1、7-3. Z變換理論（記憶）線性連續線性連續系統 可用拉氏變換拉氏變換分析動態及穩態性能。線性離散線性離散系統可用Z變換變換分析動態及穩態性能。Z變換是從拉氏變換直接引申出來的變換方法，實際上是采樣函數拉氏變換的變形拉氏變換的變形，故又稱采樣拉氏采樣拉氏變換變換。1. Z變換定義2. Z變換的求法3. Z變換性質4. Z反變換1. Z變換定義變換定義 原原像像像像 :)( :)(*tezEz 變換只對離散信號而言。E(z) 只對應唯一的e*(t)，不對應唯一的e (t)。注：2. Z變換的求法變換的求法級數求和法（定義法）查表法（部分分式展開法）留數法（反演積分法）0( )()nnE ze n

2、Tz 1此題，也可直接查表獲得，可簡寫做( ) ( )E zZ E sP322，常用時間函數的，常用時間函數的Z變換表如表變換表如表7-2所示。所示。1( )Res ( )ilTsis szE zE sze 3. Z變換的性質（基本定理）變換的性質（基本定理）（熟記）（熟記）4. Z反變換反變換7-4. 離散系統的數學模型離散系統的數學模型有：差分方程、脈沖傳遞函數和離散狀態空間表達式等。連續系統的數學模型有：微分方程、傳遞函數、狀態空間表達式、方框圖、信號流圖、頻率響應特性（圖）。 離散系統的數學定義 線性常系數差分方程及其解法 脈沖傳遞函數 開環系統脈沖傳遞函數 閉環系統脈沖傳遞函數 離散

3、系統的數學定義2. 線性常系數差分方程及其解法線性常系數差分方程及其解法 (1) 差分定義 e(kT) 簡記為 e(k)1()()( kekeke后向差分1階后向差分2階后向差分n階后向差分)1()()(2 kekeke)2()1(2)( kekeke)1()()(11 kekekennndt)(d)(lim0teTkeT )()1()(kekeke 前向差分1階前向差分2階前向差分n階前向差分)()1()(2kekeke )()1(2)2(kekeke )()1()(11kekekennn dt)(d)(lim0teTkeT (2) 差分方程離散系統輸入輸出變量及其各階差分的等式 對于一般的

4、線性定常離散系統， 時刻的輸出 ，不僅與 時刻的輸入 有關，還與 時刻以前的輸入 有關，同時還與 時刻以前的輸出 有關。k( )c kkkk( )r k(1), (2),.r kr k(1), (2),.c kc k含義：含義：1101101111( )( )( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmnnmmd c tdc tdc td r tdr tdr taaaa c tbbbb r tdtdtdtdtdtdt回憶線性定常連續系統數學模型(3) 差分方程的解法：差分方程的解法：迭代法迭代法Z變換法變換法迭代法迭代法(遞推法遞推法)：從初值出發，按照差分方程一步一步遞推出輸出序列。

5、7-16Z變換法變換法7-173. 脈沖傳遞函數 差分方程的解可以提供離散系統在給定輸入序列作用下的輸出序列響應特性，但不便于研究系統參數變化對離散系統性能的影響。因此，研究脈沖傳遞函數。 所謂零初始條件，是指在 時，輸入脈沖序列各采樣值 以及輸出脈沖序列各采樣值 均為零。0t (), ( 2 ),.rTrT(), ( 2 ),.cTcT 上式表明，如果已知 和 ，則在零初始條件下，線性定常離散系統的輸出采樣信號為( )R z( )G z*11( ) ( ) ( ) ( )c tZC zZG z R z 離散系統復域數學模型離散系統復域數學模型 很多實際系統，輸出往往是連續信號 ，而不是采樣信

6、號 ，此時，可以在輸出端虛設一個理想采樣開關輸出端虛設一個理想采樣開關，它與輸入采樣開關同步工作，并具有相同的采樣周期。如系統的實際輸出比較平滑，且采樣頻率較高，則可用 近似描述 。虛設的采樣開關是不存在的虛設的采樣開關是不存在的，它只表明了脈沖傳遞函數所能描脈沖傳遞函數所能描述的述的，只是輸出連續函數 在采樣時刻上的離散值 。( )c t*( )c t( )c t*( )c t( )c t*( )c t實際開環離散系統（2）脈沖傳遞函數意義傳遞函數的含義：傳遞函數 是系統脈沖響應 的拉氏變換。( )G z()K nTz( )G s( )K t0( )()( )()nnG zZ K nTK z

7、K nT z脈沖傳遞函數的含義：脈沖傳遞函數 等于系統單位脈沖響應序列 的 變換。（3） 脈沖傳遞函數的求法 定義法是一種求法，另外若已知連續系統或元件的傳遞函數 ， 如何求其離散化后系統的脈沖傳遞函數 ？( )G z( )G s兩種方法：第一種，先求 的拉氏反變換，得到脈沖響應函數 ，再將按采樣周期離散化，得加權序列 ；最后將 進行 變換，求出 。( )G s( )K t()K nT()K nTz( )G z第二種，查表法（較實用，掌握）。把 變換表7-2中的時間函數 看成 ，那么表中的 就是 ，而 則相當于 。因此，根據 變換表7-2，可以直接從 得到 。z( )e t( )K t( )E

8、 s( )G s( )E z( )G zz( )G s( )G z若 為較高次的有理分式，需要進行部分分式法分解，然后逐項查出相應的( )G s( )G z7-194. 開環系統脈沖傳遞函數開環系統脈沖傳遞函數 開環離散系統由幾個環節串聯組成時，其脈沖傳遞函數的求法與連續系統情況不完全相同。即使兩個開環離散系統的組成環節完全相同，但由于采采樣開關的數目和位置樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈沖傳遞函數也截然不同。離散系統特有的現象離散系統特有的現象（重點，必考）（重點，必考）7-21這個結論很有用這個結論很有用5. 閉環系統脈沖傳遞函數閉環系統脈沖傳遞函數 采樣器在閉環系統中可以有多種配置的

9、可能性，因此閉環離散系統沒有唯一的結構圖形式。下圖是一種比較常見的誤差采樣閉環離散系統結構圖。圖中，虛線所示的理想采樣開關是為了便于分析而虛設的，輸入采樣信號 和反饋采樣信號 事實上并不存在。圖中所有理想采樣開關都同步工作，采樣周期為 。*( )r t*( )b tT？ 可以導出采樣器為不同配置形式的其它閉環系統脈沖傳遞函數。但只要誤差信號e(t)處沒有采樣開關，則輸入采樣信號r*(t)就不存在，此時不能寫出閉環系統對于輸入量的脈沖傳遞函數，而只能求出輸出采樣信號的Z變換函數C(z)。 對于采樣開關在閉環系統中具有各種配置的閉環離散系統典型結構圖，及其輸出采樣信號Z變換函數C(z)可參見P34

10、3表7-3。例例7-22 設閉環離散系統結構如圖所示，試證其閉環脈沖傳函為)()(1)()()(2121zHGzGzGzGz證明：證明：由圖可得)()()(12sEsGsC)()()(11sEsGsE對E1(s)離散化，有)()()(11sEsGsE)()()()(12sEsGsGsC考慮到)()()()()()()()()(12sEsGsGsHsRsCsHsRsE離散化有)()()()()(12sEsGsHGsRsE則即)()(1)()(21SHGsGsRsE考試、考研題型，若在 前 加入零階保持器呢？)(2sG輸出信號的采樣拉氏變換進行Z變換，證得)()(1)()()()()(2121zH

11、GzGzGzGzRzCz)()(1)()()()()()()(211212SHGsGsRsGsGsEsGsGsC例7-23 設閉環離散系統結構如圖,試求其輸出采樣信號的z變換函數解：解：由圖可得)()()(sEsGsC)()()()(sCsHsRsE離散化有)()()()(sCsGHsGRsC取Z變換有)(1)()(zGHzRGzC無法分離出無法分離出 得不到脈沖傳遞函數得不到脈沖傳遞函數( )R z7-5. 離散系統的穩定性與穩態誤差1.S域到Z域的映射2.離散系統穩定性的充分必要條件穩定性的充分必要條件3.離散系統的穩定性判據穩定性判據4.采樣周期與開環增益對穩定性的影響5.離散系統的穩態

12、誤差穩態誤差1. S域到域到Z域的映射域的映射2.離散系統穩定性的充分必要條件7-273.離散系統的穩定性判據離散系統的穩定性判據 連續系統穩定要求系統特征方程的根都在S平面的左邊，而離散系統穩定要求特征根都在Z平面的單位圓內。 是否能引入一種Z域到W域的線性變換，使得Z平面上的單位圓內區域，映射成W平面上的左半平面？（3）朱利穩定判據直接在Z域中的穩定性判據 對于線性定常離散系統，除了采用W變換，在W域中利用勞斯判據判斷系統的穩定性外，還可以在Z域中直接應用朱利判據判斷離散系統的穩定性。4.采樣周期與開環增益對穩定性的影響采樣周期與開環增益對穩定性的影響7-305.離散系統的穩態誤差（離散系

13、統的穩態誤差（離散系統在采樣瞬時的穩態誤差離散系統在采樣瞬時的穩態誤差）連續系統穩態誤差最基本的求法：定義法與靜態誤差系數法。這兩種方法，在一定條件下可推廣到離散系統。1）定義法求離散系統的穩態誤差 因為因為 與與 都與都與 有關。有關。( )G z( )R zT（熟記）（熟記）731離散系統在采樣瞬時的穩態誤差離散系統在采樣瞬時的穩態誤差注： 如果希望求出其他結構形式離散系統的穩態誤差，或者希望求出離散系統在擾動作用下的穩態誤差，只要求出系統誤差的z 變換函數 或 ，在離散系統穩定的情況下，同樣可以應用Z變換的終值定理算出系統的穩態誤差。( )E z( )nEz 采用定義法計算離散系統的穩態

14、誤差仍有一定的計算量，因此希望把連續系統靜態誤差系數法推廣到離散系統中來。2）離散系統的型別與靜態誤差系數法）離散系統的型別與靜態誤差系數法a).采樣器不影響脈沖傳遞函數的極點采樣器不影響脈沖傳遞函數的極點b).c).教材教材P358 表表7-5（熟記）（熟記）7-6. 離散系統的動態性能分析 時域法、根軌跡法和頻域法 ，其中時域法最簡單。本章介紹時域法。1.離散系統的時間響應2.采樣器和保持器對動態性能的影響3.閉環極點與動態響應的關系1. 離散系統的時間響應7-32T=1S閉環脈沖傳遞函數2( )0.3680.264( )1( )0.632G zzzG zzz將 代入上式，求出單位階躍序列

15、響應的Z變換( )1zR zz121230.3680.264( )( ) ( )1 21.6320.632zzC zz R zzzz 通過綜合除法，將 展成無窮冪級數( )C z12345678( )0.3681.41.41.1470.8950.8021.40.868.C zzzzzzzzz基于Z變換的定義，由上式求得系統在單位階躍外作用下的輸出序列 為()c nT由于離散系統的時域性能指標只能按采樣周期整數倍的采樣值來計算，所以是近似的。2. 采樣器和保持器對動態性能的影響結論：結論：1）采樣器可使系統的峰值時間和調節時間略有減小，但使超調量增大，故采樣造成的信息損失會降低系統的穩定程度。某

16、些情況下，例如在具有大延遲（大慣性）的系統中，誤差采樣反而會提高系統的穩定程度，如本章的第一個例子，爐溫控制系統。2）零階保持器使系統的峰值時間和調節時間都加長，超調量和震蕩次數也增加。這是因為除了采樣造成的不穩定因素外，零階保持器的相角滯后降低了系統的穩定程度。 采樣器和保持器不影響開環脈沖傳遞函數的極點，僅影響開環脈沖傳遞函數的零點。但是，對閉環系統而言，開環脈沖傳遞函數零點的變化，必然引起閉環脈沖傳遞函數極點的改變。因此采樣器和保持器會影響閉環離散系統的動態性能。3. 閉環極點與動態響應的關系連續系統閉環極點分布與暫態分量的運動形式j閉環極點位置的共軛回憶：連續系統閉環極點與動態響應的關

17、系結論：結論：1）若閉環實數極點位于右半Z平面，則輸出動態響應形式為單向正脈沖序列單向正脈沖序列。實極點位于單位圓內，脈沖序列收斂，且實極點越接近原點，收斂越快且實極點越接近原點，收斂越快；實極點位于單位圓上，脈沖序列等幅變化；實極點位于單位圓外，脈沖序列發散。2）若閉環實數極點位于Z左半平面，則輸出動態響應形式為雙向交替脈沖序列雙向交替脈沖序列。實極點位于單位圓內，雙向脈沖序列收斂；實極點位于單位圓上，雙向脈沖序列等幅變化；實極點位于單位圓外，雙向脈沖序列發散。 離散系統閉環脈沖傳遞函離散系統閉環脈沖傳遞函數的極點在數的極點在Z平面上單位圓內平面上單位圓內的分布，對系統的動態響應具的分布，對

18、系統的動態響應具有重要影響。有重要影響。確立它們之間的關系，哪怕只是定性關系，對分析和設計離散系統，都具有指導意義。結論：（重要）結論：（重要） 位于Z平面單位圓內的共軛復數極點，對應輸出動態響應的形式為振蕩收斂脈沖序列，但復數極點位于左半單位圓內所對應的振蕩頻率，要高于右半單位圓內的情但復數極點位于左半單位圓內所對應的振蕩頻率，要高于右半單位圓內的情況。復數極點位置越靠左，振蕩頻率越高。況。復數極點位置越靠左，振蕩頻率越高。綜上以上三種情況，得到如下重要結論：綜上以上三種情況，得到如下重要結論：離散系統的動態特性與閉環極點的分布密切相關。離散系統的動態特性與閉環極點的分布密切相關。當閉環極點

19、位于當閉環極點位于Z平面上左半平面內單位圓內時，由于輸出衰減脈沖交替變號（高平面上左半平面內單位圓內時，由于輸出衰減脈沖交替變號（高頻振蕩脈沖），動態過程品質很差，動態性能欠佳。頻振蕩脈沖），動態過程品質很差，動態性能欠佳。因此在離散系統設計時，應把閉環極點安置在因此在離散系統設計時，應把閉環極點安置在Z平面的右半單位圓內，且盡量靠近平面的右半單位圓內，且盡量靠近原點。原點。()0sTTjTjzeeeez 7-7. 離散系統的數字校正線性離散系統的設計方法，主要有模擬化方法和離散化方法。模擬化方法，把系統按模擬化進行分析，按連續系統理論設計校正裝置（第六章），將該校正裝置數字化。典型代表數字P

20、ID控制器的設計方法。后續課程計算機控制技術會詳細學習數字控制器的設計。離散化方法又稱直接數字設計法，把系統按離散化進行分析，求出系統的脈沖傳遞函數，然后按離散系統理論設計數字控制器。典型代表最小拍系統設計。方法較簡便，可實現較復雜的控制規律，具有一般性。本節主要介紹該方法。1.離散系統數字校正的目的2.數字控制器的脈沖傳遞函數與實現3.最少拍系統設計4.無紋波最少拍系統設計5.PID數字控制器的實現1.離散系統數字校正的目的 在使系統穩定的基礎上進步提高系統的控制性能，如滿足一些典型控制信號作用下系統在采樣時刻上無穩態誤差，以及過渡過程在最少個采樣周期內結束等項要求。 2.數字控制器的脈沖傳

21、遞函數與實現D(s)或D(z)為數字控制器（或數字校正裝置）的傳遞函數或者脈沖傳遞函數，G(s)為保持器與被控對象的傳遞函數，H(s)為反饋測量裝置的傳遞函數。 單位反饋線性離散系統的閉環脈沖傳遞函數與誤差脈沖傳遞函數為)()(1)()()()()(zGzDzGzDzRzYz)()()()(zzGzzDe 數字控制器的脈沖傳遞函數D(z)()(11)()()(zGzDzRzEze)()()(1)(zzGzzDee( )( )1ezz離散系統的數字校正問題是離散系統的數字校正問題是：根據對離散系統性能指標的要求，確定閉環脈沖傳遞函數 或誤差脈沖傳遞函數 ，然后利用 確定數字控制器的脈沖傳遞函數

22、，并加以實現。)(z)(ze)(zD)(1)()()(zzGzzD或)()()(1)(zzGzzDee)()()()(zzGzzDe 3.最少拍系統設計（離散化設計的代表） 在采樣過程中，通常把一個采樣周期稱作一拍。所謂最少拍系統，是指在典型輸入作用下，能以有限拍結束響應過程，且在采樣時刻上無穩態誤差的離散系統。 最少拍系統的設計是針對典型輸入作用進行的。常見的典型作用為階躍函數，單位速度函數和單位加速度函數。最少拍系統的設計原則是: 若系統廣義被控對象 無延遲且在Z平面單位圓上及單位圓外無零極點，要求選擇閉環脈沖傳遞函數 ，使系統在典型輸入作用下，經最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩態誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數字控制器的脈沖傳遞函數 。 G z z D z3.無紋波最少拍系統設計 由于最少拍系統在非采樣時刻存在紋波，為工程界所不容許，故希望設計無紋波最少拍系統。 無紋波最少拍系統的設計要求是：在某種典型輸入作用下設計的系統，其輸出響應經過盡可能少的采樣周期后，不僅在采樣時刻上輸出可以完全跟蹤輸入，而且在非采樣時刻不存在紋波。4.PID數字控制器的實現（模擬化設計方法的代表）本章小結 1. 離散系統概念：系統中