1、第一章 一些典型方程和定解條件的推導物理過程的微分方程建立特定物理現象的數學形式表達團結團結 奉獻奉獻 求實求實 創新創新1.1 基本方程建立 1 弦振動問題弦振動問題 假設有一根假設有一根均勻柔軟均勻柔軟 的的細弦細弦，平衡時沿直線平衡時沿直線方向拉緊，方向拉緊，只受只受弦本身弦本身的的張力和重力張力和重力影響影響。第一章第一章 一些典型方程和定解問題的推導一些典型方程和定解問題的推導我們研究弦作我們研究弦作 微小微小 橫向橫向 運動運動時，弦上各點時，弦上各點的運動規律。的運動規律。均勻均勻細弦細弦柔軟柔軟張力和重力張力和重力影響影響。微小微小 橫向橫向建立如圖所示的坐標系，以弦建立如圖所

2、示的坐標系，以弦上一個小微弧段為研究對象上一個小微弧段為研究對象，u(x,t)u(x,t)表示弦上各點在時刻表示弦上各點在時刻t t沿沿垂直于垂直于x x方向的位移。方向的位移。在弦上取微小弧段，其長度為在弦上取微小弧段，其長度為因為弦做微小橫振動，因為弦做微小橫振動， 很小很小弦振動問題（續）1.1 基本方程建立基本方程建立,=tansinu x tx22ds= dx +du , +,=tansinu x dx tx同理同理du0,dsdx弦的受力情況分析弦的受力情況分析水平方向水平方向n張力張力垂直方向垂直方向n張力張力n重力重力coscosTT弦振動問題（續）sinsinTT- dsg1

3、.1 基本方程建立基本方程建立根據牛頓第二定律根據牛頓第二定律，有，有弦振動問題（續）1.1 基本方程建立基本方程建立因為弦做微小橫振動，因為弦做微小橫振動， 很小很小1.1 基本方程建立基本方程建立弦振動問題（續）,=tansinu x txcos1,cos1,u x tx+,=tansinu x dx tx22sin- sin =(, )( , )( , )u x dx tu x tu x tTgdxdxxxtTT依據偏導和偏微分的關系依據偏導和偏微分的關系，得：，得：22(, )( , )( , )( , )u xdx tu x tu x tu x tdxdxxxxxx教材錯誤教材錯誤1

4、.1 基本方程建立基本方程建立弦振動問題（續）2222( , )( , )u x tu x tTg dxdxxt忽略小弧段重力加速度，在忽略小弧段重力加速度，在 關于關于x x，t t都是二次都是二次可微的前提下，得到：可微的前提下，得到：( , )u x t(1.3)方程（方程（1.31.3）稱為）稱為一維波動方程一維波動方程。1.1 基本方程建立基本方程建立弦振動問題（續） 當存在外力當存在外力( (外力密度外力密度F(x,t)F(x,t)作用時，作用時，弦的強迫振動方程如下：弦的強迫振動方程如下：1.1 基本方程建立基本方程建立弦振動問題（續）無外力作用時，弦的振動方程：無外力作用時，弦

5、的振動方程：2222( , )( , )( , )u x tu x tF x tTg dxdxxt(1.3)數學物理方程的建立過程數學物理方程的建立過程1.1.明確物理量明確物理量，建立坐標系。2.選取微元素選取微元素（例如，微小弧段、微小體積等等），根據物理原理或定律物理原理或定律，建立關于微元素的方程式3.利用函數增量與微分或導數的關系，引入微分或導引入微分或導數數（偏微分或偏導數）。4.對方程進行必要的簡化簡化 ，即得所需要的方程。1.1 基本方程建立基本方程建立2高頻傳輸線方程xR xL xC xG i ii vvvxxx xR 每回路單位長度的串聯電阻L每回路單位長度的串聯電感C每單

6、位長度的分路電容G每單位長度的分路電導回路電壓()ivvvR xiL xt 節點電流()viiiC xG xvt vvxx viRiLxt 0ivCGvxt1.1 基本方程建立基本方程建立viRiLxt 0ivCGvxt222viiCRCLCt xtt 2220ivvCGxx tx 2222()0iiiiRCLCGRiLxttt2222()iiiLCRCGLRGixtt1.1 基本方程建立基本方程建立2222()vvvLCRCGLRGvxttviRiLxt 0ivCGvxt1.1 基本方程建立基本方程建立同理，可得與弦振動方程的形式相同不同的物理現象可以用同一類方程來描述1.1 基本方程建立基本方程建立高頻電流傳輸時，0GR22221iitLC x22221vvtLC x2222()iiiLCRCGLRGixtt2222()vvvLCRC GLRGvxttu2ttxxua u21 ()aLC 除了上面討論的一維波動方程之外，我們還可以建立二維波動方程（例如薄膜的振動方程）和三維波動方程（例如電磁波和聲