1、上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回1第七章第七章 參數估計參數估計 7.2 區間估計的基本概念區間估計的基本概念上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回2一、基本概念一、基本概念前面，我們討論了參數點估計前面，我們討論了參數點估計. . 它是用樣本算得的一個值去估計未知參數它是用樣本算得的一個值去估計未知參數. . 但是點估計值僅僅是未知參數的一個近似值但是點估計值僅僅是未知參數的一個近似值, ,它沒有反映出這個近似值的誤差范圍，它沒有反映出這個近似值的誤差范圍

2、，使用起來把握不大使用起來把握不大. . 區間估計正好彌補了點估計的這個缺陷區間估計正好彌補了點估計的這個缺陷 . .上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回3譬如，在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個譬如，在估計湖中魚數的問題中，若我們根據一個實際樣本，得到魚數實際樣本，得到魚數N的極大似然估計為的極大似然估計為1000萬尾萬尾. .若我們能給出一個區間，若我們能給出一個區間，實際上，實際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000萬尾萬尾，也可能小于也可能小于1000萬尾萬尾. .在此區間內我們合理地相信在此區間內我們合理地相

3、信 N 的真值位于其中的真值位于其中. . 這樣對魚數的估計就有把握多了這樣對魚數的估計就有把握多了. .上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回4也就是說，我們希望確定一個區間，使我們能以比也就是說，我們希望確定一個區間，使我們能以比較高的較高的可靠程度可靠程度相信它包含真參數值相信它包含真參數值. .湖中魚數的真值湖中魚數的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的，是用概率來度量的，習慣上習慣上這里這里是一個很小的正數是一個很小的正數. .稱為稱為置信概率，置信度置信概率，置信度或或置信水平置信水平. .

4、置信水平記作置信水平記作1- -,上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回5置信水平的大小是根據實際需要選定的置信水平的大小是根據實際需要選定的. .例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平1-1-=0.95或或0.9等等. .根據一個實際樣本，由給定的置信水平，根據一個實際樣本，由給定的置信水平，使使我們求出一個盡可能小的區間我們求出一個盡可能小的區間 置信區間置信區間. .121P12, 稱區間稱區間 為為的置信水平為的置信水平為1-1-的的12, 上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭

5、大學）目錄目錄結束結束返回返回6尋找置信區間的方法尋找置信區間的方法, ,一般是從確定一般是從確定誤差限誤差限入手入手. .使得使得根據置信水平根據置信水平1- - ，可以找到一個正數，可以找到一個正數，我們選取未知參數的某個估計量我們選取未知參數的某個估計量 ， 只要知道只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難的概率分布，確定誤差限并不難. . 稱稱為為 與與之間的誤差限之間的誤差限. . |1P上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回7下面我們就來正式給出置信區間的定義下面我們就來正式給出置信區間的定義, ,由不等式由不等式可以

6、解出可以解出 ：這個不等式就是我們所求的置信區間這個不等式就是我們所求的置信區間. .并通過例子說明求置信區間的方法并通過例子說明求置信區間的方法. .|上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回8置信區間定義：置信區間定義：滿足滿足設設是一個待估參數，給定是一個待估參數，給定0,若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的兩個統計量確定的兩個統計量1112(,),nXXX 2212(,)nXXX 12() 121P分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. . 12和和則稱區間則稱區間12, 是是的的置信水平置信水平(置信度

7、、置信概率置信度、置信概率)為為1- -的的置信區間置信區間. .上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回9這里有兩個要求這里有兩個要求: :可見，可見，對參數對參數作區間估計，就是要設法找出兩個作區間估計，就是要設法找出兩個只依賴于樣本的界限只依賴于樣本的界限( (構造統計量構造統計量) )1112(,),nXXX 2212(,)nXXX 12() 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把估計在區間估計在區間內內. .12, 上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回10

8、2. 估計的精度要盡可能的高估計的精度要盡可能的高. . 21 P就是說，概率就是說，概率 要盡可能大要盡可能大. .即要求估計盡量可靠即要求估計盡量可靠. . 可靠度與精度是一對矛盾，可靠度與精度是一對矛盾，1. 要求要求以很大的可能被包含在區間以很大的可能被包含在區間內內. .12, 12 盡可能短，盡可能短，如要求區間長度如要求區間長度或能體現該要求的其它準則或能體現該要求的其它準則. .一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度. .上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回11二、單側

9、置信區間二、單側置信區間上述置信區間中置信限都是雙側的，但對于有上述置信區間中置信限都是雙側的，但對于有些實際問題，人們關心的只是參數在一個方向些實際問題，人們關心的只是參數在一個方向的界限的界限. .例如例如對于設備、元件的使用壽命來說，平均對于設備、元件的使用壽命來說，平均壽命過長沒什么問題，過短就有問題了壽命過長沒什么問題，過短就有問題了. .這時，可將置信上限取為這時，可將置信上限取為+，而只著眼于置信下限，這樣求而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區間叫單側置信區間得的置信區間叫單側置信區間. .上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結

10、束結束返回返回12于是引入單側置信區間和置信限的定義：于是引入單側置信區間和置信限的定義：滿足滿足設設是是 一個待估參數，給定一個待估參數，給定0,若由樣本若由樣本X1,X2,Xn確定的統計量確定的統計量則稱區間則稱區間1112(,)nXXX 11P 是是的置信水平為的置信水平為1- -的單側置信區間的單側置信區間. .稱為單側置信下限稱為單側置信下限. .1 1,) 上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回13又若統計量又若統計量則稱區間則稱區間是是的置信水平為的置信水平為1- -的單側置信區間的單側置信區間. .稱為單側置信上

11、限稱為單側置信上限. .2 2(,) 滿足滿足2122(,)nXXX 21P上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回14設燈泡壽命服從正態分布設燈泡壽命服從正態分布. .求燈泡壽命均值求燈泡壽命均值的的置信水平為置信水平為0.95的單側置信下限的單側置信下限. . 例例1 從一批燈泡中隨機抽取從一批燈泡中隨機抽取5只作壽命試驗，測只作壽命試驗，測得壽命得壽命X（單位：小時）如下：（單位：小時）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差由于方差 未知，取樣本函數未知，取樣本函數2 解：解： 的點估計取為樣本均值的點估計取為樣本均值 X (1)tXSnn 上一頁上一頁下一頁下一頁概率論與數理統計（湘潭大學）概率論與數理統計（湘潭大學）目錄目錄結束結束返回返回15使使即即對給定的置信度對給定的置信度1- -, ,確定分位數確定分位數得均值得均值的置信水平為的置信水平為1-1-的單側置信區間為的單側置信區間為(1),SXtnn (1)1SPXtnn (1)1XPtnSn (1),tn 上一頁上一頁下一頁下一頁概率論