1、教師版高中數學必修+選修知識點歸納引言1.課程內容：必修課程由5個模塊組成： 必修1:集合、函數概念與基本初等函數（指、 對、幕函數）必修2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。 必修3:算法初步、統計、概率。必修4:基本初等函數（三角函數）、平面向量、 三角恒等變換。必修5:解三角形、數列、不等式。以上是每一個高中學生所必須學習的。上述內容覆蓋了高中階段傳統的數學基礎 知識和基本技能的主要部分，其中包括集合、 函數、數列、不等式、解三角形、立體幾何初 步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打 好基礎的同時，進一步強調了這些知識的發生、 發展過程和實際應用，而不在技巧與難度上做 過高的要求。此外，

2、基礎內容還增加了向量、算法、概 率、統計等內容。選修課程有4個系列： 系列1:由2個模塊組成。 選修11:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 導數及其應用。選修12:統計案例、推理與證明、數系的擴 充與復數、框圖系列2:由3個模塊組成。 選修21:常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何。選修22:導數及其應用，推理與證明、數系 的擴充與復數選修23:計數原理、隨機變量及其分布列， 統計案例。系列3:由6個專題組成。 選修31:數學史選講。選修32:信息安全與密碼。選修33:球面上的幾何。選修34:對稱與群。選修35:歐拉公式與閉曲面分類。選修36:三等分角與數域擴充。系列4:由10個專

3、題組成。選修41:幾何證明選講。選修42:矩陣與變換。選修43:數列與差分。選修44:坐標系與參數方程。選修45:不等式選講。選修46:初等數論初步。選修47:優選法與試驗設計初步。選修48:統籌法與圖論初步。選修49:風險與決策。選修410:開關電路與布爾代數。2.重難點及考點：重點：函數，數列，三角函數，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數難點：函數、圓錐曲線高考相關考點：集合與簡易邏輯：集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函數：映射與函數、函數解析式與定義域、值域與最值、反函數、三大性質、函數圖象、 指數與指數函數、 對數與對 數函數、函數的應用數列：數列的有關概念、等差數列、等比數 列、

4、數列求和、數列的應用三角函數：有關概念、同角關系與誘導公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 簡、證明、三角函數的圖象與性 質、三角函數的應用平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、 數量積及其應用不等式：概念與性質、均值不等式、不等式 的證明、不等式的解法、絕對值不 等式、不等式的應用直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位 置關系、線性規劃、圓、 直線與圓的位置關系圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直 線與圓錐曲線的位置關系、 軌跡問題、圓錐曲線的應用直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線 與平面、平面與平面、棱柱、 棱錐、球、空間向量排列、組合和概率：排列、組合應用題、二 項式定理及其應用

5、(11) 概率與統計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態分布(12) 導數：導數的概念、求導、導數的應用(13) 復數：復數的概念與運算必修 1 數學知識點第一章：集合與函數概念1 1、把研究的對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做 集合。集合三要素:確定性、互異性、無序性。2 2、只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等。3 3、常見集合：正整數集合：N*或 N ，整數集合:Z ,有理數集合：Q ,實數集合: R. .4 4、 集合的表示方法： 列舉法、描述法. .1 1、一般地，對于兩個集合 A A、B B,如果集合A A 中任意一個元素都是集合B B 中的元素，則稱集合 A

6、 A 是集合 B B 的子集。記作A B. .2 2、 如果集合A B，但存在元素xB，且x - A，則稱集合 A A 是集合 B B 的真子集. .記作：AB.3 3、 把不含任何元素的集合叫做 空集 . .記作：-.并規定：空集合是任何集合的子集 4 4、 如果集合 A A 中含有 n n 個元素，則集合 A A有2n個子集，2n-1個真子集 1 1、 一般地，由所有屬于集合 A A 或集合 B B 的元素組成的集合，稱為集合 A A 與 B B 的并集. .記作：A B. .2 2、 一般地，由屬于集合 A A 且屬于集合 B B 的所有元素組成的集合，稱為 A A 與 B B 的交集.

7、 .記作：A B. .3 3、 全集、補集？ CuA 二x|xU，且x71 1、 設 A A、B B 是非空的數集，如果按照某種 確定的對應關系 f，使對于集合 A A 中的 任意一個數 x，在集合 B B 中都有惟一確 定的數 f x 和它對應，那么就稱 f : A B 為集合 A A 到集合 B B 的一個函 數，記作：y 二 f x ,x，A. .2 2、 一個函數的構成要素為：定義域、對應關系、值域. .如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，則稱這兩個函數相等. .1 1、函數的三種表示方法：解析法、圖象法、 列表法. .1 1、注意函數單調性的證明方法：定義法：設 Xi、X

8、2a,b, Xi：X2那么f(xi) -f (X2)：0 二 f (x)在a,b上 是增函 數；f(Xi)-f(X2)0 二 f (X)在a,b上是減函數. .步驟：取值一作差一變形一定號一判斷格式：解：設 X x2a,b 且捲：X2，貝 y：f Xi- f X2二(2)(2)導數法：設函數 y = f(x)在某個區間 內可導，若 f (x) 0，則 f (x)為增函數； 若 f (x): o，貝yf (x)為減函數. .1 1、一般地，如果對于函數 f X 的定義域內 任意一個X，都有 f - x=f X，那么就 稱函數 f X 為偶函數. .偶函數圖象關于y軸對稱. .2 2、一般地， 如

9、果對于函數f x的定義域內 任意一個X，都有 f -X 二-f X，那么 就稱函數 f X 為奇函數. .奇函數圖象關 于原點對稱. .知識鏈接：函數與導數1 1、 函數 y二f(x)在點 Xo處的導數的幾何意義：函數y = f (x)在點xo處的導數是曲線 y = f (x)在P(Xo,f (Xo)處的切線的斜率 f (Xo)，相應的切線方程是y - yo二 f (xo)(x - xo). .2 2、 幾種常見函數的導數 C =0 :(xn)二 nxnJ;3(sin x)= cosx ；4(cosx) - -sin x ;5(ax)= ax1 na ；(ex) ex;(logax) -:(I

10、n x)=x In ax3 3、 導數的運算法則(1)(u二v)= u二v. .(2)(uv) = u v uv . .II/,u、u v uv ,c、(3)(一)2(v=0). .vv4 4、 復合函數求導法則復合函數 y=f(g(x)的導數和函數y f (u),u二g(x)的導數間的關系為y；=y：ux，即y對 x 的導數等于y對 u 的導 數與 u對 X 的導數的乘積. .解題步驟: :分層一層層求導一作積還原. .5 5、 函數的極值(1)(1) 極值定義：極值是在Xo附近所有的點，都有f(x)Vf(Xo)，則f (Xo)是函數f(x)的極大值；極值是在X0附近所有的點，都有f(x)f

11、 (Xo)，則f (Xo)是函數f (X)的極小值. .(2)(2) 判別方法：1如果在x0附近的左側f(X) 0 0,右側f(x)V 0 0,那么f(xo)是極大值；2如果在Xo附近的左側f (x)V 0 0,右側f (x) 0 0,那么f(x0)是極小值. .6 6、求函數的最值 aras=ar sa . 0,r,s.二 Q ；圖 象性質(1)定義域：R(2)值域：(0, +8)(3)過定點(0, 1),即 x=0 時，y=1(4)在 R 上是增函數(4)在 R 上是減函數(5)(5)x 0,a1 2 3 4 5; ;(5)(5) x a 0,0 v axc 1Jsari = arsa O

12、,r,s二Q； abr= arbra . 0,b 0, r Q . .1 1、 記住圖象：y=axa 0,12 2、 性質：y=ax0a1. . V V(1)(1)求 y = f(x)在(a, b)內的極值(極大或者極小值)將八 f(x)的各極值點與f(a), f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個 為極小值。注：極值是在局部對函數值進行比較(局 部性質)；最值是在整體區間上對函數值進 行比較( (整體性質) )。第二章：基本初等函數(I)2 2一般地，如果 x= a ,那么 x 叫做 a 的 n次方根。其中 n 1, n N . .3當 n 為奇數時，Van=a;當n為偶數時，Va

13、 = a .4 4我們規定：n am=mana 0, m, n N*, m 1 ; a * = t n 0 ；a5 5運算性質：1 1、 指數與對數互化式：axN x = logaN ；2 2、 對數恒等式：alogaN二 N . .3 3、 基本性質：loga1=0，logaa = 1 . .4 4、 運算性質：當 a 0,a = 1,M 0,N 0 時：log 5 5、換底公式：logab 二也blogcaa 0, a =1,c 0, c = 1,b0. .6 6、重要公式：呱八孕眥(1) logMN = logMlogaN；logM =logM- logaN；1 /logaba 0,a

14、-1,b0,b -logbaW 2.222.22、對數函數及其性質1 1、記住圖象：y=logaxa 0,a=12 2、性質:y=logax0a1*x圖象i性質(1)(1)定義域：(0 0, + +x)(2 2)值域：R R(3 3)過定點(1 1，0 0)，即 x=1x=1 時，y=0y=0(4 )在(0，+比)上是增函數(4)在(0, +)上是減函數(5)(5) x 1,logax 0 ；(5)(5) x 1,logax c0 ； 2.32.3、冪函數1 1、幾種冪函數的圖象：第三章：函數的應用1 1、方程 f x =0 有實根二函數 y 二 f x 的圖象與 x 軸有交點 二函數 y =

15、 f x有零點. .2 2、零點存在性定理：6 7如果函數 y 二 f x 在區間 a,b】上的圖象是連續不斷的一條曲線，并且有 fa f b：0，那么函數y二f x在區間a,b內有零點， 即 存在c三(a,b，使得 f c =0，這個 c 也就是1 1、掌握二分法. .1 1、解決問題的常規方法：先畫散點圖，再 用適當的函數擬合，最后檢驗. .必修 2 數學知識點第一章：空間幾何體1 1、 空間幾何體的結構(常見的多面體有:棱柱、棱錐、棱臺；常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球。棱柱:有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱

16、。棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺。2 2、 空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點；把在一束平行光線照射下的投影叫 平行投影，平行投影的投影線是平行的。3 3、 空間幾何體的表面積與體積圓柱側面積；S側面二2 二 r l圓錐側面積：S側面=7：r l圓臺側面積：S側面之r-Rl體積公式:V柱體-S h；1V錐體二-S h；球的表面積和體積:方程 f x = 0 的根. .243S球,V球匕二R. .第二章：點、直線、平面之間的位置關系1 1、 公理 1 1 :如果一條直線上兩點在一個平面內

17、，那么這 條直線在此平面內。2 2、 公理 2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平 面。3 3、 公理 3 3:如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么 它們有且只有一條過該點的公共直線。4 4、 公理 4 4:平行于同一條直線的兩條直線平行.5 5、 定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么 這兩個角相等或互補。6 6、 線線位置關系：平行、相交、異面。7 7、 線面位置關系:直線在平面內、直線和平面平行、 直線和平面相交。8 8、 面面位置關系：平行、相交。9 9、 線面平行:判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行（簡稱線線平行，則線面平行）性質：一條直

18、線與一個平面平行，則過這條直線的任 一平面與此平面的交線與該直線平行 （簡稱線面平行，則線線平行） 。1010、 面面平行:判定：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行（簡稱線面平行，則面面平行）。性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那 么它們的交線平行（簡稱面面平行，則線線平行）。1111、 線面垂直:定義：如果一條直線垂直于一個平面內的任意一條直 線，那么就說這條直線和這個平面垂直。判定：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直（簡稱線線垂直，則線面垂直）性質：垂直于同一個平面的兩條直線平行。1212、面面垂直:定義：兩個平面相交，如果它們

19、所成的二面角是直二 面角，就說這兩個平面互相垂直。判定：一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩 個平面垂直（簡稱線面垂直，則面面垂直） 。性質：兩個平面互相垂直，則一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（簡稱面面垂直，則線面垂 直）。第三章：直線與方程1 1、 傾斜角與斜率：k 二 tan X2_Xj2 2、 直線方程：點斜式：y - y= k x - X。斜截式：y = kx b兩點式：y - y1y2- y1X _ x!x2- x1截距式：y=1 a b般式：Ax By C = 03 3、對于直線:l1:k1x b|,l2: y = k2x b2有:h 和 I?相交:二 k1= k

20、2； l1和 12重合二“l1l2=k= k：b2；h I 12：= kik_-8.4 4、對于直線：標準方程：(x-a f +(y-b f = r2其中圓心為(a,b)，半徑為 r . .一般方程：x2y2Dx Ey F =0.=0.其中圓心為(-D吐)半徑為2 2r J . D2E2-4F. .d = r =相切=.：二0;d：r：=相交 u .:11: Aix BiyG =0,士有:12: A2x B2yC2= 0A1B2 = A2BiBrC2式B2CiA1B2- A2B1;A B2= A2B1；B|C2= B2C15 5、兩點間距離公式:6 6、 點至 U 直線距離公式：7 7、 兩平

21、行線間的距離公式：li: Ax By Ci= 0 與 l2: Ax By C2=0 平行，則d二Ci-C9VAF第四章：圓與方程1 1、 圓的方程：弦長公式:I = 2；r2 d23 3、兩圓位置關系：d = OiO2外離：d R r;外切：d二R r;相交：R r：d：R r;內切：d二R-r;92 2、 直線與圓的位置關系直線 Ax By 0 與圓(x-a)2，(y-b)2=r2的位置關系有三種: :d r =相離=：0;內含：d：R - r. .3 3、空間中兩點間距離公式：必修 3 數學知識點第一章：算法1 1、 算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言;2 2、 流程圖中的圖框：起止

22、框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等規范表示方法；3 3、算法的三種基本結構：順序結構、條件結構、循環結構當型循環結構直到型循環結構順序結構示意圖:I1/I2 U|1和 l2重合二 li _ 12 uAiA2B1B2= = 0.0.（圖 1 1）條件結構示意圖： IF-THEN-ELSEIF-THEN-ELSE 格式：IF條件THEN循環語句的一般格式是兩種:END IF（圖當型循環（WHILEWHILE I I 語句的一般格式:3 IF-THENIF-THEN 格式 一i芥是語句（I Iii是語句 2 2 ；下結構示意足條件| |i1否循7 7WHILE條件循環體（圖4 4）WEND直到

23、型循環（UNTILUNTIL）語句的一般格式:否當型（WHILWHIL直到型iDO理）循環結語句意圖:- -1 :卄（圖 4 4）UUNTILUNTIL循環體_; 循環結構示意圖:kP是4 4、基本算法循環體否輸入語句的一般格式：滬 U U“提示內容”；輸出語句的一般格式:PRINPRINT提示內容”；表達式賦值語句的一般格式:變量=表達式“二”有時也用條件語句的一般格式有兩種:IFIF THEN-THEN- ELSEELSE 語句的一般格式為:IFIF T TIF條件THEN語句1（圖ELSE、HENHEN 語句的一般格式為:END IF循環體LOOP UNTIL輾轉相除法一結果是以相除余數

24、為0 0 而得到利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：i） :用較大的數 m m 除以較小的數 n n 得到 一個商S0和一個余數 R。;ii）：若RD= 0 0,則 n n 為 m,m, n n 的最大公約 數；若Ro工 0 0,則用除數 n n 除以余數 Ro得到 一個商 S S 和一個余數 R R ;iii）:若 Ri= 0 0,則 Ri為 m, n n 的最大公約 數；若 R工 0 0,則用除數 Ro除以余數 R 得到 一個商 S2和一個余數 R2；依次計算直至 Rn= 0 0,此時所得到的 Rn 即為所求的最大公約數。2更相減損術一結果是以減數與差相等而 得到利用更相減損術求最大公約

25、數的步驟如下：i） :任意給出兩個正數； 判斷它們是否 都是偶數。若是，用 2 2 約簡；若不是，執行 第二步。ii）:以較大的數減去較小的數，接著把 較小的數與所得的差比較，并以大數減小 數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止， 則這個數（等數）就是所求的最大公約數。3進位制十進制數化為 k k 進制數一除 k k 取余法 k k 進制數化為十進制數第二章：統計則其平均數為X-! p1X2p2亠亠XnPn；1簡單隨機抽樣（總體個數較少）2系統抽樣（總體個數較多）3分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在 N N 個個體的總體中抽取出 n n 個個體 組成樣本，每個個體被抽到的機會（概率） 均為n。

26、N2 2、 總體分布的估計：一表二圖：1頻率分布表數據詳實2頻率分布直方圖 分布直觀3頻率分布折線圖便于觀察總體分布趨勢注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為 1 1。莖葉圖：1莖葉圖適用于數據較少的情況，從中便于 看出數據的分布，以及中位數、眾位數等。2個位數為葉，十位數為莖，右側數據按照 從小到大書寫，相同的數據重復寫。3 3、 總體特征數的估計：平均數：X1X2X3Xn；n取值為XX2，X 的頻率分別為Pi，P2，, Pn，注意：頻率分布表計算平均數要取組中值。方差與標準差：一組樣本數據Xi,X2n2方差：S2=丄 (Xi-X；n7注：方差與標準差越小，說明樣本數據越穩 定。平均數反映

27、數據總體水平；方差與標準差反映數據的穩定水平。線性回歸方程1變量之間的兩類關系：函數關系與相關關 系；2制作散點圖，判斷線性相關關系3線性回歸方程：y=bxa（最小二乘法） 注意：線性回歸直線經過定點（x,y）。第三章：概率1 1、 隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結果，用大寫英文字母表示；必然事件、不可能事件、隨機事件的特點;隨機事件 A A 的概率：P（A）,0 _ P（A） _1. .n2 2、 古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現的每一個1 1、抽樣方法:標準差:2(XiX)生，則稱這兩個事件為對立事件。古典概型的特點：1所有的基本事件只有有限個；2每個基本事件都是等可能發

28、生。古典概型概率計算公式：一次試驗的等可 能基本事件共有 n n 個，事件 A A 包含了其中的 m m 個基本事件，貝淳件 A A 發生的概率P(A)/.n3 3、 幾何概型：幾何概型的特點：1所有的基本事件是無限個；2每個基本事件都是等可能發生。幾何概型概率計算公式：P(A)二輕度；D 的測度其中測度根據題目確定，一般為線段、角度、 面積、體積等。4 4、 互斥事件：不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件；如果事件A,A2,，An任意兩個都是互斥事 件，則稱事件A1,A2,，An彼此互斥。如果事件 A,A, B B 互斥，那么事件 A+BA+B 發生的概率，等于事件 A A，B B 發生的概

29、率的和，即：P(A B) =P(A) P(B)如果事件A,A2, ,An彼此互斥，則有：對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發1事件 A A 的對立事件記作 A A2對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必 是對立事件。必修 4 數學知識點第一章：三角函數1 1、 正角、負角、零角、象限角 的概念. .2 2、 與角終邊相同的角的集合：= :- 2k二，k Z?.1 1、 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫 做1 1弧度的角. .2 2、 a a =丄.r3 3、 弧長公式：I= 遲=o R. .1804 4、 扇形面積公式：S-UE IR. .36021 1、 設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于

30、點 P x,y，那么：sin：二y, cos：二x, tan：二衛x2 2、 設點A x ,y為角終邊上任意一點，那么：(設 r =x2y2)yx丄ysin，cos，tan-：基本結果;rrxxcot：=y3 3、sin：,cos_：i,tan在四個象限的符號和三角函數線的畫法. .正弦線： MP;MP;余弦線： OM;OM;正切線： ATAT5 5、 特殊角 0 0,30,30 ,45,45 ,60,609090 ,180,180 ,270,270 等的三角函數值0 01 1、平方關系：2 2sin：亠cos2 2、商數關系：丄si ntancos。3 3、倒數關系：tan：cot：= 1

31、1.31.3、三角函數的誘導公式（概括為“奇變偶不變，符號看象限”Z）1 1、 誘導公式一：sin很亠2k =sin：,cos很亠2k二-cos：,（其中：k Z）tan二亠2k：= tan：.2 2、 誘導公式二：3 3、 誘導公式三：4 4、 誘導公式四：5 5、 誘導公式五：6 6、 誘導公式六：1 1、記住正弦、余弦函數圖象：y=sy=s inxinx2 2、能夠對照圖象講出正弦、余弦函數的 相.叫關性質:麴義域、值域、最京3兀 大最小值、對稱軸、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性. .3 3、會用五點法作圖. .y=sinxy=sinx 在 x x 0,0, 2 2 二上的五個關鍵點為

32、：n3（0,00,0），（），（ ,D,D,（H H,0,0），-,-1,-1）, ,（2 2兀,0,0）. .2 22 21 1、記住正切函數的圖象:.人2 2、記住余切函數的圖象:y=ta nx3 3、能夠對照圖象講出正切函數的相關性質：定義域、值域、對稱中心、奇偶性、單調性、周期性. .周期函數定義：對于函數f(x )，如果存在一個非零常數 T,使得當x取定義域內的每一個值 時，都有f(x+T )=f(x )，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數 T 叫做這個函數的周期.圖表歸納：正弦、余弦、正切函數的圖像及其性質圖象定義域值域-1,1-1,1-1,1-1,1最值無周期性奇偶性奇偶奇

33、單調性在2k兀-衛,2 k兀+坷上單調遞在2k兀一算,2飯上單調遞在(k兀k兀十匹)上單調2 2遞增增在2 E +匹,2k兀+上單調增在2k 兀,2k 兀上單調遞減遞減1.1.5 5、函數y=Asinx 亠：廠的圖象1 1、對于函數：y =Asin門x亠；1亠B A 0,0有：振幅 A,2仃周期T二一，初相，相位，頻率co2 2、能夠講出函數 y =s inx 的圖象與y二As in的圖象之間的平移伸縮變換關系 1先平移后伸縮：y =sinx平移|個單位y =sin x-（左加右減）橫坐標不變打y = Asi n （x +半）縱坐標變為原來的 A 倍縱坐標不變# y = Asin （灼x +

34、）i橫坐標變為原來的|一|倍平移|B|個單位亍y = As in x i亠B（上加下減）2先伸縮后平移：y =sin x橫坐標不變$ y =AsinAsin x x縱坐標變為原來的 A 倍縱坐標不變費y =AsinAsin 時 x xi橫坐標變為原來的|一|倍o9平移一個單位y = Asin （ x+ cp）對稱對稱軸方程：X=kJl+32對稱軸方程：x=kjr無對稱軸性對稱中心（k兀,0）對稱中心伽+上,0）對稱中心（也，0）22（左加右減）平移|B|個單位*y =As in x亠亠B（上加下減）3 3、 三角函數的周期，對稱軸和對稱中心函數 y 二 sin.x ），x x R R 及函數y

35、 = cos（ ）， x xR R（A,A, ，, ,為常數，且 A A老0 0）的周期 T =;函數 y = tan（ x 曲），心1x = k , k Z （A,A, 3 , ,為常數，且AM0 0）2的周期 T . .S |對于 y = Asin（ x:）禾口 y = Acos（ x ）來 說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系 求函數 y = AsinCx ）圖像的對稱軸與對稱中心，只需令-.-k （kZ）與2，x*（k Z）解出 x 即可. .余弦函數可與正弦函數類比可得. .4 4、 由圖像確定三角函數的解析式利用圖像特征：A=獨沁，2ymaxyminB. .2要根據周期來求

36、，要用圖像的關鍵點來求. . 1.61.6、三角函數模型的簡單應用1 1、要求熟悉課本例題. .第三章、三角恒等變換記住 1515 的三角函數值:2 2、輔助角公式1 1、 sin :- - - sin : cos 丨 cos:sinF2 2、 sin：- - sin：cos -cos：sin F3 3、 cos- - cos：cos - - sin：sin-4 4、cos：- -二 cos：cos：sin 篇 sin -5 5、tan二邛坦n :1-tan: tan :6 6、 tan i-tan:- -tan：1 tan：tan :.1 1、sin2：=2sin：cos：,變形二sinac

37、osa =*sin2a. .2 2、cos 2：- cos2-sin2:=1 2sin2：. .變形如下:升冪公式:1 cos 2：二2cos2:降冪公式:3 3、tan 2：1 -cos2：二 2sin2:cos2：=占(1 cos 2 )221sin a =扌(1cos2。)2tan二1 - tan2:4 4、ta n，壬4 空1+cos2sin 2口 3.23.2、簡單的三角恒等變換1 1、注意正切化弦、平方降次（其中輔助角所在象限由點（a,b）的象限決定, ,tan =b）. .a第二章：平面向量1 1、 了解四種常見向量：力、位移、速度、 加速度. .2 2、既有大小又有方向的量叫做

38、量. .1 1、 帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線 段包含三個要素：起點、方向、長度 . .2 2、向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的長度（或稱模），記作 AA1 1；長度為零的向 量叫做零向量；長度等于 1 1 個單位的向 量叫做單位向量. .3 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量）. .規定：零向量與任意向量平行. .1 1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量. .1 1、 三角形加法法則 和 平行四邊形加法法2 2、 a +6 a +冃1 1、與 a 長度相等方向相反的向量叫做 a 的 相反向量. .2 2、三角形減法法則 和 平行四邊形減法法則. .1

39、1、規定：實數與向量 a 的積是一個向量， 這種運算叫做向量的數乘. .記作：a， 它的長度和方向規定如下：T2*-ka九a當0時，a的方向與 a 的方向相 同；當：0時，a 的方向與 a 的方 向相反. .2 2、平面向量共線定理:向量aa=0與 b 共 線，當且僅當有唯一一個實數使b a. .1 1、平面向量基本定理：如果e,e2是同一平 面內的兩個不共線向量， 那么對于這一 平面內任一向量a，有且只有一對實數B卡1, -,|2，使a二11二 2e?.nfa1 1、a二xi y j二x, y. .仁 設 a =Jx1, y1,b=：X2,y2，貝U：a b= IXX2, y1y2，a -

40、b = Xj- X2y - y?，a二x-!, y-!，+ a/ b= xy = x2y1. .2 2、設 A x1, y1, B x2, y2，貝U：AB =x2 -x1,y2 -y11 1、設 AX1, % , B X2,y2,C X3,y3，貝U線段 ABAB 中點坐標為雪，需，厶 ABCABC 的重心坐標為 工驚，斗. . f ff F1 1、a b = a b cos 日. .2 2、a 在 b 方向上的投影為：冋 cos3 3、a2有.4 4、冃=廳.5 5、a_b= ab=0. .1 1、設a=坎1, y1,b=：X2,y2，貝U：* tr(1) a b二x1x2y1y2* .

41、X； y；(a _ b二a b = 0= x1x2y2=0H 44a/b=a-b=為丫2-乂2力=02 2、 設 A Xi, yi, B x2, y2,貝 U：AB =(x2 -X1 )+(y2_yi).3 3、 兩向量的夾角公式 4 4、點的平移公式平移前的點為 P（x, y）（原坐標），平移后的對應點為 P（x；y）（新坐標），平移向量為PP=(h,k)，則xx+hk17 =y+k.后的圖像的解析式為 y -k 二 f （x h）.知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得. .下面對空間向量在立體幾何中 證明，求值的應用進行總結歸納. .1 1、直線的方向向量和平面的

42、法向量.直線的方向向量：若 ABAB 是直線I上的任意兩點，則AB為 直線I的一個方向向量；與 AB 平行的任意非 零向量也是直線I的方向向量 .平面的法向量：若向量 n 所在直線垂直于平面，則稱 n二，那么向量 n 叫做平面:-的法向量. .平面的法向量的求法（待定系數法）：1建立適當的坐標系.2設平面：.的法向量為 n=（x, y,z）.3求出平面內兩個不共線向量的坐標a = （ai，a2,03），円九鳥,）.4根據法向量定義建立方程組4 4= 0.n b = 05解方程組，取其中一組解，即得平面:的法向量. .（如圖）i2、用向量方法判定空間中的平行關系線線平行設直線 hl 的方向向量分

43、別是 a、b,貝 y 要證明 h / l2，只需證明 a / b，即 a 二 kb（k R）. .即：兩直線平行或重合；兩直線的方向 向量共線。線面平行!1（法一）設直線l的方向向量是 a，平面!:的法向量是 U，貝 y y 要證明I/ ：,只需證明44 -I 4a _ u，即 a u = 0 . .即：直線與平面平行； 直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外2（法二）要證明一條直線和一個平面平函數 y 二 f （x）的圖像按向量 a=(h, k)平移這個向量垂直于平面:，記作 n n _ _，如果行，也可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量即可 面面平行!若平面:的法

44、向量為 u,平面的法向量 為 V,要證： /,只需證 U / v,即證 u . .即：兩平面平行或重合：二 兩平面的法向 量共線。3 3、用向量方法判定空間的垂直關系線線垂直設直線打2的方向向量分別是 a、b，則要 證明 h_ 12，只需證明 a _ b，即 a b = 0 . .即：兩直線垂直；兩直線的方向向量垂 直。線面垂直!1（法一）設直線I的方向向量是 a,平面I:的法向量是u，則要證明I _：，只需證明444a / u，即 a = u . .2 2, n n N N ）, 那么這個數列就叫做等差數列。等差中項：若三數a、A、b成等差數列Aa b二A2通項公式：an= aj （n -

45、1）d = am （n -m）d 或an= p n q（p、q是常數）.前 n 項和公式：常用性質：1若 m n = p q m,n, p,q N 亠,貝Uaman _apaq；1若 m n 二 p q m, n, p,q N ，貝Uaman =apaq；2ak, ak.m,ak.2m，為等比數列，公比為 qk（下 標成等差數列，則對應的項成等比數列）3數列（ 為不等于零的常數）仍是公 比為 q 的等比數列；正項等比數列 W;則 lga/?是公差為 lg q 的等差數列；4若、an是等比數列，貝則 2 即，鳥2 * *，13anjanr“rZ）是等比數列，公比依次是2下標為等差數列的項 ak，

46、akm，ak2m，仍組成等差數列；3數列-an- b（ ,b 為常數）仍為等差數列；4若an、bn是等差數列，則kan、kanpbn （k、p是非零常數）、ap（p,qEN*）、，也成等差數列。5單調性：an*的公差為d，貝 y：i）d d O O 二&匚為遞增數列；ii）d：0=a ?為遞減數列；iii）d=0=玄匚為常數列；6數列an為等差數列=an二 pn y （p,qp,q 是常數）7若等差數列 ；的前 n 項和 Sn，則 Sk、S2k -14k、S3k -S2k 是等差數列。a10,q -1或a1：0,0 : q：1 =1anf為遞增數 列；a1- 0,0：q : 1或印：0,q 1

47、：n*為遞減 數列；類型 I|觀察法：已知數列前若干項, 求該數列的通項時，一般對所給的項觀察分 析，尋找規律，從而根據規律寫出此數列的 一個通項。類型 U 公式法：若已知數列的前 n 項 和 Sn與an的關系，求數列 a 啲通項 an可用 公式，(心)Sn,(22)構造兩式作差求解。用此公式時要注意結論有兩種可能，一 種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合 二為一”，即印和 an合為一個表達，(要先分n = 1和n一2兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統一)。類型川|累加法：形如 ananf(n)型的遞推數列 (其中f (n)是關于 n 的函數)可構造：b -az = f (n-1)an4

48、an, = f( n2).a2-af(1)3 3、等比數列定義：如果一個數列從第 2 2 項起，每一項 與它的前一項的比等于同一個常數，那 么這個數列就叫做等比數列。等比中項：若三數 a、Gb 成等比數列= G = ab, （ab同號）。反之不一定成立。通項.公.式一一an = aiqn=amqn常用性質前 n 項和公式：Snai1-qni-qa _anqi -qq =1=冷門為常數列；將上述n一1個式子兩邊分別相加，可得:q : 0=an/為擺動數列；6既是等差數列又是等比數列的數列是常 數列。7若等比數列的前 n 項和 Sn，則 Sk、S2k-Sk、S3k-S2k 是等比數列.4、非等差、

49、等比數列通項公式的求法an= f( n 1) f( n 2) .f(2) f (1) a1,( n _ 2)1若 f(n)是關于 n 的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；2若 f(n)是關于 n 的指數函數，累加后可 轉化為等比數列求和；3若 f(n)是關于 n 的二次函數，累加后可分 組求和；4若 f(n)是關于 n 的分式函數，累加后可裂項求和. .累乘法:列 (其中 f(n)是關于 n 的函數)可構造: f(1)將上述n -1個式子兩邊分別相乘，可得:anf n-1) f( n-2) . f (2) f(1)an( n 一 2)有時若不能直接用，可變形成這種形式, 然后用這種方法求解

50、。類型 V | 構造數列法：形如 an 1panq (其中p,q均為常數且p = 0) 型的遞推式：(1)(1) 若 P=1 時，數列 an為等差數列(2)(2) 若 q=0 時，數列an為等比數列形如 an 1二 anf(n)an*吐an= f(n)型的遞推數anan Jf (n -1)anan -2=f (n_2)(3 3)若 p =1 且q= 0 時，數列 an為線性 遞推數列，其通項可通過待定系數法構造等 比數列來求. .方法有如下兩種：法一：設 ani二p(aJ,展幵移項整 理得 a. i二pan- (p -1)與題設 and= pan q 比較系數(待定系數法)得qqqr?(p)=

51、時百訂百)-a p(an旦;p 1p 1成以 a丄為首項，以p為公比的等比數 P-1列.再利用等比數列的通項公式求出aj 的通項整理可得 an.P法二：由 anpanq 得 a panq(n 一 2)兩 式相減并整理得 孔a=p,即 fan1-an構an _an成以 a2-a!為首項，以p為公比的等比數列. 求出an i-可？的通項再轉化為 類型川(累加 法)便可求出 an.形女口 an = pan f (n) (p =1)型的遞推式 ： 當f (n)為一次函數類型(即等差數列)時:法一：設anAn B二panJA(n -1) B 1， 通過待定系數法確定 A、B 的值，轉化成以 a1A B

52、為首項，以p為公比的等比數列 玄 An B?,再利用等比數列的通項公式求 出3n- An B的通項整理可得an.法二：當 f(n)的公差為d時，由遞推式 得：anpanf (n)， a pand f(n1)兩式相減得： an彳_an= p(an_ an) d，令 bn= an 1- an得：bn= pbnd 轉化為類型 V 求出 bn，再用類型川(累加法)便可求出 an. 當 f (n)為指數函數類型(即等比數列)時:法一：設an f (n) = pan_i f (n -1)1， 通過待定系數法確定的值，轉化成以a f(1)為首項，以p為公比的等比數列 玄 f(n)?，再利用等比數列的通項公式

53、求 出fanf(n)?的通項整理可得 an.法二：當 f(n)的公比為q時，由遞推式 得：an 1二panf (n)-，a pan jf (n-1)，兩邊同時乘以q得 a“q =pqanqf (n-1)- ，由兩式相減得 a. 1-a.q = pG -qanJ，即an1-qan= p，在轉化為類型 V便可求出an一qan 4an法三：遞推公式為 an d= pan qn(其中 p p，q q均為常數)或 an d= panrqn(其中 p p，q,q, r r 均為常數)時，要先在原遞推公式兩邊同時除以 qn1，得：琴二衛卑 V，引q q q q入輔助數列抵(其中 bn呂),得：qbnbn15

54、再應用類型 V的方法解決。2（傳遞性）a b, b c= a cq q當 f (n)為任意數列時，可用 通法：在 a. 1二 pa. f (n)兩邊同時除以 pn 1可 得到瞎二空，令氏二 bn，則PPPPbn 1二 bn*牛，在轉化為類型川(累加法)， P求出 bn之后得務=Pnbn. .類型 W | 對數變換法：形女口 an .1paq(p 0,an0)型的遞推式：在原遞推式 an i- paq兩邊取對數得Igan i二 qlg a.Ig p，令 bn=lg a.得:bn iqbnlg p，化歸為 a.panq 型，求3（可加性）a - b= a c b c（同向可加性）a b,c d二a

55、 c b d（異向可減性）a b,c：. d =a - c b - d4（可積性） a a b,c a 0 n ac a be5（同向正數 可乘性）a b - 0, c d .0= ac bd（異向正數可除性）a b=衛丄c d6（平方法則）a b 0= anbn（nN,且n 1）7（幵方法則）ab 0=na；”nb（n N，且 n -1）8（倒數法則）-c 11- c 11a b 0; a：b：0 =a ba b出 bn之后得 an=10”(注意：底數不一定要 取 1010,可根據題意選擇)。類型| 倒數變換法：形如 an 4-a pan4an(P為常數且 p = o ) 的 遞推式：兩邊同

56、除于 ann，轉化為p 形式，化歸為 anpanq 型求anan 4出1的表達式，再求 an;an還有形如a卄=man的遞推式，也可采用取npan+q倒數方法轉化成 丄丄形式，化歸為an +q anpan 1= panq 型求出 丄 的表達式，再求 an. .an類型啞 I 形如 a = pa +qan 型的遞 推式：用待定系數法，化為特殊數歹Vananj 的形式求解。方法為：設an .2- kan .1= h(an 1- kan)，比較系數得h k 二 p,-hk 二 q，可解得 h、k，于是 何1- kan是公比為h的等比數列，這樣就化 歸為 anpanq 型。總之，求數列通項公式可根據數

57、列特點采用以上不同方法求解， 對不能轉化為以上 方法求解的數列，可用歸納、猜想、證明方 法求出數列通項公式an.5 5、非等差、等比數列前 n 項和公式的求法錯位相減法1若數列a為等差數列，數列 心為等 比數列，則數列:an-b的求和就要采用此 法.2將數列：anb的每一項分別乘以 g 的公比，然后在錯位相減，進而可得到數列N h?的前n項和. .此法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法.裂項相消法如果一個數列 心訂，與首末兩項等距的兩項 之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫 與倒著寫的兩個和式相加，就得到了一個 常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加 法。特征： a1 an二 a2 an

58、J=.記住常見數列的前 n 項和：n（n 1）112 3 . n;221 3 5 . （2n -1） = n2;13122232. n2n（n 1）（2 n 1）.6第三章：不等式 3.13.1、不等關系與不等式1 1、不等式的基本性質16 *1（對稱性）a b：= b - a般地，當數列的通項an(a,d,b2,c為常數)時，往(an +D)(a n +b2)往可將 an變成兩項的差，采用裂項相消法求可用待定系數法進行裂項:，通分整理原式相比較，根據對應項系數相等得c，從而可得b2_bl常見的拆項公式有:亠Jn(n 1) n n 11);(2n -1)(2n 1)2 2n -1 2n 1肓J

59、ab Cnm=cm1-cm； n n! = (n 1)! -nL分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆幵，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可 一般分兩步：找通向項公式由通項公式確定如何分組倒序相加法2 2、幾個重要不等式1a2b2-2ab a, b：二R, ,（當且僅當a =b時2匕2取=號）. .變形公式：ab 昇 .22（基本不等式）LJab a, b R,2（當且僅當a=b時取到等號） 變形公式：a b _2、0bab i _b.2用基本不等式求最值時（積定和最小， 和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、 二定、三相等” 3

60、（三個正數的算術一幾何平均不等式）a bc_3abC（a、b、c R ）（當且僅當3a =b =c時取到等號）4a2b2c2_ ab be ca a, b R（當且僅當a=b乂時取到等號） 5a3b3c3_3abc（a 0,b0,c0）（當且僅當a二b乂時取到等號）. .6若ab 0,則b，a_2（當僅當 a=ba=b 時取等a b號）若ab：0,則b玉-2（當僅當 a=ba=b 時取等a b號）7務:口 ：旦a a m b n b規律：小于 1 1 同加則變大，大于 1 1 同加則變小. .8當 a .0 時，x :a= x2a2二x；_a 或 xa;9絕對值三角不等式a-|b蘭|a士ba