1、tPkxxcxmcos txtxtx21 tx1 tAetxdtsin1 tx2 122cos2tAtx22 單自由度系統單自由度系統 二二 單自由系統的強迫振動單自由系統的強迫振動: 系統在外加隨時間而變化的持續外力作用下產生的振動. 激振形式: 按激振力隨時間變化規律分: 簡諧激振 非諧周期性激振 非周期激振 隨機激振 按激振力作用在振動系統上的方式分: 直接激振 間接激振基點激振 不平 衡激 振 旋轉軸的臨界速度1. 直接激振直接激振(簡諧激勵簡諧激勵) 二階常系數線性非齊次方程 全解: 相應齊次方程的通解(自由振動)由于有阻尼,是瞬時振動, 稱瞬態解 方程特解,是激振力作用下產生的受迫

2、振動, 稱穩態解 只研究穩態解 此處有兩個待定系統: A 穩態響應振幅. 響應與激勵之間相位差2-1422,阻尼比頻率比其中nn2222411;:kPAkP令靜態位移式中 復數振幅特解響應實數激振力AeAtxPPetptiti:3221222241222222222arctgmkcarctgkPcmkPA稱動態放大因子稱動態放大因子,表示振幅表示振幅A較靜態位移較靜態位移P/k放大倍數放大倍數. 復數表示法復數表示法: 阻尼系統阻尼系統,簡諧激振和響應用復數表示簡諧激振和響應用復數表示,可引出有用的概念可引出有用的概念: 稱復頻響應或頻率響應得微分方程,211:2ikHPetkxtxctxmt

3、i H(w)=x(t)/p(t) 是響應是響應x(t)和激振力和激振力p(t)的比例因子的比例因子.(諧波響應與諧波激勵之比諧波響應與諧波激勵之比)2-2 幅角模其中,12,211:,2222arctgkHeHHi titiiPeHPeeHtpHtx 信息復數振幅含振幅和相位,PeHAePeHtxitii 動態放大因子又有.:,kPAHkPAH H(w)的模和幅角的模和幅角: 系統諧波響應系統諧波響應x(t)另一表達形式另一表達形式 動態放大因子動態放大因子2-3iAeAA寫成復指數形式：將)(22tfkzdtdzcdtzdm2( )1( )( )Z sH sF smscsk222()()()

4、11()1/212Z jH jF jm jcjkmjckkmcmjkkmkms2Z(s)+csZ(s)+kZ(s)=f(s) 令令s=j，則，則 )/(2)/(1111211222nnnnjkjk2222)/(4)/(111)(nnkA2)/(1)/(2)(nnarctg, 1準靜態區稱靜變位時kPAn00An時很大小當時即, 0,1nn 分析幅頻特性曲線圖分析幅頻特性曲線圖: 激勵為簡諧,則響應也是簡諧, 其振頻= 激振頻率 振幅A與系統參數m、k、c ,激振力 大小、頻率有關,與初始條件無關 A在不同頻率下特征不同 a. 很小,即 b. 很大,即受迫振動振幅主要取決于系統質量,稱”慣性區”

5、c.稱 時的為”共振”,此區域內,阻尼影響大稱”阻尼區”nnnn0020max1 . 0.,21,時當稍小比在處不在n抑制振幅增大阻尼或彈性元件破壞已不是線性振動不可能時AA,1 共振區的說明共振區的說明: 實用上 為共振頻率.2-4n21221為半功率點和 阻尼比的估算阻尼比的估算 共振區曲線形狀與阻尼比有密切關系 實驗測定阻尼比,常用共振峰的形狀來估算.如圖: 212 arctg090,1無論阻尼大小共振時反相同相時0180,0,:0nn相位突變前后,n,0時 相頻特性曲線分析相頻特性曲線分析 位移x(t)與激振力p(t)有相位差,其值為: 阻尼很小時,共振點前后相位變化率最大 (這是 “

6、相角法”識別系統固有頻率點的依據) 工程上常用的有諧波響應軌跡工程上常用的有諧波響應軌跡(Nyquist 圖圖), 同時反映幅頻和相頻特性同時反映幅頻和相頻特性2-51、總幅值法、總幅值法 1) 固有頻率固有頻率n的估計的估計 221nr 若若0.1，r=n 若若不小于不小于0.1或要精確估計或要精確估計n值，值，需要先估計需要先估計的值的值 幅頻曲線幅頻曲線 2)阻尼率阻尼率的估計的估計 221nr2222)/(4)/(111)(nnkA221nrkkkkkAnnnnnrnrr2144411)21 (4)21 (11121421111)/(4)/(111)(42422222222222222

7、kAr21)(幅頻曲線幅頻曲線 22)22(nn2)(nnn212)(nnn若在若在n附近取附近取2-1=，2+1=2n，且，且足夠小，此時足夠小，此時=1，或，或=2，則，則單自由度系統的幅頻特性曲線單自由度系統的幅頻特性曲線 22221nnn224nnn22411 nk由于由于在在n附近，即附近，即/n1 22222, 1)/(4)/(111)(nnkAkkAAnr21411)()(222, 1 kAr21)(nn21單自由度系統的幅頻特性曲線單自由度系統的幅頻特性曲線 2242 n21)()(2, 1rAA若若 2142)()(222, 1nrAA222, 142)()( nrAA解上式

8、，得解上式，得 n2)/(2)/(1/1)(1)(22nnjkkcjjmjH2222222)()(1)(1)(cmkjcmkjcmkkcjjmjH22222)()(cmkmkRe2222)(cmkcIm實部部分：實部部分： 虛部部分：虛部部分： 2、分量法分量法 222222222222242222222222222222224111412241)(nnnnnnnekkmkkmckmcmkmkmkkmcmkmmkcmkmkR2222222222222222222222222222241242224221)(nnnnnnnmkkmkkmckmcmkmkkmcmkkmcmkmkckmcmkmccm

9、kcI222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI實部頻率曲線實部頻率曲線 虛部頻率曲線虛部頻率曲線 kkkkkRe)1 (41)1 (411)22(421)21 (4421)21 (4)21 (1)21 (11)(22222max222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI分析分析 當當=n時，時，0)(neR 當當 211n時，實部具有最大值；時，實部具有最大值； 當當 211n時，時，實部實部具有最小值；具有最小值； kRe)1 (41)(maxkRe)1 (41)(minkkkkkR

10、e)1 (41)1 (411)22(421)21 (4421)21 (4)21 (1)21 (11)(22222min此時此時 nn)1 (211nn)1 (212n212則則實部頻率曲線實部頻率曲線 在在 24221122131nn時，時，kIm21)(min2222412)(nnnmkIIm()具有極小值具有極小值虛部頻率曲線虛部頻率曲線 當當 kIIImmm41)(21)()(min21n212時時 成立成立 可按如下方法求模態的固有頻率和阻尼率可按如下方法求模態的固有頻率和阻尼率 在同相分量曲線中，滿足實部分模為零的頻率為固有頻率在同相分量曲線中，滿足實部分模為零的頻率為固有頻率n ；

11、在正交分量曲線中，峰值對應的頻率為固有頻率在正交分量曲線中，峰值對應的頻率為固有頻率n 求系統的阻尼率求系統的阻尼率 實部頻率曲線實部頻率曲線 虛部頻率曲線虛部頻率曲線 n212n21221為半功率點和 阻尼比的估算阻尼比的估算 共振區曲線形狀與阻尼比有密切關系 實驗測定阻尼比,常用共振峰的形狀來估算.如圖: 212 arctg090,1無論阻尼大小共振時反相同相時0180,0,:0nn相位突變前后,n,0時 相頻特性曲線分析相頻特性曲線分析 位移x(t)與激振力p(t)有相位差,其值為: 阻尼很小時,共振點前后相位變化率最大 (這是 “相角法”識別系統固有頻率點的依據) 工程上常用的有諧波響

12、應軌跡工程上常用的有諧波響應軌跡(Nyquist 圖圖), 同時反映幅頻和相頻特性同時反映幅頻和相頻特性2-5 小結小結: 從受力的觀點分析從受力的觀點分析.受迫振動方程的解受迫振動方程的解,可用旋轉矢量表示可用旋轉矢量表示 ,有以下關系有以下關系:tPkxxcxmtAxtAxtAxcos:180cos90cossin020 微分方程tkAkxsin020180cos90costmAxmtcAxc 0018090超前彈性恢復力慣性力超前彈性恢復力阻尼力 方程左邊三項分別為：彈性恢復力滯后激振力以上三個力與激振力Pcoswt平衡,四個矢量構成封閉四邊形2-6 212 arctgtPkxxcxmc

13、os tUtcos;2,21cos0121arctgUkPtPkckxxcxmxkxcxm 122222212222cos4141cos41tUtkPx2.間接激振間接激振基點激振基點激振在直接激振中: 激振力力幅P與W無關的常數激振力直接作用在振動質點上基點激振:基礎有位移因此運動方程為此時擾動力的力幅與頻率有關,參照直接激振公式又稱傳遞率地基振幅響應振幅;41412222222UA動態放大系數:2-71, 21, 022和0,22當頻段工作22 幅頻特性曲線分析幅頻特性曲線分析: 所有曲線都通過兩點 地震儀 (傳感器)設計時,大質量,軟彈簧, 使固有頻率小,讓傳感器 在 頻段內,阻尼大,不

14、利隔振2-81mem21振動方向temcos21emPtPtemkxxcxmm21211;coscos: 運動方程tPkxxcxmcos 3.不平衡激振不平衡激振機器中有高速旋轉部件時,常出現這種振動.設機器上有以w旋轉的不平衡質量 ,轉動半徑為e,則不平衡質量產生離心慣性力為垂直分量為:可見激振力幅值與w平方有關.參照直接激振方程:特解 222222222221122221211222221222212414141141/41:cosarctgemmemkemmmmmkemkPAtAtx當其中2222231141當當令整個質量的當量偏心距eAemmme2-9 1,0, 0333emmm11

15、幅頻特性曲線分析幅頻特性曲線分析: 所有曲線經過兩點: 高頻時 趨近1,即A 可見減小e的重要性2-10 4.旋轉軸的臨界速度旋轉軸的臨界速度垂直旋轉軸,兩端簡支,在軸中點,固定一輪子(質量m),其重心G,相對輪子幾何軸心s有偏心距e.軸和輪子系統繞軸幾何軸心線以w旋轉.其偏心質量產生使軸彎曲的離心力:tmekyycymtmekxxcxmsincos22 幾點假設 忽略軸質量 軸和支承在圓周方向剛度相等 軸承對軸不起力矩作用(對軸無阻尼) 軸本身對軸的彎曲有阻尼作用(粘性阻尼) 軸輪系統的幾何中心s的運動方程式:2-11cos2;1241sin41cos41222322222222222222

16、222reeroGarctgeeyxrosteytex特解特解:從方程看出:軸和輪子的幾何中心的運動并不是一般意義上的振動,而是當軸與輪子系統繞自身軸以w旋轉時,由于輪子偏心質量產生的離心慣性力作用,使軸變形為弓形,此時,軸與輪子系統的運動是由以下兩種運動合成:= 旋轉運動(自轉):輪子與軸繞自身軸的軸心線轉動(G繞s的圓周運動),角速度為回旋運動(公轉):彎曲成弓形的軸線 繞兩支承的連線 與圓盤相同的角速度大小和方向的轉動 (s 繞o點的圓周運動),即 =弓形回旋弓形回旋: 軸與輪子系統既作旋轉運動又作回旋運動的運動.(又稱渦動)2-120在位置A,輪子上的點1在外側,點2在內側位置B、C、

17、D,輪子上的點1仍在外側,點2仍在內側,軸輪繞s旋轉了一周,軸輪系統繞O也回轉了一周即 分析1: 系統的激勵:輪子質心偏心,導致輪子自 轉時產生慣性離心力,該力以w旋轉. 系統響應:輪子繞o點的公轉,轉速仍為w. 當系統無阻尼時 ,0s與Gs在一條直線上0當系統有阻尼時 ,0s與Gs不在一條直線上,形成一定角度 (響應與激勵有相位差) 分析2: 當軸旋轉速度w取不同值時,o、s、G三 點 相對位置也不同.軸末彎曲時當,0 , 0, 00eGr的外側點在時當OSGn,900 ,0=2-13系統共振時當max0,90,1osn 臨界轉速:旋轉軸產生共振時的轉速叫臨界轉速 數值上等于轉子不轉動而作橫

18、向自由振動時的固有頻率 (固有角速度) 共振是有害的,設計高速旋轉軸時,要避開臨界轉速mkc內側點移到時當osGcn,180901,00重合軸承連心線與系統重心時當oGeoscn,180,1,0 此時，軸及輪子系統繞系統重心此時，軸及輪子系統繞系統重心G作旋轉稱為作旋轉稱為自動定心自動定心小結小結: 高速旋轉軸有一個臨界轉速, 要避開臨界轉速 一根 不轉動的軸橫向振動, 軸內產生交變應力. 而作 弓形 回旋的軸, 軸內不產生交變應力, 但 對軸兩端支承(軸承)作用有交變力, 并導致 軸 承 系統強迫振動.2-1423 周期激勵下的受迫振動周期激勵下的受迫振動,Fourier級數級數一一. 疊加

19、原理疊加原理線性微分方程描述的系統稱為線性系統.線性系統滿足疊加原理.若系統有: 響應激勵響應激勵txtFtxtF2211 響應txCtxCtFCtFC22112211則在激勵疊加原理對線性系統極重要,它使處理線性系統問題在理論和技術上成熟介紹 a. Fourier級數分析法 b. Fourier變換法 c. 脈沖響應函數法.這三種方法,是疊加原理,對線性系統成功應用。將任意復雜激勵分解為一系列 簡單激勵.再將系統對這些簡單激勵的響應疊加,得系統對復雜激勵的響應.系統總響應各諧波響應基波及高次諧波周期性激勵疊加求分解系統總響應各諧波響應小的諧波全頻率成份無限多無限任意激勵疊加求分解系統響應各脈

20、沖響應無窮多幅值不同的脈沖任意激勵疊加求分解2-15二二.周期激勵下的受迫振動周期激勵下的受迫振動. Fourier級數分析法級數分析法:由單自由度系統微分方程 tftxtxtxtkftkxtxctxmnnn222 10,2,0ptipptfTTeAtf的周期為為基頻式中 22002,3 , 2TTtippdtetfTApp高次諧波f(t)周期函數，Fourier級數展開：（231）注： F(t):激振力函數（力量綱） f(t):激勵函數（位移量綱）2-16 tiotioAeHtxAe系統的響應為激勵022212211arctgHoo212ppoparctgp 112221121ptpippp

21、ptpipptpipopppopopoeXeAeApHtxtx對于基波：其中：由疊加原理，（231）式所示，一系列諧波激勵下，其響應是一系列諧波響應的疊加：對于高次諧和波： potpipoptippoeApHtxeAp系統的響應為激勵0:npppoppoparctgppH,12211222其中：2-17（232）討論：討論： 激勵是周期為T 的函數，響應仍是周期為T 的函數 響應x(t)與激勵f(t)波形有畸變。 （不同頻率成份諧波激勵系統時，放大倍數 和 相位角均不同） 對無阻尼系統onopopHppH時當,11, 02說明說明: 單自由度系統周期激勵比諧波激勵更容易激起共振。危險性更大。

22、（周 期激勵的基頻Wo,只要是系統固有頻率Wn的整數分之一，就可能激起共振）2-18f(t)= -A -T/2t0 按付氏展開將為奇函數tftfoao ,例：例：求單自由度無阻尼系統對圖示周期方波激勵的響應解：由周期方波的圖形，其在一個周期中的函數為A 0tT/2首先,由于f(t)均值為o,故 , 5 , 3 , 14cos14sinsin2sin2sincos22332200222222210ppAipTpAitdtpAtdtpATidttpitfTdttpitptfTdtetfTAeAtfoToToTToTTooTTtippptippo 取實部得上式,2,sin141pooTtppAtf2

23、11nooppH , 5 , 3 , 125 , 3 , 121sin4sin411PnooponopptpAtppAptx代入（233）式對于無阻尼系統，頻率響應: 2-19 之和為一系列諧波deFdeFtftiti21 H deFti deXtxFHXdeFHtxtiti2121記24 求解非周期激勵的系統響應求解非周期激勵的系統響應:Fourier變換法變換法設f(t) 任意(非周期)激勵信號由:Fourier積分式:每個諧波激勵引起系統響應為:將所有響應疊加(積分),得系統響應:小結小結: 用Fourier變換法,求解非周期激勵f(t)下的響應，過程如下: 存在dtetfFti ,收斂

24、積分dtetfti 注意：注意：要保證, ， f(t)需滿足兩個條件（Dirichlet條件） f(t)在(- , )上僅有有限個不連續點2-20例：例：求單自由度無阻尼系統對圖所示的矩形脈沖F(t)的響應x(t)解:令kf(t)=F(t) 則f(t)=1/kF(t)首先檢查f(t)是否滿足Dirichlet條件： TTOokTFdtkFdttf收斂2(1)Fourier正變換： TkFeekiFdtekFdtetfFTToTiTiotiotisin2 數無阻尼系統頻率響應函211H(2)系統響應的頻譜密度 221sin21kTFeekiFFHXoTiTio (3) Fourier逆變換：得系

25、統響應 deeekiFdteXtxtiTiTioti212212-21積分得x(t)=tTkFTtTtkFTtkFnnnnonosinsin2coscoscos10TtTtTTt對例題的討論:kFostkFoTkFnosin2系統對矩形激勵的響應是諧波函數，且振動頻率等于系統固有頻率。在-TtT以后，系統繞其靜止位置x=0振動振 幅為 TkFTxTkFTxnoNno2sin2cos1n 對于tT系統振動，可解釋為系統的自由振動：因為當tT后，矩形脈沖已消失， 由上式中第二式，當t=T時上式為tT以后系統振動的初始位移和速度(作自由振動)。其振動頻率當然為2-22 tf一基本思路：將任意激勵f(

26、t)分解為一系列強度為 的脈沖，求每一個脈沖單獨 激勵的響應.由疊加原理，將一系列脈沖響應疊加，得系統對整個激勵f(t)的響應x(t)2-5 非周期激勵下的受迫振動：脈沖響應函數法非周期激勵下的受迫振動：脈沖響應函數法 op atptFo 211.MLTtFMLTpTo函數二單位脈沖函數：力學定義：單位脈沖函數描述了一個單位沖量在t=a時產生一個沖量為 的力F(t)，可按下式表達: 量綱：三單位脈沖響應函數：系統在單位脈沖函數的激勵下的系統響應。 設脈沖力 作用單自由度系統: tptFo tptkxtxctxmo 0, 00ovoxx 初始條件: 由沖量定理: 動量的增量等于作用力的沖量 0t

27、 tptFo記作用以后的時刻為當t=o時刻突受脈沖力. 度作用后系統獲得的初速脈沖力因tptFmpvxvxpxmxmooooo000002-23 tptFo瞬間在oot議論議論: 形式上雖然為一種過程激勵,但其效果相當于初始速度激勵. 因此,可將系統對過程激勵的受迫振動問題轉化為系統對初始激勵的自由振動 問題來處理.(這是脈沖響應函數法解題的關鍵).瞬間在ootoox ,速度突變(因力幅無限大,則加速度無限大) 而 來不及積累位移變化,因此 脈沖作用后的初始條件: oovmpoxoox單自由度小阻尼系統響應為: nddtdodtdotemptevtxnn21sinsin當 得系統對單位脈沖激勵的響應h(t)表示:1op 0sin1ttemthdtdn 00tth2-24引入單位階躍函數:u(t)=0 t0單位脈沖響應函數h(t)可寫成 tutemthdtdnsin1 temthdtdnsin1在t=0時刻，作用單位脈沖(t)，系統響應在t=a時刻，作用單位脈沖(t-a)，系統響應atemathdatdnsin1 tF F thF 四四 脈沖響應函數法脈沖響應函數法 對任意激勵函數F可視為一系列脈沖的組合,設任意時刻: 脈沖力: ( 相當沖量值) 脈沖力激勵的響應: 2-25在任意時刻t：由于t時刻以前各時刻的脈沖均會影響t時刻響應x(t)。t時刻的響應：應