1、1第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分復復 習習 課課2 一、重點與難點一、重點與難點 二、內容提要二、內容提要 三、典型例題三、典型例題3 一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：1. 復積分的基本定理；復積分的基本定理；2. 柯西積分公式與高階導數公式柯西積分公式與高階導數公式 復合閉路定理與復積分的計算復合閉路定理與復積分的計算4 二、內容提要二、內容提要有向曲線有向曲線復積分復積分積分存在的積分存在的條件及計算條件及計算積分的性質積分的性質柯西積分定理柯西積分定理原函數原函數的定義的定義復合閉路復合閉路 定定 理理柯西積分柯西積分公公 式式高階導數公式高階導數公式調和

2、函數和調和函數和共軛調和函數共軛調和函數5 設設C為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲線曲線, , 如果選定如果選定C的兩個可能方向中的一個作的兩個可能方向中的一個作為正方向為正方向( (或正向或正向), ), 那末我們就把那末我們就把C理解為帶理解為帶有方向的曲線有方向的曲線, , 稱為稱為有向曲線有向曲線. .xyoAB如果如果A到到B作為曲線作為曲線C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線C的負向的負向, . C記為記為1.1.有向曲線有向曲線62.2.積分的定義積分的定義, , , , )( 110BzzzzzAnCBADCDzfwnk

3、k 設分點為設分點為個弧段個弧段任意分成任意分成把曲線把曲線的一條光滑的有向曲線的一條光滑的有向曲線終點為終點為內起點為內起點為為區域為區域內內定義在區域定義在區域設函數設函數oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 , ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點上任意取一點在每個弧段在每個弧段 7,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS 作和式作和式oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 ,max 1knks 記記 , , 11的長度的長度這里這里kkkkkkzzszzz ( , 0 時時無限增加且無限增加且當當 n , )( , , 記為記為的積

4、分的積分沿曲線沿曲線函數函數那么稱這極限值為那么稱這極限值為一極限一極限有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對如果不論對CzfSCnk .)(limd)(1knkknCzfzzf 83.3.積分存在的條件及計算積分存在的條件及計算（1 1）化成線積分）化成線積分且且存在存在則積分則積分連續連續沿逐段光滑的曲線沿逐段光滑的曲線設設,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（2 2）用參數方程將積分化成定積分）用參數方程將積分化成定積分的參數方程是的參數方程是設簡單光滑曲線設簡單光

5、滑曲線 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 則則94. 積分的性質積分的性質;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(為常數為常數kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(連續連續沿曲線沿曲線設設Czgzf CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21則則連結而成連結而成由由設設 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上滿足上滿足在在函數函數的長度為的長度為設曲線設曲線105. 柯西古薩基本定理柯西古薩

6、基本定理(柯西積分定理柯西積分定理) . d)( , )( 無關無關線線與連結起點及終點的路與連結起點及終點的路那末積分那末積分析析內處處解內處處解在單連通域在單連通域如果函數如果函數定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的積分為零的積分為零內的任何一條封閉曲線內的任何一條封閉曲線沿沿那末函數那末函數內處處解析內處處解析在單連通域在單連通域如果函數如果函數11).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函數解析函數內的一個內的一個必為必為那末函數那末函數析析內處處解內處處解在單連通域在單連通域如果函數如果函數

7、定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C126.6.原函數的定義原函數的定義. )( )( , )()( , )( )( 的原函數的原函數內內在區域在區域為為那末稱那末稱即即內的導數為內的導數為在區域在區域如果函數如果函數BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一個原函數的一個原函數是是因此因此zffzFzz . )(一個常數一個常數的任何兩個原函數相差的任何兩個原函數相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110內內的的兩兩點點為為域域這這里里那那末末的的一一個個原原函函數數

8、為為內內處處處處解解析析在在單單連連通通域域如如果果函函數數定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛頓牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式) )137. 7. 閉路變形原理閉路變形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn為邊界的區域全含于為邊界的區域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它們它們內部的簡單閉曲線內部的簡單閉曲線是在是在內的一條簡單閉曲線內的一條簡單閉曲線多連通域多連通域為為設設 , )( 內解析內解析在在如果如果DzfDC1C2C3C 復合閉路定理復合閉路定理 一個解析函數沿閉曲線的積分，不因閉曲一個解析

9、函數沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值線在區域內作連續變形而改變它的值.那末那末14). , , , , :( , , , , 2121順時針進行順時針進行按按按逆時針進行按逆時針進行其方向是其方向是組成的復合閉路組成的復合閉路為由為由這里這里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCC,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf158.柯西積分公式柯西積分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末內任一點內任一點為為于于它的內部完全含它的內部完全含閉曲線閉曲線內的任何一

10、條正向簡單內的任何一條正向簡單為為內處處解析內處處解析在區域在區域如果函數如果函數一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的一個解析函數在圓心處的值等于它在圓周上的平均值平均值.則有則有是圓周是圓周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf16 9. 高階導數公式高階導數公式. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內部全含于而且它的內部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內圍繞內圍繞的解析區域的解析區域為在函數為在函數其中其中導數為導數為階階它的它的的導數仍為解析

11、函數的導數仍為解析函數解析函數解析函數 17. ),( 0, , ),( 2222內的調和函數內的調和函數為區域為區域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續偏導數有二階連續偏導數內具內具在區域在區域如果二元實變函數如果二元實變函數DyxyxDyx 10.調和函數和共軛調和函數調和函數和共軛調和函數 任何在任何在 D 內解析的函數內解析的函數, ,它的實部和虛部它的實部和虛部都是都是 D 內的調和函數內的調和函數.18. . , , 的共軛調和函數的共軛調和函數稱為稱為和函數中和函數中的兩個調的兩個調內滿足方程內滿足方程在在即即uvxvyuyvxuD ,. ),( ),(

12、 , ),( 的共軛調和函數的共軛調和函數稱為稱為函數函數內構成解析函數的調和內構成解析函數的調和在在們把使們把使我我內給定的調和函數內給定的調和函數為區域為區域設設yxuyxvDivuDyxu 定理定理 區域區域D D內的解析函數的虛部為實部的共內的解析函數的虛部為實部的共軛調和函數軛調和函數. . 共軛調和函數共軛調和函數19 三、典型例題三、典型例題例例1 1 計算計算 的值，其中的值，其中C為為1）沿從）沿從 到到 的線段：的線段：2）沿從）沿從 到到 的線段：的線段： 與從與從 到到 的線段的線段 所接成的折線所接成的折線. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx

13、)0 , 0()0 , 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 20zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 說明說明 同一函數沿不同路徑所得積分值不同同一函數沿不同路徑所得積分值不同.21，因因為為21 z22111 zzz所以所以221 z, 2 因此因此zzzzzzccd11d11 證證.8222 例例2 2 設設C為圓周為圓周 證明下列不等式證明下列不等式.2

14、1 z.8d11 czzz22解解222442zzzz , 1124 .d42)1cos(21001zzzzzz 例例3 3 計算計算1 z當當 時時,故由柯西積分定理得故由柯西積分定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz23計算以下積分計算以下積分沿指定路徑沿指定路徑23: izC例4例4 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由復合閉路定理有由復合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內有兩個奇點內有兩個奇點在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d

15、)1(122224 解法一解法一 利用柯西利用柯西-古薩基本定理及重要公式古薩基本定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西由柯西- -古薩基本定理有古薩基本定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C25 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 26 解法二解法二 利用柯西積分公式利用柯西積分公式,11)(121內解析內解析在在Czzf ,)(1)(22內解析內解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(

16、1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 27由復合閉路定理有由復合閉路定理有則則及及為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心及及以以分別分別及及內有兩個奇點內有兩個奇點在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121內解析內解析在在Czezfz ,)()(22內解析內解析在在Cizzezfz 因此由柯西積分公式得因此由柯西積分公式得28 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzz

17、e)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei 29.10,d)1(3光滑曲線光滑曲線的閉的閉與與是不經過是不經過其中其中計算計算CzzzeCz 例5例5解解分以下四種情況討論：分以下四種情況討論：則則也不包含也不包含既不包含既不包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)1C,)1()(3內解析內解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze古薩基本定理得古薩基本定理得由柯西由柯西30則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 10)2C由柯西積分公式得由柯西積分公式得內解析內解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCz

18、zd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 31則則而不包含而不包含包含包含若封閉曲線若封閉曲線, 01)3C,)(內解析內解析在在Czezfz 由高階導數公式得由高階導數公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie 32, 01)4又包含又包含既包含既包含若封閉曲線若封閉曲線C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交與與且且內內也在也在和和使使為半徑作圓為半徑作圓以以為圓心為圓心則分別以則分別以CCCCCCC 據復合閉路定理有據復合閉路定理有 Czzzzed)1(3 2

19、1d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C33 Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的結果的結果即為即為而積分而積分,2)2d)1(13izzzeCz 的結果的結果即為即為而積分而積分34解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 為大于為大于1的自然數的自然數.n 例例6 6 計算下列積分計算下列積分所以所以的奇點的奇點和和是是因為因為,10nznzezz 35)

20、.,(),()(),(.),(22yxivyxuzfyxvxyyxyxu 及解析函數及解析函數軛調和函數軛調和函數求其共求其共已知調和函數已知調和函數例7例7解法一解法一 不定積分法不定積分法. 利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程, ,2)2(xyxyyuxv ),(22d)2(2ygxxyxxyv 得得).(2ygxyv .2yxxuyv 又又36,2)(2:yxygx 比較兩式可得比較兩式可得.)(yyg 故故 .2d)(2Cyyyyg即即)(22222為任意常數為任意常數因此因此CCyxxyv 因而得到解析函數因而得到解析函數),(),()(yxiyxuzf iCyxxyixyyx 222)(2222iCyixyxiyixyx )2(2)2(2222.)2(22iCiz 37 解法二解法二 線積分法線積分法. ),()0 , 0(),(d),(yxCyxvyxv因因為為 ),()0 , 0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0( yxCyxuxyu ),()0 , 0(d)2(d)2