1、微型培優(yōu)專(zhuān)題課(五)相似三角形中的基本圖形相似三角形中有一些基本圖形，如果能掌握這些基本圖形相似三角形中有一些基本圖形，如果能掌握這些基本圖形的特征，并把它們從復(fù)雜的圖形中挖掘出來(lái)，或者通過(guò)添加輔的特征，并把它們從復(fù)雜的圖形中挖掘出來(lái)，或者通過(guò)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造出相應(yīng)的基本圖形，問(wèn)題的解決也就水到渠成助線(xiàn)，構(gòu)造出相應(yīng)的基本圖形，問(wèn)題的解決也就水到渠成. .基本圖形一基本圖形一平行型相似三角形平行型相似三角形【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】如圖如圖 所示，在所示，在A(yíng)BCABC中，點(diǎn)中，點(diǎn)D D，E E分別是分別是ABAB，ACAC上上( (或延長(zhǎng)或延長(zhǎng)線(xiàn)上或反向延長(zhǎng)線(xiàn)上線(xiàn)上或反向延長(zhǎng)線(xiàn)上) )的點(diǎn)，且的點(diǎn)，

2、且DEBCDEBC，則，則ADEADEABC.ABC.【培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練】1.1.如圖，已知如圖，已知DEDE是是ABCABC的中位線(xiàn)，則的中位線(xiàn)，則ADEADE與與ABCABC的面積比為的面積比為( () )A.12A.12B.14B.14C.21 D.41C.21 D.41【解析解析】選選B.B.因?yàn)橐驗(yàn)镈EDE是是ABCABC的中位線(xiàn)，所以的中位線(xiàn)，所以DEBCDEBC，DE= BCDE= BC，所以，所以ADEADEABC.ABC.根據(jù)相似三角形的面積比等根據(jù)相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，得于對(duì)應(yīng)邊的比的平方，得ADEADE與與ABCABC的面積比為的面積比為14.14.12

3、2.2.如圖，如圖，ABCABC是一塊銳角三角形的是一塊銳角三角形的材料，邊材料，邊BC=120mmBC=120mm，高，高AD=80mmAD=80mm，要把，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊它加工成正方形零件，使正方形的一邊在在BCBC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在A(yíng)BAB，ACAC上，上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是mm.mm.【解析解析】如圖所示如圖所示.正方形正方形PQMNPQMN的的QMQM邊在邊在BCBC上，上，PNBCPNBC，APNAPNABCABC， . .設(shè)設(shè)ED=ED=xmmxmm，PN=MN=ED=PN=MN=ED=xmmxmm， ，

4、解得，解得x=48.x=48.所以這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是所以這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.48mm.答案：答案：4848PNAEBCADx80 x120803.3.如圖，如圖，ABCDABCD，ADBCADBC，AEAE交交BCBC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E E，交，交DCDC于點(diǎn)于點(diǎn)F F，若若BCCE=32BCCE=32，求，求CFFD.CFFD.【解析解析】ABCFABCF，ABEABEFCEFCE， . . ，即，即 . .BCCE=32BCCE=32， . .ADBCADBC，ECFECFADFADF， ，CFFD=23.CFFD=23.BEAECEFEBECEAEFECEFEBCAF

5、CEFEAF3FE2DFAF3CFEF24.4.如圖，在如圖，在A(yíng)BCABC中，中，D D是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，F(xiàn) F在在BCBC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接DFDF交交ACAC于于E.E.求證：求證： . .CFCEBFAE【證明證明】如圖，過(guò)點(diǎn)如圖，過(guò)點(diǎn)C C作作CGABCGAB交交DFDF于點(diǎn)于點(diǎn)G G，F(xiàn)GCFGCFDBFDB， DD是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，BD=ADBD=AD， 又又CGABCGAB，EGCEGCEDAEDA， GCCF.DBFBGCCF.ADFBGCCE.ADAECFCEBFAE【方法技巧方法技巧】作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形，這是一個(gè)常用的技巧作平行線(xiàn)構(gòu)造

6、相似三角形，這是一個(gè)常用的技巧. .通過(guò)添加平行線(xiàn)構(gòu)造出平行線(xiàn)型相似三角形的基本圖形，進(jìn)而通過(guò)添加平行線(xiàn)構(gòu)造出平行線(xiàn)型相似三角形的基本圖形，進(jìn)而證明成比例線(xiàn)段或求線(xiàn)段比證明成比例線(xiàn)段或求線(xiàn)段比. .基本圖形二基本圖形二相交型相似三角形相交型相似三角形【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】如圖，如圖，AED=BAED=B，則，則AEDAEDABCABC；如圖，如圖，ACD=BACD=B，則，則ACDACDABCABC；如圖，如圖，A=DA=D，則，則AOBAOBDOC.DOC.【培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練】5.5.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)D D是是ABCABC的邊的邊ABAB上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，連接連接CDCD，若，若AD=2AD=2

7、，BD=4BD=4，ACD=BACD=B，則則ACAC的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是. .【解析解析】在在A(yíng)BCABC和和ACDACD中，因?yàn)橹?，因?yàn)锳CD=BACD=B，A=AA=A，所以所以ABCABCACD.ACD.所以所以 ，即即ACAC2 2=AD=ADAB=ADAB=AD(AD+BD)=2(AD+BD)=26=12.6=12.所以所以AC=AC=答案：答案：ACADABAC2 3.2 36.6.如圖，已知如圖，已知BDBD，CECE是是ABCABC的高，求證：的高，求證：AED=ACB.AED=ACB.【證明證明】ADB=AEC=90ADB=AEC=90，A=AA=A，ABDABDACE. .ACE

8、. .又又A=AA=A，ADEADEABC.ABC.AED=ACB.AED=ACB.ADABAEAC7.7.如圖，在如圖，在A(yíng)BCABC中，中，AB=8cmAB=8cm，BC=16cmBC=16cm，點(diǎn)點(diǎn)P P從點(diǎn)從點(diǎn)A A出發(fā)沿出發(fā)沿ABAB邊向點(diǎn)邊向點(diǎn)B B以以2cm/s2cm/s的速度的速度移動(dòng)，點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)Q Q從點(diǎn)從點(diǎn)B B出發(fā)沿出發(fā)沿BCBC邊向點(diǎn)邊向點(diǎn)C C以以4cm/s4cm/s的速度移動(dòng)的速度移動(dòng)( (有一點(diǎn)到達(dá)后即停止移動(dòng)有一點(diǎn)到達(dá)后即停止移動(dòng)) )，如果如果P P，Q Q同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒后同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒后BPQBPQ與與ABCABC相似？相似？【解析解析】設(shè)經(jīng)過(guò)設(shè)經(jīng)過(guò)

9、t t秒后秒后BPQBPQ與與ABCABC相似相似. .BB為公共角，為公共角，要使要使BPQBPQ與與ABCABC相似，只需相似，只需 或或 ，即，即 或或 ，解得，解得t=0.8t=0.8或或t=2t=2( (均小于均小于4).4).經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)0.8s0.8s或或2s2s后，后，BPQBPQ與與ABCABC相似相似. .BPBQBCBABPBQBABC82t4t16882t4t816【方法技巧方法技巧】解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題要抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一靜止?fàn)罱鈩?dòng)點(diǎn)問(wèn)題要抓住動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)兩個(gè)三角形夾態(tài)，此時(shí)兩個(gè)三角形夾B B的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，由此列出求時(shí)的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，由此列出求時(shí)間

10、間t t的比例式是解題的關(guān)鍵的比例式是解題的關(guān)鍵. .基本圖形三基本圖形三旋轉(zhuǎn)型相似三角形旋轉(zhuǎn)型相似三角形【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】如圖，如圖，B=D(B=D(或或C=E)C=E)，1=21=2，則則ABCABCADE.ADE.【培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練】8.8.如圖所示，如圖所示，DAB=CAEDAB=CAE，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，請(qǐng)你再補(bǔ)充一個(gè)條件，使得使得ABCABCADE.ADE.【解析解析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出答案根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出答案. .答案：答案：D=B(D=B(答案不唯一答案不唯一) )9.9.如圖，如圖，ABCABC和和DEFDEF都是正三角形，都是正三角形，點(diǎn)點(diǎn)

11、D D，E E分別在分別在A(yíng)BAB，BCBC上，請(qǐng)找出一個(gè)與上，請(qǐng)找出一個(gè)與DBEDBE相似的三角形，并說(shuō)明理由相似的三角形，并說(shuō)明理由. .【解析解析】GADGAD或或ECHECH或或GFH.GFH.GADGADDBEDBE的理由：的理由：ABCABC，DEFDEF是等邊三角形，是等邊三角形，A=B=FDE=60A=B=FDE=60，BDE+GDA=120BDE+GDA=120. .又又BDE+DEB=120BDE+DEB=120，GDA=DEBGDA=DEB，GADGADDBE.DBE.10.10.如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)E E是四邊形是四邊形ABCDABCD的對(duì)角線(xiàn)的對(duì)角線(xiàn)BDBD上的一點(diǎn)，且上

12、的一點(diǎn)，且BAC=BDC=DAE.BAC=BDC=DAE.(1)BE(1)BEAD=CDAD=CDAEAE成立嗎？說(shuō)明理由成立嗎？說(shuō)明理由. .(2)(2)根據(jù)圖形特點(diǎn)，猜想根據(jù)圖形特點(diǎn)，猜想 可能等于哪兩條線(xiàn)段的比可能等于哪兩條線(xiàn)段的比( (只需只需寫(xiě)出圖中已有線(xiàn)段的一組比即可寫(xiě)出圖中已有線(xiàn)段的一組比即可) )？并說(shuō)明你猜想的正確性？并說(shuō)明你猜想的正確性. .BCDE【解題指南解題指南】【解析解析】(1)BAC=DAE(1)BAC=DAE，BAC+EAC=DAE+EACBAC+EAC=DAE+EAC，即，即DAC=BAE.DAC=BAE.AEB=DAE+ADEAEB=DAE+ADE，ADC=

13、BDC+ADEADC=BDC+ADE，DAE=BDCDAE=BDC，AEB=ADC.AEB=ADC.ABEABEACDACD， ，BEBEAD=CDAD=CDAE.AE.(2) (2) 這是因?yàn)椋河蛇@是因?yàn)椋河?1)(1)中中ABEABEACDACD，得，得又又BAC=DAEBAC=DAE，ABCABCAEDAED， . .BEAECDADBCACAB().DEADAE或ABAE.ACADBCACABDEADAE【方法技巧方法技巧】由等積式由等積式BEBEAD=CDAD=CDAEAE得到比例式得到比例式 ，對(duì)于這個(gè)比例式，考慮比的前項(xiàng)對(duì)于這個(gè)比例式，考慮比的前項(xiàng)BEBE，AEAE中中B B，E

14、 E，A A所構(gòu)成的所構(gòu)成的ABEABE與比的后項(xiàng)與比的后項(xiàng)CDCD，ADAD中中C C，D D，A A所構(gòu)成的所構(gòu)成的ACDACD相似，這種相似，這種尋找相似三角形的方法通常稱(chēng)為尋找相似三角形的方法通常稱(chēng)為“三點(diǎn)定相似三角形法三點(diǎn)定相似三角形法”. .掌掌握這種思考問(wèn)題的方法，解決有關(guān)比例線(xiàn)段或等積式問(wèn)題十分握這種思考問(wèn)題的方法，解決有關(guān)比例線(xiàn)段或等積式問(wèn)題十分有效有效. .BEAECDAD基本圖形四基本圖形四垂直型相似三角形垂直型相似三角形【知識(shí)點(diǎn)睛知識(shí)點(diǎn)睛】如圖所示，在如圖所示，在RtRtABCABC中，中，CDCD是斜邊是斜邊ABAB上的高，上的高，則則RtRtABCRtABCRtAC

15、DRtACDRtCBDCBD. .如圖所示，如圖所示，BAADBAAD，EDADEDAD，BCCEBCCE，則，則RtRtABCRtABCRtDCEDCE. .【培優(yōu)訓(xùn)練培優(yōu)訓(xùn)練】11.11.如圖，小明在如圖，小明在A(yíng) A時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為時(shí)測(cè)得某樹(shù)的影長(zhǎng)為2m2m，在，在B B時(shí)又測(cè)得該樹(shù)時(shí)又測(cè)得該樹(shù)的影長(zhǎng)為的影長(zhǎng)為8m.8m.若兩次日照的光線(xiàn)互相垂直，則樹(shù)的高度為若兩次日照的光線(xiàn)互相垂直，則樹(shù)的高度為m.m.【解析解析】如圖，在如圖，在RtRtCDECDE中，中，EFCDEFCD，則，則CEFCEFEDFEDF， .EF .EF2 2= =CFCFDF=2DF=28=168=16，EF=4

16、 m.EF=4 m.答案：答案：4 4EFCFFDEF12.12.請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將如圖所示的直角三角形分割成請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)三種不同的分法，將如圖所示的直角三角形分割成四個(gè)小三角形，使得每個(gè)小三角形與原三角形都相似四個(gè)小三角形，使得每個(gè)小三角形與原三角形都相似( (要求畫(huà)要求畫(huà)出分割線(xiàn)段，標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的必要記號(hào)，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，出分割線(xiàn)段，標(biāo)出能夠說(shuō)明分法的必要記號(hào)，不要求寫(xiě)出畫(huà)法，不要求說(shuō)明理由不要求說(shuō)明理由).).【解析解析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及直角三角形相似的判定方法，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及直角三角形相似的判定方法，可以得到如圖所示的畫(huà)法：可以得到如圖所示的畫(huà)法：【方法技巧方法技巧】

17、分割出相似的直角三角形，關(guān)鍵在于抓住直角相分割出相似的直角三角形，關(guān)鍵在于抓住直角相等和正確地分割直角，得到相似的直角三角形等和正確地分割直角，得到相似的直角三角形. .13.13.如圖，在矩形如圖，在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=8cm.BC=8cm.點(diǎn)點(diǎn)E E，F(xiàn) F，G G分別從點(diǎn)分別從點(diǎn)A A，B B，C C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)方向移動(dòng). .點(diǎn)點(diǎn)E E，點(diǎn)，點(diǎn)G G的速度均為的速度均為2cm/s2cm/s，點(diǎn)點(diǎn)F F的速度為的速度為4cm/s.4cm/s.當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)F F追上點(diǎn)追上點(diǎn)G(G(即點(diǎn)即點(diǎn)F F與點(diǎn)與點(diǎn)G G重合重合) )時(shí)，三個(gè)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止移動(dòng)點(diǎn)隨之停止移動(dòng). .若點(diǎn)若點(diǎn)F F在邊在邊BCBC上移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間上移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間t t為何值時(shí)，以點(diǎn)為何值時(shí)，以點(diǎn)E E，B B，F(xiàn) F為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形與以與以F F，C C，G G為頂點(diǎn)的三角形相似？為頂點(diǎn)的三角形相似？【解析解析】當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)F F在矩形的邊在矩形的邊BCBC上移動(dòng)時(shí)，上移動(dòng)時(shí)，0t2.0t2.在在EBFEBF和和GCFGCF中，中，B=C=90B=C=90. .若若 ，即，即 ，解得，