1、v基本要求基本要求 了解矢量場散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌了解矢量場散度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。握散度定理的內(nèi)容，并能熟練運(yùn)用。 了解矢量場旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌了解矢量場旋度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義；掌握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。握斯托克斯公式的內(nèi)容，并能數(shù)量應(yīng)用。 了解標(biāo)量場的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義。了解標(biāo)量場的梯度的定義，掌握其計(jì)算方法和物理意義。 正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)正確理解標(biāo)量格林定理和矢量格林定理的內(nèi)容，并學(xué)會應(yīng)用。用。1 .2 通量與散度通量與散度

2、, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1.2.1 矢量場的通量矢量場的通量矢量場的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述矢量場的空間變化規(guī)律通常用散度和旋度描述 矢量場的通量矢量場的通量 在電場電場中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的中，電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量電通量；在在磁場磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的中，磁感應(yīng)強(qiáng)度在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的磁通量磁通量。 定義：定義：若若矢量場矢量場 分布于空間中，在空間中分布

3、于空間中，在空間中存在任意曲面存在任意曲面 ，則，則 若若 為閉合曲為閉合曲面面 為為矢量矢量 沿有向曲面沿有向曲面 的的通量通量。物理意義：物理意義：表示穿入和穿出閉合面表示穿入和穿出閉合面 的矢量通量的代數(shù)和。的矢量通量的代數(shù)和。 穿過穿過閉合曲面閉合曲面S的通量的通量面元在閉合曲面上面元在閉合曲面上: :面元的法面元的法向矢量由閉合曲向矢量由閉合曲面面內(nèi)內(nèi)指向指向外外; ; 面元在開曲面上：面元在開曲面上：( (由有向閉由有向閉合曲線合曲線C C圍成的圍成的) ) ：面元的法向面元的法向矢量與矢量與C C成成右手螺旋法則右手螺旋法則。面元的法向矢量：面元的法向矢量：neSdCSdne穿過

4、曲面穿過曲面S的通量的通量 對于流速場，通量代表每秒鐘流出閉合曲面的流體的體積。對對于流速場，通量代表每秒鐘流出閉合曲面的流體的體積。對于電磁場，通量代表穿出閉合曲面的力線的條數(shù)。于電磁場，通量代表穿出閉合曲面的力線的條數(shù)。1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theoremSdne電場是發(fā)散場，電荷是電場電場是發(fā)散場，電荷是電場的發(fā)散源。正電荷為正的發(fā)散源。正電荷為正通量通量源源，負(fù)電荷為負(fù)，負(fù)電荷為負(fù)通量源通量源。qSdDS0SdBS磁場是非發(fā)散場，沒有發(fā)散源。磁場是非發(fā)散場，沒有

5、發(fā)散源。+-1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem有凈的矢量線從內(nèi)有凈的矢量線從內(nèi)向外穿出向外穿出S S （發(fā)發(fā)散場）散場）；S S內(nèi)有發(fā)內(nèi)有發(fā)出矢量線的正通量出矢量線的正通量源。正電荷是電場源。正電荷是電場的正通量源。的正通量源。有凈的矢量線從外有凈的矢量線從外向內(nèi)穿入向內(nèi)穿入S S（匯聚匯聚場）場）, S, S內(nèi)有匯聚內(nèi)有匯聚矢量線的負(fù)通量源。矢量線的負(fù)通量源。負(fù)電荷是電場的負(fù)負(fù)電荷是電場的負(fù)通量源。通量源。進(jìn)入與穿出閉合曲面進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等的矢量線相等

6、,S,S內(nèi)源內(nèi)源的代數(shù)和為的代數(shù)和為0.0.不能判不能判斷場是否發(fā)散，除非斷場是否發(fā)散，除非S是任意曲面。是任意曲面。 矢量場穿出矢量場穿出閉合面閉合面S的通量大小反映了場在的通量大小反映了場在S內(nèi)的發(fā)散情內(nèi)的發(fā)散情況，也反映了況，也反映了S內(nèi)通量源的大小。內(nèi)通量源的大小。0001 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem例例1：已知空間電場分布為：已知空間電場分布為 ，求電場強(qiáng)，求電場強(qiáng)度穿過以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心半徑為度穿過以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心半徑為a的閉合球面的通量。的閉合球面的通

7、量。)()(rEerErSdrES)()(42aEaS )(aEerdSerSdSaE)(OxyzrneSd1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field2、散度的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性； 2) 2) 矢量場的散度是一個標(biāo)量；矢量場的散度是一個標(biāo)量； 3) 3) 矢量場的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場的散

8、度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem1、定義：、定義：當(dāng)閉合面當(dāng)閉合面 向某點(diǎn)無限收縮時，矢量向某點(diǎn)無限收縮時，矢量 通過該閉合面通過該閉合面 的的 通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場 在該在該 點(diǎn)的散度，以點(diǎn)的散度，以 div 表示，即表示，即散度描述了通量源的密度。散度描述了通量源的密度。P P點(diǎn)的散度點(diǎn)的散度0 0 ，P P點(diǎn)的場發(fā)散，點(diǎn)的場發(fā)散，P P點(diǎn)有發(fā)散源；點(diǎn)有發(fā)散源；P P點(diǎn)的散度

9、點(diǎn)的散度0 0 ，P P點(diǎn)的場匯聚，點(diǎn)的場匯聚，P P點(diǎn)有匯聚源；點(diǎn)有匯聚源；P P點(diǎn)的散度點(diǎn)的散度為為0 0，P P點(diǎn)沒點(diǎn)沒有發(fā)散源；有發(fā)散源；空間任意點(diǎn)散度空間任意點(diǎn)散度0，場非發(fā)散，無發(fā)散源；，場非發(fā)散，無發(fā)散源；1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem3 3、直角坐標(biāo)系中散度的表示、直角坐標(biāo)系中散度的表示散度可用算符散度可用算符 哈密頓哈密頓 表示為表示為哈密頓哈密頓zzyyxx拉普拉

10、斯拉普拉斯222x22y22z21 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 穿出立方體的前側(cè)面的凈通量值為穿出立方體的前側(cè)面的凈通量值為 做一無限小立方體包圍做一無限小立方體包圍P（x0,y0,z0)點(diǎn)點(diǎn)-Ax(x0-Dx2,y0,z0)DyDzoxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDPF),(000zyxAx(x0Dx2,y0,z0)DyDz穿出后側(cè)面的凈通量值為穿出后側(cè)面的凈通量值為穿出前、后兩側(cè)面的

11、凈通量值為穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為Ax(x0Dx2,y0,z0)-Ax(x0-Dx2,y0,z0)DyDzAxx(x0,y0,z0)DxDyDzAxx(x0,y0,z0)Ax(x0Dx2,y0,z0)-Ax(x0,y0,z0)Dx2Ax(x0,y0,z0)-Ax(x0-Dx2,y0,z0)Dx2穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為AxxDxDyDzoxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDPF),(000zyx穿出左、右兩側(cè)面的凈通量值為穿出左、右兩側(cè)面的凈通量值為AyyDxDyDz穿出上、下兩側(cè)面的凈通量值為穿出上、下兩側(cè)面的凈通量值為AzzDxDyDz

12、穿出包圍立方體的閉合面的通量穿出包圍立方體的閉合面的通量直角坐標(biāo)系中的散度為直角坐標(biāo)系中的散度為zeyexezyx(AxxAyyAzz)DxDyDz(AxxAyyAzz)DV(1.2-4)Ax沿沿x方向的變化率，場沿方向的變化率，場沿x方向發(fā)散，方向發(fā)散，產(chǎn)生穿出垂直于產(chǎn)生穿出垂直于x軸方向的面積的通量軸方向的面積的通量 oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDPAxx單位體積內(nèi)沿單位體積內(nèi)沿x x方向發(fā)散源，方向發(fā)散源，x x方向發(fā)散源的強(qiáng)度方向發(fā)散源的強(qiáng)度 。Ayy單位體積內(nèi)沿單位體積內(nèi)沿y y方向發(fā)散源，方向發(fā)散源，y y方向發(fā)散源的方向發(fā)散源的強(qiáng)強(qiáng)度度 。Azz單位體積

13、內(nèi)沿單位體積內(nèi)沿z z方向發(fā)散源，方向發(fā)散源，z z方向發(fā)散源的方向發(fā)散源的強(qiáng)強(qiáng)度度 。 的散度是的散度是 的的三維分量沿各自方向的變化率三維分量沿各自方向的變化率之之和，和， 即取決于即取決于 各分量的各分量的縱向變化率縱向變化率。13比較上式與式比較上式與式(1.2-4) (1.2-4) 知知: zzyyxx 哈密頓算子哈密頓算子兼有矢量和微分運(yùn)算雙重功能兼有矢量和微分運(yùn)算雙重功能: : 先按矢量規(guī)則展開先按矢量規(guī)則展開, ,再做微分運(yùn)算：再做微分運(yùn)算：1 .2 .2 散度散度 Divergence of a vector field注意注意：散度的運(yùn)算規(guī)則：散度的運(yùn)算規(guī)則：zzyyxxz

14、zyyxx)(1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem上式稱為上式稱為散度定理散度定理, 也稱為也稱為高斯公式高斯公式。1 .2 .3 散度定理散度定理 The divergence theorem既然矢量的散度代表的是其通量的體密度既然矢量的散度代表的是其通量的體密度, , 因此直觀地可因此直觀地可知知, , 矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量閉面的總通量, , 即即 v從從數(shù)學(xué)角度數(shù)學(xué)角度可以認(rèn)為高斯

15、定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。可以認(rèn)為高斯定理建立了面積分和體積分的關(guān)系。v從從物理角度物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域可以理解為高斯定理建立了區(qū)域V中的場和包圍區(qū)域中的場和包圍區(qū)域 V的閉合面的閉合面S上的場之間的關(guān)系。上的場之間的關(guān)系。v如果已知區(qū)域如果已知區(qū)域V中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界中的場，根據(jù)高斯定理即可求出邊界S上的場，上的場，反之亦然。反之亦然。散度定理散度定理：散度定理的物理意義：散度定理的物理意義：1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem4.

16、 散度定理散度定理體積的剖分體積的剖分VSiSi+1Sie1ie),(iiizyx矢量散度的矢量散度的體積分體積分該矢量的封閉該矢量的封閉面積分面積分對于對于 vi1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem散度定理的應(yīng)用散度定理的應(yīng)用qSdDS DdVdVDVV任意任意S,V成立成立0SdBS0 B0dVBV任意任意S,V成立成立1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence

17、theorem點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷q在離其在離其r處產(chǎn)生的電通量密度為處產(chǎn)生的電通量密度為 解解例例求任意點(diǎn)處電通量密度的散度求任意點(diǎn)處電通量密度的散度 ，并求穿出，并求穿出r為半徑的球面為半徑的球面的電通量的電通量e1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem5222/522222/32222/322234)(3)(14)(4rxrqzyxxzyxqzyxxxqxDx-52252234,34rzrqzDryrqyDzy-1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux,

18、 divergence of a vector field, divergence theorem可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（可見，除點(diǎn)電荷所在源點(diǎn)（r=0）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散）外，空間各點(diǎn)的電通量密度散度均為零。度均為零。這證明在此球面上所穿過的電通量這證明在此球面上所穿過的電通量 的源正是點(diǎn)電荷的源正是點(diǎn)電荷q。e1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem20球面球面s上任意點(diǎn)的位置矢量為上任意點(diǎn)的位置矢量為 試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算試?yán)蒙⒍榷ɡ碛?jì)算z zyyxxrSsd

19、r3rzzyyxx然后利用散度定理計(jì)算面積分：然后利用散度定理計(jì)算面積分：VVSrrvvs334343d3drdr解解 首先求出首先求出 的散度的散度：r例例21 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem為什么要定義通量？為什么要定義通量？通量的大小，由發(fā)散場的強(qiáng)度決定，由發(fā)散源的強(qiáng)度決定。通量的大小，由發(fā)散場的強(qiáng)度決定，由發(fā)散源的強(qiáng)度決定。比如靜電場的通量由比如靜電場的通量由S內(nèi)的電荷分布決定。內(nèi)的電荷分布決定。通量描述通量描述S內(nèi)產(chǎn)生發(fā)散場的內(nèi)產(chǎn)生發(fā)散場的發(fā)散源發(fā)散源的總量

20、。的總量。從通量判斷發(fā)散場，發(fā)散源，確定源與場的關(guān)系從通量判斷發(fā)散場，發(fā)散源，確定源與場的關(guān)系有散場，例如靜電場有散場，例如靜電場無散場，例如恒磁場無散場，例如恒磁場1 .2 通量與散度通量與散度, , 散度定理散度定理Flux, divergence of a vector field, divergence theorem例例2.4.1 (V4) 半徑為半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)的球形區(qū)域內(nèi)充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)，球，球外為真空外為真空。若已知電場分布如下，求空間電荷體密度（。若已知電場分布如下，求空間電荷體密度（A、a為常為常數(shù)）。數(shù)）。-arrAaaearArreErr

21、24523)()(得根據(jù)高斯定理, E解：解：arEarE0ErErErrrErsin1)(sinsin1)(122)(122rErrr )(1452ArrrrE)45(1342ArrrArr452ar ar )(1452AaarrE0ararArr0)45(201 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem1 .3 .1 環(huán)量環(huán)量 Curl of a vector field矢量矢量 沿某封閉曲線的線積分沿某封閉曲線的線積分, 定義為定義為 沿該曲線的環(huán)量沿該曲線的環(huán)量(或旋渦量或旋渦量), 記為記為 封

22、閉曲線的方向規(guī)定為使所包圍面積在其左側(cè)，封閉曲線的方向規(guī)定為使所包圍面積在其左側(cè)，如圖如圖1.3-1所示所示。sldsAl dPlSS圖圖1.3-1矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量 圖圖1.3-2 電流電流I的磁通密度的磁通密度B1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況為反映給定點(diǎn)附近的環(huán)量情況, 我們把封閉曲線收小我們把封閉曲線收小, 使它包圍的使它包圍的面積面積S趨近于零趨近于零, 取極限取極限 這個極限的意義就是這個極限的意義就是環(huán)量的面密度環(huán)量的面密度, 或稱或稱環(huán)量強(qiáng)度環(huán)量

23、強(qiáng)度。 由于面元是有方向的由于面元是有方向的, 它與封閉曲線它與封閉曲線 l 的繞行方向成右手螺旋關(guān)的繞行方向成右手螺旋關(guān)系系, 因此在給定點(diǎn)處因此在給定點(diǎn)處, 上述極限值對于不同的面元是不同的。上述極限值對于不同的面元是不同的。 為為此此, 引入引入旋度旋度(curl或或rotation): 1 .3 .2 旋度的定義和運(yùn)算旋度的定義和運(yùn)算1、定義：、定義：1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem2 2、旋度的物理意義、旋度的物理意義矢量矢量 的旋度是一個矢量的旋度是一個矢量, 其大小是矢量其大小是

24、矢量 在給定點(diǎn)處的最大在給定點(diǎn)處的最大環(huán)量面密度環(huán)量面密度, 其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時, 該面元矢量的方向該面元矢量的方向 。 它描述它描述 在該點(diǎn)處的在該點(diǎn)處的旋渦源強(qiáng)度旋渦源強(qiáng)度。 若某區(qū)域中各點(diǎn)若某區(qū)域中各點(diǎn)curl =0, 稱稱 為為無旋場或保守場無旋場或保守場。 n 1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem27b)b)分量表示式分量表示式C) 運(yùn)算運(yùn)算故故由由教材教材p.13p.131414的推導(dǎo)得的推導(dǎo)得 的三個坐標(biāo)分量都取決于其另兩

25、個坐標(biāo)分量在與各自正交的的三個坐標(biāo)分量都取決于其另兩個坐標(biāo)分量在與各自正交的方向上的變化率。簡言之，方向上的變化率。簡言之， 的旋度取決于各分量的橫向變化率的旋度取決于各分量的橫向變化率。利用哈密頓算子，有利用哈密頓算子，有1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem4、旋度運(yùn)算規(guī)則旋度運(yùn)算規(guī)則: 在直角坐標(biāo)系中有在直角坐標(biāo)系中有 （拉普拉斯算子）（拉普拉斯算子）（旋無散）（旋無散）1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess th

26、eorem29證證 0A )（例例：證明：證明：zyxAAAzyxzyxA)（0)()()()( )( )( 222222-zyAzxAyzAyxAxzAxyAyAxAzzAxAyzAyAxzzyyxxxyxzyzxyxzyz1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremv任何旋度場一定是無散場。任何旋度場一定是無散場。v任一矢量場任一矢量場 的旋度的散度一定等于零。的旋度的散度一定等于零。v任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度。1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克

27、斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremv 一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個一個矢量場的旋度是一個矢量函數(shù)，而一個矢量場的散度是一個標(biāo)量函數(shù)；標(biāo)量函數(shù)；v 旋度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述旋度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與渦旋源的關(guān)系，而散度描述的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系；的是矢量場中各點(diǎn)的場量與通量源的關(guān)系；v 如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中如果矢量場所在的全部空間中，場的旋度處處為零，則這種場中不可能存在旋渦源，因而稱之為不可能存在旋渦源，因而稱之為無旋場

28、無旋場（或保守場）；如果矢量（或保守場）；如果矢量場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存場所在的全部空間中，場的散度處處為零，則這種場中不可能存在通量源，因而稱之為在通量源，因而稱之為無源場無源場（或管形場）；（或管形場）；v 在旋度公式中，矢量場的場分量在旋度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只對與其垂直分別只對與其垂直方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在方向的坐標(biāo)變量求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的旋度描述的是場分量在與其垂直的方向上的變化規(guī)律；與其垂直的方向上的變化規(guī)律；v 在散度公式中，矢量場的場分量在散度公式中，矢量場的場分量Ax、Ay、Az分別只

29、對分別只對x、y、z求求偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變偏導(dǎo)數(shù)，所以矢量場的散度描述的是場分量沿著各自方向上的變化規(guī)律。化規(guī)律。 4旋度與散度的區(qū)別旋度與散度的區(qū)別：因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量, 因此矢量場在閉曲線因此矢量場在閉曲線l上的環(huán)量上的環(huán)量就等于就等于l所包圍的曲面所包圍的曲面S上的旋度之總和上的旋度之總和, 即即 此式稱為此式稱為斯托克斯斯托克斯(Stokes)定理或定理或斯托克斯公式斯托克斯公式。 它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分它可將矢量旋度的面積分變換為該矢量的線積分, 或反之。或反之。1 .3 .3 斯托克斯定理斯

30、托克斯定理 The Stokess theorem1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem自由空間中的點(diǎn)電荷自由空間中的點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為所產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為 例：例：求任意點(diǎn)處求任意點(diǎn)處(r0)電場強(qiáng)度的旋度電場強(qiáng)度的旋度 。 1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem解解：1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theor

31、em可見可見, 向分量為零向分量為零; 同樣同樣, 向和向和 向分量也都為零。向分量也都為零。 故故 x y z 這說明這說明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場是無旋場。 因因535333ryzryzryzrzy-1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem證明下述矢量斯托克斯定理：證明下述矢量斯托克斯定理： 兩邊同時進(jìn)行體積分兩邊同時進(jìn)行體積分有有（1-37）例例1 .4式中式中S為包圍體積為包圍體積V的封閉面。的封閉面。 證證 設(shè)設(shè) 為一任意常矢，則為一任意常矢，則1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度

32、, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theorem根據(jù)散度定理，上式左邊等于根據(jù)散度定理，上式左邊等于于是得于是得由于上式中常矢由于上式中常矢 是任意的，故式（是任意的，故式（1-37）必成立。）必成立。1 .3 環(huán)量與旋度環(huán)量與旋度, 斯托克斯定理斯托克斯定理Curl, circulation, The Stokess theoremcoscoscoszyxlcoscoscoszyxlzzlyylxxl1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理標(biāo)量場標(biāo)量場(x, y, z)在某點(diǎn)沿在某點(diǎn)沿l方向的變化率稱為方向的變化率

33、稱為沿該方向的方向?qū)?shù)沿該方向的方向?qū)?shù) 。它的值與所選取的方向。它的值與所選取的方向 有關(guān)有關(guān), 設(shè)設(shè) l /l方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)與梯度39矢量矢量 在在 上的投影等于上的投影等于 在該方向上的方向?qū)?shù)。在該方向上的方向?qū)?shù)。 l),cos(|lll則方向?qū)?shù)則方向?qū)?shù)引入引入 算子算子 z y x z y x z y x z y x ）（1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理40二、梯度二、梯度 的模是的模是 在給定點(diǎn)上的最大方向?qū)?shù)在給定點(diǎn)上的最大方向?qū)?shù)其方向就是具有該最大方向?qū)?shù)的方向，也就是其方向就是具有該最大方向?qū)?shù)的方向，也就

34、是 的變化的變化率最大的方向。率最大的方向。 1),cos(l|maxl則則若若zzyyxxgrad梯度梯度:1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理),cos(|lllgradxyzxyzxyzxyz 梯度梯度 gradient是一個矢量是一個矢量的模就是的模就是在給定點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)在給定點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向方向就是該具有最大方向?qū)?shù)的方向, 亦即亦即的變的變化率最大的方向。化率最大的方向。1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理42三、等值面三、等值面const),zyx（0cl對等值面上的任意方向?qū)Φ戎得嫔系娜我夥?/p>

35、向 ，cl0cl即即結(jié)論：梯度的方向就是等值面的法線方向：結(jié)論：梯度的方向就是等值面的法線方向： cn m20 xyPclm0m10ll 0 1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理22222220)( )(zyxff)(1)()(2-梯度運(yùn)算規(guī)則梯度運(yùn)算規(guī)則: 1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理44試證明運(yùn)算規(guī)則試證明運(yùn)算規(guī)則 )()(ff證證zfzyfyxfxfzzyyxxf)()()()()(）（所以等式成立所以等式成立 )( )( )( zfzyfyxfx)(zzyyxxddf)()(fddf例例1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度,

36、 , 格林定理格林定理2 2、梯度的物理意義、梯度的物理意義1)1)、標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；、標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)2)、標(biāo)量場的梯度表征標(biāo)量場變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場、標(biāo)量場的梯度表征標(biāo)量場變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場的最大增加率。增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場的最大增加率。v任一標(biāo)量場任一標(biāo)量場 的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。v任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度任一無旋場一定可以表示為一個標(biāo)量場的梯度v任何梯度場一定是無旋場任何梯度場一定是無旋場。梯度的重要性質(zhì)梯度的重要性質(zhì)0u 1 .4 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度, , 格林定理格林定理將散度定理中矢量將散