1、.第三章 隨機向量在實際問題中， 除了經常用到一個隨機變量的情形外，還常用到多個隨機變量的情形.例如，觀察炮彈在地面彈著點e的位置，需要用它的橫坐標X（e）與縱坐標Y（e）來確定，而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間=e=所有可能的彈著點上的兩個隨機變量.又如，某鋼鐵廠煉鋼時必須考察煉出的鋼e的硬度X（e）、含碳量Y（e）和含硫量Z（e）的情況，它們也是定義在同一個=e上的三個隨機變量.因此，在實用上，有時只用一個隨機變量是不夠的，要考慮多個隨機變量及其相互聯系.本章以兩個隨機變量的情形為代表，講述多個隨機變量的一些基本內容.第一節 二維隨機向量及其分布1.二維隨機向量的定義及其分布函數定義

2、3.1 設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是=e.設X（e）與Y（e）是定義在同一樣本空間上的兩個隨機變量，則稱（X（e），Y（e）為上的二維隨機向量（2-dimensional random vector）或二維隨機變量(2-dimensional random variable)，簡記為（X，Y）.類似地定義n維隨機向量或n維隨機變量（n>2）.設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是=e，設隨機變量X1（e），X2（e），Xn(e)是定義在同一個樣本空間上的n個隨機變量，則稱向量（X1（e），X2（e），Xm(e)為上的n維隨機向量或n維隨機變量.簡記為（X1，X2，Xn）.與一維隨機變量

3、的情形類似，對于二維隨機向量，也通過分布函數來描述其概率分布規律.考慮到兩個隨機變量的相互關系，我們需要將（X，Y）作為一個整體來進行研究.定義3.2 設（X，Y）是二維隨機向量，對任意實數x和y，稱二元函數F（x，y）=PXx，Yy (3.1)為二維隨機向量（X，Y）的分布函數，或稱為隨機變量X和Y的聯合分布函數.類似定義n維隨機變量（X1，X2，Xn)的分布函數.設（X1，X2，Xn）是n維隨機變量，對任意實數x1，x2，xn，稱n元函數F(x1,x2,xn)=PX1x1,X2x2,Xnxn為n維隨機變量(X1，X2，Xn)的聯合分布函數.我們容易給出分布函數的幾何解釋.如果把二維隨機變量

4、（X，Y）看成是平面上隨機點的坐標，那么，分布函數F（x，y）在（x，y）處的函數值就是隨機點（X，Y）落在直線X=x的左側和直線Y=y的下方的無窮矩形域內的概率(如圖3-1所示).根據以上幾何解釋借助于圖3-2，可以算出隨機點（X，Y）落在矩形域x1Xx2，y1Yy2內的概率為：Px1Xx2,y1Yy2=F（x2,y2）-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1). （3.2）圖3-1 圖3-2容易證明，分布函數F（x，y）具有以下基本性質：（1） F（x，y）是變量x和y的不減函數，即對于任意固定的y，當x2x1時，F（x2，y）F（x1，y）；對于任意固定的x，當y2y1時，F

5、（x，y2）F（x，y1）.（2） 0F（x，y）1，且對于任意固定的y，F（-,y）=0,對于任意固定的x，F（x，-）=0，F（-，-）=0，F（+，+）=1.（3） F（x，y）關于x和y是右連續的，即F（x，y）=F（x+0，y），F（x，y）=F（x，y+0）.（4） 對于任意（x1，y1），（x2，y2）,x1x2,y1y2,下述不等式成立：F（x2，y2）-F（x2，y1）-F（x1，y2）+F（x1，y1）0.與一維隨機變量一樣，經常討論的二維隨機變量有兩種類型：離散型與連續型.2.二維離散型隨機變量定義3.3 若二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值是有限對或可列無窮多對，則稱

6、（X，Y）為二維離散型隨機變量.設二維離散型隨機變量（X，Y）的一切可能取值為（xi，yj）i，j=1，2，且（X，Y）取各對可能值的概率為PX=xi，Y=yi=pij，i，j=1，2，. （3.3）稱式（3.3）為（X，Y）的（聯合）概率分布或（聯合）分布律，離散型隨機變量（X，Y）的聯合分布律可用表3-1表示.表3-1XYx1 x2 xi y1y2yjp11 p21 pi1 p12 p22 pi2 p1j p2j pij 由概率的定義可知pij具有如下性質：（1） 非負性：pij0（i，j=1，2，）；（2） 規范性：=1.離散型隨機變量X和Y的聯合分布函數為F（x，y）=PXx，Yy=，

7、 （3.4）其中和式是對一切滿足xix，yjy的i，j來求和的.例3.1 設二維離散型隨機變量（X，Y）的分布律如表3-2所示：表3-2XY1 2 312340.1 0.3 00 0 0.20.1 0.1 00 0.2 0求PX1，Y3及PX=1.解 PX1，Y3=PX=2，Y=3+PX=2，Y=4+PX=3，Y=3+PX=3，Y=4=0.3；PX=1=PX=1,Y=1+PX=1,Y=2+PX=1,Y=3+PX=1,Y=4=0.2.例3.2 設隨機變量X在1，2，3，4四個整數中等可能地取值，另一個隨機變量Y在1X中等可能地取一整數值，試求（X，Y）的分布律.解 由乘法公式容易求得（X，Y）的

8、分布律，易知X=i，Y=j的取值情況是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整數，且PX=i，Y=j=PY=jX=iPX=i=·，i=1，2，3，4，ji.于是（X，Y）的分布律為表3-3XY1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/160 1/8 1/12 1/160 0 1/12 1/160 0 0 1/163.二維連續型隨機變量定義3.4 設隨機變量（X，Y）的分布函數為F（x,y），如果存在一個非負可積函數f（x，y），使得對任意實數x，y，有F（x，y）=PXx，Yy= （3.5）則稱（X，Y）為二維連續型隨機變量，稱f（x，y）為（X，Y）的聯合分布密度或概率密

9、度.按定義，概率密度f（x，y）具有如下性質：（1） f（x，y）0 （-x,y+）；（2） =1；（3） 若f（x，y）在點（x，y）處連續，則有=f(x,y)；（4） 設G為xOy平面上的任一區域，隨機點（X，Y）落在G內的概率為P（X，Y）G=. (3.6)在幾何上，z=f（x，y）表示空間一曲面，介于它和xOy平面的空間區域的立體體積等于1，P（X，Y）G的值等于以G為底，以曲面z=f（x，y）為頂的曲頂柱體體積.與一維隨機變量相似，有如下常用的二維均勻分布和二維正態分布.設G是平面上的有界區域，其面積為A，若二維隨機變量（X，Y）具有概率密度f（x，y）=則稱（X，Y）在G上服從均勻

10、分布.類似設G為空間上的有界區域，其體積為A，若三維隨機變量（X，Y，Z）具有概率密度f(x,y,z)=，則稱（X，Y，Z）在G上服從均勻分布.設二維隨機變量（X，Y）具有分布密度f(x,y)=-x+,-y+，其中1,2,1,2,均為常數，且10,20,-11,則稱（X，Y）為具有參數1，2，1，2，的二維正態隨機變量，記作：（X，Y）N（1，2，12，22，）.例3.3 設（X，Y）在圓域x2+y24上服從均勻分布，求（1） （X，Y）的概率密度；（2） P0X1，0Y1.解 （1） 圓域x2+y24的面積A=4，故（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（2） G為不等式0x1，0y1所確定的

11、區域，所以P0X1，0Y1=例3.4 設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）= (1) 確定常數k；（2）求（X，Y）的分布函數；（3）求PX<Y.解 （1）由性質有=k/6=1.于是，k=6.(2) 由定義有F（x,y）= (3) PX<Y=例3.5 設（X，Y）N（0，0，2，2，0），求PXY.解 易知f（x，y）=（-x，y+），所以PXY=.引進極坐標x=rcos, y=rsin，則PXY= 第二節 邊緣分布二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，它具有分布函數F（x，y）.而X和Y也都是隨機變量，它們各自也具有分布函數.將它們分別記為FX（x）和FY（y），依次稱

12、為二維隨機變量（X，Y）關于X和Y的邊緣分布函數（Marginal distribution function）.邊緣分布函數可以由（X，Y）的分布函數F（x，y）來確定，事實上FX（x）=PXx=PXx，Y+=F（x，+）， (3.7)FY（y）=PYy=PX+，Yy=F（+，y）. (3.8)下面分別討論二維離散型隨機變量與連續型隨機變量的邊緣分布.1.二維離散型隨機變量的邊緣分布設（X，Y）是二維離散型隨機變量，其分布律為：PX=xi，Y=yj=pij，i，j=1，2，.于是，有邊緣分布函數FX（x）=F（x，+）=.由此可知，X的分布律為：PX=xi=，i=1，2， (3.9)稱其為（

13、X，Y）關于X的邊緣分布律.同理，稱（X，Y）關于Y的邊緣分布律為：PY=yj=，j=1，2，. (3.10)例3.6 設袋中有4個白球及5個紅球，現從其中隨機地抽取兩次，每次取一個，定義隨機變量X，Y如下：X= Y=寫出下列兩種試驗的隨機變量（X，Y）的聯合分布與邊緣分布.（1） 有放回摸球；（2） 無放回摸球.解 （1）采取有放回摸球時，（X，Y）的聯合分布與邊緣分布由表3-4給出.表3-4YX0 1PX=xi014/9×4/9 4/9×5/95/9×4/9 5/9×5/94/95/9PY=yj4/9 5/9 (2) 采取無放回摸球時，（X，Y）的聯

14、合分布與邊緣分布由表3-5給出.表3-5YX0 1PX=xi014/9×3/8 4/9×5/85/9×4/8 5/9×4/84/95/9PY=yj4/9 5/9在上例的表中，中間部分是（X，Y）的聯合分布律，而邊緣部分是X和Y的邊緣分布律，它們由聯合分布經同一行或同一列的和而得到，“邊緣”二字即由上表的外貌得來.顯然，離散型二維隨機變量的邊緣分布律也是離散的.另外，例3.6的（1）和（2）中的X和Y的邊緣分布是相同的，但它們的聯合分布卻完全不同.由此可見，聯合分布不能由邊緣分布惟一確定，也就是說，二維隨機變量的性質不能由它的兩個分量的個別性質來確定.此外

15、，還必須考慮它們之間的聯系.這進一步說明了多維隨機變量的作用.在什么情況下，二維隨機變量的聯合分布可由兩個隨機變量的邊緣分布確定，這是第四節的內容.2.二維連續型隨機變量的邊緣分布設（X，Y）是二維連續型隨機變量，其概率密度為f（x，y），由FX（x）=F（x，+）=知，X是一個連續型隨機變量，且其概率密度為fX（x）= （3.11）同樣，Y也是一個連續型隨機變量，其概率密度為fY（y）= (3.12)分別稱fX（x），fY（y）為（X，Y）關于X和關于Y的邊緣分布密度或邊緣概率密度.例3.7 設隨機變量X和Y具有聯合概率密度f（x，y）=求邊緣概率密度fX（x），fY（y）.解 fX（x）=

16、fY（y）=例3.8 求二維正態隨機變量的邊緣概率密度.解 fX（x）=，由于于是fX（x）=令t=，則有fX（x）=， -x.同理fY（y）=，-y.我們看到二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布，并且都不依賴于，亦即對于給定的1，2，1，2，不同的對應不同的二維正態分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的.這一事實表明，對于連續型隨機變量來說，單由關于X和關于Y的邊緣分布，一般來說也是不能確定X和Y的聯合分布的.第三節 條件分布由條件概率的定義，我們可以定義多維隨機變量的條件分布.下面分別討論二維離散型和二維連續型隨機變量的條件分布.1.二維離散型隨機變量的條件分布律定義3.5 設（X，Y）

17、是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若PY=yj0，則稱PX=xiY=yj=PX=xi，Y=yj /PY=yj，i=1，2，為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律（Conditional distribution）.同樣，對于固定的i，若PX=xi0，則稱PY=yjX=xi=PX=xi,Y=yj/PX=xi，j=1,2,為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律.例3.9 已知（X，Y）的聯合分布律如表3-6所示表3-6XY1 2 3 4PY=yj1231/4 1/8 1/12 1/160 1/8 1/12 1/160 0 1/12 2/1625/4813/4810/48PX=xi1/4 1/

18、4 1/4 1/4求：（1） 在Y=1的條件下，X的條件分布律；（2） 在X=2的條件下，Y的條件分布律.解 （1） 由聯合分布律表可知邊緣分布律.于是PX=1Y=1=12/25；PX=2Y=1=6/25；PX=3Y=1=4/25；PX=4Y=1=3/25.即，在Y=1的條件下X的條件分布律為表3-7X1 2 3 4P12/25 6/25 4/25 3/25（2） 同理可求得在X=2的條件下Y的條件分布律為表3-8Y1 2 3P1/2 1/2 0例3.10 一射手進行射擊，擊中的概率為p（0p1），射擊到擊中目標兩次為止.記X表示首次擊中目標時的射擊次數，Y表示射擊的總次數.試求X，Y的聯合分

19、布律與條件分布律.解 依題意，X=m，Y=n表示前m-1次不中，第m次擊中，接著又n-1-m次不中，第n次擊中.因各次射擊是獨立的，故X，Y的聯合分布律為PX=m,Y=n=p2(1-p)n-2, m=1,2,n-1, n=2,3.又因PX=m=p（1-p）m-1， m=1，2，；PY=n=（n-1）p2（1-p）n-2， n=2，3，因此，所求的條件分布律為當n=2，3，時，PX=mY=n= m=1，2，n-1；當m=1，2，時，PY=nX=m=， n=m+1，m+2，.2.二維連續型隨機變量的條件分布對于連續型隨機變量（X，Y），因為PX=x，Y=y=0，所以不能直接由定義3.5來定義條件分

20、布，但是對于任意的0，如果Py-Yy+0，則可以考慮PXxy-Yy+=如果上述條件概率當0+時的極限存在，自然可以將此極限值定義為在Y=y條件下X的條件分布.定義3.6 設對于任何固定的正數，Py-Yy+0，若存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數，記作PXxY=y或FXY（xy）.設二維連續型隨機變量（X，Y）的分布函數為F（x，y），分布密度函數為f（x，y），且f（x，y）和邊緣分布密度函數fY（y）連續，fY（y）0，則不難驗證，在Y=y的條件下X的條件分布函數為FXY（xy）=若記fXY（xy）為在Y=y的條件下X的條件分布密度，則fXY（xy）=f（x，y）/fY（y）

21、.類似地，若邊緣分布密度函數fX（x）連續，fX（x）0，則在X=x的條件下Y的條件分布函數為FYX(yx)=.若記fYX（yx）為在X=x的條件下Y的條件分布密度，則fYX（yx）=.例3.11 設（X，Y）N（0，0，1，1，），求fXY（xy）與fYX(yx).解 易知f（x，y）=（-x，y+），所以fXY（xy）= ；fYX（yx）= .例3.12 設隨機變量XU(0,1)，當觀察到X=x（0x1）時，YU(x,1)，求Y的概率密度fY（y）.解 按題意，X具有概率密度fX（x）=類似地，對于任意給定的值x（0x1），在X=x的條件下，Y的條件概率密度fYX（yx）=因此，X和Y的聯

22、合概率密度為f（x，y）=fYX（yx）fX（x）=于是，得關于Y的邊緣概率密度為fY（y）=第四節 隨機變量的獨立性我們在前面已經知道，隨機事件的獨立性在概率的計算中起著很大的作用.下面我們介紹隨機變量的獨立性，它在概率論和數理統計的研究中占有十分重要的地位.定義3.7 設X和Y為兩個隨機變量，若對于任意的x和y有PXx，Yy=PXxPYy，則稱X和Y是相互獨立（Mutually independent）的.若二維隨機變量（X，Y）的分布函數為F（x，y），其邊緣分布函數分別為FX（x）和FY（y），則上述獨立性條件等價于對所有x和y有F(x，y)=FX（x）FY（y）. (3.13)對于二

23、維離散型隨機變量，上述獨立性條件等價于對于（X，Y）的任何可能取的值（xi，yj）有PX=xi，Y=yj=PX=xiPY=yj. (3.14)對于二維連續型隨機變量，獨立性條件的等價形式是對一切x和y有f（x，y）=fX（x）fY（y）， (3.15)這里，f（x，y）為（X，Y）的概率密度函數，而fX（x）和fY（y）分別是邊緣概率密度函數.如在例3.6中，（1）有放回摸球時，X與Y是相互獨立的；而（2）無放回摸球時，X與Y不是相互獨立的.例3.13 設（X，Y）在圓域x2+y21上服從均勻分布，問X和Y是否相互獨立？解 （X，Y）的聯合分布密度為f（x，y）=由此可得fX（x）=fY（y）

24、=可見在圓域x2+y21上，f（x，y）fX(x)fY(y),故X和Y不相互獨立.例3.14 設X和Y分別表示兩個元件的壽命（單位：小時），又設X與Y相互獨立，且它們的概率密度分別為fX（x）=； fY（y）=求X和Y的聯合概率密度f（x，y）.解 由X和Y相互獨立可知f（x，y）=fX（x）fY（y）=第五節兩個隨機變量的函數的分布下面討論兩個隨機變量函數的分布問題，就是已知二維隨機變量（X，Y）的分布律或密度函數，求Z=j（X，Y）的分布律或密度函數問題.1.二維離散型隨機變量函數的分布律設（X，Y）為二維離散型隨機變量，則函數Z=j（X，Y）仍然是離散型隨機變量.從下面兩例可知，離散型隨

25、機變量函數的分布律是不難獲得的.例3.15 設（X，Y）的分布律為表3-9XY-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求Z=X+Y和Z=XY的分布律.解 先列出下表表3-10P5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X，Y）X+YXY（-1，-1） （-1，1） （-1，2） （2，-1） （2，1） （2，2）-2 0 1 1 3 41 -1 -2 -2 2 4從表中看出Z=X+Y可能取值為-2，0，1，3，4，且PZ=-2=PX+Y=-2=PX=-1，Y=-1=5/20；PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=2/20；PZ=1=PX+

26、Y=1=PX=-1，Y=2+PX=2，Y=-1=6/20+3/20=9/20；PZ=3=PX+Y=3=PX=2，Y=1=3/20；PZ=4=PX+Y=4=PX=2，Y=2=1/20.于是Z=X+Y的分布律為表3-11X+Y-2 0 1 3 4P5/20 2/20 9/20 3/20 1/20同理可得，Z=XY的分布律為表3-12XY-2 -1 1 2 4P9/20 2/20 5/20 3/20 1/20例3.16 設X，Y相互獨立，且分別服從參數為1與2的泊松分布，求證Z=X+Y服從參數為1+2的泊松分布.證 Z的可能取值為0，1，2，Z的分布律為PZ=k=PX+Y=k=，k=0，1，2，.所

27、以Z服從參數為1+2的泊松分布.本例說明,若X,Y相互獨立，且X（1），Y（2），則X+Y（1+2）.這種性質稱為分布的可加性，泊松分布是一個可加性分布.類似地可以證明二項分布也是一個可加性分布，即若X，Y相互獨立，且XB（n1，p），YB（n2，p），則X+YB（n1+n2，p）.2.二維連續型隨機變量函數的分布設（X，Y）為二維連續型隨機變量，若其函數Z=j (X,Y)仍然是連續型隨機變量，則存在密度函數fZ（z）.求密度函數fZ（z）的一般方法如下：首先求出Z= j（X，Y）的分布函數FZ（z）=PZz=P j（X，Y）z=P（X，Y）G=，其中f（x，y）是密度函數，G=（x，y）j（

28、x，y）z.其次是利用分布函數與密度函數的關系，對分布函數求導，就可得到密度函數fZ（z）.下面討論兩個具體的隨機變量函數的分布.（1） Z=X+Y的分布設（X，Y）的概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的分布函數為FZ（z）=PZz=，這里積分區域G：x+yz是直線x+y=z左下方的半平面，化成累次積分得FZ（z）=.固定z和y，對積分作變量變換，令x=u-y，得.于是FZ（z）=由概率密度的定義，即得Z的概率密度為fZ（z）=. (3.16)由X，Y的對稱性，fZ（z）又可寫成fZ（z）=. (3.17)這樣，我們得到了兩個隨機變量和的概率密度的一般公式.特別地，當X和Y相互獨立時，設（X

29、，Y）關于X，Y的邊緣概率密度分別為fX（x），fY（y），則有fZ（z）=； (3.18)fZ（z）=. (3.19)這兩個公式稱為卷積（Convolution）公式,記為fX*fY,即fX*fY=.例3.17 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N（0，1）分布，求Z=X+Y的概率分布密度.解 由題設知X，Y的分布密度分別為fX（x）=， -x+，fY（y）=， -y+.由卷積公式知fZ（z）=.設t=，得fZ(z)=，即Z服從N（0，2）分布.一般，設X，Y相互獨立且XN（u1,12）,YN（u2,22），由公式（3.19）經過計算知Z=X+Y仍然服從正態分布，且有ZN（u1+u

30、2,12+22）.這個結論還能推廣到n個獨立正態隨機變量之和的情況，即若XiN（ui,i2）(i=1,2,n),且它們相互獨立，則它們的和Z=X1+X2+Xn仍然服從正態分布，且有ZN（）.更一般地，可以證明有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍服從正態分布.例3.18 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求隨機變量Z=X+Y的分布密度.解 X，Y相互獨立，所以由卷積公式知fZ（z）=.由題設可知fX（x）fY（y）只有當0x1，y0，即當0x1且z-x0時才不等于零.現在所求的積分變量為x，z當作參數，當積分變量滿足x的不等式組0x1xz時，被積函數

31、fX（x）fY（z-x）0.下面針對參數z的不同取值范圍來計算積分.當z0時，上述不等式組無解，故fX（x）fY（z-x）=0.當0z1時，不等式組的解為0xz.當z1時，不等式組的解為0x1.所以fZ（z）=， (2) Z=X/Y的分布設(X,Y)的概率密度為f（x，y），則Z=X/Y的分布函數為FZ（z）=PZz=PX/Yz=.令u=y，v=x/y,即x=uv，y=u.這一變換的雅可比（Jacobi）行列式為J= =-u.于是，代入上式得FZ（z）=.這就是說，隨機變量Z的密度函數為fZ（z）= (3.20)特別地，當X和Y獨立時，有fZ（z）=， (3.21)其中fX（x），fY（y）分

32、別為（X，Y）關于X和關于Y的邊緣概率密度.例3.19 設X和Y相互獨立，均服從N（0，1）分布，求Z=X/Y的密度函數fZ（z）.解 由3.21式有fZ（z）=， -z+.例3.20 設X，Y分別表示兩只不同型號的燈泡的壽命，X，Y相互獨立，它們的概率密度依次為f（x）= g（y）=求Z=X/Y的概率密度函數.解 當z0時，Z的概率密度為fZ（z）=；當z0時，fZ（z）=0.于是fZ（z）=.（3） M=max(X,Y)及N=min（X，Y）的分布設X，Y相互獨立，且它們分別有分布函數FX(x)與FY（y）.求X，Y的最大值，最小值：M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布函數FM

33、（z），FN（z）.由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故PMz=PXz,Yz，又由于X和Y相互獨立，得FM（z）=PMz=PXz,Yz=PXz·PYz=FX（z）·FY（z）. （3.22）類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數為FN(z)=PNz=1-PN>z=1-PX>z,Y>z=1-PX>z·PY>z=1-(1-FX(z)(1-FY(z). （3.23）以上結果容易推廣到n個相互獨立的隨機變量的情況.設X1，X2，Xn是n個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FXi(xi)(i=1,2,n)，則M=

34、max(X1,X2,Xn)及N=min(X1,X2,Xn)的分布函數分別為FM(z)=FX1(z)FX2(z)FXn(z); (3.24)FN(z)=1-1-FX1(z)1-FX2(z)1-FXn(z). (3.25)特別，當X1，X2，Xn是相互獨立且有相同分布函數F（x）時，有FM(z)=（F(z)）n, (3.26)FN(z)=1- 1-F(z)n. (3.27)例3.21 設X，Y相互獨立，且都服從參數為1的指數分布，求Z=maxX，Y的密度函數.解 設X，Y的分布函數為F（x），則F（x）=由于Z的分布函數為FZ（z）=PZz=PXz，Yz=PXzPYz=F（z）2，所以，Z的密度函

35、數為fZ（z）=FZ(z)=2F(z)F(z)=下面再舉一個由兩個隨機變量的分布函數求兩隨機變量函數的密度函數的一般例子.例3.22 設X，Y相互獨立，且都服從N（0，2），求Z=的密度函數.解 先求分布函數FZ（z）=PZz=Pz.當z0時，FZ（z）=0；當z0時，FZ（z）=Pz=.圖3-3作極坐標變換x=rcos，y=rsin（0rz，02）（如圖3-3），于是有FZ（z）=.故得所求Z的密度函數為fZ(z)=FZ(z)=此分布稱為瑞利分布（Rayleigh），它很有用.例如，炮彈著點的坐標為（X，Y），設橫向偏差XN（0，2），縱向偏差YN（0，2），X，Y相互獨立，那么彈著點到原點

36、的距離D便服從瑞利分布，瑞利分布還在噪聲、海浪等理論中得到應用.小 結對一維隨機變量的概念加以擴充，就得多維隨機變量，我們著重討論二維隨機變量.1.二維隨機變量（X，Y）的分布函數：F(x,y)=PXx,Yy,-<x<，-<y<.(1) 離散型隨機變量（X,Y）定義分布律：PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,.(2) 連續型隨機變量（X，Y）定義概率密度f(x,y)(f(x,y)0)：F(x,y)=,對任意x,y.一般，我們都是利用分布律或概率密度（不是利用分布函數）來描述和研究二維隨機變量的.2.二維隨機變量的分布律與概率密度的性質與一維的類似.特別，對于

37、二維連續型隨機變量，有公式P(X，Y)G=.其中，G是平面上的某區域，這一公式常用來求隨機變量的不等式成立的概率，例如：PYX=P(X,Y)G=.其中G為半平面yx.3.研究二維隨機變量（X，Y）時，除了討論上述一維隨機變量類似的內容外，還討論了以下新的內容：邊緣分布、條件分布、隨機變量的獨立性等.（1） 對（X，Y）而言，由（X，Y）的分布可以確定關于X、關于Y的邊緣分布.反之，由X和Y的邊緣分布一般是不能確定（X，Y）的分布的.只有當X，Y相互獨立時，由兩邊緣分布能確定（X，Y）分布.（2） 隨機變量的獨立性是隨機事件獨立性的擴充.我們也常利用問題的實際意義去判斷兩個隨機變量的獨立性.例如

38、，若X，Y分別表示兩個工廠生產的顯像管的壽命，則可以認為X，Y是相互獨立的.（3） 討論了Z=X+Y，Z=X/Y，M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布的求法.（設（X，Y）分布已知）；這是很有用的.4.本章在進行各種問題的計算時，例如，在求邊緣概率密度，求條件概率密度，求Z=X+Y的概率密度或在計算概率P（X，Y）G=時，要用到二重積分，或用到二元函數固定其中一個變量對另一個變量的積分.此時千萬要搞清楚積分變量的變化范圍.題目做錯，往往是由于在積分運算時，將有關的積分區間或積分區域搞錯了.在做題時，畫出有關函數的積分域的圖形，對于正確確定積分上下限肯定是有幫助的.另外，所求得的邊緣

39、密度、條件密度或Z=X+Y的密度，往往是分段函數，正確寫出分段函數的表達式當然是必須的. 重要術語及主題二維隨機變量（X，Y） （X，Y）的分布函數離散型隨機變量（X，Y）的分布律連續型隨機變量（X，Y）的概率密度離散型隨機變量（X，Y）的邊緣分布律連續型隨機變量（X，Y）的邊緣概率密度條件分布函數 條件分布律條件概率密度 兩個隨機變量X，Y的獨立性Z=X+Y的概率密度 Z=X/Y的概率密度M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的概率密度習 題 三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現正面的次數，以Y表示三次中出現正面次數與出現反面次數之差的絕對值.試寫出X和Y的聯合分布律.2.盒子里

40、裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數，以Y表示取到紅球的只數.求X和Y的聯合分布律.3.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為F（x，y）=求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內的概率.4.設隨機變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數A；（2） 隨機變量（X，Y）的分布函數；（3） P0X1，0Y2.5.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX1.5；（4） 求PX+Y4.6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數為fY（y）=求：（1

41、） X與Y的聯合分布密度；（2） PYX.7.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布函數為F（x，y）=求（X，Y）的聯合分布密度.8.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.9.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.10.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數c；（2） 求邊緣概率密度.11.設隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？13.設二維隨機變量（X，Y）的聯合分布律為XY