1、23直線、平面垂直的斷定及其直線、平面垂直的斷定及其性質性質 23.1直線與平面垂直的斷定直線與平面垂直的斷定 一、閱讀教材P6466回答1假設一條直線l和一個平面內的，我們就說直線l和平面相互垂直，記作，直線l叫做平面的 ，平面叫做直線l的，直線與平面垂直時，它們獨一的公共點叫做 2過一點 一條直線與知平面垂直；過一點 一個平面與知直線垂直恣意一條直線都垂直l垂線垂面垂足有且僅有有且僅有3直線與平面垂直的斷定方法：(1)假設兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條用符號表示為.(2)斷定定理：假設一條直線和一個平面內的直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面用符號表示為.也垂直于這個平面

2、ab，ab兩條相交ab，ac，bcA，b，ca4一條直線PA與平面相交但不垂直，那么這條直線叫做這個平面的，交點A叫做 ，過斜線上除斜足外的任一點P作平面的垂線PO，那么AO叫做平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角叫做，一條直線垂直于平面，它們所成的角為，不斷線平行于平面或在平面內，它們所成的角為 .斜線斜足斜線在平面上的射影這條直線和這個平面所成的角直角0二、解答以下各題1教室內有不斷尺，無論怎樣放置，在地面總有直線與直尺所在的直線()A平行 B垂直C相交 D異面答案B2直線a平面，直線b，那么a與b的位置關系是 .3假設一條直線垂直于一個平面內的：(1)三角形的兩條邊；(2)梯形的兩

3、條邊；(3)圓的兩條直徑請問這條直線能否與平面垂直，闡明他的理由答案(1)(3)垂直；(2)不一定垂直ab解析三角形的兩邊及圓的兩條直徑總相交，由線面垂直的斷定定理知，這條直線垂直于這個平面，但梯形的兩條邊能夠相交也能夠不相交，故直線和平面不一定垂直4過一點P與知直線l垂直的直線有幾條？這些直線的分布有何特征？答案無數條都在過點P與l垂直的平面內5如圖，拿一張矩形的紙對折后略微展開，豎立在桌面上，闡明折痕與桌面的位置關系答案折痕與桌面垂直本節學習重點：線面垂直的斷定本節學習難點：線面垂直的證明，特別是經過計算證明垂直關系1線面垂直的斷定用定義：證l和內恣意一條直線垂直用定理：證l和內“兩條相交

4、直線都垂直，我們可把定理簡化為：線線垂直線面垂直利用平行線：假設a，證la即可知l.2由線面垂直定義：l，a，那么la.3A是平面外一點，AB，B為垂足，那么線段AB叫做點A到平面的垂線段，垂線段的長叫做點A到平面的間隔，點B是A在平面內的正投影(簡稱射影)設P是三角形ABC所在平面外一點，O是P在內的射影(1)假設PAPBPC，那么O為ABC的外心特別地當C90時，O為斜邊AB的中點(2)假設PA、PB、PC兩兩垂直，那么O為ABC的垂心(3)假設P到ABC三邊間隔相等，那么O為ABC的內心例1在平面內有直角BCD，AB平面，求證：CD平面ABC.在正方體A1B1C1D1ABCD中，E，F分

5、別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，求證：EF平面BB1O.分析利用兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面，此題可先證AC平面BB1O，再證EFAC即可解析如右圖，連結AC，BD，那么O為AC，BD的交點ABCD為正方形，ACBO又 B B 1 平 面 A B C D ， A C 平 面 A B C D ，ACBB1BOBB1B，AC平面BB1O.又EF是ABC的中位線EFACEF平面BB1O例2在正方體ABCDA1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角分析求線面角的關鍵是找出直線在平面內的

6、射影，為此須找出過直線上一點的平面的垂線(2)中過A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則 AC1與平面 A1B1C1D1所成角的正弦值為()A.2 23B.23C.24D.13答案D解析AA1平面A1B1C1D1，AC1A1為直線AC1與平面A1B1C1D1所成角，AA11，ABBC2，AC13，例3如何檢驗鉆床的鉆頭能否垂直于任務臺面？解析可把角尺的一邊放在任務臺面上，再看角尺的另一邊與鉆頭能否密合，然后再把角尺換一個方向(不是原來的反方向)，照樣再檢查一次假設兩

7、次檢查中，鉆頭與角尺的邊都能密合，那么就可以斷定鉆頭與任務臺面是垂直的，這就是直線和平面垂直的斷定定理1的運用有一根旗桿AB高12m，它的頂端A掛著兩條長13m的繩子拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C、D(和旗桿腳B不在同一條直線上)假設這兩點和旗桿腳B的間隔都是5m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解析在ABC和ABD中，AB12m，BCBD5m，ACAD13m，AB2BC212252132AC2，AB2BD212252132AD2.ABCABD90，ABBC，ABBD.B、C、D三點不共線AB平面BCD，即旗桿和地面垂直例4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中點，O是底面

8、正方形ABCD的中心，求證：OE平面ACD1.分析根據線面垂直的斷定方法，要證明OE平面ACD1，只需在平面ACD1內找兩條相交直線與OE垂直證明證法1：連結B1D、A1D、BD，在B1BD中，E、O分別是B1B和DB的中點，EOB1D.B1A1平面AA1D1D，B1A1AD1又AD1A1D，B1A1A1DA1AD1面A1B1CD，AD1B1D同理可證，B1DD1C.又AD1CD1D1，AD1、D1C平面ACD1，B1D平面ACD1.又B1DEO，EO平面ACD1.證法2：連結AE、CE，D1O，設正方體DB1的棱長為a，易證AECE.AOOC，OEAC.在正方體中易求出：點評要證“線面垂直可

9、找“線線垂直，而要證“線線垂直也可找“線面垂直，它們之間可以相互轉化這是立體幾何證明垂直關系時常用的轉化方法證法2用的是計算證明方法在立體幾何的垂直關系證明中有時經過勾股定理計算證明很方便.例5如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，ADBC，ABC90，PA平面ABCD，PA3，AD2，AB2 ，BC6.求證：BD平面PAC.解析PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA.BAD和ABC都是Rt，ABD30，BAC60.AEB90，即BDAC，又PAACA，BD平面PAC.如圖，知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AEFC11，(1)求證：E

10、、B、F、D1四點共面；(2)假設點G在BC上，BG ，點M在BB1上，GMBF，垂足為H，求證：EM平面BCC1B1.解析(1)如圖，在DD1上取點N，使DN1，那么AE綊DN，四邊形ADNE為平行四邊形，NE綊AD，又AD綊BC，NE綊BC，四邊形BCNE是平行四邊形，BE綊CN，又CFND12且CFND1.四邊形CFD1N是平行四邊形CN綊FD1，BE綊FD1，E、B、F、D1四點共面 (2)如圖，GMBF，所以BGMCFB，BMBGtanBGMBGtanCFB由于AE綊BM，所以ABME為平行四邊形，從而ABEM.又AB平面BCC1B1，所以EM平面BCC1B1.例6過一點和知平面垂直

11、的直線只需一條解析知：平面與一點P.求證：過點P與垂直的直線只需一條證明：不論點P在內或在外，設PA，垂足為P(或A)假設除直線PA外，過點P還有一條直線PB，設PA與PB確定的平面為，且a，于是在平面內過點P有兩條直線PA，PB垂直于直線a，這是不能夠的過點P與垂直的直線只需一條(1)知：直線l平面，垂足A，直線APl.求證AP在平面內(2)知直線a不在平面內，且與平面的一條垂線b垂直，求證：a.解析(1)設AP與l確定的平面為，假設AP不在內，那么可設與相交于直線AM.l，AM，lAM.又知APl，于是在平面內，過點A有兩條直線垂直于l，這是不能夠的所以AP一定在內(2)設bB，在b上任取

12、異于B的一點A，過A作直線ca，ab，cb，兩相交直線b與c確定一個平面與有公共點B，故必有經過點B的一條交線d，b，d，bd，c，d都在內且與內直線b垂直，cd，又ac，ad，又a ，d，a.例7如圖ab，點P在a、b所確定的平面外，PAa于A，ABb于B.求證：PBb.解析PAa，ab，PAb又ABb，且PAABA，b平面PAB又PB平面PAB，PBb.一、選擇題1如圖，PA平面ABC，ABC中，BCAC，那么圖中直角三角形的個數是()A4B3C2 D1答案A解析PA平面ABCPABPAC90PABC又BCACBC平面PACBCPBCA90，應選A.2假設一條直線l上有兩個點到平面的間隔相等，那么l與的關系是()A平行B相交C垂直D不確定答案D解析當l時，直線l上一切點到的間隔都相等；當l與相交(包括垂直)時，對于l上任一點P，在平面另一側的直線上總存在一點P，有P，P到平面的間隔相等，不確定3設m，l是兩條不同的直線，是一個平面，那么以下命題正確的選項是()A假設lm，m，那么lB假設l，lm，那么mC假設l，m，那么lmD假設l，m，那么lm答案B解析兩平行線中一條垂直