000m表示為表示為 有效數字為有效數字為2位，若位，若寫成寫成 有效數字為有效數字為3位位4102 . 1 41020. 1 1.4.3 數據的舍入規則數據的舍入規則38 四舍四舍若舍去部分的數

30、值若舍去部分的數值小于小于保留數字末位的保留數字末位的0.50.5個單位，則個單位，則舍去舍去多余數字后保留數字不變。多余數字后保留數字不變。 六入六入若舍去部分的數值若舍去部分的數值大于大于保留數字末位的保留數字末位的0.50.5個單位，則舍去個單位，則舍去多余數字后，保留數字的多余數字后，保留數字的末位加末位加1 1。 五湊雙五湊雙若舍去部分的數值正好若舍去部分的數值正好等于等于保留數字末位的保留數字末位的0.50.5個個單位，則單位，則在舍去多余數字后，在舍去多余數字后，保留數字的末位湊成偶數保留數字的末位湊成偶數，即當保留，即當保留數字末位為偶數時不變，當末位數字為奇數時，末位加數字末

31、位為偶數時不變，當末位數字為奇數時，末位加1 1。“四舍六入五湊雙”1.4.3 數據的舍入規則數據的舍入規則39將將3.141593.14159分別取分別取3 3、4 4位有效數字？位有效數字？答：根據規則一、規則二，舍入后的有效數字分別為答：根據規則一、規則二，舍入后的有效數字分別為3.143.14和和3. 3.142142。2.552.55（保留二位有效數字）（保留二位有效數字）2.652.65（保留二位有效數字）（保留二位有效數字）按以上規則舍入數字，可保證數據的按以上規則舍入數字，可保證數據的舍入誤差最小舍入誤差最小，在數據，在數據運算中不會造成舍入誤差的運算中不會造成舍入誤差的迅速累

32、積迅速累積。但對于表示精度的數。但對于表示精度的數據（標準差、擴展不確定度等），在去掉多余位數時，據（標準差、擴展不確定度等），在去掉多余位數時，只入只入不舍不舍。 1.4.4 數據的運算規則數據的運算規則40數據數據加減運算加減運算中，所得中，所得運算結果運算結果（和或差）的（和或差）的小數點后小數點后保留的位數保留的位數，應與參與加減運算的各數據中，應與參與加減運算的各數據中小數點后位數小數點后位數最少最少的那一數據的位數相同。的那一數據的位數相同。4.2861.320.45635.1497（5.15） 數據數據乘除運算乘除運算時，參與運算的各數據中有效數字位數最時，參與運算的各數據中有效

33、數字位數最少的數據的相對誤差最大，運算結果的少的數據的相對誤差最大，運算結果的有效數字位數有效數字位數應與應與這一數據的有效數字位數相同。這一數據的有效數字位數相同。462.80.641.22242.78033（2.410）為盡力減小數字舍入帶來的誤差，參與運算的各數據可多為盡力減小數字舍入帶來的誤差，參與運算的各數據可多保留一位數字。保留一位數字。1.4.4 數據的運算規則數據的運算規則41 數據經數據經乘方與開方乘方與開方運算，所得結果的有效數字位數與該運算，所得結果的有效數字位數與該數據的位數相同。例如：數據的位數相同。例如：3.2510.5625（10.6）對數對數計算中，所取對數應與

34、真數有效數字位數相同，例計算中，所取對數應與真數有效數字位數相同，例如：如：lg32.81.51587（1.52）運算的中間結果的數字可多保留運算的中間結果的數字可多保留1212位，以便減小舍入誤位，以便減小舍入誤差的影響。差的影響。1.4.4 數據的運算規則數據的運算規則42 運算中，計數數據的有效位數時，對于常數運算中，計數數據的有效位數時，對于常數、e、 及及其它無誤差的數值，其有效數字的位數可認為是無限的，其它無誤差的數值，其有效數字的位數可認為是無限的，在計算中需要幾位就取幾位：在計算中需要幾位就取幾位：1/2=0.5000 其有效數字可任意取用其有效數字可任意取用運算中，計算數據的

35、有效位數時，若第一位有效數字等運算中，計算數據的有效位數時，若第一位有效數字等于或大于于或大于8，則其有效數字的位數可多計一位。，則其有效數字的位數可多計一位。8.51.380.2673.13191（3.13）2 1.4.5 科學計數法科學計數法43 科學計數法科學計數法（Scientific notation） 拿拿10的整數冪來記數的方法的整數冪來記數的方法 實例實例 以千克為單位，地球的質量以千克為單位，地球的質量 以千克為單位，中子的質量以千克為單位，中子的質量 有效位數的問題有效位數的問題 6.327*10(3) ，有效位數：，有效位數：4數據的有效數字與舍入規則（小結）數據的有效數字與舍入規則（小結）44 數據的誤差及其表述方法數據的誤差及其表述方法 數據的有效數字（數據的有效數字（Significant figure） 數字的舍入規則數字的舍入規則 （Rule of rounding） 數字運算規則（數字運算規則（Rule of operation） 科學計數法（科學計數法（Scientific notation）2關于這門課關于這門課一一. . 大學的轉變大學的轉變 學習內容