1、二 連續（一）函數的連續性與間斷點 1 函數的連續性設 f （ x ）在 x 0的某鄰域內有定義。若 （ x ）= f （x0） ，則稱 f （x）在 x0 連續;若 ,則稱 f （ x ）在 x 0左連續；若，則稱 f （ x ）在 x0 右連續。若函數f（ x ） 在區間I上每一點都連續，則稱 f （ x ）在該區間上連續。特別，當I = a , b 時, f （ x ）在 a ，b上連續，是指 f （ x ）在（a， b ）內每一點處連續，且在 a 處右連續,在 b 處左連續。2 函數的間斷點由函數在一點連續的定義可知,函數 f （ x ）在一點 x 0處連續的條件是:（ 1 ） f （

2、 xo ）有定義； （ 2 ） （ x ）存在； （ 3 ） （ x ）= f （x0）。若上述條件中任何一條不滿足, 則f （ x ）在 x 0處就不連續，不連續的點就稱函數的間斷點。間斷點分成以下兩類：第一類間斷點： x0是f （ x ）的間斷點，但f （x0-）及f （x0+）均存在；第二類間斷點：不是第一類的間斷點。在第一類間斷點中，若 均存在但不相等,則稱這種間斷點為跳躍間斷點；若 f （ x0-） , f （ xo + ）均存在而且相等，則稱這種間斷點為可去間斷點。（二）初等函數的連續性 1 基本初等函數和初等函數冪函數、指數函數、時數函數、三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數。

3、由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數，稱為初等函數。 2 初等函數的連續性一切初等函數在其定義區間內都是連續的，這里的“定義區間”是指包含在定義域內的區間。（三）閉區間上連續函數的性質設函數 f （ x ）在閉區間 a ，b上連續，則（ l ） f （ x ）在 a ，b上有界（有界性定理） ;（ 2 ） f （ x ）在 a ，b上必有最大值和最小值（最大值最小值定理） ; （ 3 ）當 f （ a ） f （b） < 0 時，在（ a ，b）內至少有一點，使得 f （） = 0 （零點定理；（ 4 ）對介于 f （ a ） = A

4、及 f （ b ） = B 之間的任一數值C ，在（ a , b ）內至少有一點，使得 f （）=C （介值定理）。【 例1- 2 -15 】 設函數在 x = 0 處連續，則常數 a （ 0 ）與 b 應滿足何種關系。【 解 】 由 f （ x ）在 x = 0 處連續的充要條件現在 故應有 a= b。【 例 1- 2 - 16】 x = 0 是函數arctan的（ A ）第二類間斷點 （ B ） 可去間斷點 （ C ）跳躍間斷點 （ D ）連續點【解】 因為f （ 0 + ）f （ 0-），故應選（ C ）。 【 例 1 . 2 . 17 】 方程 x - cosx -1 = 0 在下列區

5、間中至少有一個實根的區間是（ A ） （, 0 ） （ B ） （ 0 ，）（ C ） （， 4 ） （ D ） （ 4 , + ）【 解 】 記 f （ x ） = x - cosx - 1 ，則 f （ 0 ） - 2 < 0 , f （） 0 ，又 f （ x ） 在 0， 上連續，由零點定理知，應選（ B ）。三、導數（一）導數概念1 導數的定義設函數 f （ x ）在 x 0的某鄰域內有定義，若極限存在，則稱函數 f（ x ）在 xo 處可導，并稱此極限為 f （ x ）在 x 0處的導數，記成。若 f （ x ）在區間工內處處可導，則對每一 x I ，都對應一個導數值，這就構

6、成了一個新函數，這個函數叫做函數 f （ x ）的導函數（也簡稱作導數），記作y,，或 ,或f ,（x）。2 導數的幾何意義 f （ x ）在 x0 處的導數 f ' （ x 0），在幾何上表示曲線 y = f （ x ）在點（ x 0， f （ x 0）處的切線的斜率。由此可知曲線 y =f （ x ）在點（ x 0， f （ x0）處的切線方程為其中 y 0 f （ x 0）。若 f ' （ x 0）0 ，則曲線 y = f （ x ）在點（ x 0， f （x0）處的法線方程為（二）基本求導公式和求導法則 1 基本求導公式2 函數的和、差、積、商的求導法則設 u = u（ x ）、 v = v （ x ）均可導，則（1） （u±v）=u±v（2） （Cu）=Cu（C是常數）（3）（uv）=u v+u v（4） 3 反函數的求導法則若 x =（y）在區間Iy內單調、可導且（y）0 ，則它的反函數 y f（ x ）在對應的區間Ix內也可導，且即4 復合函數的求導法則設 y = f （ u ）、 u =（ x ）均可導，則復合函數 y = f （ x ） 也可導，且5 隱函數的求導法則設方程 F （ x ，y） 0 確定一個隱函數 y = y （ x ） ，F