1、 第第3 3章章 n n元隨機變量及其分布元隨機變量及其分布第第3.13.1節(jié)節(jié) 二元隨機變量及其分布二元隨機變量及其分布 第第3.23.2節(jié)節(jié) 二元隨機變量的函數(shù)的分布二元隨機變量的函數(shù)的分布返回第3.3節(jié) 二元正態(tài)分布一、一、n 維隨機變量維隨機變量 以 n 個隨機變量 X1，X2，Xn 為分量的向量 X=(X1,X2,Xn)稱為 n n 元隨機變量元隨機變量。第第3.1節(jié)節(jié) n元隨機變量及其分布元隨機變量及其分布以下主要研究二元離散型及連續(xù)型隨機變量離散型及連續(xù)型隨機變量的情形。聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)n n元實函數(shù)元實函數(shù)F(F(x x1 1,x,x2 2,x,xn n) )=P=P

2、X X1 1x x1 1,X,X2 2x x2 2,X,Xn nx xn n (x (x1 1,x,x2 2,x,xn n)R)Rn n稱為稱為n n維隨機向量維隨機向量(X(X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的聯(lián)合分布函數(shù)。的聯(lián)合分布函數(shù)。特別特別:二維隨機向量二維隨機向量(X(X1 1,X,X2 2) )的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)為為F(F(x x1 1,x,x2 2) )=P=P X X1 1x x1 1,X,X2 2x x2 2(x(x1 1,x,x2 2)R)R2 2注意注意:X X1 1x x1 1,X,X2 2x x2 2,X,Xn nx xn n 均表示事件均表示事件

3、, ,XX1 1xx1 1,X,X2 2xx2 2,X,Xn nxxn n 表示這幾個事件同時發(fā)生表示這幾個事件同時發(fā)生.1(2) lim0, lim0, lim1,lim0 xyxyxy聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）0F x,yF x,yF x,yF x,yF x,y(3)F(x,y)關(guān)于關(guān)于x,y均為單調(diào)不減函數(shù)。均為單調(diào)不減函數(shù)。（4）F(x,y)關(guān)于關(guān)于x,y均為右連續(xù)函數(shù)。均為右連續(xù)函數(shù)。x1x2X1x1X2x2 , (x1,x2)二、二元離散型隨機變量的聯(lián)合分布二、二元離散型隨機變量的聯(lián)合分布二元離散型隨機變量的概念二元離散型隨機變量的概念 如果二元隨機變量（如果二元隨機變量（X,YX

4、,Y）的全部取值）的全部取值( (數(shù)對）為有限個或至多可數(shù)對）為有限個或至多可列個，則稱隨機變量（列個，則稱隨機變量（X,YX,Y）為離散型的。）為離散型的。 易見，二元隨機變量易見，二元隨機變量(X,Y)(X,Y)為離散型的等價于它的每個分量為離散型的等價于它的每個分量 X X與與 Y Y 分別都是一元離散型的。分別都是一元離散型的。聯(lián)合概率分布及其性質(zhì)聯(lián)合概率分布及其性質(zhì) 稱稱p pijij=P(X=x=P(X=xi i,Y=y,Y=yj j),(i,j=1,2,.,),(i,j=1,2,.,)為為(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布, , 其中其中E=(xE=(xi i,y,

5、yj j),i,j=1,2,.),i,j=1,2,.為為(X,Y)(X,Y)的取值集合的取值集合, ,表格形式如下表格形式如下: :x1x2x iy1 y2 y j p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 p i j Y ppij ij = 1;= 1; P(X,Y)P(X,Y)D D = =,()ijijx yDp聯(lián)合概率分布性質(zhì)聯(lián)合概率分布性質(zhì): : p pijij0 ;i,j=1,2,0 ;i,j=1,2,3、離散型隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)則 F(x,y)=PXx，Yy=ijijxx yyp例例1. 十個產(chǎn)品中有三件次品，七件正品，每次十個產(chǎn)品中有三件次

6、品，七件正品，每次任取一件，連續(xù)取兩次，記任取一件，連續(xù)取兩次，記10111X第 次取到正品第 次取到次品20212X第 次取到正品第 次取到次品分分別別對對不不放放回回抽抽樣樣與與有有放放回回抽抽樣樣兩兩種種情情況況，寫寫出出隨隨機機變變量量12(,)XX的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布。 解：解：12(,)XX可以取（可以取（0 0，0 0） （） （0 0，1 1） （） （1 1，0 0） （） （1 1，1 1）共四）共四個值。個值。 （1 1）不放回抽取）不放回抽取: : 121217670,000|010915P XXP XP XX121210,101|0737 10930P XXP

7、 XP XX121211,010|1377 10930P XXP XP XX121213211,111|110915P XXP XP XX（2 2）有有放放回回抽抽取取: : 由由于于事事件件“1Xi”與與“2Xj”相相互互獨獨立立，因因此此有有： 121220,0007 ()0.4910P XXP XP X12120,11,0 0.7 0.30.21P XXP XX121,10.3 0.30.09P XX有放回抽取有放回抽取例例2 2. . 一一口口袋袋中中有有4 4個個球球, ,依依次次標(biāo)標(biāo)有有數(shù)數(shù)字字1 1, ,2 2, ,2 2, ,3 3. .從從袋袋中中任任取取一一球球后后, ,不

8、不放放回回袋袋中中, ,再再從從袋袋中中任任取取一一球球. .設(shè)設(shè)每每次次取取球球時時, ,袋袋中中每每個個球球被被取取到到的的概概率率相相等等, ,以以X, ,Y分分別別記記第第一一、 二二次次取取得得的的球球上上標(biāo)標(biāo)有有的的數(shù)數(shù)字字， 求求(, )X Y的的概概率率分分布布。 解：解：1,10P XY ，1211,2436P XY1111,3,4312P XY2112,1436P XY2112,2436P XY2112,3436P XY1113,1,4312P XY1213,2436P XY3,30P XY所以所以(, )X Y的概率分布為：的概率分布為： 離散型二維隨機向量聯(lián)合概率分布確

9、定方法離散型二維隨機向量聯(lián)合概率分布確定方法: : 1.找出隨機變量X和Y的所有取值結(jié)果,得到(X,Y)的所 有取值數(shù)對; 2.利用古典概型或概率的性質(zhì)計算每個數(shù)值對的概率; 3.列出聯(lián)合概率分布表.例例3.1.3.二維隨機向量二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求求:(1)常數(shù)常數(shù)a的取值的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1)解解:(1)由由pij=1得得: a=0.1(2)(2)由由P(X,Y)P(X,Y)D D = =,()ijijxyDp得得 P(X

10、0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75結(jié)結(jié)合合下下頁頁概概率率分分布布圖圖-10121PX0,Y1P(X1,Y1三、連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布三、連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布定義定義: :設(shè)（設(shè)（X X，Y Y）是二維隨機向量，若存在非負(fù)可積函）是二維隨機向量，若存在非負(fù)可積函數(shù)數(shù) f(x,y),(x,y),使得使得 對于平面上的

11、任何可求面積的區(qū)域?qū)τ谄矫嫔系娜魏慰汕竺娣e的區(qū)域D D都有都有(,)( ,)DPX YDfx y dxdy則稱則稱 (X,Y(X,Y）為二維連續(xù)型隨機向量）為二維連續(xù)型隨機向量,f(x,y),f(x,y)為聯(lián)合概為聯(lián)合概率密度，記為（率密度，記為（X X，Y)Y)f(x,y).f(x,y).性質(zhì)性質(zhì): : (1) f(x,y)0 (1) f(x,y)0 ，(x,y)R(x,y)R2 22R(2)f(x,y)dxdy1D(3)P(X,Y)Df(x,y)dxdy注意注意: 滿足上述性質(zhì)滿足上述性質(zhì)(1)(2)的二元函數(shù)為某隨機向量的二元函數(shù)為某隨機向量 的聯(lián)的聯(lián)合概率密度合概率密度.或或1dxdy

12、)y, x(f (4)、連續(xù)型隨機向量的、連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)PXx,Yy( , )xyf s t dtds 2(5),f x yF x yf x yx y 若在 x,y 處連續(xù)，則例例 設(shè)設(shè)(, )X Y的的分分布布函函數(shù)數(shù))arctan)(arctan(),(yCxBAyxF，求求（1 1）常常數(shù)數(shù)A A，B B，C C；（2 2）概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)( , )f x y。 解解 （1） 0(0,)()2FAB C 0(,0)()2FAC B1(,)()()22FA BC 又又由由于于CBA,均均不不能能為為0，所所以以2,1CBA。 （2 2）222(

13、 , )1( , )(1)(1)F x yf x yx yxy 例例3.1.5.驗證驗證1( , )( , )0Dx yDSf x y其它是否構(gòu)成二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)是否構(gòu)成二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)?其中其中:D為可度量的平面區(qū)域為可度量的平面區(qū)域,SD為區(qū)域為區(qū)域D的面積的面積.解解: dxdy)y, x(fDDdxdyS1=1(1)f(x,y)0;(2)所以所以,f(x,y)構(gòu)成二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)構(gòu)成二維隨機向量的聯(lián)合概率密度函數(shù)此時，此時，稱稱(X,Y)服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分布上的均勻分布.例例3.1.6.3.1.6.若若(X,Y)(X,Y)(23 ),

14、0,0( , )0,xyAexyf x y其它 試求試求:(1):(1)常數(shù)常數(shù) A ;(2)P X2, Y1;A ;(2)P X2, Y1; (3)(3) P（Xx,YyXx,Yy）. .解解:(1) dxdy)y , x( f 00)y3x2(dxdyAe 00y3x2dxdyeAebadcbadcdy)y(gdx)x( fdy)y(g)x( fdx得據(jù)所以所以, A=600y3x2dyedxeA0)e31(0)e21(Ay3x2=A/6 =1(4)P(X,Y)D,其中其中D為為 2x+3y6.0)y3x2(e6所以所以,P X2, Y1,P X2, Y121D(2)P(X,Y)Df(x,

15、y)dxdy1Y2,Xy)dxdyf(x,X2, Y1X2, Y12010)y3x2(dye6dx2010y3x2dyedxe601)e31(02)e21(6y3x2)e1)(e1(34(23 ),0,0( , )0,xyAexyf x y其它(3)(3)x)y3x2(e60y所以所以, 當(dāng)當(dāng)x0,y0時時,PXx,Yy( , ) xyf s t dtds xytsdtdse00)32(6x0y0t3s2dtedse60y)e31(0 x)e21(6t3s2)e1)(e1(y3x2即即: 其其它它00, 0)1)(1 (),(32yxeeyYxXPyx(23 ),0,0( , )0,xyAex

16、yf x y其它(4)P(X,Y)D,其中其中D為為 2x+3y6.)y3x2(e6322x+3y=6DP(X,Y)Df(x,y)dxdy2x 3y 6f(x,y)dxdy030)x26(310)y3x2(dye6dx30y3x2dx0)x26(31)e31(e6306x2dx)ee(26e71(23 ),0,0( , )0,xyAexyf x y其它(1)P(X,Y)D,其中其中D為為 y=-x+1,y=x+1,y=0所圍區(qū)域所圍區(qū)域.0y=-x+1)y3x2(e6y=x+111練習(xí)練習(xí):P(X,Y)D1x0)y3x2(10dye6dx10y3x2dx01x)e31(e6103xx2dx)e

17、e(232e2e31四、邊緣概率分布四、邊緣概率分布 (1) (1) 定義定義: :隨機向量隨機向量X=X=（X X1 1,X,X2 2,X,Xn n）中每一個）中每一個X Xi i的分布，的分布，稱為稱為X X關(guān)于關(guān)于X Xi i的邊緣分布。的邊緣分布。(2)(2)離散型隨機向量離散型隨機向量邊緣分布列邊緣分布列 對于離散型隨機向量對于離散型隨機向量(X,Y),(X,Y),分量分量X,YX,Y的分布列稱為邊緣分布列。的分布列稱為邊緣分布列。若若(X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為pij=PX=xi,Y=yj),i,j=1,2,.,則則 P(X=xi)=jji)yY()xX(P)yY()

18、xX(Pjjijji)yY ,xX(Pjijp(i=1,2,.)同理同理:iijjp)yY(P一般地一般地,記記:P(X=xi)Pi .P(Y=yj)P. j(j=1,2,.)分布表如下分布表如下:XY.12jyyy12ixxx111212122212jjiiijp pppppppp . ip1.2. ippp. jp.1.2. jppp例例. . 已已知知（X，Y）的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布為為: : 求分別關(guān)于求分別關(guān)于,X Y的邊緣分布。的邊緣分布。 解：解： 11151012312pP X 21100066pP X3552001212pP X所所以以關(guān)關(guān)于于X的的邊邊緣緣概概率率分分

19、布布為為 所所以以關(guān)關(guān)于于Y的的邊邊緣緣概概率率分分布布為為 15700,6121211100,3121211100.33P YP YP Y例例3.1.4.設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率分布表為的聯(lián)合概率分布表為:P Pi. i. 0.250.250.40.40.350.35X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05p.j.j0.250.50.25求求:(1)X,Y的邊緣分布的邊緣分布; (2)X+Y的概率分布的概率分布.解解:(1)由分析得由分析得:X -1 0 1P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(

20、2)X+Y的取值為的取值為-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)同理同理,P(X+Y=2)=0.3,+P(X=-1,Y=2)=0.4X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05P(X+Y=3)=0.05(3)X-Y的取值為的取值為-3,-2,-1,0,1 2.2.（895895）已知隨機變量已知隨機變量 X X和和 Y Y的聯(lián)合的聯(lián)合概率分布為概率分布為 (x ,y) (0,0) (0,1) (1,

21、0) (1,1) (2,0) (2,1)(x ,y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) PX=x,Y=y 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 PX=x,Y=y 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 A A求：常數(shù)求：常數(shù)A A；概率；概率 PX1,Y1PX1,Y1；X X、Y Y及及 X+Y X+Y 的概率分布。的概率分布。 1. 1. 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 X X 在在 1 1，2 2，3,43,4四個整數(shù)中等四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量可能地取值，另一個隨機變量Y Y在在 1X 1X 中等可能地取中等可能地取一整數(shù)值

22、。試求（一整數(shù)值。試求（X X，Y Y）的聯(lián)合概率分布。）的聯(lián)合概率分布。3.甲甲.乙二人獨立地各進(jìn)行兩次射擊乙二人獨立地各進(jìn)行兩次射擊,假設(shè)甲假設(shè)甲.乙的命中率分乙的命中率分別為別為0.2,0.5,以以X,Y表示甲表示甲.乙的命中次數(shù)乙的命中次數(shù),求求X,Y的聯(lián)合概率的聯(lián)合概率分布分布.解解:XB(2,0.2),YB(2,0.5),概率分布表為概率分布表為:X 0 1 2P 0.64 0.32 0.04Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25由由X.Y的獨立性得的獨立性得(X,Y)的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為X012 Y 0 1 2 0.16 0.32 0.16 0.08 0.16

23、0.08 001 0.02 0.01 (3)(3)連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的邊緣密度函數(shù) 對于連續(xù)型隨機向量對于連續(xù)型隨機向量(X,Y)(X,Y)f(x,y)f(x,y)，分量，分量X,YX,Y的密度函數(shù)稱的密度函數(shù)稱為為邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)。已知聯(lián)合密度函數(shù)，容易求出邊緣密度函數(shù)。已知聯(lián)合密度函數(shù)，容易求出邊緣密度函數(shù)。12()()(,)()()(,)XYfxfxfxy dyfyfyfxy dx事實上事實上,(1)f1(x)0,(2) 若若ab,則則PaXb= PaXb,-Y1時時,f(x,y)=0,所以所以,f1(x)=0當(dāng)當(dāng)|x|1時時,2222x1x1x1x11d

24、y)y, x(f)x(f22x1x1dy12x12所以所以,1|x|01|x|x12)x(f211|y|01|y|y12)y(f22同理同理,注意注意:均勻分布的邊緣密度不再是一維均勻分布均勻分布的邊緣密度不再是一維均勻分布220,0,1,( , )30,xy xxyf x y其他.( )Xfx( )Yfy求求和和。( )( , )00Xfxf x y dydy221120( )( , )003xXxfxf x y dydyxydydy410(1)3xx3 3）當(dāng)當(dāng)1x 時時, , ( )( , )00Xfxf x y dydy 所以所以, , (, )X Y關(guān)于關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密

25、度函數(shù)為 410(1),01,( )30,Xxxxfx其 他. 類似地，類似地，得得(, )X Y關(guān)于關(guān)于Y的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為 020, 01,( )( , )30, yYxydxyfyf x y dx其他.210, 01,30,yy其他.例例3.1.83.1.8（924924）設(shè)二維隨機變量（）設(shè)二維隨機變量（X X，Y Y）的概）的概率密度為率密度為,0( ,)0 ,yexyf x y其他 求隨機變量求隨機變量X X、Y Y的密度函數(shù)；的密度函數(shù)； 求概率求概率PX+Y1.PX+Y1.解解:(1)先求先求X的密度函數(shù)的密度函數(shù)當(dāng)當(dāng)x0時時,f1(x)=0; 當(dāng)當(dāng)x0時時,f1

26、(x)=dyyxf),(dyexyxeye所以所以,0 x00 xe)x(fx1y=xx+y=11/2下面求下面求Y的密度函數(shù)的密度函數(shù) PX+Y1= PX+Y1=2/10 x1xydyedx11212ee 20( )( , )00yfyf x y dxdx當(dāng)時，0200( )( , )00yyyyyfyf x y dxdxe dxdxye當(dāng)時，20,( )00.yyeyfyy四、隨機變量的相互獨立性四、隨機變量的相互獨立性1.1.定義定義: :稱隨機變量稱隨機變量X,YX,Y相互獨立相互獨立, ,若對任意若對任意ab,cdab,c10f2(y)=1|y|01|y|21解解:(1)其它01|y

27、| , 1|x|)y, x(f41同理同理,)y(f )x(f)y, x(f21所以所以,X,Y獨立獨立.(2)其它01yx1)y , x( f221| x|01| x|x12)x(f211|y|01|y|y12)y(f2212( , )( ) ( )f x yf x f y所以所以,X,Y不獨立不獨立.例例3.1.11例例3.18中的中的X、Y不獨立。不獨立。注意: (X,Y)服從矩形區(qū)域服從矩形區(qū)域D上的均勻分布上的均勻分布,則則X與與Y一定一定相互獨立相互獨立.例例3.1.123.1.12 已知隨機向量已知隨機向量(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度為為 ,0,0;( , )0 ,.

28、xyexyf x y 其他(1)(1)問問X X與與Y Y是否獨立？是否獨立？(2)(2)求概率求概率PXPXY.Y.解解:(1)0 x00 xedye)x(f0 x)yx(10y00yedxe)y(f0y)yx(2(2)P(XY)=yxdxdy)y, x(fx)yx(0dyedx21)y(f )x(f)y, x(f21所以所以, X, Y獨立獨立.3. n3. n個隨機變量獨立性的概念與性質(zhì)個隨機變量獨立性的概念與性質(zhì)離散型隨機變量離散型隨機變量X X1 1,X,X2 2,，X X n n相互獨立相互獨立等價于等價于聯(lián)合概率分聯(lián)合概率分布等于邊緣布等于邊緣 概率分布的乘積。概率分布的乘積。定

29、義定義: :稱稱n n個隨機變量個隨機變量X X1 1,X,X2 2,，X X n n相互獨立相互獨立, ,若對任意若對任意 a ai ibbi i( i=1,2,( i=1,2,，n), n), 有有 PaPa1 1XX1 1bb1 1,a,a2 2XX2 2bb2 2,a,a n nXX n nbb n n= Pa Pa1 1XX1 1bb1 1PaPa n nXX n nb b n n 特別特別:即即n個個離離散散型型隨隨機機變變量量12,nXXX相相互互獨獨立立的的充充分分必必要要條條件件是是，對對于于任任何何12,nx xx，有有 1122,.,nnP Xx XxXx 1122 nn

30、P Xx P XxP Xx 若若n個隨機變量個隨機變量X1,X2,X n相互獨立相互獨立,則它們中的則它們中的任意任意 m(1mn)個隨機變量個隨機變量X i1,X i2,X i m也相互也相互獨立獨立.連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量X X1 1,X,X2 2,，X X n n相互獨立相互獨立等價于等價于聯(lián)合密度函聯(lián)合密度函數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。數(shù)等于邊緣密度函數(shù)的乘積。即即n個個連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量12,nXXX相相互互獨獨立立的的充充分分必必要要條條件件是是它它們們的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度等等于于邊邊緣緣密密度度的的乘乘積積，即即對對于于任任何何12,nx xx，有有 12112(

31、,)( ) ()()nnf x xxf xf xf x 4 4、 隨機變量序列獨立性的概念隨機變量序列獨立性的概念定義定義: : 稱隨機變量序列稱隨機變量序列X X1 1,X,X2 2,X,X n n,為相為相 互獨立的互獨立的, ,如果它們中任意如果它們中任意n(n=2,3,)n(n=2,3,)個個 隨機變量都是相互獨立的隨機變量都是相互獨立的. . 特別若每個特別若每個X X i i(i=1,2,)(i=1,2,)的分布相同的分布相同, , 則稱之為則稱之為獨立同分布獨立同分布 (i.i.d) (i.i.d) 序列序列。第第3.2節(jié)、隨機變量函數(shù)的分布節(jié)、隨機變量函數(shù)的分布一、和函數(shù)的分布

32、一、和函數(shù)的分布由由已已知知可可以以看看出出，XY可可以以取取- -3 3，- -2 2，0 0，1 1，3 3 共共 5 5個個值值，相相應(yīng)應(yīng)概概率率 32,10.222,00.102,21,1 0.30.10.4P XYP XYP XYP XYP XYP XYP XY 類似可以計算出其他兩個概率值（見下表）。類似可以計算出其他兩個概率值（見下表）。 例例3.1.133.1.13、 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1與與X X2 2相互獨立，分別服從二相互獨立，分別服從二項分布項分布B(nB(n1 1,p),p)和和B(nB(n1 1,p),p)，求，求Y=XY=X1 1+X+X2 2的概率分布的概率

33、分布. . 解解 依題知依題知X+YX+Y的可能取值為的可能取值為0,1,2,.,n0,1,2,.,n1 1+n+n2 2, ,因因此對于此對于k(k= 0,1,2,.,nk(k= 0,1,2,.,n1 1+n+n2 2) )，由，由與獨立性有與獨立性有 kkkknkknknkknkkkppCppCkXkXPkYP21222221111121)1()1(),()(2211 kkkknnkknknppCC21212211)1(knnkkkknknCCC21212211 由由得得knnkknnppC2121)1 ()(kYP 所以所以Y=XY=X1 1+X+X2 2服從二項分布服從二項分布B(nB

34、(n1 1+n+n2 2,p),p)二項分布的可加性二項分布的可加性對于連續(xù)型的隨機變量對于連續(xù)型的隨機變量(, )X Y，設(shè)其聯(lián)合概率密度，設(shè)其聯(lián)合概率密度函數(shù)為函數(shù)為( , )f x y，則，則ZXY的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ( )( , )Zx y zFzP Zzf x y dxdy Z的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為( )( )(, )ZZfzFzf zy y dyZ的概率密度函數(shù)也可以寫成的概率密度函數(shù)也可以寫成( )( ,)Zfzf x zx dx特別地特別地: 兩個獨立的連續(xù)型隨機變量的和仍為連續(xù)型兩個獨立的連續(xù)型隨機變量的和仍為連續(xù)型隨機變量隨機變量.即即:若若X,Y獨立，獨立

35、，Xf1(x),Yf2(y),Z=X+Y,則則dx)xz(f )x(fdy)y(f )yz(f)z(f2121Z卷卷積積公公式式1、兩個獨立的正態(tài)分布的隨機變量的和仍服從正態(tài)分布、兩個獨立的正態(tài)分布的隨機變量的和仍服從正態(tài)分布.即即:若若X1N(1,12), X2N(2,22), X1,X2獨立獨立,則則X1+X2N(1+ 2,12+ 22)正態(tài)分布的可加性正態(tài)分布的可加性2、推論推論:有限個獨立的正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布有限個獨立的正態(tài)分布的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布.即即:若若XiN(i,i2), (i=1,2,.n), X1,X2, .Xn相互獨立相互獨立,實數(shù)實數(shù)a1,a2,.,an不不全為零全為零,則則)a,a(NXan1i2i2in1iiin1iii例例3.1.14.設(shè)設(shè)X和和Y獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布獨立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1), (1)求求Z=X+Y的概率密度的概率密度; (2)求求Z=X-Y的概率密度的概率密度.解解(1)Z=X+YN(0,2),所以所以Z=X+YFZ(z)=4x2e21x(2)同理可得同理可得Z=X-YFZ(z)=4x2e21Z=X-YN(0,2)x例例3.1.153.1.15、(921)(921)設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X X與與Y Y獨立獨立,X,XU(0,1),U(0,1),Y YE(