1、第第5 5章章 常微分方程的數值方法常微分方程的數值方法近似解析法、數值方法近似解析法、數值方法) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy初值問題初值問題本章主要研究求解一階常微分方程初值問題的本章主要研究求解一階常微分方程初值問題的幾個常用的數值方法幾個常用的數值方法。且且f(x,y)f(x,y)滿足李普希茨（滿足李普希茨（Lipschitz)Lipschitz)條件，即存在常數條件，即存在常數L L，使，使yyLyxfyxf),(),(則由常微分的理論知道，初值問題（則由常微分的理論知道，初值問題（5.1）在區間）在區間a,b上上存在存在唯一解唯一解。1.求解區間求解區間

2、a,b的離散化的離散化，使上插入一系列分點求解區間離散化，是在,kxbabxxxxxaNnn110 5.1 5.1 建立常微分建立常微分數值方法數值方法的基本思想與途徑的基本思想與途徑 微分方程數值解法的微分方程數值解法的基本思想：基本思想：把求解區間和方程離散化，求出方程的解把求解區間和方程離散化，求出方程的解y(x)在一系列離散在一系列離散點上的近似值。點上的近似值。因此，不同的離散方式就產生不同的數值解法。因此，不同的離散方式就產生不同的數值解法。,),1-, 1 , 0(1（常數）為步長，一般取稱記hhhNnxxhnnnnn稱為等步長節點。（節點為), 2 , 1 , 00NabhNn

3、nhxxn2.將微分方程離散化將微分方程離散化（1）差商逼近法：用差商代替導數。）差商逼近法：用差商代替導數。（2）數值積分法：）數值積分法：（3）Taylor展開法：展開法：),)( ,)(,()()(00nmyxydxxyxfxyxymnxxnm用用 處的向前、向后差商分別代替（處的向前、向后差商分別代替（5.1）左邊的微商，實）左邊的微商，實現現微分算子離散化微分算子離散化。即。即nx)2 . 5(),(,()()(nnnnxyxfhxyhxy 5.2 5.2 歐拉（歐拉（Euler)Euler)方法及其截斷誤差和階方法及其截斷誤差和階 5.2.1 Euler公式公式Euler方法是一種

4、最方法是一種最 簡單的簡單的顯式單步法顯式單步法。) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)3 . 5(),(,()()(11nnnnxyxfhxyhxy后得近似式寫成等式，整理的近似值，將上面兩個為令)(nnxyy)2 . 5(),(,()()(nnnnxyxfhxyhxy 5.2.1 Euler公式公式) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)3 . 5(),(,()()(11nnnnxyxfhxyhxy后得近似式寫成等式，整理的近似值，將上面兩個為令)(nnxyy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhy

5、y3210004 . 5yyyyyx的值，即），逐點計算以后各點開始，按式（處的初值從顯式顯式Euler公式公式隱式隱式Euler公式公式)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 梯形梯形公式公式（隱式公式）（隱式公式）差分公式差分公式單步法單步法 5.2.2 梯形公式的計算梯形公式的計算) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy),5(, 5111nnnnyxhyyEulerxydxdy公式為其隱式如)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy)5(,513113nnnnxyhyyEulerxydxdy公式

6、為其隱式)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 下面以下面以 梯形梯形公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。對于對于隱式方法隱式方法，如果，如果f(x,y)是是y的線性函數，則隱式公式可顯式計算。的線性函數，則隱式公式可顯式計算。.-1511nnnxhhyy它有顯式形式但當但當f(x,y)是是y的非線性函數時，如的非線性函數時，如章的迭代法求解。用第的非線性函數。可以選它是關于71ny 5.2.2 梯形公式的計算梯形公式的計算) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5

7、(),(111nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 下面以下面以 梯形公式梯形公式為例，介紹隱式公式的為例，介紹隱式公式的迭代算法迭代算法。當當h很小時，迭代過程（很小時，迭代過程（5.7）是收斂的。）是收斂的。)7 . 5(),(),(2),()1(1)()0(111mnnnnmnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy？因為因為f(x,y)f(x,y)滿足滿足LipschitzLipschitz條件條件yyLyxfyxf),(),(下面以下面以 梯形梯形公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。公式為例，介紹隱式公式的迭代算法。)7 . 5(),()

8、,(2),()1(1)()0(111mnnnnmnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy所以所以),(),(2)1(1)(1)()1(1111mnmnmmnnnnyxfyxfhyy)1()(112mmnnyyLh便收斂。，序列由此可見，只要,12)2(1)1(1)0(1nnnyyyLh這也是迭代過程（這也是迭代過程（5.7）收斂的充分條件。）收斂的充分條件。，取得較小時，可有因此，當12Lhh 5.2.3 改進的改進的Euler法法)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 稱為改進的稱為改進的Euler公式，這是一種一步顯式公

9、式。它的嵌套形式：公式，這是一種一步顯式公式。它的嵌套形式：),(1nnnnyxfhyy預報預報校正校正),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy)9 . 5(),(,(),(211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy 梯形公式雖提高了精度，但它是一種隱式算法，需要借梯形公式雖提高了精度，但它是一種隱式算法，需要借助于迭代過程求解，計算量大。而助于迭代過程求解，計算量大。而Euler法雖精度低，但他法雖精度低，但他是一種顯式算法，其計算量小。是一種顯式算法，其計算量小。能否綜合使用這兩種方法能否綜合使用這兩種方法？ 5.2.3 改進的改進的Euler法法 改進的改進的Euler公

10、式：公式：)9 . 5(),(),(),2121(1121211hkyxfkyxfkkkhyynnnnnn公式中用到的斜率是兩個點的斜率的加權平均，它為構造新公式中用到的斜率是兩個點的斜率的加權平均，它為構造新的計算法提供了新的途徑。的計算法提供了新的途徑。下節介紹的下節介紹的R-K方法就是這種思方法就是這種思想的體現和發展。想的體現和發展。P51 例例5.1)9 . 5(),(,(),(211nnnnnnnnyxhfyxfyxfhyy改進的改進的Euler公式的公式的優點優點：實現了隱式顯算的目的，且減少了：實現了隱式顯算的目的，且減少了計算量。公式（計算量。公式（5.9）還可以寫為：）還可

11、以寫為： 5.2.4 局部截斷誤差局部截斷誤差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy)6 . 5(),(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy 初值問題（初值問題（5.1）的）的單步法單步法可用可用一般形式一般形式表示為：表示為：)10. 5(),(11hyyxhyynnnnn)11. 5(),(1hyxhyynnnn隱式單步法隱式單步法顯式單步法顯式單步法),(),(4 . 5),(yxfhyxEulerhyx）有公式（稱為增量函數。例如對其中式單步法可表示為則為顯式方法。所以

12、顯若不含時，方法是隱式的，含有有關，當與多元函數其中11),(,nnyyyxf 5.2.4 局部截斷誤差局部截斷誤差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy定義定義5.1 設設y(x)是初值問題（是初值問題（5.1）的準確解，稱）的準確解，稱)10. 5(),(11hyyxhyynnnnn局部截斷誤差概念。給出一般顯式單步法的，即之前的計算沒有誤差，的局部情況，并假設到慮從是復雜的。為此，僅考差分析和求得整體截斷誤)(1nnnnnnxyyxxxe隱式單步法隱式單步法點的整體截斷誤差。稱為該方法在誤差則一步產生的誤差，直到開始計算，如果考慮每從nnnnnxyxyexx)(,0

13、)11. 5(),(1hyxhyynnnn顯式單步法顯式單步法)12. 5(),(,()()()(1111hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn為顯式單步法（為顯式單步法（5.11）的）的局部截斷誤差局部截斷誤差。 5.2.4 局部截斷誤差局部截斷誤差) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy定義定義5.1 設設y(x)是初值問題（是初值問題（5.1）的準確解，稱）的準確解，稱)11. 5(),(1hyxhyynnnn顯式單步法顯式單步法)12. 5(),(,()()()(1111hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn為顯式單步法（為顯式單步法（5.11）的）的局部截斷誤

14、差局部截斷誤差。例例5.2 求顯式求顯式Euler法和隱式法和隱式Euler法的局部截斷誤差。法的局部截斷誤差。)4 . 5(),(1nnnnyxfhyy)5 . 5(),(111nnnnyxfhyy10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(! 2)()( )()()( nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf 321)(! 31)(! 21)()()()(hxyhxyhxyxyhxyxynnnnnn 5.2.4 局部截斷誤差局部截斷誤差定義定義5.1 設設y(x)是初值問題（是初值問題（5.1）的準確解，稱）的準確解，稱)12. 5(),(,()()()(1111

15、hxyxhxyxyyxyTnnnnnnn為顯式單步法（為顯式單步法（5.11）的）的局部截斷誤差局部截斷誤差。定義定義5.2 設設y(x)是初值問題（是初值問題（5.1）的準確解，若存在最大整）的準確解，若存在最大整數數p使顯式單步法（使顯式單步法（5.11）的局部截斷誤差滿足）的局部截斷誤差滿足)13. 5()(),(,()()()(11111pnnnnnnnhhxyxhxyxyyxyT)13. 5()()(1111pnnnhyxyT即則稱方法（則稱方法（5.11）是）是p階的階的，或稱具有，或稱具有p階精度階精度。)()(,)13. 5(211ppnnnhhxyxT（寫成若將。稱為局部截斷

16、誤差主項（則1)(,pnnhxyx例例5.3 P125 練練 習習的公式00)(),(,()(yxybxaxyxfxy設有求常微分方程初值問題設有求常微分方程初值問題求其局部截斷誤差及階數。求其局部截斷誤差及階數。),(211nnnnyxfhyy 5.4 5.4 單步法收斂性和穩定性單步法收斂性和穩定性5.4 5.4 單步法的收斂性單步法的收斂性)11. 5(),(1hyxhyynnnn顯式單步法顯式單步法)26. 5(),(1hyyhyxnnnn差分公式（差分公式（5.26）在理論上是否合理，要看差分方程的解）在理論上是否合理，要看差分方程的解),(nnxyy的精確解是否收斂于原微分方程這是

17、差分格式的這是差分格式的收斂性收斂性問題。問題。何，舍入誤差傳播情況如有舍入誤差，逐步推進若計算中某一步ny這是差分格式的這是差分格式的穩定性穩定性問題。一個不穩定的差分格式會使計算解問題。一個不穩定的差分格式會使計算解失真或計算失敗。失真或計算失敗。)11. 5(),(1hyxhyynnnn方法是收斂的。，則稱均有）產生的近似解若單步法（），必然同時當對于任意固定的定義)(lim11. 5(0,3 . 5, 00nnnhnnxyyynhnhxx定理定理5.1 對于一個對于一個p階的顯式單步法（階的顯式單步法（5.11），若滿足如下條件），若滿足如下條件成立使條件，即存在常數滿足關于增量函數R

18、yyLhyxhyxLLipschitzy, 0),(),(, 0) 1 (（2）微分方程的初值是精確的。）微分方程的初值是精確的。則該方法收斂，其整體截斷誤差為則該方法收斂，其整體截斷誤差為)()(pnnnhyxye例例5.6 P132 定理定理5.1表明：判斷單步法的收斂性，歸結為驗證增量表明：判斷單步法的收斂性，歸結為驗證增量函數能否滿足函數能否滿足Lipschitz條件。條件。5.4.2 5.4.2 單步法的穩定性單步法的穩定性若算法的執行結果與算法精確解之間的誤差（它是由舍入誤差造成的）很大，就說該算法是數值不穩定的，否則是數值穩定的。 理論上成立的算法，在計算機上機算時，由于理論上成

19、立的算法，在計算機上機算時，由于初值的誤差初值的誤差在計算過程中的傳播在計算過程中的傳播，而導致結果的失真。而導致結果的失真。否則是不穩定的。的則稱此算法是數值穩定上產生的偏差均不超過各節點值的擾動，對以后上有大小為值若一種數值方法在節點,n)(my .mny5 5定定義義5 5) 1 . 5()(),(,()(0yaybxaxyxfxy)7 . 2(),(:),(),(bafyyTaylorbayxfy其中化為如下的模型方程能展開并局部線性化，總做在解域內某一點將顯式顯式Euler方法的穩定性方法的穩定性：將顯式將顯式Euler法用于模型（法用于模型（5.27），有），有)7 . 2(),(:),(),(