1、精選優質文檔-傾情為你奉上概率與隨機變量1.概率隨機事件的概率1、必然事件：一般地，把在條件S下，一定會發生的事件叫做相對于條件S的必然事件。2、不可能事件：把在條件S下，一定不會發生的事件叫做相對于條件S的不可能事件。3、確定事件：必然事件和不可能事件統稱相對于條件S的確定事件。4、隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件。5、頻數：在相同條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數。6、頻率：事件A出現的比例。7、概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.概率的基本性質1、事件的關系與

2、運算（1）包含。對于事件A與事件B，如果事件A發生，則事件B一定發生，稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），記作。不可能事件記作。（2）相等。若，則稱事件A與事件B相等，記作A=B。（3）事件A與事件B的并事件（和事件）：某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生。P(AB)P(A)P(B);（4）事件A與事件B的交事件（積事件）：某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生。P(A·B)P(A)·P(B)（5）事件A與事件B互斥：為不可能事件，即，即事件A與事件B在任何一次試驗中并不會同時發生。（6）事件A與事件B互為對立事件：為不可能事件，為必然事件，即事件A與事件B在

3、任何一次試驗中有且僅有一個發生。2、概率的幾個基本性質（1）.（2）必然事件的概率為1.（3）不可能事件的概率為0. .（4）事件A與事件B互斥時，P(AB)=P(A)+P(B)概率的加法公式。（5）若事件B與事件A互為對立事件，則為必然事件，.古典概型1、基本事件：基本事件的特點：（1）任何兩個事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本時間的和。2、古典概型：（1）試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；（2）每個基本事件出現的可能性相等。具有這兩個特點的概率模型稱為古典概型。3、公式：幾何概型1、幾何概型：每個事件發生的概率只有與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例的

4、概率模型。2、幾何概型中，事件A發生的概率計算公式：以下歸納5個常見考點：考點 1 考查等可能事件概率計算。在一次實驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等。如果事件A包含的結果有m個，那么。這就是等可能事件的判斷方法及其概率的計n算公式。例 1從4名男生和2名女生中任3人參加演講比賽.(I)求所選3人都是男生的概率；(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.考點 2 考查互斥事件至少有一個發生與相互獨立事件同時發生概率計算。不可能同時發生的兩個事件A、B叫做互斥事件，它們至少有一個發生的事件為A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(

5、A)+P(B)計算。事件A（或B）是否發生對事件B（或A）發生的概率沒有影響，則A、B叫做相互獨立事件，它們同時發生的事件為AB。用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)計算。例 2.設甲、乙、丙三臺機器是否需要照顧相互之間沒有影響。已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125，（）求甲、乙、丙每臺機器在這個小時內需要照顧的概率分別是多少；（）計算這個小時內至少有一臺需要照顧的概率。考點 3 考查對立事件概率計算。必有一個發生的兩個互斥事件A、B叫做互為對立事件。用概率的減法公式P(A)=1-P(A)計算其概率。例

6、3(2005 福建卷文）甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為。（）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；考點 4 考查獨立重復試驗概率計算。若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴其它各次試驗的結果，則此試驗叫做n次獨立重復試驗。若在1次試驗中事件A發生的概率為 P，則在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率為Pn(k)=。例 4某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同。假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2。從使用之

7、日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換。（）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（）當p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）考點 5 考查隨機變量概率分布與期望計算。解決此類問題時，首先應明確隨機變量可能取哪些值，然后按照相互獨立事件同時發生概率的法公式去計算這些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根據分布列和期望、方差公式去獲解。以此考查離散型隨機變量分布列和數學期望等概念和運用概率知識解決 實際問

8、題的能力。例 5某地最近出臺一項機動車駕照考試規定；每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，使可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止。如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數的分布列和的期望，并求李明在一年內領到駕照的概率。2.隨機變量及其分布離散型隨機變量的分布列1.隨機變量及相關概念隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常用希臘字母、等表示.隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.隨機變量可以取某區間內的一切值，

9、這樣的隨機變量叫做連續型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列離散型隨機變量的分布列的概念和性質一般地，設離散型隨機變量可能取的值為，取每一個值（1，2，）的概率P（）=，則稱下表.PP1P2為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.由概率的性質可知，任一離散型隨機變量的分布列都具有下述兩個性質：（1），1，2，;（2）=1.常見的離散型隨機變量的分布列：（1）二項分布次獨立重復試驗中，事件A發生的次數是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，n，并且，其中，隨機變量的分布列如下：01P稱這樣隨機變量服從二項分布，記作，其中、為參數，并記： .（2） 幾何分布 在獨立重復試驗中，某事件第一次發生時

10、所作的試驗的次數是一個取值為正整數的離散型隨機變量，“”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發生.隨機變量的概率分布為：123kPpqp（3）超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（MN）件次品，今抽取件，則其中的次品數是一離散型隨機變量，分布列為.分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數，如果規定時，則k的范圍可以寫為k=0，1，n.超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1na+b），則次品數的分布列為.離散型隨機變量的期望與方差隨機變量的數學期望和方差(1)離散型隨機變量的數學期望：；期望反映隨機變量取值的平均水平.離散型隨機變量的方差

11、：；方差反映隨機變量取值的穩定與波動，集中與離散的程度.基本性質：；.(4)若B(n，p)，則 ; D =npq（這里q=1-p） ; 如果隨機變量服從幾何分布，則，D =其中q=1-p.標準正態分布如果隨機變量的概率函數為，則稱服從標準正態分布. 即有，求出，而P（ab）的計算則是.注意：當標準正態分布的的X取0時，有當的X取大于0的數時，有.比如則必然小于0，如右圖. 正態分布與標準正態分布間的關系：若則的分布函數通常用表示，且有. 近五年高考真題（2009年）18.(本題滿分12分)在10件產品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品。從這10件產品中任取3件，求：（I） 取出的3件產品

12、中一等品件數X的分布列和數學期望；(9/10)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 取出的3件產品中一等品件數多于二等品件數的概率。(31/120)（2010年）18（本題滿分12分）某射手每次射擊擊中目標的概率是，且各次射擊的結果互不影響。（）假設這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標的概率(40/243)（）假設這名射手射擊5次，求有3次連續擊中目標。另外2次未擊中目標的概率；(8/81)（）假設這名射手射擊3次，每次射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，在3次射擊中，若有2次連續擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分，記為射手射擊3次后的總的分數，求

13、的分布列。（2011年）16(本小題滿分13分)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有個白球，個黑球，乙箱子里裝有個白球，個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出個球，若摸出的白球不少于個則獲獎（每次游戲結束后將球放回原箱）()求在次游戲中，() 摸出個白球的概率；(1/5)() 獲獎的概率；(7/10)()求在次游戲中，獲獎次數的分布列及數學期望(7/5)（2012年）16（本小題滿分13分）現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲.（）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(8/27)（）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；(1/9)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.(148