1、從雙基到四基從兩能到四能第一頁，共19頁。一、傳統與未來一、傳統與未來 數學課標：雙基 四基、兩能 四能 基礎知識、基本技能 + 基本思想、基本活動經驗 分析問題、解決問題 + 發現問題、提出問題知識為本：單純的雙基（99年大綱）、專門人才育人為本：學生成長、認知規律 如何教如何學(有效教學、有效學習）； 有效 + 興趣 減負第二頁，共19頁。創新：基礎知識 + 創新思維 + 創新經驗。 思維方法和經驗：培養學科直觀。 結果是看出來的。 思維方法的教育：數學思想 + 思維經驗。第三頁，共19頁。二、基本活動經驗二、基本活動經驗 會想問題：不是教出來的、是自己悟出來的； 悟的方法就是自己思考、積

2、累經驗。物價調查：物價調查： 會整體規劃、 會把問題化簡、 會抽象出問題的本質、 會歸納出規律性的東西、 會邏輯地表達自己的思考。第四頁，共19頁。三、數學的基本思想三、數學的基本思想 不是指數學思想方法：等量替換、數形結合、分類、遞歸、轉換；配方法、換元法、加強不等式。 數學產生與發展所依賴的思想 學習數學以后具有的思維能力抽象抽象：把與數學有關的知識引入數學內部；抽象能力強推理推理：促進數學內部的發展；推理能力強模型模型：溝通數學與外部世界的橋梁；應用能力強第五頁，共19頁。抽象抽象：數量與數量關系的抽象；圖形與圖形關系的抽象。得到：得到：研究問題的對象概念對象概念和對象之間的關系概念關系

3、概念； 運算方法運算方法和運算之間的運算法則運算法則。亞里士多德： 數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉事物中那些感性的東西。對于數學而言，線、角、或者其他的量的定義，不是作為存在而是作為關系。引出抽象的兩個層次兩個層次：直觀描述，符號表達。第六頁，共19頁。數量的第一步抽象數量的第一步抽象 數量 數。 2匹馬、2頭牛 2。 數量的本質多與少 數的本質大與小 自然數：10個符號 + 位數 加法：加一、萬的產生 加法 四則運算； 逆運算 數域擴充； 自然數 整數、有理數、實數。第七頁，共19頁。數量的第二步數量的第二步抽象抽象 符號意識：符號可以代表數、關系、規律、邏輯 符號可以進行計算和論證

4、（方程） 通過符號得到的結論具有一般性（交換律） 具體 一般 凡是具體的都會存在反例（函數變量說） 凡是一般的都會存在概念（函數對應說）第八頁，共19頁。解釋微積分 定義極限運算 定義實數 定義無理數 重新定義有理數 有理數：分數形式 小數形式：有限 + 無限循環 無理數：無限不循環小數 實數 有理數 + 無理數 運算：23 = 23 ？ 性質：連續 ？實數的加法：兩個實數相加，如果符號相同，取相同的符號，和為兩個實數絕對值的和；如果符號不同，取絕對值大的符號，和為大的絕對值減小的絕對值。 第九頁，共19頁。圖形的第一次抽象圖形的第一次抽象 歐幾里得幾何原本描述定義：點、線、面、角 關系術語：

5、相交、平行、垂直、全等 度量定義：長度、面積、體積、邊角關系(三角函數、巴比倫)帶來的問題 點：兩條直線交于一點？ 平行：兩條永遠不相交的直線？ 全等：兩個圖形重合？修改平行：過直線外一點可以有一條（歐幾里得幾何） 無數（羅巴契夫幾何） 沒有（黎曼幾何）第十頁，共19頁。Aaab赤道ONN北極出地與緯度之間的關系 第十一頁，共19頁。圖形的第二次抽象圖形的第二次抽象 希爾伯特幾何基礎：桌子、椅子、啤酒杯 符號定義：A，a，五組公理五組公理：兩點決定一條直線； 三點決定一個平面。本質是維數本質是維數：0維點；1維線；2維面；3維體。 高維看低維：直線、平面。第十二頁，共19頁。推理推理：一種思維

6、過程思維：形象思維、邏輯思維邏輯思維、辯證思維命題：可以進行判斷的話語推理：一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程命題 + 判斷的四種形式：是是、是否、非是、非否邏輯推理：命題主詞的內涵之間具有傳遞性 有邏輯：凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。 無邏輯：蘋果是酸的，酸是一種味道。所以蘋果是一種味道。第十三頁，共19頁。邏輯推理邏輯推理 = = 演繹推理演繹推理 + + 歸納推理歸納推理演繹推理演繹推理：從大到小，一般到特殊，結果必然； 已知 A 求證 B：不能發現新東西。歸納推理歸納推理：從小到大，特殊到一般，結果或然； 已知 a 推斷 A：歸納（代數）； 已知 A 推斷 A+B：類

7、比（幾何）。第十四頁，共19頁。歸納教學的例子：嘗試。為得到公式 a2 b2 = (a-b)(a+b)首先進行化簡，令 b=1。變化 a 可以得到： 22 1 = 4 - 1 = 3 32 1 = 9 - 1 = 8 42 1 = 16 - 1 = 15 52 1 = 25 - 1 = 24 62 1 = 36 - 1 = 35因為 8 = 24，15 = 35，24 = 46 ，35 = 57， 可以想到 a21 = (a-1)(a+1)，然后考慮一般的 b。 從自然數的前 n 項和公式出發，得到平方和、立方和公式。第十五頁，共19頁。模型模型：構建數學與外部世界的橋梁。數學的應用敘述的是一

8、個用數學語言表達的實際故事。方程、不等式、函數、遞推(時間序列)等是語言工具。比如，方程敘述的是量相等的故事。距離=速度時間 用數學語言定義概念。 F=maF=ma 橋梁雙方：數學 + 現實。流行病模型，投入產出模型各種場合：參數 + 約束。自由落體模型中的重力加速度第十六頁，共19頁。四四. . 統計基本思想統計基本思想 統計學與數學有所不同。 立論基礎 數學：公理、假設； 統計：數據、模型。 推理方法 數學：演繹推理； 統計：歸納推理。 判斷準則 數學：對與錯； 統計：好與壞。第十七頁，共19頁。 一個袋子里有5個球，其中有4個白球和1個紅球，讓學生有放回地摸球。 概率：概率：驗證出現白球的可能性4/54/5。不可操作 統計：統計：不告訴學生背景，預測 1.白球多還是紅球多？ 2.比例大概是多少？ 7/10,9/10，80%需要20次，90%需要60次。 3.如果有5個球，白球有多少？ 估計的好壞與樣本量有關，與方法有關。第十八頁，共19頁。因此，可以認為： 統計學是一門收集和分析數據的科學與藝術。統計學是一門收集和分析數據的科學與藝術。 科學科學：基礎是假說。驗證與時間、地點、個性