1、2016-2017學年云南省昆明市高三（上）摸底數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）設集合A=x|x23x0，B=x|x1，則AB=（）A（，03，+）B（，1）3，+）C（，1）D（，02（5分）已知復數z滿足（2+i）z=3+4i，則z=（）A2+iB2iC2iD2+i3（5分）已知向量=（x，），=（x，），若（2+），則|=（）A1BCD24（5分）執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a=1，b=1，那么輸出的值等于（）A21B34C55D895（5分）已知函數f（x）是奇函數，當x0時，f（

2、x）=log2（x+1），則f（3）=（）A2B2C1D16（5分）如圖，某幾何體的三視圖由半徑相同的圓和扇形構成，若府視圖中扇形的面積為3，則該幾何體的體積等于（）A8BC4D7（5分）如圖，陰影部分是由四個全等的直角三角形組成的圖形，在大正方形內隨機取一點，這一點落在小正方形內的概率為 ，若直角三角形的兩條直角邊的長分別為a，b（ab），則=（）ABCD8（5分）為了得到函數y=sin2xcos2x的圖象，可以將函數y=cos2x的圖象（）A向左平行移動個單位B向右平行移動個單位C向左平行移動個單位D向右平行移動個單位9（5分）點A，F分別是橢圓C：+=1的左頂點和右焦點，點P在橢圓C上，

3、且PFAF，則AFP的面積為（）A6B9C12D1810（5分）已知數列an滿足：a1=2，an+1=（+1）2+1，則a12=（）A101B122C145D17011（5分）已知函數f（x）=，若存在實數a，當x2時，f（x）ax+b恒成立，則實數b的取值范圍是（）A1，+）B2，+）C3，+）D4，+）12（5分）在平面直角坐標系xOy中，以C（1，1）為圓心的圓與x軸和y軸分別相切于A，B兩點，點M，N分別在線段OA，OB上，若，MN與圓C相切，則|MN|的最小值為（）A1BCD二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）若x，y滿足約束條件，則x+2y的取值范圍是

4、14（5分）ABC中，BC邊上的中線等于BC，且AB=3，AC=2，則BC=15（5分）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，過直線B1D1的平面平面A1BD，則平面截該正方體所得截面的面積為16（5分）設點P，Q分別是曲線y=xe2x和直線y=x+2上的動點，則P，Q兩點間的距離的最小值是三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（12分）已知數列an的前n項和為Sn，a1=1，S2n=2an2+an（1）求數列an的通項公式；（2）若bn=2an，求b1+b3+b5+b2n+118（12分）如圖，四棱錐PABCD中，平面PAD平面AB

5、CD，ABCD，ABBC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E為線段AB上一點，AE=BE，F為PD的中點（1）證明：PE平面ACF；（2）求二面角ACFB的正弦值19（12分）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如表：消費次第第1次第2次第3次第4次5次收費比例10.950.900.850.80該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據如表：消費次第第1次第2次第3次第4次第5次頻數60201055假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：（1）估計該

6、公司一位會員至少消費兩次的概率；（2）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；（3）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率，設該公司為一位會員服務的平均利潤為X元，求X的分布列和數學期望E（X）20（12分）已知點F是拋物線C：y2=2px（p0）的焦點，若點M（x0，1）在C上，且|MF|=（1）求p的值；（2）若直線l經過點Q（3，1）且與C交于A，B（異于M）兩點，證明：直線AM與直線BM的斜率之積為常數21（12分）已知函數f（x）=ex+ax3，曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y=2（1）求實數a的值及函數f（x）的單調區間；（2）用m表示不超過實數m的

7、最大整數，如：0，3=0，1，3=2，若x0時，（mx）exm+2，求m的最大值選修4-1：幾何證明選講22（10分）如圖，在ABC中，BAC=90°，以AB為直徑的O交BC于點D，E是邊AC上一點，BE與O交于點F，連接DF（1）證明：C，D，F，E四點共圓；（2）若EF=3，AE=5，求BDBC的值選修4-4：坐標系與參數方程23已知曲線C的極坐標方程是6cos+2sin+=0，以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，在平面直角坐標系xOy中，直線l經過點P（3，3），傾斜角=（1）寫出曲線C直角坐標方程和直線l的參數方程；（2）設l與曲線C相交于A

8、，B兩點，求|AB|的值選修4-5：不等式選講24已知函數f（x）=|x+m|+|x|，其中m0（1）當m=1時，解不等式f（x）4；（2）若aR，且a0，證明：f（a）+f（）42016-2017學年云南省昆明市高三（上）摸底數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）（2016秋昆明月考）設集合A=x|x23x0，B=x|x1，則AB=（）A（，03，+）B（，1）3，+）C（，1）D（，0【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可【解答】解A=x|x23x0=（，03

9、，+），B=x|x1=（，1AB=（，0故選：D【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵2（5分）（2016秋昆明月考）已知復數z滿足（2+i）z=3+4i，則z=（）A2+iB2iC2iD2+i【分析】利用復數的運算法則即可得出【解答】解：因為（2+i）z=3+4i，所以z=2+i故選：A【點評】本題考查復數代數形式的混合運算，復數方程的化簡，考查計算能力3（5分）（2016秋袁州區校級期中）已知向量=（x，），=（x，），若（2+），則|=（）A1BCD2【分析】由便可得到，代入向量的坐標進行運算即可求出x2的值，從而便可得出的值【解答】解：根據條件：；=2（x23

10、）+x2+3=3x23=0；x2=1；故選D【點評】考查向量垂直的充要條件，向量坐標的數量積運算，能根據向量坐標求向量長度4（5分）（2016秋昆明月考）執行如圖所示的程序框圖，如果輸入的a=1，b=1，那么輸出的值等于（）A21B34C55D89【分析】根據已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量b的值，模擬程序的運行過程，可得答案【解答】解：模擬程序的運行，可得a=1，b=1，執行循環體，a=2，b=3，不滿足條件b50，執行循環體，a=5，b=8不滿足條件b50，執行循環體，a=13，b=21，不滿足條件b50，執行循環體，a=34，b=55，滿足條件b50，退出循環

11、，輸出的值為55故選：C【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環次數不多，或有規律可循時，可采用模擬程序法進行解答，屬于基礎題5（5分）（2016秋昆明月考）已知函數f（x）是奇函數，當x0時，f（x）=log2（x+1），則f（3）=（）A2B2C1D1【分析】根據函數奇偶性的性質進行轉化求解即可【解答】解：函數f（x）是奇函數，當x0時，f（x）=log2（x+1），f（3）=f（3）=log2（3+1）=log24=2，故選：B【點評】本題主要考查函數值的計算，根據函數奇偶性的性質進行轉化求解是解決本題的關鍵6（5分）（2016秋昆明月考）如圖，某幾何體的三視圖由半徑相同的圓和扇形構成

12、，若府視圖中扇形的面積為3，則該幾何體的體積等于（）A8BC4D【分析】1由三視圖可知：這個幾何體是球去掉剩下的幾何體利用球的體積計算公式即可得出【解答】解：由三視圖可知：這個幾何體是球去掉剩下的幾何體這個幾何體的體積=×23=8，故選：A【點評】本題考查了球的三視圖、球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題7（5分）（2016秋棗陽市校級期中）如圖，陰影部分是由四個全等的直角三角形組成的圖形，在大正方形內隨機取一點，這一點落在小正方形內的概率為 ，若直角三角形的兩條直角邊的長分別為a，b（ab），則=（）ABCD【分析】根據幾何概型的意義，求出三角形的面積，再求出大正

13、方形的面積，根據比值即可得到關乎a，b的方程，解得即可【解答】解：這一點落在小正方形內的概率為 ，正方形ABCD面積為a2+b2，三角形的面積為ab，=1，即a2+b2=ab，即+=，ab，解得=，=2（舍去）故選B【點評】本題考查幾何概型的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A）；然后計算陰影區域的面積和總面積的比，這個比即事件（A）發生的概率8（5分）（2016秋昆明月考）為了得到函數y=sin2xcos2x的圖象，可以將函數y=cos2x的圖象（）A向左平行移動個單位B向右平行移動個單位C向左平行移動個單位D向右平行移動個單位【分析】利用兩角和的正弦公

14、式、誘導公式化簡函數的解析式，再利用y=Asin（x+）的圖象變換規律，得出結論【解答】解：函數y=sin2xcos2x=sin（2x），函數y=cos2x=sin（2x+），故把函數y=cos2x的圖象向右平行移動個單位，可得函數y=sin2xcos2xsin（2x） 的圖象，故選：B【點評】本題主要考查兩角和的正弦公式、誘導公式的應用，利用了y=Asin（x+）的圖象變換規律，統一這兩個三角函數的名稱，是解題的關鍵，屬于基礎題9（5分）（2016秋皇姑區校級期中）點A，F分別是橢圓C：+=1的左頂點和右焦點，點P在橢圓C上，且PFAF，則AFP的面積為（）A6B9C12D18【分析】由題意

15、畫出圖形，由橢圓方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面積公式得答案【解答】解：如圖，由橢圓C：+=1，得a2=16，b2=12，|PF|=，|AF|=a+c=6，AFP的面積為故選：B【點評】本題考查橢圓的簡單性質，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題10（5分）（2016秋昆明月考）已知數列an滿足：a1=2，an+1=（+1）2+1，則a12=（）A101B122C145D170【分析】an+1=（+1）2+10，可得=（+1）2，=1，利用等差數列的通項公式即可得出【解答】解：an+1=（+1）2+10，則=（+1）2，=1，數列是等差數列，公差為1=1=（n1）=n，可得a

16、n=n2+1，a12=122+1=145故選：C【點評】本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題11（5分）（2016秋昆明月考）已知函數f（x）=，若存在實數a，當x2時，f（x）ax+b恒成立，則實數b的取值范圍是（）A1，+）B2，+）C3，+）D4，+）【分析】畫出函數f（x）的圖象，由由y=ax+b可得直線在y軸上的截距為b，直線總在曲線上方，即可得到b的范圍【解答】解：畫出函數f（x）=的圖象，由y=ax+b可得直線在y軸上的截距為b，若存在實數a，當x2時，f（x）ax+b恒成立，則b2故選：B【點評】本題考查分段函數的應用，考查數形結合的

17、思想方法，屬于基礎題12（5分）（2016秋昆明月考）在平面直角坐標系xOy中，以C（1，1）為圓心的圓與x軸和y軸分別相切于A，B兩點，點M，N分別在線段OA，OB上，若，MN與圓C相切，則|MN|的最小值為（）A1BCD【分析】由題意，根據圓的對稱性，可得OCMN時，|MN|取得最小值【解答】解：由題意，根據圓的對稱性，可得OCMN時，|MN|取得最小值，最小值為=2，故選：B【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查線段長的計算，屬于中檔題二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）（2016秋昆明月考）若x，y滿足約束條件，則x+2y的取值范圍是3，7【分析】利用已

18、知條件畫出可行域，關鍵目標函數的幾何意義求最值【解答】解：由約束條件得到可行域如圖：設z=x+2y則y=，當此直線經過圖中A（1，1）時直線在y軸的截距最小，z最小，經過C（1，3）時，直線在y軸的截距最大，z最大，所以x+2y的最小值為1+2=3，最大值為1+2×3=7，所以x+2y的取值范圍為：3，7；故答案為：3，7【點評】本題考查了簡單線性規劃問題；首先正確畫出可行域，借助于目標函數的幾何意義求出最值14（5分）（2016秋昆明月考）ABC中，BC邊上的中線等于BC，且AB=3，AC=2，則BC=【分析】利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和，建立方程，即可得出結論【

19、解答】解：設BC=x，則BC邊上的中線等于，利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和可得，x=，故答案為【點評】本題考查解三角形的應用，考查學生的計算能力，正確運用利用平行四邊形對角線的平方和等于四條邊的平方和是關鍵15（5分）（2016秋昆明月考）如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB=2，過直線B1D1的平面平面A1BD，則平面截該正方體所得截面的面積為【分析】如圖所示，連接A1C1，與B1D1交于E，取AA1的中點F，連接EF，證明AC1平面B1D1F，再進行求解即可【解答】解：如圖所示，連接A1C1，與B1D1交于E，取AA1的中點F，連接EF，則EFAC1，易知AC1平

20、面A1DB，EF平面A1DB，EF平面A1DBEF面B1D1F，B1D1F為平面截該正方體所得截面，在B1D1F中，B1D1=2，EF=，B1D1EF，平面截該正方體所得截面的面積為故答案為：【點評】本題考查面面垂直的判定，考查三角形面積的計算，正確判定面面垂直是關鍵屬于中檔題16（5分）（2016秋昆明月考）設點P，Q分別是曲線y=xe2x和直線y=x+2上的動點，則P，Q兩點間的距離的最小值是【分析】對曲線y=xe2x進行求導，求出點P的坐標，分析知道，過點P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點P，從而求出P點坐標，根據點到直線的距離進行求解即可【解答】解：點P是曲線y=xe2x上的任

21、意一點，和直線y=x+2上的動點Q，求P，Q兩點間的距離的最小值，就是求出曲線y=xe2x上與直線y=x+2平行的切線與直線y=x+2之間的距離由y=（12x）e2x 令y=（12x）e2x =1，解得x=0，當x=0，y=0時，點P（0，0），P，Q兩點間的距離的最小值即為點P（0，0）到直線y=x+2的距離dmin=故答案為：【點評】此題主要考查導數研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導數與斜率的關系，這是高考常考的知識點，此題是一道中檔題三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（12分）（2016秋昆明月考）已知數列an的前n

22、項和為Sn，a1=1，S2n=2an2+an（1）求數列an的通項公式；（2）若bn=2an，求b1+b3+b5+b2n+1【分析】（1）利用遞推關系、猜想此數列為等差數列，驗證成立即可（2）利用等比數列的求和公式即可得出【解答】解：（1），則，又a1=1，得a2=2，猜想數列an為等差數列，公差d=a2a1=1，可得數列an的通項公式為an=n驗證：左邊=S2n=2n2+n=右邊猜想an=n正確（2），數列b2n+1是首項為2，公比為4的等比數列，【點評】本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題18（12分）（2016秋昆明月考）如

23、圖，四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABBC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E為線段AB上一點，AE=BE，F為PD的中點（1）證明：PE平面ACF；（2）求二面角ACFB的正弦值【分析】（1）連接CE，DE，設DEAC=O，連接FO，推導出四邊形AECD為平行四邊形，從而OFPE，由此能證明PE平面ACF（2）取AD的中點G，連接PG，以C為坐標原點，分別以CD，CB所在直線為x軸，y軸，為z軸正方向，建立空間直角坐標系Cxyz，利用向量法能求出二面角APBC的正弦值【解答】證明：（1）連接CE，DE，設DEAC=O，連接FO，四邊形AECD為平行四邊形，且

24、O是DE的中點，又F為PD的中點，OFPE，OF平面ACF，PE平面ACF，PE平面ACF解：（2）取AD的中點G，連接PG，由PA=PD，得PGAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，PGAD，PG平面ABCD，在RtCBE中，在等腰PAD中，以C為坐標原點，分別以CD，CB所在直線為x軸，y軸，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz，由題知，設是平面CBF的法向量，則，即，設是平面CAF的法向量，則，即得，設二面角ACFB的平面角為，則sin=二面角APBC的正弦值為【點評】本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向

25、量法的合理運用19（12分）（2016秋昆明月考）某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如表：消費次第第1次第2次第3次第4次5次收費比例10.950.900.850.80該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據如表：消費次第第1次第2次第3次第4次第5次頻數60201055假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；（2）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；（3）以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率

26、，設該公司為一位會員服務的平均利潤為X元，求X的分布列和數學期望E（X）【分析】（1）100位會員中，至少消費兩次的會員有40人，即可得出估計一位會員至少消費兩次的概率（2）該會員第一次消費時，公司獲得利潤為200150=50（元），第2次消費時，公司獲得利潤為200×0.95150=40（元），即可得出公司這兩次服務的平均利潤（3）由（2）知，一位會員消費次數可能為1次，2次，3次，4次，5次，當會員僅消費1次時，利潤為50元，當會員僅消費2次時，平均利潤為45元，當會員僅消費3次時，平均利潤為40元，當會員僅消費4次時，平均利潤為35元，當會員僅消費5次時，平均利潤為30元，故X

27、的所有可能取值為50，45，40，35，30，即可得出X的分布列【解答】解：（1）100位會員中，至少消費兩次的會員有40人，估計一位會員至少消費兩次的概率為（2）該會員第一次消費時，公司獲得利潤為200150=50（元），第2次消費時，公司獲得利潤為200×0.95150=40（元），公司這兩次服務的平均利潤為（元）（3）由（2）知，一位會員消費次數可能為1次，2次，3次，4次，5次，當會員僅消費1次時，利潤為50元，當會員僅消費2次時，平均利潤為45元，當會員僅消費3次時，平均利潤為40元，當會員僅消費4次時，平均利潤為35元，當會員僅消費5次時，平均利潤為30元，故X的所有可能

28、取值為50，45，40，35，30，X的分布列為：X5045403530P0.60.20.10.050.05X數學期望為E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）【點評】本題考查了頻率與概率的關系、隨機變量的分布列及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題20（12分）（2016秋昆明月考）已知點F是拋物線C：y2=2px（p0）的焦點，若點M（x0，1）在C上，且|MF|=（1）求p的值；（2）若直線l經過點Q（3，1）且與C交于A，B（異于M）兩點，證明：直線AM與直線BM的

29、斜率之積為常數【分析】（1）拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，求得x0=2p，代入拋物線方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=2x，當直線l經過點Q（3，1）且垂直于x軸時，直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，kAMkBM=×=當直線l不垂直于x軸時，直線l的方程為y+1=k（x3），代入拋物線方程，由韋達定理及斜率公式求得kAMkBM=，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數【解答】解：（1）由拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，解得x0=2p，又點M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，

30、p=，p的值；（2）證明：由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=x，當直線l經過點Q（3，1）且垂直于x軸時，此時A（3，），B（3，），則直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，kAMkBM=×=當直線l不垂直于x軸時，設A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AM的斜率kAM=，同理直線BM的斜率kBM=，kAMkBM=，設直線l的斜率為k（k0），且經過Q（3，1），則直線l的方程為y+1=k（x3），聯立方程，消x得，ky2y3k1=0，y1+y2=，y1y2=3，故kAMkBM=，綜上，直線AM與直線BM的斜率之積為【點評】本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線

31、的位置關系，考查直線的斜率公式及韋達定理的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題21（12分）（2016秋昆明月考）已知函數f（x）=ex+ax3，曲線y=f（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y=2（1）求實數a的值及函數f（x）的單調區間；（2）用m表示不超過實數m的最大整數，如：0，3=0，1，3=2，若x0時，（mx）exm+2，求m的最大值【分析】（1）由條件，曲線在（0，f（0）處的切線斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=1，f'（x）=ex1，再通過解不等式即可求出單調區間；（2）利用轉化思想，x0時，不等式（mx）exm+2等價于，然后構造新函數，記g（

32、x）=，根據（1）的結論可得存在x0（1，2），使得g'（x0）=0，且g（x）min=g（x0），再通過化簡運算可得g（x）min=x0+1，由x0（1，2），即可求出m的最大值【解答】解：（1）函數f（x）的定義域為（，+），f'（x）=ex+a，由條件，f'（0）=1+a=0，得a=1，則f'（x）=ex1由f'（x）=ex10得x0，由f'（x）0得x0，故函數f（x）的單調遞增區間為（0，+），單調遞減區間為（，0）（2）x0時，不等式（mx）exm+2等價于，令，由（1）得u（x）=exx3在（0，+）上單調遞增，又u（1）0，u（2

33、）0，g'（x）在（0，+）上有唯一零點x0，且1x02，當x（1，x0）時，g'（x）0，當x（x0+）時，g'（x）0，g（x）min=g（x0），由g'（x0）=0得，g（x）min=，1x02，2g（x0）3，mg（x0），m的最大值為2【點評】本題考查了利用導數求切線的斜率和函數的單調區間，以及函數恒成立問題，著重考查了數學轉化思想方法，以及函數最值的求法，利用參數分離法是解決本題的關鍵綜合性較強，難度較大選修4-1：幾何證明選講22（10分）（2016秋昆明月考）如圖，在ABC中，BAC=90°，以AB為直徑的O交BC于點D，E是邊AC上一點，BE與O交于點F，連接DF（1）證明：C，D，F，E四點共圓；（2）若EF=3，AE=5，求BDBC的值【分析】（1）連接AD，證明C=DAB，C=DFB，利用DFE+DFB=180°，可得DFE+C=180°，即可證明C，D，F，E四點共圓；（2）連接AF，根據C，D，E，F四點共圓，利用割線定理，即可求BDBC的值【解答】（1）證明：連接AD，AB是O的直徑，ADB=90°，DAB+DBA=90°，BAC=90°，C+DBA=90