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文檔簡介

1、一、二重積分（引例：求平面薄片的質量）基本計算思路：把二重積分化為二次積分（定積分）基本計算的兩個步驟：1）定限；2）定積分的計算基本計算方法：1）在直角坐標下的計算方法：型區域、型區域；2）在極坐標下的計算方法：注意被積函數要乘一個。其他知識點：改變積分的次序二重積分的應用：曲面的面積為，其中為在面上的投影區域。例1：解：原式例2：交換下列二次積分的次序。二、三重積分（引例：求空間立體的質量）基本計算思路：把三重積分化為三次積分（定積分）基本計算的兩個步驟：1）定限；2）定積分的計算基本計算方法：1）投影法；2）切片法；3）柱面坐標下計算法；4）球面坐標下計算法例3：計算三重積分，式中為由所

2、確定的圓臺體。解：方法一、用截面法： 方法二、用球面坐標：三、關于弧長的曲線積分（引例：求曲線弧狀物體的質量）基本計算思路：把曲線積分化為定積分基本計算的兩個步驟：1）化積分曲線為參數方程并確定參數取值范圍，注意定積分的下限總小于上限；2）定積分的計算注意選取適當的參數以簡化定積分的計算。例4：計算，其中為球面與平面的交線。解：原式四、關于坐標的曲線積分（引例：變力對沿曲線運動的物體所做的功）基本計算思路：把曲線積分化為定積分基本計算的兩個步驟：1）化積分曲線為參數方程并確定參數取值范圍，注意起點對應的參數是定積分的下限終點對應的參數是定積分上限；2）定積分的計算注意選取適當的參數以簡化定積分

3、的計算。例5：計算曲線積分，其中為由點沿拋物線到點，再沿軸到點的弧段。解：原式其他知識點：格林公式、積分與路徑無關（四個等價條件）、勢函數、兩類曲線積分的聯系例6：求，使得曲線積分在整個面上與積分路徑無關，并計算。解：所以五、關于面積的曲面積分（引例：曲面狀物體的質量）基本計算思路：把曲面積分化為二重積分基本計算的兩個步驟：1）選擇適當的投影坐標面，無妨設選擇了面，確定曲面在面上的投影區域為，曲面的方程化為，2）二重積分的計算例7：，其中為立體的邊界曲面。解：原式其中，在面上的投影都為圓盤上式六、關于坐標的曲面積分（引例：不可壓縮流體流過某曲面單位時間的流量）基本計算思路：把曲面積分化為二重積分基本計算的兩個步驟：1）把曲面向指定坐標面投影，無妨設指定了面，確定曲面在面上的投影區域為，曲面的方程化為，注意曲面指定的側2）二重積分的計算例8：計算曲面積分，其中為旋拋物面下側介于平面及之間部分。解：原式這里用換元法計算定積分，（令）及的計算公式。其他知識點：兩類曲面積分的關系、高斯公式、斯托克斯公式；了解散度、通量、環流量、旋度的概

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